Localidad, no-localidad y fanáticos anti-cuántica

* Antes, en otro tema: las charlas del Strings 2015 han sido subidas directamente a YouTube! ;-)

La cuestión del entrelazamiento cuántico y la "espeluznante" acción a distancia, como la llamó Einstein, es seguramente una de las más abusadas para hacer periodismo científico (incluso seguido por los mismos equipos de comunicación de las revistas científicas), pero de popularidad prácticamente asegurada. Si bien es cierto que la discusión de interpretación sobre las características fundamentales de la mecánica cuántica continúa con cierta validez, ésta seguido termina retorciéndose cuando la gente quiere aterrizar todo, con su intuición proveniente de la mecánica clásica, a peras y manzanas.


En el blog The Reference Frame, Luboš Motl escribió sobre este tema: Locality, nonlocality and anti-quantum zealots. Acá comparto parte de la entrada, que me pareció bastante clara y a un nivel relativamente accesible, traducida al español. Sobre Motl, se puede consultar su página de Wikipedia, su perfil en Stack Exchange o esta entrada sobre la finísima persona que es. No estaba muy seguro sobre si escribir esto, en parte por la imagen misma en el internet que representa Motl (básicamente un a**hole que se dedica a trollear a todo mundo desde su blog, entre otras cosas), pero ciertamente la discusión sobre los fundamentos de la mecánica cuántica seguido se torna en algo grotesco, y la explicación de Motl, aunque con su tono ofensivo particular, funciona bastante bien aclarando varios puntos:

Las teorías cuánticas de campo y la teoría de cuerdas, los dos tipos de teorías cuántico mecánicas más viables, respetan la invariancia de Lorentz, la simetría básica que define la teoría de la relatividad especial de Einstein. Esta simetría garantiza que no puede enviarse información superlumínicamente o instantáneamente: no puede haber acción a distancia. La localidad relativista termina siendo equivalente a la causalidad relativista: la causa debe preceder sus efectos, $t<t^\prime$, en todos los sistemas inerciales.

En teoría cuántica de campos (definida por cuantización canónica), podemos derivar las coordenadas canónicas $\phi(x,y,z)$ y los momentos canónicos $\p_0\phi(x,y,z)$ del hamiltoniano. Los procedimientos usuales garantizan que el conmutador en $t=0$ a tiempos iguales dice que
$$[\phi(x,y,z),\p_0\phi(x^\prime,y^\prime,z^\prime)]=0$$ para $(x,y,z)\neq(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$. La invariancia de Lorentz de las ecuaciones de movimiento de Heisenberg subsecuentemente garantiza que el conmutador también es nulo en tiempos posteriores. El (super)conmutador de dos campos siempre se anula para todas las separaciones de tipo espacio [véase cono de luz].

Este conmutador nulo tiene una consecuencia clara y de gran importancia. Si hacemos una decisión alrededor del punto $(x,y,z)$, la decisión puede interpretarse como parte de la medición de alguna observable $F(x,y,z)$. Alrededor del punto $(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$, podemos medir operadores como $G(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$. Porque $F$ y $G$ (super)conmutan entre sí, se sigue que la decisión asociada a $F$ no puede influenciar el resultado de las mediciones de $G$. Hagamos la decisión $F$ o no, la teoría hará las mismas predicciones para todas las mediciones del tipo $G$. Y dado que los resultados de todas las mediciones posibles en principio codifican todo lo que es físicamente significativo, vemos que no hay acción a distancia. La invariancia de Lorentz garantiza que ninguna $F$-decisión puede influenciar una $G$-medición hecha en un punto con separación tipo espacio.

No hay no-localidad. No hay acción a distancia. No hay duda acerca de este enunciado.

El término "no-localidad" tiene que definirse cuidadosa y operacionalmente. Generalizamos una definición empírica que pudo haber existido en la física clásica también. ¿Puede una decisión en un punto influenciar las predicciones de las mediciones en una región con separación tipo espacio? La respuesta es no. Se sigue de manera precisa de las teorías cuántico mecánico relativistas. Si quisieras defender una conclusión distinta, deberías comenzar a describir billones de fenómenos físicos desde cero -usando una teoría completamente distinta. Casi seguramente fallarías porque tu teoría tendría que ser profunda y fuertemente distinta de las cuántico mecánico relativistas -pero tendría que "verse" equivalente en todas las pruebas que se han realizado porque en esas pruebas, la teoría cuántica de campos, etc, ha tenido éxito.

Uno pudo haber tratado de definir "no-localidad" de otro modo. Pero ninguna definición distinta -ninguna definición desconectada de "la influencia de algunas decisiones en algunas mediciones"- haría realmente algún sentido desde el punto de vista de un físico. Todos los físicos competentes -como todos los físicos de partículas competentes y físicos de disciplinas suficientemente relacionadas que de hecho hacen investigación "robusta" (?)- están de acuerdo en que las teorías cuánticas de campo son locales. Seguido se les llama teorías de campo locales por esa misma razón.

Como sea, los fanáticos anti-cuántica aman decir que la mecánica cuántica "es" o "debe ser" no-local para que haga las predicciones correctas en los experimentos de entrelazamiento. En particular, podemos preparar dos electrones en el estado singlete máximamente entrelazado -algo que ambos, fanáticos anti-cuántica y algunos practicantes de información cuántica llaman el "estado de Bell":
$$|j=0\rangle=\frac{|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt{2}}$$ En los vectores ket, la primera flecha representa el estado del "primer electrón" (el espín es o bien "arriba" o "abajo"); y de manera análoga, la segunda flecha representa el segundo electrón.

Si mides la componente $j_z$ del espín del "primer electrón" y obtienes arriba, entonces sabes que el otro electrón tiene espín abajo, y viceversa. El estado cuántico anterior hace la misma predicción para $j_x$ y $j_y$ y cualquier $\vec{\jmath}\cdot\vec{n}$ para un 3-vector unitario $\vec{n}$. El resultado de las dos mediciones, si hacemos la misma medición (respecto al mismo eje) para ambos electrones, estará siempre perfectamente anticorrelacionada. Es inevitable porque el estado $|j=0\rangle$ es el eigenestado del operador
$$\vec{\jmath}=\vec{\jmath}_1+\vec{\jmath}_2$$ con eigenvalor cero. Esto significa que si mides $\vec{\jmath}\cdot\vec{n}$ para cualesquier eje $\vec{n}$, debes obtener eigenvalores que sumen a cero.

Este hecho de la Naturaleza es absolutamente inequívoco y ha sido verificado en todos los experimentos cuánticos que comenzaron hace mucho, mucho tiempo. La predicción de la mecánica cuántica es incuestionable también. Pero incluso hoy, en el siglo XXI, a algunas personas aún les encanta emitir toneladas de humo sobre estos hechos básicos e incuestionables.

Toda esta confusión comenzó con el artículo defectuoso de 1935 por Einstein, Podolsky y Rosen. Einstein y los dos postdocs estaban pensando en el modo clásico y encontraron increíble que pudieran existir correlaciones para todas las componentes $\vec{\jmath}\cdot\vec{n}$ simultáneamente.

