El número de enlace de Gauss y el principio de incertidumbre electro-magnético

Hace un tiempo ya, leía la página de John Baez llamada Symmetries, Groups, and Categories en donde se cita este artículo:

Gauss Linking Number and Electro-magnetic Uncertainty Principle
Abhay Ashtekar, Alejandro Corichi

It is shown that there is a precise sense in which the Heisenberg uncertainty between fluxes of electric and magnetic fields through finite surfaces is given by (one-half $\hbar$ times) the Gauss linking number of the loops that bound these surfaces. To regularize the relevant operators, one is naturally led to assign a framing to each loop. The uncertainty between the fluxes of electric and magnetic fields through a single surface is then given by the self-linking number of the framed loop which bounds the surface.

Admito que desconocía este resultado, que Baez atribuye a Ashtekar y a Corichi, aunque es un tanto viejo (1997). Incluso tampoco había visto de cerca el número de enlace de Gauss, que es el invariante topológico de enlace de nudos más simple y cuyo alcance se dice es mucho mayor que sólo el de la física o las matemáticas, así que hace poco decidí leer acerca del tema y acá comparto un poquitín sobre ello (para el número de enlace sólo se requiere saber una pizquilla de electromagnetismo y/o cálculo vectorial, el resto lo tocaré de manera más superficial).

El número de enlace de Gauss
Consideremos un aro delgado por el que circula una corriente estacionaria $i$ (i.e. el caso estático) representado por una curva $\mc{C}^\prime$.


En este caso entonces en todos los puntos fuera de $\mc{C}^\prime$, la ley de Ampère-Maxwell se reduce a
\begin{equation}\nabla\times\vec{B}=0\end{equation} por lo que en esta región existe alguna $\psi$ tal que
\begin{equation}\vec{B}=-\nabla\psi\end{equation} En los cursos de electromagnetismo de licenciatura seguido se discute (o los alumnos deben investigar por su cuenta) las razones por las cuales este potencial escalar magnético $\psi$ es relativamente inútil; de cualquier modo aquí resultará en cierto modo relevante. Vale, en general, en magnetostática la forma más sencilla para determinar un campo $\vec{B}$ es la ley de Ampère "original" en forma integral,
\begin{equation}\oint\vec{B}\cdot{d}\vec{\ell}=\mu_0{i}\end{equation} de cualquier modo, si consideramos un circuito amperiano $\mc{C}$,


parametrizado por alguna función $\vec{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3$ con parámetro $\tau$ y tal que $\vec{r}(a)=\vec{r}(b)$, tenemos que
\begin{align}\mu_0{i}&=\oint\limits_\mc{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}=-\oint\limits_\mc{C}\nabla{\psi}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}\nonumber\\
&=-\int_a^b\nabla\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\cdot\dot{\vec{r}}(\tau)\,d\tau\nonumber\\
&=-\int_a^b\frac{d}{d\tau}\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\,d\tau\nonumber\\
&=\psi\left(\vec{r}(a)\right)-\psi\left(\vec{r}(b)\right)\end{align} y entonces el potencial $\psi$ es multivaluado, tomando múltiplos enteros de $\mu_0{i}$ por cada vuelta al circuito. Como se cita en el artículo de Ashtekar y Corichi, podemos interpretar este incremento del potencial como el trabajo $W$ hecho al mover un monopolo magnético a lo largo de $\mc{C}$ (aparentemente este argumento fue debido a Maxwell y no a Gauss como se señala). En general, podemos considerar deformar el aro $\mc{C}^\prime$ de forma que se enlace $n$ veces con el circuito amperiano $\mc{C}$. Estrictamente, para definir los enlaces o entrelazamientos entre ambas curvas, hay que considerar una superficie conexa cualquiera (a pesar de la ilustración) $\Sigma$ tal que $\p\Sigma=\mc{C}^\prime$ (o en su defecto $\p\Sigma=\mc{C}$) y contar las veces que $\mc{C}$ la intersecta (o $\mc{C}^\prime$ en el otro caso),


de modo que el trabajo o el incremento del potencial alrededor del circuito amperiano será
\begin{equation}W=n\mu_0{i}\label{potmulti1}\end{equation} Ahora bien, usualmente en los primeros cursos de electromagnetismo se tortura a los estudiantes con calcular a fuerza bruta el campo $\vec{B}$ en un punto $\vec{\mc{R}}$ cualquiera usando la ley de Biot-Savart, en este caso como
\begin{equation}\vec{B}(\vec{\mc{R}})=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime)}{|\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} donde $\vec{r}^\prime$ son puntos en $\mc{C}^\prime$. Usando este resultado entonces se sigue también que
\begin{equation}W=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} Se define entonces
\begin{equation}\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)\equiv\frac{1}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\label{gausslink2}\end{equation} como el llamado enlace de Gauss, que sabemos además, casi de manera gratuita por (\ref{potmulti1}), que es un entero positivo o nulo $n$ (siempre que $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$ no se intersecten; no lo justifico, pero la cuestión seguramente es más sutil). Éstas dos últimas son, escritas ligeramente distinto, las dos primeras ecuaciones del artículo de Ashtekar y Corichi.

El número de enlace es relevante porque al ser un número entero, es también un invariante topológico al no depender de la forma de las curvas $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$. Además, parece no tener relación alguna con la física que se usó para obtenerlo; de hecho se dice que Gauss simplemente lo introdujo para contar el número de veces que una curva cerrada circunda a otra curva cerrada en el espacio (aunque estaba motivado también por el magnetismo terrestre):

Una cuestión primordial en la interfase de la geometria situs y la geometria magnitudinis será la de contar los entrelazamientos de dos curvas cerradas o interminables.
Sean $x,y,z$ las coordenadas de un punto indeterminado en la primera curva; $x^\prime,y^\prime,z^\prime$ las de un punto en la segunda y sea
$$\iint\frac{(x^\prime-x)(dydz^\prime-dzdy^\prime)+(y^\prime-y)(dzdx^\prime-dxdz^\prime)+(z^\prime-z)(dxdy^\prime-dydx^\prime)}{\left[(x^\prime-x)+(y^\prime-y)^2+(z^\prime-z)^2\right]^\frac{3}{2}}=V$$ entonces esta integral tomada a lo largo de ambas curvas es
$$=4m\pi$$ siendo $m$ el número de entrelazamientos.
El valor es recíproco, i.e. se mantiene igual si las curvas se intercambian.

- traducción de la cita en Ricca & Nipoti, "Gauss Linking Number Revisited"

Y en efecto, tomando $\vec{r}=(x,y,z)$ y $\vec{r}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$ en (\ref{gausslink2}) se tiene $4\pi\,\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)=V$; además se puede comprobar que $\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)=\mc{G}\mc{L}(\mc{C}^\prime,\mc{C})$. Al derivar este resultado, Gauss estaba pensando en ángulos sólidos, como se puede leer más en el artículo que cité de Ricca y Nipoti, sólo luego Maxwell elaboraría sobre esto con el argumento físico en base al trabajo que realiza el monopolo magnético.

Aunque no encontré la correspondencia entre Maxwell y Tait, esto es del Vol. II de A Treatise on Electricity and Magnetism.
La Fig. 4 muestra que también existe el caso en que $\mc{G}\mc{L}=0$ para dos curvas inseparables; el eslabón de Whitehead es otro ejemplo famoso.
Geometry of Position o Geometria Situs es el nombre vintage de la Topología.

De cualquier modo, de 1830 o 1860 a nuestra época hay una cantidad impresionante de matemáticas de por medio, por lo que es de esperar que existan numerosas generalizaciones y extensiones de este bello resultado. Sinceramente ignoro la gran mayoría; de cualquier modo algunos enlaces (en el espíritu de la física-matemática) que he encontrado relevantes son:

• Knots and Quantum Theory de Edward Witten
• Knots and Quantum Theory versión vídeo de Edward Witten
• The geometry and physics of knots de Michael Atiyah

El principio de incertidumbre electro-magnético
Quizá en los cursos de E&M de licenciatura no se habla del número de enlace (o quizá dependa del profe) porque éste parece no tener importancia física alguna: al final se reduce al numerillo que le dice al alumno qué tantas vueltas está encerrando con su circuito amperiano cuando resuelve con ley de Ampère el problemita del campo $\vec{B}$ en las distintas regiones de un embobinado.

It turns out that the double integral $\mc{G}\mc{L}(L_1,L_2)$ does have a fundamental significance in electro-magnetism, which however, could not have been guessed before the advent of quantum field theory.

«Resulta que la integral doble $\mc{G}\mc{L}(L_1,L_2)$ sí tiene un papel fundamental en el electromagnetismo que, de cualquier modo, no hubiera podido ser descubierto antes de la aparición de la teoría cuántica de campo», dicen Ashtekar y Corichi en el artículo, que básicamente comienza con el paréntesis de Poisson
\begin{equation}\{B[\alpha],E[\beta]\}=\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} (entre otras cosas, la ec. (1.4) es básicamente el teorema de Stokes usando $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$) y luego entonces proponen la segunda cuantización como
\begin{equation}\left[\hat{B}[\alpha],\hat{E}[\beta]\right]=i\hbar\,\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} de modo que también que hay una incertidumbre de Heisenberg intrínseca en mediciones simultáneas de los campos eléctrico y magnético a través de superficies finitas que además depende del número de enlace de las fronteras de ambas superficies.

En el resto del artículo, los autores obtienen rigurosamente este resultado (que señalan es más bien al nivel del usual en física teórica que el de física matemática). No me puedo decir experto ni mucho menos, pero la cuestión parece ir algo así:

En general en una QFT los campos satisfacen un principio de incertidumbre con su momento conjugado en términos de promedios de ambos en distintas regiones espaciales (asumiendo tiempos iguales o al menos separación temporal). Básicamente los autores construyen un operador $\hat{E}[\beta]$ (e implícitamente también $\hat{B}[\alpha]$) bien definido en el espacio de Fock (la suma de espacios de Hilbert de los fotones) desplegando el campo (intento de traducción de smear; esto se hace en general en QFT, véase e.g. aquí la página 31 o más ampliamente aquí) con una distribución $f^{(\beta)}$ que luego determinan introduciendo reguladores como extender el circuito $\beta$ a un listón e introducir un corte ultravioleta para lidiar con una divergencia. Finalmente calculan el conmutador entre los operadores regulados y toman el límite para quitar los objetos reguladores (el listón, $\epsilon\to0$ y el corte ultravioleta, $\Lambda\to\infty$); extienden además el resultado a circuitos que se intersectan e incluso a cuando se trata del mismo circuito. En el caso más simple sin intersecciones, concluyen:

«La relación de incertidumbre $\displaystyle{\left(\Delta\hat{B}[\alpha]\right)\left(\Delta\hat{E}[\beta]\right)\geq\frac{\hbar}{2}\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)}$ se afirma en el sentido de $\displaystyle{\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\lim_{\Lambda\to\infty}\left[\hat{B}[f^{(P_\alpha,\Lambda)}],\hat{E}[f^{(P_\beta,\Lambda)}]\right]\right)=i\hbar\,\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)}$»
i.e. la incertidumbre electro-magnética proporcional al número de enlace está bien definida en los límites en que los operadores de ambos campos están bien definidos.