Pensaron que si dos electrones tienen garantizado tener valores anticorrelacionados de $j_x$, objetivamente deben existir o bien en el estado $|\uparrow\downarrow\rangle$ o en el estado $|\downarrow\uparrow\rangle$ antes de la medición. Pero dado que ambos $|\uparrow\rangle$ y $|\downarrow\rangle$ predicen 50% de probabilidad para $j_x=+1/2$ y 50% de probabilidad para $j_x=-1/2$ y esta "separación" aplica a cada electrón, EPR y sus seguidores encontraron "necesario" que las probabilidades para $j_{1x}$, $j_{2x}$, con "positivo, positivo", "positivo, negativo", "negativo, positivo" o "negativo, negativo", fueran 25%, 25%, 25%, 25%, respectivamente.

De cualquier modo, eso simplemente no es lo que la mecánica cuántica predice. Todo aquél que entiende la mecánica cuántica está de acuerdo en que la perfecta anticorrelación existirá si medimos $j_{1x}$ y $j_{2x}$ también. La suposición incorrecta de la derivación EPR es la física clásica. Asumen que los dos espines ya tienen estados independientes y bien definidos antes de ser medidos. Pero no es así. Antes de ser medidos, los dos espines están entrelazados -que es nada más que la elaboración cuántica más precisa y general del adjetivo correlacionados.

Las correlaciones entre los resultados de las mediciones es una correlación. La frase anterior es una tautología. Aún hay personas que intentan pretender que la correlación es algo más que una correlación aunque ellos mismos utilicen el término "correlación". Decimos que las mediciones de los dos electrones están correlacionadas porque la distribución de probabilidad $p(j_{1x},j_{2x})$ para las cuatro posibles arreglos de valores de $j_{1x}$ y $j_{2x}$ no se puede factorizar:
$$\nexists\,p_1(j_{1x}),p_2(j_{2x}):\,p(j_{1x},j_{2x})=p_1(j_{1x})p_2(j_{2x})$$ La probabilidad de distribución completa de dos objetos (el espín de los electrones) sencillamente no puede escribirse como un simple producto de dos distribuciones para un objeto (para los objetos por separado).

Asumiendo el estado inicial singlete, la mecánica cuántica predice estas correlaciones para todas las mediciones de espín en las que puedas pensar. Hay nada "paradójico" sobre eso. No hay ninguna teoría clásica (o "modelo clásico") que haga estas predicciones. Este hecho no es un problema con la mecánica cuántica o un misterio sobre la mecánica cuántica; en cambio, este hecho es una prueba de que todas las teorías clásicas están descartadas como teorías de la Naturaleza. Son incorrectas. La gente que continúa defendiéndolas pueden probarse fácilmente como idiotas. Ésa es obviamente la única interpretación correcta.

¿Cuál es la razón de esas correlaciones? De acuerdo con la teoría correcta -mecánica cuántica (e.g. teoría cuántica de campos donde puede encajarse el experimento EPR fácilmente), la razón de las correlaciones no es una acción a distancia. Al principio, te recordé de las pruebas de que no hay acción a distancia en teoría cuántica de campos.

En cambio, la razón de todas estas correlaciones -la razón del entrelazamiento- es que los dos subsistemas están en contacto en el pasado.

Los dos electrones con espínes correlacionados fueron realmente preparados en el mismo lugar -desde un proceso que garantizó $\vec{j}=0$ para el estado final (posiblemente gracias a la conservación de momento angular). Esto significa que la razón es la misma que para cualquier correlación, e.g. la razón de la correlación entre las calcetas de Bertlmann. Bertlmann es un profesor loco de Vienna que siempre elige calcetas de distinto color para sus pies izquierdo y derecho, respectivamente. Esta anticorrelación está garantizada por diseño -cuando se pone las calcetas, es cuidadoso de no usar dos calcetas idénticas.

(En lugar de Bertlmann uno podría hablar de una persona mentalmente saludable que usa las mismas calcetas también. La anticorrelación se reemplaza por una correlación pero el argumento es el mismo.)

Cuando mides el color de sus calcetas, no hay nada misterioso sobre la anticorrelación. Estaba garantizada por diseño porque su cerebro decidió sobre las dos calcetas en la mañana. No hubo acción a distancia ejercida por una calceta sobre la otra.

El mismo comentario aplica a la anticorrelación de espines en el estado singlete. Están anticorrelacionados porque fueron preparados juntos. En la correspondencia ER-EPR, esta anticorrelación (o cualquier entrelazamiento) puede interpretarse como un agujero de gusano no atravesado. Pero tales agujeros de gusano deben crearse localmente, i.e. tener un origen común también. Creas las dos "gargantas" del puente Einstein-Rosen y luego puedes incrementar la distancia entre ellos. ¡Pero no hay forma de crear un puente "de repente" entre dos puntos con separación tipo tiempo!

Cuando digo que el entrelazamiento existe siempre y exclusivamente cuando los dos subsistemas tienen un origen común es importante entender "de donde viene esta afirmación" y "por qué sabemos que es correcta". Es correcta porque

1. se sigue de la localidad de la teoría cuántica de campos al inicio: una creación repentina de bits correlacionados en puntos con separación tipo espacio puede usarse para enviar información instantáneamente, y eso violaría la localidad (que puede probarse imposible matemáticamente)
2. este hecho es compatible con todos los experimentos que se han realizado

Si quieres diferir de mi afirmación "el entrelazamiento es siempre debido al origen común de los subsistemas -su interacción en algún momento del pasado", quieres hacer una afirmación realmente extraordinaria. Necesitas al menos algo de evidencia. Tu evidencia será teórica -construirás una teoría completamente distinta de la teoría cuántica que te permita hacer cosas completamente nuevas, pero que se las arregla para ser compatible con la teoría cuántica de campos en todos los experimentos que se han realizado porque la teoría cuántica de campos siempre ha tenido éxito. Puedes estar seguro de que fallarás.

O necesitas algo de evidencia empírica. Ahora bien, jamás podemos probar empíricamente por completo que algo (en este caso "entrelazamiento sin algún contacto de los subsistemas en el pasado") es imposible. En la ciencia si ignoras cualquier teoría, siempre es "posible" que alguien en el futuro construya un móbil perpetuo, un warp drive, un EM drive, o cualquier otra cosa que la ciencia considera imposible.

Pero para que de hecho tengas este tipo de evidencia empírica, debes realmente hacer la maldita cosa. Los sueños y las promesas simplemente significan nada en la ciencia. Así que si quieres evidencia no-teórica en la afirmación de que "el entrelazamiento ha de existir incluso si los dos subsistemas nunca han interactuado entre sí", tendrás que diseñar un procedimiento que pueda verificarse que produce estados entrelazados aunque el entrelazamiento no esté garantizado por interacción alguna de los subsistemas en el pasado.

Motl luego continúa "respondiendo" a otra entrada de blog que dice inspiró su propia entrada. La discusión sigue siendo interesante pero me parece demasiado como para traducirlo aquí. Algunos detalles que me parece no deben pasar desapercibidos son:

• El argumento de las calcetas de Bertlmann es puramente clásico, es decir, cuando Bertlmann se pone sus calcetas, está haciendo la medición que "colapsa" los colores y las mediciones subsecuentes que alguien más hace son puramente clásicas; a lo que se apela con esta analogía es a que Bertlmann "prepara" el sistema en un estado entrelazado cuando se pone las calcetas aunque para uno existan en todos los colores posibles hasta una vez que "realice la medición"
• Aunque la razón de que no haya no-localidad y acción a distancia resida básicamente en la teoría cuántica de campos, para explicar explícitamente el cómo funciona está razón Motl recurre a la correspondencia ER=EPR, que es aún un tema bastante candente y prácticamente en pañales. Aunque Motl remarca más adelante que ER=EPR no requiere de no-localidad proveniente de teoría de cuerdas, la cuestión no está decidida, así que uno puede y debe ser sanamente escéptico sobre esto.
  
  Algo de información sobre ER=EPR en español se puede encontrar aquí:
  ER=EPR, la nueva conjetura de Maldacena y Susskind
  O en inglés en esta bella entrada de Quanta Magazine:
  Wormholes Untangle a Black Hole Paradox
  

Reinhold Bertlmann en Wikipedia

Variaciones bajo transformaciones de Lorentz infinitesimales

He estado procurando introducirme por mi cuenta a QFT con estas notas de David Tong y he empezado por la teoría clásica. Como ilustra Abstruse Goose, el camino a la frontera de la física (no necesariamente cuerdas, como lo ilustra en una de las caricaturas) es un poco largo ;-)

En fin, me encontré con una cuestión interesante y que puede valer la pena discutir. El teorema de Noether puede leerse como

toda simetría continua del Lagrangiano $\mc{L}$ da cuenta a una corriente conservada

siempre que se relaciona con la acción por $S=\int{d}^4x\mc{L}$ y aquí consideraré un Lagrangiano $\mc{L}=\mc{L}(\phi,\p_\mu\phi)$ con el campo $\phi$ dependiente de las variables espaciotemporales $x$. En general se dice que una transformación infinitesimal $\phi\to\phi+\delta\phi$ es una simetría si la variación del Lagrangiano es una derivada total, i.e. si $\delta\mc{L}=\p_\mu{f}^\mu$ para algún $f=f(\phi)$.

Lo que me interesa aquí es el caso particular de transformaciones de Lorentz infinitesimales, que tienen la forma
\begin{equation}{\Lambda^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+{\omega^\mu}_\nu\end{equation} con ${\omega^\mu}_\nu$ infinitesimal y antisimétrico (puedes probarlo a partir de la definición misma de ${\Lambda^\mu}_\nu$, i.e. $\eta_{\mu\nu}={\Lambda^\alpha}_\mu{\Lambda^\beta}_\nu\eta_{\alpha\beta}$). En general una transformación de Lorentz para un escalar es $\phi(\Lambda)\to\phi(\Lambda^{-1}x)$; de la definición misma de la inversa, se puede ver que ${(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu-{\omega^\mu}_\nu$, entonces a primer orden en $\omega$,
\begin{align}\phi(x)&\to\phi(x^\mu-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu)\nonumber\\&\simeq\phi(x)-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\p_\mu\phi(x)\end{align} i.e.
\begin{equation}\delta\phi=-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\p_\mu\phi\label{eq1}\end{equation}
El problema que me encontré (primero) fue con la variación de $\mc{L}$; precisamente por el resultado (\ref{eq1}), debería tenerse
\begin{equation}\delta\mc{L}=-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\p_\mu\mc{L}\end{equation} que es exactamente lo mismo que $\delta\mc{L}=\p_\mu(-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mc{L})$, ya que ${\omega^\mu}_\nu\p_\mu{x}^\nu={\omega^\mu}_\nu{\delta^\nu}_\mu=0$ por la antisimetría de $\omega$. De cualquier modo si uno calcula directamente $\delta\mc{L}=\frac{\p\mc{L}}{\p\phi}\delta\phi+\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu\phi)}\delta(\p_\mu\phi)$, se obtiene que
\begin{equation}\delta\mathcal{L}=-\partial_\mu({\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mathcal{L})-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}{\omega^\sigma}_\mu\partial_\sigma\phi\label{2}\end{equation} donde la forma más sencilla de calcular $\delta(\p_\mu\phi)$ conociendo $\delta\phi$ es usar $\delta(\p_\mu\phi)=\p_\mu(\delta\phi)$ (que desconozco rigurosamente por qué es cierta, pero supongo que básicamente es porque el campo está en $\mathbb{R}^{1,3}$ y todo es lindo y continuo), de donde surge el término extra,
\begin{equation}\partial_\mu(\delta\phi)=-{\omega^\sigma}_\nu\left[{\delta^\nu}_\mu\partial_\sigma\phi+x^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi\right]=-{\omega^\sigma}_\mu\partial_{\sigma}\phi-{\omega^\sigma}_\nu{x}^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi\label{3}\end{equation} de cualquier modo uno puede emplear la regla de transformación de las derivadas del campo (básicamente la de una 1-forma o covector), $\partial_\mu\phi(x)\to{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x)$, y se obtiene
\begin{align}{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x)&=({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\partial_\nu\phi(x^\sigma-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho)\nonumber\\&\simeq({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\left[\partial_\nu\phi(x)-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\nu}\phi(x)\right]\nonumber\\&=\partial_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi-{\omega^\nu}_\mu\partial_\nu\phi\end{align} y en efecto $\delta(\p_\mu\phi)$ coincide con (\ref{3}).

Hice esta pregunta en Physics SE y la respuesta es de hecho sencilla: en (\ref{2}) se tiene que
\begin{equation}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}{\omega^\sigma}_\mu\partial_\sigma\phi=0\end{equation} dado que $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\propto\p^\mu\phi$ pues $\mc{L}=\mc{L}(\phi,\p_\mu\phi)$ únicamente y la expresión se reduce a una contracción de un tensor antisimétrico $\omega^{\mu\nu}$ con uno simétrico $\p_\mu\phi\p_\nu\phi$.

El desconcierto tal vez me surge de que esperaba tener $\p_\mu\phi\to\p_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi$, como se señala en estas soluciones (sol 6) elaboradas por Peng Zhao (autor al que ya había encontrado antes estudiando AdS-Schwarzschild); el meollo tal vez es que simplemente lo escribe así y no lo calcula directamente; de cualquier modo, como se vio, el término extra al final no es relevante.

Considando luego el caso del Lagrangiano de campo electromagnético $\mc{L}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ (en vacío/sin carga) con $F_{\mu\nu}=\p_\mu{A}_\nu-\p_\nu{A}_\mu$, invariante ante transformaciones de norma $A_\mu\to{A}_\mu+\p_\mu\zeta$ con $\zeta=\zeta(x)$ suficientemente continua, nuevamente surge algo parecido. Al tomar traslaciones infinitesimales $x^\mu\to{x}^\mu+\epsilon^\mu$, puede considerarse una matriz ${{\tilde\Lambda}^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+\epsilon^\mu\p_\nu$ en el grupo de Poincaré, de modo que el potencial $A$ transforma como $A^\mu(x)\to{\tilde{\Lambda}^\mu}_\nu{A}^\nu(x)(\tilde{\Lambda}^{-1}x)$, i.e. a primer orden en $\epsilon$,
\begin{align}A^\mu&\to({\delta^\mu}_\nu+\epsilon^\mu\p_\nu)A^\nu(x^\sigma-\epsilon^\sigma)\nonumber\\&\simeq({\delta^\mu}_\nu+\epsilon^\mu\p_\nu)[A^\nu(x)-\epsilon^\sigma\p_\sigma{A}^\nu(x)]\nonumber\\&=A^\mu-\epsilon^\sigma\p_\sigma{A}^\mu+\epsilon^\mu\p_\nu{A}^\nu\end{align} y nuevamente sobra un término, $\epsilon^\mu\p_\nu{A}^\nu$, respecto a lo que escribe Zhao (sol 7, simplemente $A^\mu\to{A}^\mu-\epsilon^\sigma\p_\sigma{A}^\mu$). En este caso es evidente que este término no es relevante pues es una derivada total y se sabe de antemano que $\mc{L}$ es invariante ante transformaciones de norma. Si nuevamente se calcula a pie la variación $\delta\mc{L}$, el resultado debe ser simplemente $\delta\mc{L}=\p_\mu(-\epsilon^\mu\mc{L})$, sabiendo que un escalar transforma como $\phi(x)\to\phi(\tilde{\Lambda}^{-1}x)=\phi(x)-\epsilon^\nu\p_\nu\phi$ bajo esta traslación; esto evidentemente ocurre, ya que $\mc{L}$ sólo depende de $\p_\mu{A}^\nu$ y al calcular $\p_\mu(\delta{A}^\nu)$, el término extra desaparece.