Finalmente, de nuevo, en esta nota de justo poco después de la fecha del artículo, John Baez escribe:

Quantum mechanics, electromagnetism, and knot theory are clearly quite tangled up here. Since the linking number was first discovered by Gauss in his work on magnetism, it's all quite fitting.

La ecuación de Pauli relativista

Hace poco me encontré estas (también recientes) notas sobre GFT de Ben Gripaios:

Gauge Field Theory
Dr. Ben Gripaios (Cavendish Laboratory)
February, 2015

y en seguida llegué a una cuestión interesante: la ecuación de Pauli relativista. Esta ecuación al parecer no tiene acuñado popularmente un nombre; se trata de la ecuación que se obtiene al multiplicar por su conjugado a la ecuación de Dirac con acoplamiento minimal.

Wolfgang Pauli, mejor conocido por su principio de exclusión

De la ecuación de Dirac
\begin{equation}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0\end{equation} se puede recuperar la ecuación de Klein-Gordon al multiplicar a la izquierda por su 'operador conjugado',
\begin{align}(i\gamma^\mu\partial_\mu+m)(i\gamma^\nu\partial_\nu-m)\psi&=\left(-\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_{\mu\nu}-m^2\right)\psi\nonumber\\
&=\left(-\partial^2-m^2\right)\psi=0\end{align} dado que, descomponiendo en partes simétrica y antisimétrica, $\gamma^\mu\gamma^\nu=\frac{1}{2}\left(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}+[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\right)$ y ya que $\partial_{\mu\nu}$ es simétrico, se sigue que $\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}\partial_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu\nu}$ pues la contracción de un tensor simétrico con uno antisimétrico es nula.

Uno puede intentar hacer lo mismo acoplando ahora un tensor (electromagnético) $F_{\mu\nu}\equiv\partial_\mu{A}_\nu-\partial_\nu{A}_\mu$ a través de
\begin{equation}\partial_\mu\to{D}_\mu\equiv\partial_\mu+ieA_\mu\end{equation} que es el llamado acoplamiento minimal (de minimal coupling), a la ecuación de Dirac,
\begin{equation}\left(i\gamma^\mu(\partial_\mu+ieA_\mu)-m\right)\psi=0\end{equation} de modo que
\begin{equation}\left(i\gamma^\mu(\partial_\mu+ieA_\mu)+m\right)\left(i\gamma^\nu(\partial_\nu+ieA_\nu)-m\right)\psi=0\label{pauli1}\end{equation} lo que debería llevar a la ecuación (4.29) de las notas de Gripaios,
\begin{equation}\left(D^2+m^2+\frac{ie}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}\right)\psi=0\,\color{red}{?}\end{equation} que es particularmente interesante porque para un escalar $\phi$ la ecuación de Dirac con acoplamiento minimal es simplemente $(D^2+m^2)\phi=0$, de modo que es en cierto sentido manifiesta la interacción de los electrones y los fotones a través del término extra. Esta ecuación es de hecho el caso relativista de la ecuación de Pauli; ésta es la forma sencilla de obtenerla, aunque así explicada es como sacada de la manga y propiamente uno tendría que partir del caso no relativista y generalizar usando la versión relativista de la energía total.

El primer problema es obtenerla, lo que debería ser pan comido siendo que se sugiere como ejercicio. De la ec. (\ref{pauli1}), se tiene que
\begin{equation}\left(\gamma^\mu\gamma^\nu{D}_{\mu\nu}+m^2\right)\psi=0\end{equation} donde
\begin{align}\gamma^\mu\gamma^\nu{D}_{\mu\nu}&=\frac{1}{2}\left(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}+[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\right){D}_{\mu\nu}\nonumber\\
&=D^2+\frac{1}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]{D}_{\mu\nu}\end{align} y también
\begin{align}\frac{1}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]{D}_{\mu\nu}&=\frac{1}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu][{D}_\mu,{D}_\nu]\nonumber\\
&=\frac{1}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu][\p_\mu+ieA_\mu,\p_\nu+ieA_\nu]\end{align} recordando que la contracción con la parte simétrica de $D_{\mu\nu}$ se anula; de aquí también
\begin{align}[\p_\mu+ieA_\mu,\p_\nu+ieA_\nu]&=ie([\p_\mu,A_\nu]+[A_\mu,\p_\nu])\nonumber\\
&=ie\left(\p_\mu{A}_\nu-A_\nu\p_\mu+A_\mu\p_\nu-\p_\nu{A}_\mu\right)\end{align} en donde se tiene que ser cuidadoso, porque a fin de cuentas este término va a actuar sobre $\psi$ y el término $\p_\mu{A}_\nu$ en realidad significa $\p_\mu{A}_\nu\psi=(\p_\mu{A}_\nu)\psi+A_\nu\p_\mu\psi$; aclarando esto aún más, el tensor electromagnético "en realidad" es $F_{\mu\nu}\equiv(\partial_\mu{A}_\nu)-(\partial_\nu{A}_\mu)$, i.e. las derivadas actúan sobre las $A_\alpha$. Finalmente entonces se puede escribir
\begin{align}[\p_\mu+ieA_\mu,\p_\nu+ieA_\nu]=ieF_{\mu\nu}\end{align} de modo que finalmente
\begin{equation}\left(D^2+m^2+\frac{ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}\right)\psi=0\label{pauli2}\end{equation} que aparenta tener un factor de 1/2 de más. La razón parece ser sencillamente un error en las notas; hay varios errores menores, e.g. la falta de $\psi$ en la ec. (4.29). Quizá el error proviene de que se está pensando en términos los generadores del álgebra de Lorentz, usualmente denotados $S^{\mu\nu}$, que son un proporcionales a $[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$, y su relación con las matrices de espín, que dependiendo de la representación, puede tomarse de distintas formas. A fin de cuentas, el término $2eS^iB_i$ en la ecuación completa debe quedar como $(e/2)S^iB_i$ de modo que se lea que el momento magnético del electrón es $e/2m_e$, por lo que el factor original correcto en efecto es un 1/4.

En estas notas de Matthew Schwarz:

Introduction to Quantum Field Theory
Matthew Schwarz (Harvard University)
Fall 2008

se obtiene (\ref{pauli2}) con el signo de carga $e\to-e$, pero en efecto con ese mismo factor de 1/2 "extra" (la expresión es la 11.125 en la pg 105). También se emplea una elección particular de los generadores del álgebra de Lorentz y la representación quiral o de Weyl de modo que se manifieste explícitamente el término $(e/2)S^iB_i$.

Electrodinámica en notación tensorial

Por supuesto la electrodinámica es en sí misma consistente con la relatividad especial; precisamente así comenzó todo con esta última. En este caso lo que un observador interpreta como un proceso eléctrico, otro observador puede interpretarlo como un proceso magnético, pero la cinemática de las partículas involucradas será la misma. Al extender la descripción del electromagnetismo a donde pertenece naturalmente, i.e. al espaciotiempo 4-dimensional, en este caso plano o de Minkowski, surge "la forma más sencilla y elegante" de las ecuaciones de Maxwell, que pueden condensarse incluso en una sola expresión. Esto es bastante divertido, ya que la forma más popular de las ecuaciones de Maxwell, y en la que son rigurosamente conocidas por cualquier físico o hasta ingeniero, son las 2 ecuaciones vectoriales y 2 ecuaciones escalares que seguido sirven como adorno e.g. en playeras, i.e. 8 ecuaciones escalares, aunque de hecho originalmente las ecuaciones de Maxwell se escribían explícitamente como 20 ecuaciones escalares al incluir e.g. la ecuación de continuidad o el potencial magnético.

Se sabe pues que campos eléctricos pueden transformar en campos magnéticos y viceversa; i.e. los campos $\B{E}$ y $\B{B}$ no son invariantes de Lorentz. Se debe juntar los campos eléctrico y magnético en un solo objeto en el espacio de Minkowski para poder escribir las ecuaciones de la electrodinámica en forma covariante (en el sentido de invariancia explícita ante transformaciones de Lorentz, no al de covarianza vs contravarianza). Adviértase que en adelante emplearé la signatura ${(-+++)}$ para la métrica de Minkowski ${\eta_{\mu\nu}}$.

La forma más sencilla de hacerlo es definir (el tratamiento formal por supuesto es una historia un poquitín más larga) el tensor antisimétrico
\begin{equation}F^{\mu\nu}\equiv\begin{pmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\
-E_x&0&B_z&-B_y\\
-E_y&-B_z&0&B_x\\
-E_z&B_y&-B_x&0\end{pmatrix}\end{equation} llamado tensor de campo electromagnético (también llamado tensor de Faraday, bivector de Maxwell o ya en contexto, simplemente tensor de campo; tómese en cuenta también que su definición depende de la signatura de la métrica), de donde tenemos que
\begin{align}\B{E}=\begin{pmatrix}F^{01}\\{F}^{02}\\{F}^{03}\end{pmatrix},\hspace{0.5in}\B{B}=\begin{pmatrix}F^{23}\\{F}^{31}\\{F}^{12}\end{pmatrix}
\end{align} La otra forma de lograrlo es definiendo el tensor dual,
\begin{equation}G^{\mu\nu}\equiv\begin{pmatrix}0&B_x&B_y&B_z\\
-B_x&0&-E_z&E_y\\
-B_y&E_z&0&-E_x\\
-B_z&-E_y&E_x&0\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\end{equation} donde ${F_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\rho}F^{\rho\sigma}\eta_{\sigma\beta}}$ y $\epsilon$ es el símbolo de Levi-Civita. Ambos tensores, al ser invariantes de Lorentz, deben satisfacer
\begin{equation}F^{\mu\nu}={\Lambda^\mu}_\alpha{\Lambda^\nu}_\beta{F}^{\alpha\beta}\label{electroin}\end{equation} donde las ${{\Lambda^\mu}_\nu}$ son matrices de Lorentz y de manera análoga para ${G^{\mu\nu}}$. De aquí entonces uno puede verificar fácilmente las leyes de transformación del campo electromagnético,
\begin{align}\bar{\B{E}}_\parallel&=\B{E}_\parallel\\
\bar{\B{B}}_\parallel&=\B{B}_\parallel\\
\bar{\B{E}}_\perp&=\gamma(\B{E}_\perp+\B{v}\times\B{B})\\
\bar{\B{B}}_\perp&=\gamma\left(\B{B}_\perp-\B{v}\times\B{E}\right)\end{align} para $\bar{S}$ moviéndose a una velocidad de dirección arbitraria $\B{v}$ respecto a $S$ y donde los subíndices $\parallel$ y $\perp$ denotan los campos paralelos y perpendiculares a $\B{v}$.