Podría haber quedado satisfecho con esto, de cualquier modo mi terquedad exigía al menos otra prueba de que este término extra es inofensivo, e.g. al calcular la corriente conservada. Como puede leerse en las notas de Tong, por teorema de Noether, la corriente conservada $j^\mu$ debida a una transformación de simetría $\phi\to\phi+\delta\phi$ está dada por
\begin{equation}j^\mu=\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu\phi)}\delta\phi-f^\mu(\phi)\end{equation} En este caso en lugar del escalar $\phi$ se tiene el potencial vectorial $A^\mu$ y $f^\mu=-\epsilon^\mu\mc{L}$. Así, puede calcularse que la corriente conservada es
\begin{equation}j^\mu=-\epsilon^\sigma{T^\mu}_\sigma+\epsilon^\nu\p_\sigma{A}^\sigma\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\end{equation} donde
\begin{equation}{T^\mu}_\sigma=\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\p_\sigma{A}^\nu-{\delta^\mu}_\sigma\mc{L}\end{equation} es el tensor de energía-momento, que por construcción satisface $\p_\mu{T^\mu}_\sigma=0$; escribir $j^\mu$ de esta forma es conveniente porque se sabe que debe satisfacer $\p_\mu{j}^\mu=0$, de modo que
\begin{equation}\epsilon^\nu\p_\sigma{A}^\sigma\p_\mu\left(\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\right)=0\end{equation} lo que por supuesto ocurre, siendo que $\frac{\p\mc{L}}{\p(\p_\mu{A}^\nu)}\propto{F^\mu}_\nu$ y de las ec. de movimiento (Maxwell), $\p_\mu{F}^{\mu\nu}=0$. Esto da indicios de que todo sigue siendo consistente, como se espera; al final lo que tiene que ocurrir es que todo debe ser consistente con el teorema de Noether; diría que por ello es inofensivo desechar el término extra que aparece en la transformación de vectores (o los términos extras que aparecerían si se tratara de tensores de mayor rango) casi como se desechan los órdenes mayores del término infinitesimal.

La geometría clásica del espacio de (Anti)-de Sitter

He pasado poco más de seis meses entrándole a la geometría (clásica) de los espacios (A)dS en mi proyecto de servicio social en la licenciatura. El producto son estas notas de casi 200 páginas que cubren los temas de Relatividad Especial, Relatividad General y los espacios de (Anti)-de Sitter. La razón de haberlo hecho así es que en realidad tuve que aprender todos estos temas a lo largo del servicio. Las notas me parecen bien digeridas para cualquier estudiante de licenciatura interesado en temas de gravitación y no creo que haya ningún problema para cualquiera que las quisiera leer. El trabajo presuntamente está libre de errores conceptuales mayores y a lo más podrían existir errores estéticos o de dedo, mismos que procuraré señalar aquí al encontrarlos.

Resumen
Los espacios de de Sitter y de Anti-de Sitter son básicamente espaciotiempos de curvatura constante con ciertas propiedades peculiares que resultan físicamente relevantes. Estos espacios pueden verse como una solución de las ecuaciones de campo de la Relatividad General cuando se considera una constante cosmológica ya sea positiva o negativa. Si bien el espacio ${AdS}$ juega un papel limitado en la Relatividad General, contrario al espacio ${dS}$, éste puede resultar de gran relevancia en otras teorías que incorporan gravedad como lo es teoría de cuerdas dentro del marco de la dualidad AdS/CFT. Aunque este trabajo no es exhaustivo, se busca introducir primeramente los elementos físicos y matemáticos básicos de la Relatividad Especial y General, dado que estos temas actualmente pertenecen únicamente a cursos optativos en la UAM-I. En general se cubren tres secciones básicas: 1) Relatividad Especial, 2) Relatividad General, y 3) Geometría y el espacio $(A)dS$.

En la sección 1 se introduce la notación tensorial y algunos conceptos básicos sobre tensores, luego se hace un resumen de los conceptos básicos de la Relatividad Especial y como complemento se tratan brevemente la electrodinámica relativista y las ecuaciones cuántico-relativistas. Finalmente se muestran diversos problemas resueltos, cuya formulación ha sido traducida de las diversas fuentes bibliográficas citadas.

En la sección 2 se presentan de manera más sólida los conceptos acerca de tensores y se introduce el tema de variedades diferenciables y curvatura a manera de formular la teoría de manera tensorial. Finalmente se obtienen las ecuaciones de campo por formulación Lagrangiana y asimismo se muestran algunos problemas resueltos, con el principal objetivo de complementar el contenido de la sección.

En la sección 3 se tratan finalmente los espacios clásicos de ${(A)dS_n}$ introduciendo diversos conceptos geométricos que aquí se dirigen principalmente a los campos de Killing y los espacios máximamente simétricos. A partir de aquí se estudian diversos aspectos de ${(A)dS_n}$ en varios sistemas coordenados y se ilustran los correspondientes diagramas de Penrose a modo de estudiar la estructura causal de cada espacio. Ambos espacios en los distintos sistemas coordenados se logran a través de diversas parametrizaciónes de hipersuperficies que luego se encajan dentro de un espacio coordenado de dimensión mayor. El tratamiento en ambos casos se hace en un número de dimensiones arbitrarias, de modo que el lector pueda simplemente considerar cualquier caso de interés. Finalmente se tratan los espacios ${(A)dS_n}$ en el contexto de la Relatividad General, considerando el papel que juegan desde un punto de vista cosmológico y se revisa la solución de $AdS$-Schwarzschild.

Enlace al documento en la Colección de Tesis Electrónicas de la UAM-I:
http://tesiuami.izt.uam.mx/uam/aspuam/presentatesis.php?recno=16576&docs=UAMI16576.pdf

Atractores Cosmológicos

En la UAM no existe tal cosa como la titulación por tesis a nivel licenciatura (que yo sepa), sin embargo existe algo análogo llamado Proyecto Terminal en donde uno básicamente tiene que desarrollar un tema en el que esté interesado y enfrentarse a las dificultades que implica la investigación científica.

Soy de la idea de que sería algo verdaderamente bueno el que hubiera acceso libre al trabajo generado en estos proyectos, al menos por parte de la misma comunidad; hay compañeros que parecen estudiar cosas bastante interesantes y generar contenido que puede resultar útil, e.g. código fuente, además de proporcionar algo así como una guía para quien apenas está en vías de decidir qué camino tomar. Aunque hay algo parecido, parece estar desactualizado, además de estar poco promovido y -a mi parecer- resultar poco atractivo. Como sea, lo siguiente es mi trabajo del primer proyecto (de dos), que cubre temas que no son vistos regularmente en la licenciatura (dos de ellos están escritos aquí: Sistemas Hamiltonianos Singulares y El modelo FLRW) y que afortunadamente entra en armonía con las noticias recientes acerca de inflación cosmológica.

Resumen
La naturaleza de las soluciones de tipo atractor en cosmología inflacionaria ha sido controversial, ya que este aparente comportamiento en sistemas cosmológicos con campo escalar y potencial inflacionario contradiría el teorema de Liouville, que afirma que el volumen de cualquier región dada en el espacio fase permanece invariante. En este trabajo se presentan algunos de los elementos físicos y matemáticos básicos necesarios para entender el concepto de atractores en modelos cosmológicos con campo escalar, así como para poder abordar algunos resultados recientes en el tema, como son [1] y [2]. Los principales temas tratados son: i) Sistemas Hamiltonianos Singulares, ii) El modelo de FLRW, iii) Las ecuaciones de Einstein acopladas a un campo escalar y iv) Inflación, Medidas y Atractores. Este trabajo cubre la primera parte de lo que se planea como dos proyectos terminales que se cubrirán en los dos trimestres consecutivos 14-I y 14-P. Por facilidad y plausibilidad se cita eventualmente código escrito para el software Wolfram Mathematica 8 al realizar diversos cálculos.

El enlace: Atractores Cosmológicos I

Ecuaciones cuántico-relativistas

El aplicar la mecánica cuántica incorporando la relatividad especial es de relevancia e.g. en física de altas energías y en física de partículas. Aunque la teoría tiene sus limitaciones, de ella surgen predicciones relevantes como la de la antimateria. Teorías más generales son e.g. la teoría cuántica de campos relativista, que surge precisamente del hecho de que partículas individuales pueden ser creadas o destruidas en unión con sus antipartículas; o aún más, la gravedad cuántica, que presuntamente incorporará la relatividad general, i.e. la gravedad o curvatura espaciotemporal.

Básicamente al modificar la ecuación de Schrödinger para hacerla consistente con la relatividad especial, se obtiene la llamada ecuación de Klein-Gordon, mientras que si además se incorpora la información del espín para partículas de espín 1/2, se obtiene la ecuación de Dirac. La ecuación más relevante es por supuesto la de Dirac, pues además pueden obtenerse ecuaciones para valores más altos de espín ([1]). Obtengo en seguida ambas ecuaciones y algunas propiedades de las mismas. Emplearé en adelante la signatura (-+++) para la métrica de Minkowski.

Recuérdese que la ecuación de Schrödinger puede obtenerse a partir de la expresión de la energía
\begin{equation}E=\B{p}^2/2m+V\end{equation} sustituyendo ${E\to\hat{E}\equiv{i}\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}}$ y ${p\to\hat{p}\equiv\frac{\hbar}{i}\nabla}$, i.e.
\begin{align}i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}&=-\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla\right)^2\psi+V\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\end{align} De la definición del 4-momento, $\hat{E}$ y $\hat{p}$ forman las componentes del cuadrivector ${\hat{p}^\mu\equiv{i}\hbar(\partial_0,-\partial_j)}$, por lo que el procedimiento análogo seguirá siendo válido en la descripción relativista. En este caso entonces, empleemos la relación de energía-momento, de modo que
\begin{align}\left(i\hbar\partial_0\right)^2\psi&=m^2\psi+\left(-i\hbar\partial_j\right)^2\psi\end{align} es decir
\begin{equation}-\partial_{00}\psi+\partial_{jj}\psi=\eta^{\mu\alpha}\partial_\alpha\partial_\mu\psi=\partial^\mu\partial_\mu\psi=\frac{m^2}{\hbar^2}\psi\end{equation} y ya que ${\hat{p}^\mu\hat{p}_\mu=-\hbar^2\partial^\mu\partial_\mu}$, esto puede escribirse también como
\begin{equation}\hat{p}^\mu\hat{p}_\mu\psi+m^2\psi=0\label{1.1}\end{equation} o bien, empleando el operador d'Alembertiano (que yo defino aquí como ${\square^2\equiv\p^\alpha\p_\alpha=\nabla^2-\p_t^2}$, acorde a la signatura elegida),
\begin{equation}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi=0\label{1.2}\end{equation} donde ${\mathcal{M}\equiv\frac{m}{\hbar}}$. Ésta es la ecuación de Klein-Gordon para la partícula libre.

Por su sencillez, y la sencillez para obtenerla, muchos autores la obtuvieron antes, siendo Schrödinger incluso el primero y obteniéndola antes que la versión clásica ([1]), aunque Oskar Klein and Walter Gordon dieran después la descripción cualitativa correcta de la ecuación que lleva sus apellidos.

Ahora bien, considérese la ecuación de K-G para el conjugado de $\psi$,
\begin{equation}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi^*=0\end{equation} multiplicando ésta y (\ref{1.2}) por $\psi$ y por ${\psi^*}$, respectivamente,
\begin{align}\psi^*\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi&=0\\\psi\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi^*&=0\end{align} y así, restando término a término ambas ecuaciones,
\begin{align}\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*=\psi^*\partial^\mu\partial_\mu\psi-\psi\partial^\mu\partial_\mu\psi^*=0\label{1.3}\end{align} entonces sabiendo que en general para dos funciones de onda $\phi$ y $\varphi$,
\begin{align}\partial_\mu\left(\phi\partial^\mu\varphi\right)=\phi\partial_\mu\partial^\mu\varphi+\partial_\mu\phi\partial^\mu\varphi\end{align} se sigue que (por igualdad de parciales cruzadas)
\begin{align}\partial_\mu&\left[\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*\right]\nonumber\\&=\psi^*\partial^\mu\partial_\mu\psi-\psi\partial^\mu\partial_\mu\psi^*+\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi-\partial_\mu\psi\partial^\mu\psi^*\nonumber\\&=\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*+\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi-\partial_\mu\psi\partial^\mu\psi^*\nonumber\\&=\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*+\eta^{\mu\alpha}\left[\partial_\mu\psi^*\partial_\alpha\psi-\partial_\mu\psi\partial_\alpha\psi^*\right]\nonumber\\&=\underbrace{\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*}_{\text{por}\,(\ref{1.3})}=0\end{align} de modo que, si en analogía con la teoría clásica, definimos
\begin{equation}j^\mu\equiv\mathcal{C}\left(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*\right)\end{equation} como el cuadrivector de corriente con $\mathcal{C}$ una constante que puede determinarse tomando el límite del caso clásico, se sigue que
\begin{equation}\partial_\mu{j}^\mu=0\end{equation} que es la ecuación de continuidad, conocida en notación tridimensional como
\begin{equation}\frac{\p\rho}{\p{t}}+\nabla\cdot\B{j}=0\end{equation} que por supuesto debe satisfacer la ec. de K-G dada la interpretación de $\psi$ como amplitud de probabilidad; de aquí se identifica
\begin{align}\rho=\mathcal{C}\left(\psi^*\partial_0\psi-\psi\partial_0\psi^*\right)\end{align} y nótese que dependiendo de la función de onda, $\rho$ podrá ser positiva o negativa, contrario a lo que ocurre con la versión clásica; esto representa un problema serio dada la interpretación de la función de onda como amplitud de probabilidad, pues el que la densidad $\rho$, clásicamente interpretada como densidad de probabilidad, permita valores negativos, implica que se podrían tener probabilidades negativas; se dice que este problema incluso fue el principal motivo por el cual Schrödinger pasaría a tratar la versión no relativista ([1]). Por ello $\rho$ no se interpreta ya como una densidad de probabilidad, aunque suele interpretarse como densidad de carga, como se verá a continuación ([1]).