Consideremos ahora las ecuaciones de Maxwell, que en notación del siglo XIX se escriben como
\begin{align}\nabla\cdot\B{E}&=4\pi\rho\\
\nabla\cdot\B{B}&=0\\
\nabla\times\B{E}&=-\p_t\B{B}\\
\nabla\times\B{B}&=4\pi\B{J}+\p_t\B{E}
\end{align} Estas ecuaciones por supuesto son invariantes ante transformaciones de Lorentz, esa ha sido la motivación de la relatividad especial desde un principio, sin embargo no lo son de manera evidente, lo que puede arreglarse fácilmente con notación tensorial,
\begin{align}\p_i{E}^i&=4\pi{J}^0\\
\p_iB^i&=0\\
\epsilon^{ijk}\p_jE_k&=-\p_0B^i\\
\epsilon^{ijk}\p_jB_k&=4\pi{J}^i+\p_0E^i
\end{align} Aquí en realidad es irrelevante si los índices están arriba o abajo, ya que la métrica en el espacio 3-dimensional plano es simplemente la delta de Kronecker ${\delta_{ij}=\delta^{ij}}$. También se ha usado implícitamente la definición del 4-vector de corriente,
\begin{equation}J^\mu\equiv(\rho,\B{J})\end{equation} Nótese entonces que
\begin{equation}F^{0i}=E_i,\hspace{0.5in}
F^{jk}=\epsilon^{jk\ell}B_\ell\end{equation} de modo que se tiene para la ley de Ampère-Maxwell y la ley de Gauss,
\begin{align}\p_jF^{ij}&=4\pi{J}^i+\p_0F^{0i}\\
\p_iF^{0i}&=4\pi{J}^0\end{align} que, empleando la antisimetría de ${F^{\mu\nu}}$, puede combinarse en una sola ecuación tensorial que las incluye a ambas,
\begin{equation}\p_\nu{F}^{\mu\nu}=4\pi{J}^\mu\end{equation} De manera análoga, nótese que
\begin{equation}G^{0i}=B_i,\hspace{0.5in}G^{jk}=-\epsilon^{jk\ell}E_\ell\end{equation} entonces para la ley de Faraday y la ley de Gauss magnética,
\begin{align}\p_jG^{ij}&=\p_0G^{0i}\\
\p_iG^{0i}&=0\end{align} que también, empleando la antisimetría de ${G^{\mu\nu}}$, puede combinarse en una sola ecuación tensorial que las incluye a ambas,
\begin{equation}\p_\nu{G}^{\mu\nu}=0\end{equation} y de este modo las cuatro ecuaciones de Maxwell pueden ser reemplazadas por las dos ecuaciones tensoriales
\begin{align}\p_\nu{F}^{\mu\nu}&=4\pi{J}^\mu\\
\p_\nu{G}^{\mu\nu}&=0\end{align} Además de la economía que representan, ambas ecuaciones evidentemente transforman como tensores, i. e. evidentemente son invariantes ante transformaciones de Lorentz; a esto es a lo que comúnmente se refiere como la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell.

Ahora bien, podemos demostrar también, que la versión covariante de la fuerza de Lorentz, seguido llamada fuerza de Minkowski, está dada por
\begin{equation}K^\mu\equiv\frac{dP^\mu}{d\tau}=qF^{\mu\nu}U_\nu\label{e1}\end{equation} Para ello deben emplearse las siguientes condiciones.

Primero, evidentemente
\begin{equation}F^{\mu\nu}U_\nu{U}_\mu=-F^{\nu\mu}U_\mu{U}_\nu=0\label{co1}\end{equation} por antisimetría del tensor de campo, y porque pudimos haber elegido definir ${K^\nu\equiv{qF^{\nu\mu}U_\mu}}$ en lugar de (\ref{e1}), de modo que el escalar producto interno, siendo el mismo en ambos casos, sólo puede ser nulo a modo de satisfacer la ecuación izquierda de esta última ecuación. Esto debe satisfacerse en general cuando se tiene masa inercial constante dado que ${U^\mu{U}_\mu=-1}$ (en nuestra signatura para la métrica).

Luego, empleando la 4-velocidad ${\B{U}\equiv\gamma(1,\B{v})}$, podemos ver que para ${\mu=1}$,
\begin{align}K^1&=qF^{1\nu}U_\nu\nonumber\\
&=qF^{1\nu}\eta_{\nu\alpha}U^\alpha\nonumber\\
&=q\left[-F^{10}U^0+F^{11}U^1+F^{12}U^2+F^{13}U_3\right]\nonumber\\
&=q\gamma\left[E_x+v_yB_z-v_zB_y\right]\nonumber\\
&=q\gamma\left[E_x+\epsilon^{1jk}v_jB_k\right]\end{align} y de manera análoga para ${\mu=2,3}$ se encuentra
\begin{align}K^2&=q\gamma\left[E_y-\epsilon^{2jk}v_jB_k\right]\\
K^3&=q\gamma\left[E_z+\epsilon^{3jk}v_jB_k\right]\end{align} entonces la parte espacial de ${K^\mu}$ es
\begin{equation}\B{K}=q\gamma\left[\B{E}+\B{v}\times\B{B}\right]\end{equation} que por supuesto se reduce a la fuerza de Lorentz cuando ${\gamma\to{1}}$, i. e. cuando ${v\ll1=c}$.

Finalmente la condición más importante es la de la invariancia ante transformaciones de Lorentz. Sabemos que un vector covariante transforma como ${x^\bar{\mu}={\Lambda^\bar{\mu}}_\nu{x}^\nu}$, entonces un vector covariante debe transformar como,
\begin{align}x_{\bar\mu}&=\eta_{{\bar\mu}\alpha}x^\alpha\nonumber\\
&=\eta_{{\bar\mu}\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta{x}^\beta\nonumber\\
&=\eta_{{\bar\mu}\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta\eta^{\beta\sigma}x_\sigma\equiv{{\tilde{\Lambda}}^\sigma}_{\bar\mu}x_\sigma\end{align} donde he definido ${{{\tilde{\Lambda}}^\sigma}_{\bar\mu}\equiv\eta_{{\bar\mu}\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta\eta^{\beta\sigma}}$. Ahora bien, la métrica por supuesto transforma como ${\eta_{\mu\nu}={\Lambda^\bar{\nu}}_\mu{\Lambda^\bar{\mu}}_\nu\eta_{\bar{\mu}\bar{\nu}}}$, por tanto se satisface
\begin{align}{{\tilde{\Lambda}}^\mu}_{\nu}{\Lambda^\nu}_\sigma&=\eta_{\nu\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta\eta^{\beta\mu}{\Lambda^\nu}_\sigma\nonumber\\
&=\left(\eta_{\nu\alpha}{\Lambda^\nu}_\sigma{\Lambda^\alpha}_\beta\right)\eta^{\beta\mu}\nonumber\\
&=\eta_{\sigma\beta}\eta^{\beta\mu}=\delta^\mu_\sigma\end{align} entonces se tendrá para la fuerza de Minkowski en algún otro sistema con barra, \begin{align}qF^{\bar{\mu}\bar{\nu}}U_{\bar{\nu}}&=
q\left({\Lambda^{\bar{\mu}}}_\rho{\Lambda^{\bar{\nu}}}_\sigma{F}^{\rho\sigma}\right)\left({{\tilde{\Lambda}}^\alpha}_{\bar\nu}U_\alpha\right)\nonumber\\
&=q{\Lambda^{\bar{\mu}}}_\rho\left({\Lambda^{\bar\nu}}_\sigma{{\tilde{\Lambda}}^\alpha}_{\bar\nu}\right)F^{\rho\sigma}U_\alpha\nonumber\\
&=q{\Lambda^{\bar\mu}}_\rho\delta_\sigma^\alpha{F}^{\rho\sigma}U_\alpha\nonumber\\
&=q{\Lambda^{\bar\mu}}_\rho{F}^{\rho\sigma}U_\sigma\nonumber\\
&={\Lambda^{\bar\mu}}_\rho\left(qF^{\rho\sigma}U_\sigma\right)\nonumber\\
&={\Lambda^{\bar\mu}}_\rho\left(\frac{dP^\rho}{d\tau}\right)\nonumber\\
&=\frac{dP^{\bar\mu}}{d\tau}=K^{\bar\mu}\end{align} que es precisamente la misma forma que en el sistema sin barra, de modo que en efecto la fuerza de Minkowski equivale a la forma covariante de la fuerza de Lorentz.

Por último, puede verse que definiendo naturalmente al 4-vector potencial como
\begin{equation}A^\mu=(\phi,\B{A})\end{equation} donde $\phi$ y $\B{A}$ son los potenciales electromagnéticos escalar y (3)vectorial, respectivamente,
\begin{equation}\B{E}=-\nabla\phi-\p_0\B{A},\hspace{0.5in}\B{B}=\nabla\times\B{A}\end{equation} entonces se tiene que
\begin{equation}F^{\mu\nu}=\p^\mu{A}^\nu-\p^\nu{A}^\mu\end{equation} donde empleo la notación ${\p^\alpha\equiv\displaystyle{\frac{\p}{\p{x}_\alpha}}}$. Uno puede evaluar algunas componentes para comprobarlo, e. g.
\begin{align}F^{01}&=\p^0{A}^1-\p^1{A}^0\nonumber\\
&=-\p_0{A}_x-\p_x\phi\nonumber\\
&=-[\nabla\phi+\p_0\B{A}]_x=E_x\end{align} Reescribiendo entonces las dos ecuaciones de Maxwell-covariantes, se tiene que
\begin{align}\p_\mu{G}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\p_\nu\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\left(\p_\alpha{A}_\beta-\p_\beta{A}_\alpha\right)=0\end{align} que se anula idénticamente por igualdad de parciales cruzadas, ${\p_\nu\p_\gamma=\p_\gamma\p_\nu}$ y la antisimetría del símbolo de Levi-Civita en cada par de índices, i. e. no hay nueva información, mientras que
\begin{align}\p_\nu{F}^{\mu\nu}&=\p_\nu\left(\p^\mu{A}^\nu-\p^\nu{A}^\mu\right)\nonumber\\
&=\p_\nu(\p^\mu{A}^\nu)-\square^2A^\mu=4\pi{J}^\mu\end{align} es la ecuación de Maxwell inhomogénea, donde
\begin{equation}\square^2\equiv\p^\alpha\p_\alpha=\nabla^2-\displaystyle{\frac{\p^2}{\p{t}^2}}\label{dalembert}\end{equation} es el operador d'Alembertiano. Si además se utiliza la norma de Lorentz, ${\nabla\cdot\B{A}+\p_0\phi=0}$, es decir, ${\p_\mu{A}^\mu=0}$, y nuevamente por igualdad de parciales cruzadas, simplemente
\begin{equation}\square^2A^\mu=-4\pi{J}^\mu\end{equation} que es la formulación más simple y elegante de las ec. de Maxwell.

Interferencia en Rendijas Múltiples

Considérese una fuente de luz monocromática que pasa a través de tres rendijas paralelas separadas entre sí por una distancia $d$. Por simplicidad además, considérese que las ondas tienen la misma amplitud $\mathcal{E}$, la misma longitud de onda $\lambda$, y así la misma frecuencia angular $\omega$ y una diferencia de fase constante ${\phi=\frac{d\sin\theta}{\lambda}}$ donde ${\theta\ll1}$ es el ángulo entre la normal a las rendijas y el vector al punto de incidencia.