Propongamos el ansatz para la ecuación K-G para partícula libre,
\begin{equation}\psi=A\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\label{1.4}\end{equation} donde ${k^\mu=(\hbar\omega,\B{p})}$ de manera análoga a la ecuación conocida ${\B{P}=\hbar(\omega,\B{k})}$, entonces se tiene que
\begin{align}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi&=A\left(\partial_\mu\partial^\mu\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=A\left(i\frac{k_\mu}{\hbar}\partial_\mu\mathrm{e}^{-i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=A\left(i\frac{k_\mu}{\hbar}\eta_{\mu\alpha}\partial^\alpha\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu\eta_{\mu\alpha}{k}_\alpha+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu\eta_{\mu\alpha}\eta_{\alpha\mu}{k}^\mu+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu{k}^\mu+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}=0\end{align} y por tanto (\ref{1.4}) es solución de la ecuación de K-G si
\begin{align}k_\mu{k}^\mu=-m^2\,\Longrightarrow\,\pm\hbar\omega=\pm\sqrt{\B{p}^2+m^2}\end{align} Por supuesto ${k^\mu}$ está construida como 4-momento, donde ${\hbar\omega}$ es energía; de ello se sigue que las soluciones a la ecuación K-G permiten tanto estados positivos de energía como estados negativos. Esto significa entonces que para las soluciones
\begin{equation}\psi_\pm=A_\pm\mathrm{e}^{\mp{i}\omega{t}+i\B{p}\cdot\B{x}/\hbar}\end{equation} se tendrán densidades
\begin{equation}\rho_\pm=\mp2\mathcal{C}i\omega|A|^2\end{equation} y considerando que ${\mathcal{C}=i\hbar{q}/2m}$, de modo que la densidad de carga no relativista coincida con ${\rho=q|\psi|^2}$ para partículas de magnitud de carga $q$, se sigue que
\begin{equation}\rho_\pm=\pm\frac{\hbar\omega{q}}{m}|A|^2\end{equation} de modo entonces que en este caso las soluciones de energía positiva corresponden a partículas con carga positiva y las de energía negativa a partículas con carga negativa; i.e. la ecuación de Klein-Gordon contiene simultáneamente soluciones para partículas y sus antipartículas. A esta noción de antimateria se le da mayor sentido con la ecuación de Dirac; no se ha justificado aún el que se permitan estados con energías negativas.

Ahora bien, uno puede generalizar la ecuación de K-G para partículas en un campo electromagnético externo vía acoplamiento minimal, ${\hat{p}^\mu\to\hat{p}^\mu-qA^\mu}$, de modo que la ec. de K-G (\ref{1.1)) se escribe como
\begin{equation}\left(i\hbar\partial^\mu+qA^\mu\right)\left(i\hbar\partial_\mu+qA_\mu\right)\psi+m^2\psi=0\end{equation} de aquí pueden considerarse distintas formas para el potencial como los pozos de potencial, de donde aparecen situaciones interesantes como la llamada paradoja de Klein. El lector puede complementar esta información con [1], en donde se muestra el caso atómico, que lleva a un resultado que difiere del experimental por un factor de ${1/3}$. En seguida se muestra entonces el caso en que se toma en cuenta el espín del electrón, generalizando un tanto más la ecuación de Klein-Gordon.

Al formular la ecuación de Klein Gordon nos topamos con algunas inconveniencias, como el signo indefinido de la densidad $\rho$, los estados que permiten energías negativas y el que se ignore (o que no aparezca) la propiedad intrínseca del espín. El trabajo de Paul Dirac atacó estas cuestiones introduciendo nuevas nociones como la antimateria, vista experimentalmente años más tarde, y el llamado mar de Dirac, que de hecho resulta ser innecesario en e.g. teoría cuántica de campos ([1]). La ecuación de Dirac suele considerarse como uno de los triunfos más grandes de la física teórica, y por supuesto el alcance de toda la teoría que surge de esta ecuación es mucho mayor al que cubre esta pequeña entrada de blog.

Lo primero que puede notarse es que la ecuación de K-G no es del mismo tipo que el de la ec. de Schrödinger al involucrar una segunda derivada temporal; el signo indefinido de la densidad $\rho$ surge precisamente de este hecho. Puede evitarse esta segunda derivada a su vez manteniendo invariancia de Lorentz, proponiendo que es posible linearizar la relación de energía-momento ([1]), de modo que ${\exists\,\vec{\alpha},\beta}$ tales que
\begin{equation}\hat{E}=\vec\alpha\cdot\hat{\B{p}}+\beta{m}\end{equation} es decir, que para una función de onda $\psi$, en notación clásica,
\begin{equation}i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}=-i\hbar\vec\alpha\cdot\nabla\psi+\beta{m}\psi\label{1.5}\end{equation} donde las cantidades $\vec\alpha$ y $\beta$ se determinan de modo que de mantenga la invariancia ante transformaciones de Lorentz. En [1] puede seguirse que la ec. de Dirac más simple es la que tiene asociadas matrices de rango 4 correspondientes a espín ${1/2}$ (fermiones; en la época de Dirac sólo se consideraban electrones y protones), i.e. la teoría genera por sí misma el espín. Finalmente respecto al problema de energías negativas, puede verse [1] que la ec. (\ref{1.5}) también posee soluciones de energía negativa, y es entonces cuando Dirac introduce la noción de antimateria. Para resolver el problema, Dirac propuso que todos los estados de energía negativa están ocupados por electrones, constituyendo el llamado mar de Dirac, de modo que los electrones no pueden ocupar esos estados por principio de exclusión. Los huecos en el mar de Dirac entonces se identifican como los antielectrones, o en general como las antipartículas. Ésta es la idea general del trabajo de Dirac, que además de abrir una enorme ventana hacia nueva física, de algún modo también lo hacía con las matemáticas al proveer un caso de álgebras de Clifford --ignorando Dirac el trabajo de William Clifford-- e iniciando el formalismo del cálculo espinorial, que va más allá del cálculo vector-tensorial. Se recomienda la referencia [2] para más información en general.

[1] Peña, Luis de la. Introducción a la Mecánica Cuántica, Fondo de Cultura Económica, UNAM, 3a edición, 2006.
[2] Penrose, Roger. El camino a la realidad, Debate, 2007.

Electrodinámica en notación tensorial

Por supuesto la electrodinámica es en sí misma consistente con la relatividad especial; precisamente así comenzó todo con esta última. En este caso lo que un observador interpreta como un proceso eléctrico, otro observador puede interpretarlo como un proceso magnético, pero la cinemática de las partículas involucradas será la misma. Al extender la descripción del electromagnetismo a donde pertenece naturalmente, i.e. al espaciotiempo 4-dimensional, en este caso plano o de Minkowski, surge "la forma más sencilla y elegante" de las ecuaciones de Maxwell, que pueden condensarse incluso en una sola expresión. Esto es bastante divertido, ya que la forma más popular de las ecuaciones de Maxwell, y en la que son rigurosamente conocidas por cualquier físico o hasta ingeniero, son las 2 ecuaciones vectoriales y 2 ecuaciones escalares que seguido sirven como adorno e.g. en playeras, i.e. 8 ecuaciones escalares, aunque de hecho originalmente las ecuaciones de Maxwell se escribían explícitamente como 20 ecuaciones escalares al incluir e.g. la ecuación de continuidad o el potencial magnético.