Se tiene entonces que las tres ondas que emergen de las rendijas son de la forma
\begin{align}\mathbf{E}_1&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\omega{t}\\
\mathbf{E}_2&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+\phi)\\
\mathbf{E}_3&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+2\phi)\end{align} Para conocer la intensidad, se necesita calcular el promedio temporal
\begin{equation}\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{1}{\tau}\int_{t}^{t+\tau}|\mathbf{E}(t^\prime)|^2\,dt^\prime\end{equation} donde ${\mathbf{E}=\sum_i\mathbf{E}_i}$ y el periodo $\tau$, en general para funciones armónicas es ${2\pi/\omega}$.

Para lograrlo entonces, hay que calcular la norma de la resultante del campo eléctrico al cuadrado. Se tiene que
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin\omega{t}+\sin(\omega{t}+\phi)+\sin(\omega{t}+2\phi)\right]\end{equation} y empleando la identidad
\begin{equation}\sin{A}+\sin{B}=2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\end{equation} puede verse que es conveniente realizar la suma
\begin{equation}\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_3=2\boldsymbol{\mathcal{E}}\cos\left(\phi\right)\sin(\omega{t}+\phi)\end{equation} de modo que
\begin{align}\mathbf{E}&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin(\omega{t}+\phi)+2\cos(\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\right]\nonumber\\&=\boldsymbol{\mathcal{E}}(1+2\cos\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\end{align} donde es inmediato realizar el promedio,
\begin{align}I&\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega{t}+\phi)\,dt\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{4\pi}\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2}{2}\end{align} i.e. simplemente
\begin{equation}\left\langle\sin^2(\omega{t}+\phi)\right\rangle=\frac{1}{2}\label{ast}\end{equation} De aquí entonces puede verse que la intensidad máxima ${I_m}$ ocurre cuando ${\cos\phi=1}$, i.e.
\begin{equation}I_m\propto\frac{9}{2}\mathcal{E}^2\end{equation} entonces puede escribirse
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{(1+2\cos\phi)^2}{9}\end{equation} es decir, explícitamente
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{1}{9}\left[1+2\cos\left(\frac{d\sin\theta}{\lambda}\right)\right]^2\end{equation} con esto entonces uno puede graficar el comportamiento de la intensidad respecto a la fase $\phi$, e.g. en Mathematica:

Plot[(1 + 2 Cos[2Pi F])^2/9, {F, -Pi, Pi},
 Axes -> None, Frame -> True, FrameLabel -> {"2Pi F", "I/Im"},
 FrameTicks -> {{{0, 1/2, 1}, None}, {{-Pi, -Pi/2, 0, Pi/2, Pi}, None}},
 GridLines -> Automatic, GridLinesStyle -> Directive[Gray, Dashed]]

La generalización natural de la triple rendija es considerar el caso de n rendijas. Considérense entonces ahora, de manera análoga, las n ondas
\begin{equation}\mathbf{E}_\alpha=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\left(\omega{t}+\alpha\phi\right),\hspace{0.25in}\alpha=0,1,\ldots,n-1\end{equation} en cuyo caso entonces, debe calcularse el promedio ${\langle\mathbf{E}^2\rangle}$ con
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)\end{equation} entonces recordando de la serie geométrica que $\displaystyle{\sum_{a=0}^{b-1}r^a=\frac{1-r^b}{1-r}}$, se tiene,
\begin{align}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)&=\sum_{\alpha=0}^{n-1}\left(\sin{\omega{t}}\cos\alpha\phi+\sin\alpha\phi\cos{\omega{t}}\right)\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}+\cos{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\nonumber\\[0.1in]
&=\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\left\{\sin{\omega{t}}\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]+\cos{\omega{t}}\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]\right\}\nonumber\\[0.1in]
&=\csc\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\omega{t}+\frac{n-1}{2}\phi\right]\end{align} y por tanto, empleando el resultado (\ref{ast}), se tiene simplemente que
\begin{equation}I\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{\mathcal{E}^2}{2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} donde la amplitud máxima ahora depende del valor de n. Uno puede investigar fácilmente cómo se relaciona la amplitud máxima graficando la función ${\csc{x}\sin{nx}}$,

donde se hace evidente que la amplitud máxima será
\begin{equation}I_m\propto\frac{\mathcal{E}^2}{2}n^2\end{equation} lo que concuerda con lo hallado para 3 rendijas. Así entonces
\begin{equation}\frac{I}{I_0}=\frac{1}{n^2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} y nuevamente uno puede visualizar los resultados para un distinto número de rendijas, e.g. con Mathematica,

Trazando las curvas de nivel de los campos de radiación

Apenas va terminando mi malísimo curso de Radiación y Óptica, y sin embargo he rescatado algunas cosas al trabajar por mi cuenta. Lo primero fue graficar el mapa de contorno de la componente de los campos eléctrico $\B{E}$ y/o magnético $\B{B}$ para un dipolo eléctrico oscilante. Lograrlo de hecho fue sencillísimo, ya que uno llega a las expresiones del tipo
\begin{equation}\B{E}=-\alpha\frac{\sin\theta}{r}\cos\omega\tau\,\boldsymbol{\hat{\theta}},\hspace{0.75in}\B{B}=-\frac{\alpha}{c}\frac{\sin\theta}{r}\cos\omega\tau\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}\end{equation} con $\alpha$ constante, $\theta$ el ángulo polar, $\varphi$ el ángulo azimutal y ${\tau=t-r/c}$ el tiempo de retardo, entonces uno puede simplemente graficar curvas de nivel para la correspondiente componente angular manteniendo algún parámetro dado fijo, e.g. $t$, y haciendo ${\alpha=1}$ por simplicidad,

Table[ContourPlot[-(Sin[ArcCos[z/Norm[{x, y, z}]]]/Norm[{x, y, z}])
 Cos[t - Norm[{x, y, z}]] /. {t -> Pi}, {x, -25, 25}, {z, -25, 25},
  MaxRecursion -> 5, ContourShading -> None, FrameLabel -> {x, z}, ContourStyle -> Black, 
   PlotLabel -> "y=" ~~ ToString[y]], {y, 0, 9, 1}]

o bien, para $y$ fijo y variando $t$,

GIF = Table[
   Manipulate[
    ContourPlot[-(Sin[ArcCos[z/Norm[{x, y, z}]]]/Norm[{x, y, z}]) Cos[
        t - Norm[{x, y, z}]] /. {y -> 0}, {x, -10, 10}, {z, -10, 10}, 
     Contours -> 10, ContourShading -> None, ContourStyle -> Black, 
     Exclusions -> {x == 0}, FrameTicks -> None, MaxRecursion -> 4],
     {t, k, Pi, ControlType -> None}], {k, 0, 9Pi/10, Pi/10}];

Export["Campo.gif", GIF, "DisplayDurations" -> 0.2]

Sin embargo, uno bien pudo haber decidido pasar el campo (ya sea $\B{E}$ o $\B{B}$) a coordenadas cartesianas y graficar en dichas coordenadas alguna componente arbitraria, esto es, por ejemplo para el campo $\B{E}$, sabiendo que
\begin{equation}\boldsymbol{\hat{\theta}}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\theta\\\sin\varphi\cos\theta\\-\sin\theta\end{pmatrix}\end{equation} además, en los anteriores gráficos he hecho explícitamente ${\theta=\arccos\frac{z}{r}}$, por lo que de manera análoga ahora se sustituye explícitamente ${\varphi}$ en términos de ${x,y}$ (véase atan2); y uno puede llevarse una sorpresa al querer graficar las 3 componentes del campo como se hizo con la componente angular, por ejemplo con la componente $x$, uno obtiene

aunque en cierto modo era de esperarse, pues se trata de la componente $x$ de un campo que sólo cambia en la dirección polar graficada en el plano ${\{x,z\}}$; de hecho la componente cartesiana más parecida a la componente polar es la componente $z$, como también es de esperar, por ello resulta difícil interpretar cualitativamente el gráfico en este modo, mientras que es muy sencillo hacerlo con el gráfico de la componente polar.

Esto lo digo porque después de estudiar el caso del dipolo, estudié el caso de una carga en movimiento circular uniforme (clásico), y la visualización a primeras no arrojó nada cualitativamente bueno, presuntamente por el detalle de las coordenadas que menciono aquí. Uno puede ir y encontrar los potenciales explícitos de Liénard–Wiechert para el problema, que son de la forma
\begin{align}V(\B{r},\tau)&=\frac{1}{\sqrt{r^2+\rho^2-2\rho\left(x\cos\tau+
y\sin\tau\right)}-\rho\left(y\cos\tau-x\sin\tau\right)}\\
\B{A}(\B{r},\tau)&=\rho\,V(\B{r},\tau)\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}\end{align} donde simplemente tomé todas las constantes como la unidad, excepto el radio de la órbita clásica ${|\boldsymbol{\rho}|=\rho}$, que puse en el plano ${\{x,y\}}$ y donde ${\tau=t-\frac{|\B{r}-\boldsymbol{\rho}|}{c}}$ con ${\B{r}=(x,y,z)}$. De aquí uno entonces puede obtener los campos vía
\begin{equation}\B{E}=-\nabla{V}-\p_t\B{A},\hspace{0.75in}\B{B}=\nabla\times\B{A}\end{equation} tomando antes, por supuesto, el tiempo de retardo $\tau$ explícitamente en función de $t$, y haciendo todo de una buena vez en coordenadas esféricas, i.e. con ${x=r\cos\varphi\sin\theta}$, ${y=r\sin\varphi\sin\theta}$ y el gradiente y el rotacional en esféricas. Finalmente al graficar, debe regresarse a las variables cartesianas, aunque ya se podrá graficar cualquier componente esférica. De manera análoga uno puede partir directamente de los campos de radiación sin pasar por los potenciales, si uno cuenta con las expresiones explícitas.

El cómputo es notablemente caro con un ordenador promedio, por lo que hay que tener algo de paciencia. Lo ideal sería generar una imagen .gif para cada componente para poder interpretar claramente cada componente, como hice con el dipolo, pero para eso haría falta bastante tiempo o un ordenador más rápido. De cualquier modo no pienso quitarle al lector la diversión de hacerlo por su cuenta, por lo que solo comparto una de las salidas para la componente angular del campo $\B{E}$, la que exhorto a verificar, pues meter la pata puede ser bastante fácil, además aparentemente no gané mucho al pasarme a las componentes del campo en coordenadas esféricas, pues las curvas de nivel son muy parecidas a las de las componentes cartesianas. En color rojo marco la posición de la partícula, que describe una órbita circular de radio 3.

Griffiths sobre los términos de radiación

El libro Introduction to electrodynamics de David J. Griffiths es probablemente el más amigable para aprender electrodinámica clásica, sin ser necesariamente laxo, e.g. en cuanto a los aspectos matemáticos. El siguiente es un extracto del capítulo 11 en la tercera edición llamado Radiación, y en particular de la segunda sección, Cargas puntuales, que me pareció bastante original y divertida:

The 'radiated' energy is the stuff that, in effect, 'detaches' itself from the charge and propagates off to infinity. (It's like flies breeding on a garbage truck: Some of them hover around the truck as it makes its rounds; others fly away and never come back.) (...) The velocity fields carry energy, to be sure, and as the charge moves this energy is dragged along—but it's not 'radiation'. (It's like the flies that stay with the garbage truck.)