Se sabe pues que campos eléctricos pueden transformar en campos magnéticos y viceversa; i.e. los campos $\B{E}$ y $\B{B}$ no son invariantes de Lorentz. Se debe juntar los campos eléctrico y magnético en un solo objeto en el espacio de Minkowski para poder escribir las ecuaciones de la electrodinámica en forma covariante (en el sentido de invariancia explícita ante transformaciones de Lorentz, no al de covarianza vs contravarianza). Adviértase que en adelante emplearé la signatura ${(-+++)}$ para la métrica de Minkowski ${\eta_{\mu\nu}}$.

La forma más sencilla de hacerlo es definir (el tratamiento formal por supuesto es una historia un poquitín más larga) el tensor antisimétrico
\begin{equation}F^{\mu\nu}\equiv\begin{pmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\
-E_x&0&B_z&-B_y\\
-E_y&-B_z&0&B_x\\
-E_z&B_y&-B_x&0\end{pmatrix}\end{equation} llamado tensor de campo electromagnético (también llamado tensor de Faraday, bivector de Maxwell o ya en contexto, simplemente tensor de campo; tómese en cuenta también que su definición depende de la signatura de la métrica), de donde tenemos que
\begin{align}\B{E}=\begin{pmatrix}F^{01}\\{F}^{02}\\{F}^{03}\end{pmatrix},\hspace{0.5in}\B{B}=\begin{pmatrix}F^{23}\\{F}^{31}\\{F}^{12}\end{pmatrix}
\end{align} La otra forma de lograrlo es definiendo el tensor dual,
\begin{equation}G^{\mu\nu}\equiv\begin{pmatrix}0&B_x&B_y&B_z\\
-B_x&0&-E_z&E_y\\
-B_y&E_z&0&-E_x\\
-B_z&-E_y&E_x&0\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\end{equation} donde ${F_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\rho}F^{\rho\sigma}\eta_{\sigma\beta}}$ y $\epsilon$ es el símbolo de Levi-Civita. Ambos tensores, al ser invariantes de Lorentz, deben satisfacer
\begin{equation}F^{\mu\nu}={\Lambda^\mu}_\alpha{\Lambda^\nu}_\beta{F}^{\alpha\beta}\label{electroin}\end{equation} donde las ${{\Lambda^\mu}_\nu}$ son matrices de Lorentz y de manera análoga para ${G^{\mu\nu}}$. De aquí entonces uno puede verificar fácilmente las leyes de transformación del campo electromagnético,
\begin{align}\bar{\B{E}}_\parallel&=\B{E}_\parallel\\
\bar{\B{B}}_\parallel&=\B{B}_\parallel\\
\bar{\B{E}}_\perp&=\gamma(\B{E}_\perp+\B{v}\times\B{B})\\
\bar{\B{B}}_\perp&=\gamma\left(\B{B}_\perp-\B{v}\times\B{E}\right)\end{align} para $\bar{S}$ moviéndose a una velocidad de dirección arbitraria $\B{v}$ respecto a $S$ y donde los subíndices $\parallel$ y $\perp$ denotan los campos paralelos y perpendiculares a $\B{v}$.

Consideremos ahora las ecuaciones de Maxwell, que en notación del siglo XIX se escriben como
\begin{align}\nabla\cdot\B{E}&=4\pi\rho\\
\nabla\cdot\B{B}&=0\\
\nabla\times\B{E}&=-\p_t\B{B}\\
\nabla\times\B{B}&=4\pi\B{J}+\p_t\B{E}
\end{align} Estas ecuaciones por supuesto son invariantes ante transformaciones de Lorentz, esa ha sido la motivación de la relatividad especial desde un principio, sin embargo no lo son de manera evidente, lo que puede arreglarse fácilmente con notación tensorial,
\begin{align}\p_i{E}^i&=4\pi{J}^0\\
\p_iB^i&=0\\
\epsilon^{ijk}\p_jE_k&=-\p_0B^i\\
\epsilon^{ijk}\p_jB_k&=4\pi{J}^i+\p_0E^i
\end{align} Aquí en realidad es irrelevante si los índices están arriba o abajo, ya que la métrica en el espacio 3-dimensional plano es simplemente la delta de Kronecker ${\delta_{ij}=\delta^{ij}}$. También se ha usado implícitamente la definición del 4-vector de corriente,
\begin{equation}J^\mu\equiv(\rho,\B{J})\end{equation} Nótese entonces que
\begin{equation}F^{0i}=E_i,\hspace{0.5in}
F^{jk}=\epsilon^{jk\ell}B_\ell\end{equation} de modo que se tiene para la ley de Ampère-Maxwell y la ley de Gauss,
\begin{align}\p_jF^{ij}&=4\pi{J}^i+\p_0F^{0i}\\
\p_iF^{0i}&=4\pi{J}^0\end{align} que, empleando la antisimetría de ${F^{\mu\nu}}$, puede combinarse en una sola ecuación tensorial que las incluye a ambas,
\begin{equation}\p_\nu{F}^{\mu\nu}=4\pi{J}^\mu\end{equation} De manera análoga, nótese que
\begin{equation}G^{0i}=B_i,\hspace{0.5in}G^{jk}=-\epsilon^{jk\ell}E_\ell\end{equation} entonces para la ley de Faraday y la ley de Gauss magnética,
\begin{align}\p_jG^{ij}&=\p_0G^{0i}\\
\p_iG^{0i}&=0\end{align} que también, empleando la antisimetría de ${G^{\mu\nu}}$, puede combinarse en una sola ecuación tensorial que las incluye a ambas,
\begin{equation}\p_\nu{G}^{\mu\nu}=0\end{equation} y de este modo las cuatro ecuaciones de Maxwell pueden ser reemplazadas por las dos ecuaciones tensoriales
\begin{align}\p_\nu{F}^{\mu\nu}&=4\pi{J}^\mu\\
\p_\nu{G}^{\mu\nu}&=0\end{align} Además de la economía que representan, ambas ecuaciones evidentemente transforman como tensores, i. e. evidentemente son invariantes ante transformaciones de Lorentz; a esto es a lo que comúnmente se refiere como la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell.

Ahora bien, podemos demostrar también, que la versión covariante de la fuerza de Lorentz, seguido llamada fuerza de Minkowski, está dada por
\begin{equation}K^\mu\equiv\frac{dP^\mu}{d\tau}=qF^{\mu\nu}U_\nu\label{e1}\end{equation} Para ello deben emplearse las siguientes condiciones.

Primero, evidentemente
\begin{equation}F^{\mu\nu}U_\nu{U}_\mu=-F^{\nu\mu}U_\mu{U}_\nu=0\label{co1}\end{equation} por antisimetría del tensor de campo, y porque pudimos haber elegido definir ${K^\nu\equiv{qF^{\nu\mu}U_\mu}}$ en lugar de (\ref{e1}), de modo que el escalar producto interno, siendo el mismo en ambos casos, sólo puede ser nulo a modo de satisfacer la ecuación izquierda de esta última ecuación. Esto debe satisfacerse en general cuando se tiene masa inercial constante dado que ${U^\mu{U}_\mu=-1}$ (en nuestra signatura para la métrica).