La energía 'radiada' es lo que, en efecto, se 'separa' de la carga y se propaga hasta el infinito. (Es como los cultivos de moscas en un camión de basura: Algunas merodean el camión en lo que éste hace su trabajo; otras vuelan lejos y nunca vuelven). (...) Los campos de velocidad llevan energía, seguramente, y mientras la carga se mueve esta energía es acarreada—pero no se trata de 'radiación'. (Es como las moscas que se quedan en el camión de basura).

Ignoro si la analogía continúe, pero me pareció bastante jocosa. No cabe duda que si algún estudiante sintiera que tiene un entendimiento escaso de lo que significan los términos de radiación, con Griffiths queda todo esclarecido.

Lagrangiano clásico desde la fuerza de Lorentz

Acá muestro la obtención de la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico externo a partir de la lagrangiana clásica. El siguiente es el proceso inverso, que se puede extender fácilmente en presencia de campo eléctrico vía la relación ${\vec{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial{t}}}$. El detalle está en hallar el potencial V (si existe) tal que la fuerza de Lorentz sea monogénica
\begin{equation}\vec{F}\equiv{e}\,\dot{\vec{r}}\times\left(\nabla\times\vec{A}\right)=-\frac{\partial{V}}{\partial\vec{r}}+\frac{d}{dt}\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\vec{r}}}\end{equation} La i-ésima componente de la fuerza es (empleo la suma sobre índices repetidos)
\begin{align}F_i&=e\,\epsilon_{ijk}\dot{r}_j\left(\epsilon_{k\ell{m}}\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\right)\nonumber\\
&=e\,\dot{r}_j\,\epsilon_{kij}\epsilon_{k\ell{m}}\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\nonumber\\
&=e\dot{r}_j\left(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}\right)\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\nonumber\\
&=e\dot{r}_j\left(\frac{\partial{A}_i}{\partial{r}_j}-\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right)\nonumber\\
&=e\left[\dot{r}_j\frac{\partial{A}_i}{\partial{r}_j}-\dot{r}_j\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right]\end{align} y ya que ${\vec{A}=\vec{A}(\vec{r},t)}$, se tiene ${\dot{A}_i=(\partial_jA_i)\dot{r}_j}$, entonces
\begin{equation}F_i=e\left[\frac{dA_i}{dt}-\dot{r}_j\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right]\end{equation} de modo entonces que por comparación con la primer ecuación, se sigue que
\begin{equation}V=-e\,\dot{r}_iA_i=-e\,\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}\end{equation} por tanto
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^{\,2}+e\,\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}\end{equation} como se esperaba. En la entrada pasada muestro la obtención del hamiltoniano por transformada de Legendre, sin embargo véase que la lagrangiana es de la forma
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^{\,\mathrm{T}}\mathbb{M}\,\dot{\vec{r}}+\vec{a}\cdot\dot{\vec{r}}\end{equation} de modo que $\mathcal{H}$ puede escribirse en la forma
\begin{equation}\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\vec{p}-\vec{a}\right)^\mathrm{T}\mathbb{M}^{-1}\left(\vec{p}-\vec{a}\right)\end{equation} entonces en este caso, ya que ${\mathbb{M}=m\mathbb{I}=m\begin{pmatrix}1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\end{pmatrix}}$ y ${\vec{a}\equiv{e}\vec{A}}$, se sigue inmediatamente que
\begin{equation}\mathcal{H}=\frac{1}{2m}\left(\vec{p}-e\vec{A}\right)^2\end{equation} como se sabe.

Incidencia oblicua: Reflexión y refracción de una onda electromagnética en dos medios no conductores

Sean ${\mathbf{E}_1}$, ${\mathbf{E}_2}$ y ${\mathbf{E}_3}$ los campos eléctricos incidente, reflejado y transmitido, respectivamente. Considérese el caso en que ambos medios son no conductores, de modo que se satisfacen las condiciones
\begin{align}E_{It}&=E_{Tt}\;\Longrightarrow\;E_{1t}+E_{2t}=E_{3t}\label{1}\\
D_{In}&=D_{Tn}\;\Longrightarrow\;\varepsilon_1\left(E_{1n}+E_{2n}\right)=\varepsilon_2E_{3n}\label{2}\\
H_{It}&=H_{Tt}\label{3}\\
B_{In}&=B_{Tn}\label{4}\end{align} La forma de los campos eléctricos es
\begin{align}\mathbf{E}_{1}&=\mathbf{E}_{10}
\exp\left[i\left(\boldsymbol{\kappa}_1\cdot\mathbf{r}-\omega{t}\right)\right]\\
\mathbf{E}_2&=\mathbf{E}_{20}
\exp\left[i\left(\boldsymbol{\kappa}_2\cdot\mathbf{r}-\omega{t}\right)\right]\\
\mathbf{E}_3&=\mathbf{E}_{30}\exp\left[i\left(\boldsymbol{\kappa}_3\cdot\mathbf{r}-\omega{t}\right)\right]\end{align} Supóngase, sin pérdida de generalidad, que la situación está descrita por el siguiente esquema

de modo que
\begin{align}\mathbf{E}_{10}=E_{10}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\cos\theta_1-\hat{\boldsymbol{z}}\,\sin\theta_1\right)\\
\mathbf{E}_{20}=E_{20}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}
\,\cos\theta_2+\hat{\boldsymbol{z}}\,\sin\theta_2\right)\\
\mathbf{E}_{30}=E_{30}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}
\,\cos\theta_3-\hat{\boldsymbol{z}}\,\sin\theta_3\right)\\
\boldsymbol{\kappa}_1=\omega\,\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\sin\theta_1+\hat{\boldsymbol{z}}\,\cos\theta_1\right)\\
\boldsymbol{\kappa}_2=\omega\,\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\sin\theta_2-\hat{\boldsymbol{z}}\,\cos\theta_2\right)\\
\boldsymbol{\kappa}_3=\omega\,\sqrt{\varepsilon_2\mu_2}\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\,\sin\theta_3+\hat{\boldsymbol{z}}\,\cos\theta_3\right)\end{align} se tiene entonces para la condición (\ref{1}),
\begin{equation}E_{10}\cos\theta_1\,e^{\kappa_1\sin\theta_1x}+
E_{20}\cos\theta_2\,e^{\kappa_1\sin\theta_2x}=E_{30}\cos\theta_3\,e^{\kappa_3\sin\theta_1x}\label{5}\end{equation} esta última ecuación es del tipo
\begin{equation}\alpha\,e^{ax}+\beta\,e^{bx}+\delta\,e^{dx}=0\end{equation} Las soluciones a (\ref{1}) deben corresponder a ${\{\alpha,\beta,\gamma\}\neq\{\mathbf{0}\}}$, lo que significa que las exponenciales deben ser linealmente dependientes, esto es, el Wronskiano de las exponenciales debe anularse,
\begin{equation}W\left(\,e^{\zeta{x}}\right)=\begin{vmatrix}e^{ax}&e^{bx}&e^{dx}\\
a\,e^{ax}&b\,e^{bx}&d\,e^{dx}\\
a^2\,e^{ax}&b^2\,e^{bx}&d^2\,e^{dx}\end{vmatrix}=0\end{equation} y simplificando esta expresión para W, se llega a que
\begin{equation}-(a-b) (a-d) (b-d)\,e^{(a+b+d) x}=0\end{equation} la que evidentemente es cierta para todo x siempre que a=b=d. De aquí entonces se sigue que (\ref{5}) se satisface sí y sólo sí
\begin{equation}\kappa_1\sin\theta_1=\kappa_1\sin\theta_2=\kappa_3\sin\theta_3\end{equation} de donde se sigue que
\begin{equation}\sin\theta_1=\sin\theta_2\end{equation} que es la ley de reflexión, y también,
\begin{equation}n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_3\end{equation} donde ${n_i\equiv{c}\sqrt{\varepsilon_i\mu_i}}$, que es la ley de Snell. Esto implica entonces que (\ref{5}) se puede escribir como
\begin{equation}E_{10}\cos\theta_1+E_{20}\cos\theta_2=E_{30}\cos\theta_3\label{6}\end{equation} Ahora bien, de la condición (\ref{2}), se tiene que
\begin{equation}\varepsilon_1\sin\theta_1\left(E_{10}-E_{20}\right)=\varepsilon_2E_{30}\sin\theta_3\label{7}\end{equation} Finalmente (\ref{3}) y (\ref{4}), no llevan a ninguna restricción extra, obteniendo de (\ref{3}) una relación equivalente a (\ref{7}) mediante la ley de Snell. Así entonces, resolviendo las ecuaciones (\ref{6}) y (\ref{7}) para ${E_{20}}$ y ${E_{30}}$ con ayuda del ordenador (Mathematica), se encuentran las relaciones
\begin{align}E_{30}=\frac{\varepsilon_1\sin(2\theta_1)}{\varepsilon_2\sin\theta_3\cos\theta_1+\varepsilon_1\sin\theta_1\cos\theta_3}
\,E_{10}\\[0.25in]
E_{20}=\frac{\varepsilon_1\sin\theta_1\cos\theta_3-
\varepsilon_2\sin\theta_3\cos\theta_1}{\varepsilon_2\sin\theta_3\cos\theta_1+\varepsilon_1\sin\theta_1\cos\theta_3}
\,E_{10}\end{align} que son conocidas como las ecuaciones de Fresnel y con las que queda descrito por completo la reflexión y refracción de la onda. De aquí entonces es posible obtener los coeficientes de transmisión y reflexión, así como también, bajo ciertas condiciones, el ángulo de Brewster.

La carta de Max Planck a Robert W. Wood

7 de Octubre de 1931

Mi estimado colega,
Recientemente expresaste el interés, luego de nuestra agradable cena en Trinity Hall, de que debería describir desde un punto de vista psicológico las consideraciones que me llevaron a proponer la hipótesis de los cuantos de energía. Procuraré atender por este medio tu interés.

En resumen, lo que hice puede describirse simplemente como un acto de desesperación. Por naturaleza soy pacífico y rechazo toda aventura dudosa. Pero por entonces había estado luchando sin éxito durante seis años (desde 1894) con el problema del equilibrio entre radiación y materia y sabía que este problema tenía una importancia fundamental para la física; también conocía la fórmula que expresa la distribución de la energía en el espectro continuo. Por consiguiente, había que hallar una interpretación teórica a cualquier precio, sin importar qué tan alto. Era claro para mí que la física clásica podía ofrecer ninguna solución a este problema y hubiera significado que toda la energía eventualmente se transfiriera de la materia a radiación. Para evitar esto, se requiere una nueva constante para asegurar que la energía no se desintegre. Esta estrategia se me tornó evidente al mantener las dos leyes de la termodinámica. Las dos leyes, me parece, deben mantenerse bajo toda circunstancia. Para el resto, estaba listo para sacrificar cada una de mis convicciones previas acerca de las leyes físicas. Boltzmann había explicado cómo se establece el equilibrio termodinámico mediante un equilibrio estadístico, y si se aplica semejante método al equilibrio entre materia y radiación, se encuentra que la continua transformación de energía en radiación se puede evitar asumiendo que la energía está obligada desde el principio a permanecer agrupada en ciertos cuantos. Esta fue una suposición meramente formal y en realidad no pensé mucho en ella con excepción de que sin importar el costo, debía proveer un resultado satisfactorio.

Espero que esta discusión sea una respuesta satisfactoria a tu consulta. Te envío además de forma impresa la versión en inglés de mi discurso Nobel sobre el mismo tema. Estimo los recuerdos de mi agradable estancia en Cambridge y la hermandad con nuestros colegas.

Muy cordialmente.
M. Planck.

Fuente original (inglés): M. S. Longair

El índice de refracción en un medio no homogéneo

Es de lo más divertido observar cómo se desvía la luz en un medio en que el índice de refracción cambia de manera continua:

Esta foto fue tomada por mi equipo de laboratorio y describe un rayo luminoso viajando dentro de una pecera con agua con un gradiente de concentración de sal. Cuando un rayo de luz atraviesa la superficie de separación de dos medios de distinto índice de refracción se satisface la ley de Snell,
\begin{equation}n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\end{equation} Si el índice de refracción $n$ varía de forma continua, entonces para un ángulo refractado $\theta$, la ley de Snell puede expresarse en la forma
\begin{equation}n\sin\theta=\text{cte}\end{equation} de modo que si ${n=n(\zeta)}$ con $\zeta$ el conjunto de grados de libertad del medio, la forma diferencial de la ley de Snell es
\begin{equation}\frac{dn(\zeta)}{n(\zeta)}=-\cot\theta\,d\theta\end{equation} en general. Partiendo de la ecuación de la curva bidimensional descrita por el láser, procedimos a determinar la relación de la altura $z$ con el ángulo respecto a la normal en cada punto de incidencia, $\theta$, de donde obtuvimos entonces el índice de refracción respecto a la altura, ${n=n(z)}$ para el contenedor que se muestra en la imagen, que está llena de agua con un gradiente de concentración de sal de mesa.

En general, el índice de refracción puede ponerse en función de la frecuencia de la luz, o bien, de la longitud de onda, $\displaystyle{n=n(\lambda)}$. Esto es, el índice de refracción varía con la longitud de onda ya que diferentes longitudes de onda interfieren en distinto modo con los átomos del medio. Esta variación del índice de refracción es llamada dispersión o dispersión cromática para enfatizar la relación con la longitud de onda.

La consecuencia más común y citada de la dispersión es la separación de luz blanca en un espectro de colores por medio de un prisma. De la ley de Snell se puede ver que el ángulo de refracción de la luz en un prisma depende del índice de refracción del material del prisma. Dado que el índice de refracción varía con la longitud de onda, se sigue que el ángulo de refracción también variará con la longitud de onda, causando la separación angular de los colores.

Para la luz visible, los índices de refracción de la mayoría de materiales transparentes (aire, vidrio...) decrecen respecto a un incremento de longitud de onda $\lambda$, por ejemplo, cuando
\begin{equation}1<n(\lambda_\text{rojo})<n(\lambda_\text{verde})<n(\lambda_\text{azul})\end{equation} se dice que el medio tiene una dispersión normal. Mientras que si el índice incrementa ante un incremento de $\lambda$ (típicamente el caso de los rayos-X), se dice que el medio tiene una dispersión anómala. Nosotros utilizamos un rayo de color verde (${\lambda\approx530\,\mathrm{nm}}$) y un rayo de color azul (${\lambda\approx420\,\mathrm{nm}}$), por lo que la distinción es útil.

Capturamos los datos espaciales para cada rayo y empleamos un ajuste de la forma
\begin{equation}z=\ln\left(\alpha\,y+\beta\right)\end{equation}


De aquí entonces fue de interés pasar a una relación de la altura z con el ángulo respecto a la normal en cada punto de incidencia del rayo, $\theta$. Derivando la ecuación para el ajuste,
\begin{equation}\frac{dz}{dy}=\frac{\tilde{\alpha}}{\alpha\,y+\beta}\end{equation} donde se señala $\tilde{\alpha}$ como el valor adimensional asociado a $\alpha$, además se sabe que ${dy/dz=\tan\theta}$, entonces simplemente
\begin{equation}\cot\theta=-\frac{\tilde{\alpha}}{\alpha\,y+\beta}=-\tilde{\alpha}\,\mathrm{e}^{-z}\end{equation} que puede escribirse como
\begin{equation}z=\ln\left(-\tilde{\alpha}\,\tan\theta\right)\end{equation} entonces también, derivando esta expresión,
\begin{equation}\frac{dz}{d\theta}=\csc\theta\sec\theta\end{equation} que puede escribirse como
\begin{align}dz&=\cot\theta\sec^2\theta\,d\theta\nonumber\\&=\cot\theta\,\left(1+\tan^2\theta\right)\,d\theta\nonumber\\&=\cot\theta\,\left(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z}\right)\,d\theta\end{align} es decir
\begin{equation}\frac{dz}{(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z})}=\cot\theta\,d\theta\end{equation} entonces se identifica con la forma diferencial de la ley de Snell, que
\begin{equation}-\frac{dz}{(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z})}=\frac{dn}{n}\end{equation} de modo que, imponiendo la condición ${n(0)=n_0}$ para el índice de refracción en el fondo de la pecera e integrando,
\begin{equation}n(z)=n_0\frac{\mathrm{e}^{-z}\sqrt{\mathrm{e}^{2z}+\tilde{\alpha}^2}}{\sqrt{1+\tilde{\alpha}^2}}\end{equation} y de este modo entonces, puede determinarse el índice de refracción en el fondo de la pecera, $n_0$, para cada rayo imponiendo la condición ${n(h)=n_\text{aire}}$ para la altura del agua en la pecera $h$. En este caso, ${h\approx20\,\mathrm{cm}}$ y ${n_\text{aire}\approx1.00029}$. Para el rayo azul, por ejemplo, encontramos experimentalmente de la curva descrita por el rayo que ${\tilde{\alpha}\approx-0.89}$; imponiendo las condiciones mencionadas entonces encontramos que ${n_0\approx1.34}$ es el valor aproximado del índice de refracción en el fondo de la pecera para el rayo azul, de modo que ${n(z)}$ quedó completamente determinado. De manera análoga para el rayo verde, ${\tilde{\alpha}\approx-0.79}$ y ${n_0\approx1.27}$,

con lo que se verificó que ${n_\text{azul}(z)\geq{n}_\text{verde}(z),\,\forall{z}\,\in\text{contenedor}}$. Los resultados fueron inesperados en cierto sentido -en lo personal esperaba un comportamiento lineal-, aunque siguen un comportamiento físicamente plausible y son coherentes con la teoría. El procedimiento seguramente puede extenderse a una buena cantidad de medios no homogéneos conociendo únicamente el comportamiento espacial de la luz en él.

El enlace al reporte completo:

Obtención experimental del índice de refracción en un tipo de medio no homogéneo
Pedro Figueroa Romero, Mireya Karent Martínez Hernández, Ali Cesar Medrano Sandoval, Sergio Patino López, Manuel Valadez Acuña

Reporte Experimental.
Laboratorio de Óptica.
UAM Iztapalapa. Junio de 2013

Inclinación magnética

La imagen muestra un campo magnético terrestre evidentemente caótico. La simulación de supercomputadora me ha parecido fascinante y me gustaría compartir tres hechos relevantes que me he encontrado junto con la imagen. Primero, que han ocurrido ya varias inversiones de polaridad del campo magnético terrestre hasta ahora, luego, que una inversión tarda unos cuantos miles de años en llevarse a cabo, y finalmente, que el campo magnético no se anula durante una inversión de polaridad.

Puedes consultar información detallada en estos enlaces:
Gary A Glatzmaier: The Geodynamo
NASA science news: Earth's inconstant magnetic field

He llegado hasta acá en realidad sólo por un problema de electromagnetismo que me ha resultado muy interesante, un tanto complicado y un poco más divertido de resolver. El ángulo de inclinación magnética es el ángulo entre la dirección de la inducción magnética y el plano tangente a la superficie terrestre. El problema pide una expresión para la inclinación magnética en términos de la latitud geomagnética suponiendo que la inducción magnética es un bonito campo dipolar. Aunque parece una aproximación grotesca viendo lo anterior, en realidad tiene bastante sentido, ya que cerca de la superficie terrestre el campo magnético se manifiesta básicamente como uno de un dipolo magnético inclinado respecto al eje de rotación terrestre en unos pocos grados; el embrolladero mostrado en la imagen de la simulación en realidad muestra el campo justo en el núcleo terrestre.

El comportamiento del ángulo de inclinación magnética, que aquí llamaré $\mho$, debe ser tal que éste sea nulo en el ecuador y de ${\pm\pi/2}$ en los polos terrestres. Lo más inmediato es notar que con un sistema de referencia sobre cualquier plano tangente, se puede descomponer el campo magnético simplemente como
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}_\tau&=B\cos\mho\\\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}_\tau&=B\sin\mho\end{align} (marco las direcciones con un subíndice $\tau$ para hacer énfasis en que se trata de un sistema de referencia montado en cualquier plano tangente, no se trata del sistema cartesiano del sistema en general) donde el plano generado por ambas direcciones será paralelo a cualquier otro que cruce el 'eje' del dipolo (eje geomagnético), dada la simetría en la dirección azimutal (longitud geomagnética), que se hará evidente a continuación. La inducción magnética para un dipolo magnético está dada por
\begin{equation}\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{\mathbf{m}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}}{r^5}\right]\end{equation} de aquí entonces podemos descomponer este vector en términos del ángulo polar o de colatitud. Dispongamos el dipolo (la Tierra, considerada esférica) en nuestro sistema de referencia tal que ${\mathbf{m}=m\hat{\mathbf{k}}=m\left(\cos\varphi\,\hat{\mathbf{r}}-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\right)}$, entonces en coordenadas esféricas, con $\varphi$ el ángulo polar (colatitud) y $\theta$ el ángulo azimutal (longitud). Se tiene en la dirección radial ${\hat{\mathbf{r}}}$,
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf{r}}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^5}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{m\cos\varphi}{r^3}+\frac{3mr^2\cos\varphi}{r^5}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{\mu_0m\cos\varphi}{2\pi{r^3}}\end{align} mientras que para la dirección azimutal,
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{\mathbf{m}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}}{r^5}\right]\nonumber\\[0.1in]&=0\end{align} ya que ${\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}=\left(\cos\varphi\,\hat{\mathbf{r}}-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\right)\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}=0=\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}}}$, y finalmente para la dirección polar,
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{\mathbf{m}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}}{r^5}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{\mu_0m\sin\varphi}{4\pi{r}^3}\end{align} Ahora bien, un bosquejo puede dar idea de qué está sucediendo.


En rojo se muestra la 'dirección' de un plano tangente en un punto cualquiera, que como se dijo, será paralelo a cualquier otro que cruce el eje de la esfera (que se está pensando como el dipolo). El bosquejo es sólo una representación cualitativa, véase que el campo puede o no coincidir con el mostrado, sin embargo lo que aquí es de interés, es que las componentes siempre coincidirán, i.e. mediante el bosquejo es evidente que
\begin{align}\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf{r}}&=\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}_\tau\\\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}&=\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}_\tau\end{align} de aquí entonces, se pueden relacionar los ángulos polar y de inclinación como
\begin{equation}\frac{\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}}}=2\cot\varphi=\frac{\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}_\tau}{\mathbf{B}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}_\tau}=\tan\mho\end{equation} Ahora bien, la latitud, digamos $\delta$, está relacionada con la colatitud $\varphi$ mediante
\begin{equation}\delta=\frac{\pi}{2}-\varphi\end{equation} por lo que la expresión para el ángulo de inclinación en función de la latitud geomagnética está dada por
\begin{equation}\mho=\arctan\left[2\tan\delta\right]\end{equation} que efectivamente se anula en el ecuador y toma el valor ${\pm\pi/2}$ en los polos.


Este problema me gustó mucho y se me dificultó otro tanto, sin embargo me ha resultado gratificante en general todo el electromagnetismo por la misma razón. Mucho se ha comentado desde que inicié la licenciatura, que los buenos problemas brindan más preguntas que respuestas, y en este caso me ha resultado bien fecundo este problema, como muestro al inicio de la entrada.

Fuerza de Lorentz desde el lagrangiano clásico

Trabajar con índices puede resultar muy fructífero incluso para realizar cálculos que no necesariamente lo exigen, como muestro en este ejemplo, que he resuelto en un curso de electromagnetismo (acá muestro otro ejemplo para con mecánica clásica). Considera la Lagrangiana para una partícula de masa M y carga q dada por
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{\mathbf{r}}^2+q\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}\end{equation} donde $\mathbf{A}$ es el potencial vectorial; ${\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}}$ con $\mathbf{B}$ el campo magnético. Empleando la notación de suma en índices repetidos, la lagrangiana se escribe como
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{x}_i^2+q\,\dot{x}_iA_i\end{equation} se tiene entonces las ecuación de Lagrange para la j-ésima componente
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_j}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{x}_j}\end{equation} esto es, haciendo explícitas las derivadas sabiendo que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$,
\begin{equation}M\ddot{x}_j+q\dot{A}_j=q\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\dot{A}_j\right)\label{florentz1}\end{equation} ahora bien, considerando nuevamente que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$, por regla de la cadena (y notación de suma),
\begin{equation}\dot{A}_j\equiv\frac{dA_j}{dt}=\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\frac{\partial{x}_i}{\partial{t}}=\dot{x}_i\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\end{equation} entonces se reescribe la ec. (\ref{florentz1}) como
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\dot{x}_i\left(\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\right)\end{equation} y véase que (empleando por simplicidad la notación ${\partial_i\equiv\partial/\partial{x}_i}$),
\begin{align}\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j&=\epsilon_{jik}\dot{x}_iB_k\nonumber\\[0.1in]&=\epsilon_{jik}\dot{x}_i\left(\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\right)\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\epsilon_{kji}\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\delta_{j\ell}\delta_{im}-\delta_{jm}\delta_{i\ell}\right)\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\partial_jA_i-\partial_iA_j\right)\end{align} por tanto se concluye que
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{\mathbf{r}}=q\,\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\end{equation} que es precisamente la ecuación en la forma de la segunda ley de Newton para la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico externo. Esta es una muestra de lo sencillo que pueden tornarse cálculos en general utilizando notación de índices. He procurado antes obtener el mismo resultado con notación vectorial y no me parece que sea tan claro, pues en algún punto u otro es necesario recurrir o a coordenadas en particular o a la notación de índices.

Podemos obtener además el hamiltoniano mediante su definición como transformada de Legendre de la lagrangiana, i.e. (usando nuevamente convención de suma),
\begin{equation}\mathcal{H}=\dot{x}_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}-\mathcal{L}\end{equation} donde el i-ésimo momento generalizado está definido por
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}=M\dot{x}_i+qA_i\end{equation} entonces
\begin{equation}\dot{x}_i=\frac{1}{M}\left(p_i-qA_i\right)\end{equation} y así,
\begin{align}\mathcal{L}&=\frac{1}{M}(p_i-qA_i)\left[\frac{1}{2}(p_i-qA_i)+qA_i\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\end{align} por tanto
\begin{align}\mathcal{H}&=\frac{1}{M}\left(p_i^2-qp_iA_i\right)-\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-2qp_iA_i+q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2\end{align} procura comprobar ahora que esto es correcto obteniendo a partir de este hamiltoniano la ecuación de segunda ley para la fuerza de Lorentz.

Funciones cilíndricas de Bessel

Aprovecho el tema de la entrada anterior para compartir la solución a la ecuación de Bessel por método de Frobenius; uno usualmente ve una ecuación Bessel y no tiene que resolverla de este modo, las soluciones son funciones Bessel y listo, sólo falta tomar en cuenta detalles, sin embargo siempre es bueno degustar una u otra vez la solución completita. Se tiene la ecuación diferencial
$$u^2\frac{d^2R}{du^2}+u\frac{dR}{du}+\left(u^2-\mu^2\right)R=0$$ (de Bessel) con ${R=R(u)}$ y ${\mu=0,\pm1,\pm2,\ldots}$, que evidentemente es singular en ${u=0}$; sea ${R\equiv{u^\alpha}\varrho(u)}$, entonces ya que
$$\frac{dR}{du}=u^\alpha\varrho^\prime+\alpha{u^{\alpha-1}}\varrho$$ y también
$$\frac{d^2R}{du^2}=u^\alpha\varrho^{\prime\prime}+2\alpha{u^{\alpha-1}}\varrho^{\prime}+\alpha(\alpha-1)u^{\alpha-2}\varrho$$ se satisface
$$u^{\alpha+2}\varrho^{\prime\prime}+(2\alpha+1){u^{\alpha+1}}\rho^{\prime}+\left[\left(\alpha^2-\mu^2\right)u^\alpha+u^{\alpha+2}\right]\varrho=0$$ y cuando ${u\to0}$, siendo que ${u^\alpha}$ está definido y posiblemente es no nulo, se tiene que la ecuación se satisface con
$$\alpha=\mu$$ por tanto ${R(u)=u^\mu\varrho(u)}$. De aquí entonces, se propone la solución en serie de potencias
$$R(u)=u^\mu\varrho(u)=\sum_{k=0}^\infty{a_k}u^{k+\mu}$$ de modo que debe satisfacerse
$$\sum_{k=0}^\infty{a_k}(k+\mu)(k+\mu-1)u^{k+\mu}+\sum_{k=0}^\infty{a_k}(k+\mu)u^{k+\mu}+\left(u^2-\mu^2\right)\sum_{k=0}^\infty{a_k}u^{k+\mu}=0$$ es decir,
$$\sum_{k=0}^\infty\left[(k+\mu)(k+\mu-1)+(k+\mu)-\mu^2\right]a_ku^{k+\mu}+\sum_{k=2}^\infty{a_{k-2}}u^{k+\mu}=0$$ expandiendo para ${k=0,1}$
$$\left(2\mu+1\right)a_1u^{\mu+1}+\sum_{k=2}^\infty\left[(k+\mu)(k+\mu-1)a_k+(k+\mu)a_k-\mu^2a_k+a_{k-2}\right]u^{k+\mu}=0$$ tomando la expresión para ${k\leq1}$, se tiene que ${\left(2\mu+1\right)a_1u^{\mu+1}=0}$, entonces ${a_1=0}$. Para ${k\geq2}$ entonces,
$$a_{k}=-\frac{1}{k\left(k+2\mu\right)}a_{k-2}$$ y todos los coeficientes impares son nulos, i.e. ${a_1=a_3=\ldots=a_{2n+1}=0}$. Para coeficientes pares entonces, nótese que, usando la propia recurrencia de coeficientes,
\begin{align*}a_{2n}&=-\frac{1}{4n\left(n+\mu\right)}a_{2(n-1)}\\[0.1in]&=\frac{(-1)^2}{4^2n(n-1)(n+\mu)(n-1+\mu)}a_{2(n-2)}\\[0.1in]&=\frac{(-1)^3}{4^3n(n-1)(n-2)(n+\mu)(n-1+\mu)(n-2+\mu)}a_{2(n-3)}\\&\vdots\\&=\frac{(-1)^n}{4^nn(n-1)\cdots2\cdot1\cdot(n+\mu)(n-1+\mu)\cdots(1+\mu)}a_0\end{align*} que por definición de la función Gamma,
$$\Gamma(\eta)\equiv(\eta-1)!$$ puede escribirse como
$$a_{2n}=\frac{(-1)^n\,\Gamma(\mu+1)}{4^nn!\,\Gamma(n+\mu+1)}a_0$$ entonces
\begin{align*}R(u)&=\sum_{n=0}^\infty{a_{2n}}\,u^{2n+\mu}\\[0.1in]&=2^\mu\,\Gamma(\mu+1)\,{a_0}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}\end{align*} por definición, se tienen las funciones Bessel,
$$J_\mu(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}$$ por lo que, definiendo el coeficiente de la función Bessel en ${n=0}$, precisamente como
$$\frac{1}{2^\mu\,\Gamma(\mu+1)}\equiv{a_0}$$ se tiene la solución
$$R(u)=J_\mu(u)$$ que son precisamente las llamadas funciones de Bessel de primera especie y orden $\mu$. Ahora bien, la ecuación de Bessel es de segundo orden, por lo que el método de Frobenius sólo nos ha dado una de las soluciones. Si $\mu$ tomara valores no enteros, la solución más general podría simplemente expresarse como ${R(u)=\alpha\,J_\mu(u)+\beta\,J_{-\mu}(u)}$ con
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n-\mu+1)}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n-\mu}$$ ya que ${J_\mu,\,J_{-\mu}}$ son linealmente independientes,
$$\begin{vmatrix}J_\mu&J_{-\mu}\\J^\prime_\mu&J^\prime_{-\mu}\end{vmatrix}\neq0$$ para $\mu$ no entero. De otro modo, para $\mu$ entero positivo, podemos escribir la función Gamma en términos de un factorial, de modo que
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,(n-\mu)!}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n-\mu}$$ y ${(n-\mu)!}$ diverge por lo que recorriendo índices, de modo que la serie inicie en ${n=\mu}$ (es decir, reemplazando n por ${n+\mu}$),
$$J_{-\mu}(u)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+\mu}}{n!\,(n+\mu)!}\left(\frac{u}{2}\right)^{2n+\mu}$$ se obtiene la conocida relación ${J_\mu=(-1)^{\mu}J_{-\mu}}$, por ello es que sólo hemos obtenido una solución de la ecuación Bessel. En este caso se introduce la función de Bessel de segunda especie y orden $\mu$ (también llamada función de Neumann o función de Weber),
$$y_\mu(u)\equiv\lim_{p\to\mu}\left[\cot(p\pi)J_p(u)-\csc(p\pi)J_{-p}(u)\right]$$ que por regla de L'Hôpital,
$$y_\mu(u)=\frac{1}{\pi}\left[J^\prime_\mu(u)-(-1)^{\mu}J^\prime_{-\mu}(u)\right]$$ (verifica la independencia lineal con ${J_\mu}$ y nota la divergencia en el origen) con lo que la solución más general para $\mu$ entero, es
$$R(u)=\alpha\,J_\mu(u)+\beta\,y_\mu(u)$$ De cualquier modo muchas situaciones físicas, como el caso de la entrada anterior, implican condiciones de frontera que anulan la constante $\beta$. Finalmente, son llamadas funciones cilíndricas (consulta además el caso de las funciones modificadas de Bessel) porque son precisamente la solución radial de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, o en general puede ser, como para la entrada anterior, de una ecuación tipo Poisson en coordenadas cilíndricas.

Inducción electromagnética mediante un péndulo simple

Es un modelo experimental bien interesante, para probar la inducción electromagnética, el de un imán oscilante como un péndulo a través de un campo magnético. Ahora he recordado algunos resultados por de más curiosos, por lo que acá los comparto; si tienes oportunidad de realizar el experimento, lo recomiendo. Cuando hemos realizado el experimento, dispusimos un péndulo, atando el imán al extremo de un hilo y luego colgando el hilo de un soporte universal. Empleamos un sensor de corriente para registrar los datos recopilados por el sensor.

El sensor de corriente registra corriente eléctrica en el tiempo, por lo que lo que nos interesó fue obtener cualitativamente el comportamiento de la corriente que circula a través de la bobina cuando, al hacer oscilar el péndulo, el imán pasa por encima de la bobina, induciendo una tensión en esta. Tuvimos que ser bastante cuidadosos con las oscilaciones que describe el péndulo, pues el extremo de este, es decir, el imán, debe pasar bien centrado y apenas por encima de la bobina, de modo que la inducción sea lo más completa posible. Se realizaron mediciones para longitudes distintas del péndulo, controlando así el periodo y la frecuencia de oscilación. El ángulo inicial se mantuvo fijo y suficientemente pequeño para que el movimiento pudiera ser descrito por el de un oscilador armónico.

Una salida decente del sensor de corriente se ve así


El experimento seguramente puede mejorarse y hacerse mucho más cuantitativo, aquí muestro resultados en mayor grado cualitativos que me parecieron bastante interesantes.

• La amplitud de la corriente inducida aumentará o disminuirá ante una disminución o un aumento, respectivamente, de la frecuencia del péndulo.

En el experimento se verificó que, en relación a la ley de inducción de Faraday, expresada como ${\varepsilon=-d\Phi/dt}$, se induce una corriente a través de un conductor (bobina) ante un cambio del flujo magnético, que ser á proporcional a la velocidad con que se muevan las líneas de campo magnético (imán) a través del conductor. Así, la cantidad que se relacionará con el voltaje inducido, y por tanto con la corriente inducida, es la velocidad tangencial del péndulo.

Intuitivamente parece que la velocidad del péndulo para un ángulo dado es mayor cuanto menor es la longitud de éste, i.e. cuanto mayor es su frecuencia, lo que implicaría entonces que la tensión inducida y por tanto la amplitud de la corriente debería ser mayor, pues el flujo magnético (esto es, las líneas de campo magnético por área) sería mayor.

Para ángulos iniciales ${\theta_0}$ pequeños (donde consideramos pertenece 10°), considerando un amortiguamiento despreciable o un intervalo breve de tiempo, el ángulo del péndulo satisface ${\theta(t)=\theta_0\cos(\omega{t})}$ con ${\dot{\theta}(0)=0}$ y ${\omega^2=g/\ell}$ con g la aceleración de la gravedad y $\ell$ la longitud del péndulo. Entonces tambi en, ${\dot{\theta}(t) =-\theta_0\,\omega\,\sin(\omega{t})}$. Nótese que en efecto la velocidad angular aumenta conforme $\ell$ disminuye, que es lo que nuestros sentidos perciben como que el péndulo se mueve más rápido, sin embargo ya que el arco descrito por el péndulo a un tiempo t es ${\ell\theta(t)}$, para la velocidad tangencial se tiene que
\begin{equation}v_\tau(t)\equiv\ell\dot\theta(t)=-\theta_0\sqrt{\ell\,g}\,\sin(\omega{t})\end{equation} y en efecto, la magnitud de la velocidad tangencial disminuirá o aumentará junto con $\ell$ para una posición dada sin que el seno se anule.

Este es un resultado básico que se estudia en los primeros cursos de mecánica clásica (o en general de física), y por lo mismo es bastante gratificante notar que la intuición puede engañarnos incluso con las cosas más mundanas. Si se busca aún mayor especificidad, puede escribirse la velocidad tangencial máxima en términos del periodo $\mathcal{T}$
\begin{equation}v_{\tau_{max}}=\mathcal{T}\,\frac{\theta_0\,g}{2\pi}\end{equation}

• La corriente inducida en la bobina es nula cuando el péndulo se encuentra ya sea en su amplitud máxima o en su punto de equilibrio (${\theta(t)=0}$).
• La amplitud de la corriente inducida es máxima cuando el péndulo se encuentra en algún punto entre su máxima amplitud y el punto de equilibrio.

Esto es bien interesante porque se esperaba también, de manera intuitiva, que los máximos y mínimos de la corriente se hallaran justo en el instante en que el péndulo se encontraba en la posición de equilibrio, cuando la velocidad tangencial ${v_\tau}$ , es mínima o máxima. Esto se puede explicar pensando en que el flujo magnético a través de la bobina es prácticamente nulo para la máxima amplitud del péndulo y máximo para el punto de equilibrio del péndulo, pero al ocurrir esto, recuérdese que debe haber un cambio de signo o cambio de sentido en la circulación de la corriente en la bobina, por ley de Lenz, por ello es que los picos (máximos o mínimos) se encuentran prácticamente a la mitad de cada posición de equilibrio.

Podemos expresar el cambio de flujo magnético $\Phi$, por regla de la cadena, como ${d\Phi/dt=(d\Phi/d\theta)(d\theta/dt)}$, y vemos precisamente que este cambio ser a nulo tanto cuando ${\dot\theta(t)=0}$, esto es, en la máxima amplitud del péndulo, y cuando ${d\Phi/d\theta=0}$, que ocurre precisamente en la posición de equilibrio del péndulo. Finalmente entonces, como se dijo, por ley de Lenz, necesariamente habrá extremos para la corriente entre la amplitud máxima del péndulo y su punto de equilibrio.

Estos dos (o tres) resultados me parecieron bastante divertidos, y surgen específicamente con este modelo experimental; no ocurre así por ejemplo si se elige un resorte para hacer variar el flujo magnético. De cualquier modo hay interminables formas posibles de probar experimentalmente la inducción electromagnética y seguro pueden surgir otros resultados también interesantes.

El Teorema de la Divergencia, la Ley de Gauss y la Ley de Coulomb

En muchas ocasiones (no sé si ocurra en todos lados), en física, los primeros cursos que se dan prescinden de herramientas matemáticas necesarias para un entendimiento suficiente de la materia que se trata, por ejemplo un primer curso de mecánica clásica normalmente prescinde de la geometría diferencial de curvas, un primer curso de hidrodinámica o un primer curso de electromagnetismo prescinden del análisis vectorial, etc... Siempre me ha sido molesto el que se haga de ese modo, y en lo personal he pasado bastantes horas infernales luchando por entender situaciones que luego me resultarían tan inocentes (como la que expongo en esta entrada). Entiendo que seguido el prescindir del formalismo matemático ayuda a la intuición física, sin embargo cuando la situación se vuelve más abstracta y más general, el no usar correcta y hábilmente (si bien no necesariamente también formalmente) las herramientas matemáticas necesarias, se vuelve un dolor de cabeza innecesario y un impedimento que obliga a memorizar y a escribir símbolos simplemente por hacerlo (léase: aprobar cursos).

Un ejemplo claro es este vídeo, cuando se dicen cosas como "I did decently in physics and I remember (the balls fall at a constant speed)" o "Like... in real life?" ("He salido decentemente en física y recuerdo (que los balones caen con velocidad constante)" o "Como... ¿en la vida real?")

La gente suele aprehender más por memoria que por entendimiento, y aunque no digo que lo sea todo, poder argumentar lógicamente, por ejemplo, por qué la aceleración de los balones (caída libre) es independiente de su masa, es clave para lograr un entendimiento amplio de la situación. A pesar de mi patológico rechazo a la multitud, sé que las personas no son estúpidas y sé que disfrutan entender las cosas al igual que yo lo hago.

Ach, die Physik! Die ist ja für die Physiker viel zu schwer! (David Hilbert)

Como sea, aquí muestro la relación entre la ley de Coulomb del inverso del cuadrado de la distancia, la ley de Gauss, la correspondiente ecuación de Maxwell y el teorema de la divergencia, comenzando por los dos últimos; la razón de todo el preámbulo fue que en un curso introductorio de electrostática y magnetostática en que se trataba la ley de Gauss y la ley de Coulomb, siempre me resultó oscura y diarreicamente infernal la ley de Gauss y las misteriosas integrales con el maldito circulito en medio y cómo demonios las calculaba el profesor ¡¡¡!!!; el consejo que daría para leer esto entonces sin sentir náuseas, como yo, se sigue por obviedad.

Partiendo de la ecuación de Maxwell, $$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ donde $\rho$ es una densidad de carga (distribuida) sobre un volumen $V$; aplicando el teorema de la divergencia obtenemos $$\int\limits_V\nabla\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}V=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\int\limits_V\mathrm{d}V=\frac{\rho\,V}{\varepsilon_0}\,\Longrightarrow\,\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{\rho\,V}{\varepsilon_0}$$ donde $S\equiv\p{V}$ es la superficie frontera (cerrada) de $V$ y ya que ${\rho=\frac{q}{V}}$ $$\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}$$ i.e. la Ley de Gauss con $q$ encerrada por la superficie $S$.

Ahora supóngase que el campo eléctrico que produce $q$ es esféricamente simétrico, i.e. ${\mathbf{E}=E(r)\,\mathbf{\hat{r}}}$ y la carga es estacionaria, en ese caso, tomando la superficie $S$ como una esfera de radio $r$ que encierra a $q$, $$\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\oint\limits_S\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{\hat{r}}\right)\mathrm{d}S=r^2E(r)\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta=4\pi{r}^2\,E(r)$$ es decir $$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hspace{0.25in}\Longleftrightarrow\hspace{0.25in}\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\mathbf{\hat{r}}$$ que es (en términos de $E$) la famosísima Ley de Coulomb. Calcular lo anterior me ha servido mucho más que haber hecho X (MUCHOS) ejercicios y cálculos sin entender qué jodidos estaba haciendo y simplemente repitiéndome "El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga que encierra dicha superficie". Al menos en mi persona perdura mucho más la impresión que causa una demostración matemática (para descubrir la ley de Gauss y su forma diferencial, es decir, la ecuación de Maxwell, se hace en sentido opuesto por obviedad). Ignoro si Gauss formuló el teorema de la divergencia con física en su mente, aunque lo más probable sea que no, ya que toma en cuenta cualquier campo en ${\mathbb{R}^3}$. Fundamentalmente las matemáticas y la física son lo mismo; pero creo que se requiere tanta intuición e imaginación para descubrir nueva matemática, como método, razón y rigor para entender a la naturaleza.

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