Luego, empleando la 4-velocidad ${\B{U}\equiv\gamma(1,\B{v})}$, podemos ver que para ${\mu=1}$,
\begin{align}K^1&=qF^{1\nu}U_\nu\nonumber\\
&=qF^{1\nu}\eta_{\nu\alpha}U^\alpha\nonumber\\
&=q\left[-F^{10}U^0+F^{11}U^1+F^{12}U^2+F^{13}U_3\right]\nonumber\\
&=q\gamma\left[E_x+v_yB_z-v_zB_y\right]\nonumber\\
&=q\gamma\left[E_x+\epsilon^{1jk}v_jB_k\right]\end{align} y de manera análoga para ${\mu=2,3}$ se encuentra
\begin{align}K^2&=q\gamma\left[E_y-\epsilon^{2jk}v_jB_k\right]\\
K^3&=q\gamma\left[E_z+\epsilon^{3jk}v_jB_k\right]\end{align} entonces la parte espacial de ${K^\mu}$ es
\begin{equation}\B{K}=q\gamma\left[\B{E}+\B{v}\times\B{B}\right]\end{equation} que por supuesto se reduce a la fuerza de Lorentz cuando ${\gamma\to{1}}$, i. e. cuando ${v\ll1=c}$.

Finalmente la condición más importante es la de la invariancia ante transformaciones de Lorentz. Sabemos que un vector covariante transforma como ${x^\bar{\mu}={\Lambda^\bar{\mu}}_\nu{x}^\nu}$, entonces un vector covariante debe transformar como,
\begin{align}x_{\bar\mu}&=\eta_{{\bar\mu}\alpha}x^\alpha\nonumber\\
&=\eta_{{\bar\mu}\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta{x}^\beta\nonumber\\
&=\eta_{{\bar\mu}\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta\eta^{\beta\sigma}x_\sigma\equiv{{\tilde{\Lambda}}^\sigma}_{\bar\mu}x_\sigma\end{align} donde he definido ${{{\tilde{\Lambda}}^\sigma}_{\bar\mu}\equiv\eta_{{\bar\mu}\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta\eta^{\beta\sigma}}$. Ahora bien, la métrica por supuesto transforma como ${\eta_{\mu\nu}={\Lambda^\bar{\nu}}_\mu{\Lambda^\bar{\mu}}_\nu\eta_{\bar{\mu}\bar{\nu}}}$, por tanto se satisface
\begin{align}{{\tilde{\Lambda}}^\mu}_{\nu}{\Lambda^\nu}_\sigma&=\eta_{\nu\alpha}{\Lambda^\alpha}_\beta\eta^{\beta\mu}{\Lambda^\nu}_\sigma\nonumber\\
&=\left(\eta_{\nu\alpha}{\Lambda^\nu}_\sigma{\Lambda^\alpha}_\beta\right)\eta^{\beta\mu}\nonumber\\
&=\eta_{\sigma\beta}\eta^{\beta\mu}=\delta^\mu_\sigma\end{align} entonces se tendrá para la fuerza de Minkowski en algún otro sistema con barra, \begin{align}qF^{\bar{\mu}\bar{\nu}}U_{\bar{\nu}}&=
q\left({\Lambda^{\bar{\mu}}}_\rho{\Lambda^{\bar{\nu}}}_\sigma{F}^{\rho\sigma}\right)\left({{\tilde{\Lambda}}^\alpha}_{\bar\nu}U_\alpha\right)\nonumber\\
&=q{\Lambda^{\bar{\mu}}}_\rho\left({\Lambda^{\bar\nu}}_\sigma{{\tilde{\Lambda}}^\alpha}_{\bar\nu}\right)F^{\rho\sigma}U_\alpha\nonumber\\
&=q{\Lambda^{\bar\mu}}_\rho\delta_\sigma^\alpha{F}^{\rho\sigma}U_\alpha\nonumber\\
&=q{\Lambda^{\bar\mu}}_\rho{F}^{\rho\sigma}U_\sigma\nonumber\\
&={\Lambda^{\bar\mu}}_\rho\left(qF^{\rho\sigma}U_\sigma\right)\nonumber\\
&={\Lambda^{\bar\mu}}_\rho\left(\frac{dP^\rho}{d\tau}\right)\nonumber\\
&=\frac{dP^{\bar\mu}}{d\tau}=K^{\bar\mu}\end{align} que es precisamente la misma forma que en el sistema sin barra, de modo que en efecto la fuerza de Minkowski equivale a la forma covariante de la fuerza de Lorentz.

Por último, puede verse que definiendo naturalmente al 4-vector potencial como
\begin{equation}A^\mu=(\phi,\B{A})\end{equation} donde $\phi$ y $\B{A}$ son los potenciales electromagnéticos escalar y (3)vectorial, respectivamente,
\begin{equation}\B{E}=-\nabla\phi-\p_0\B{A},\hspace{0.5in}\B{B}=\nabla\times\B{A}\end{equation} entonces se tiene que
\begin{equation}F^{\mu\nu}=\p^\mu{A}^\nu-\p^\nu{A}^\mu\end{equation} donde empleo la notación ${\p^\alpha\equiv\displaystyle{\frac{\p}{\p{x}_\alpha}}}$. Uno puede evaluar algunas componentes para comprobarlo, e. g.
\begin{align}F^{01}&=\p^0{A}^1-\p^1{A}^0\nonumber\\
&=-\p_0{A}_x-\p_x\phi\nonumber\\
&=-[\nabla\phi+\p_0\B{A}]_x=E_x\end{align} Reescribiendo entonces las dos ecuaciones de Maxwell-covariantes, se tiene que
\begin{align}\p_\mu{G}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\p_\nu\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\left(\p_\alpha{A}_\beta-\p_\beta{A}_\alpha\right)=0\end{align} que se anula idénticamente por igualdad de parciales cruzadas, ${\p_\nu\p_\gamma=\p_\gamma\p_\nu}$ y la antisimetría del símbolo de Levi-Civita en cada par de índices, i. e. no hay nueva información, mientras que
\begin{align}\p_\nu{F}^{\mu\nu}&=\p_\nu\left(\p^\mu{A}^\nu-\p^\nu{A}^\mu\right)\nonumber\\
&=\p_\nu(\p^\mu{A}^\nu)-\square^2A^\mu=4\pi{J}^\mu\end{align} es la ecuación de Maxwell inhomogénea, donde
\begin{equation}\square^2\equiv\p^\alpha\p_\alpha=\nabla^2-\displaystyle{\frac{\p^2}{\p{t}^2}}\label{dalembert}\end{equation} es el operador d'Alembertiano. Si además se utiliza la norma de Lorentz, ${\nabla\cdot\B{A}+\p_0\phi=0}$, es decir, ${\p_\mu{A}^\mu=0}$, y nuevamente por igualdad de parciales cruzadas, simplemente
\begin{equation}\square^2A^\mu=-4\pi{J}^\mu\end{equation} que es la formulación más simple y elegante de las ec. de Maxwell.

La conjetura de Rhie y el Teorema Fundamental del Álgebra

Fue el año 1919 cuando Arthur Eddington confirmaba la desviación de la luz de las estrellas frente al campo gravitatorio del Sol y así entonces también confirmaba uno de los aspectos claves de la relatividad general de Einstein.

La predicción de la relatividad general confirmada por Eddington, es que el camino de un rayo de luz entre un observador y la fuente se verá desviado con la curvatura del espacio-tiempo producida por cualquier campo gravitatorio (planetas, galaxias, u hoyos negros que producen fuertes campos gravitatorios) entre ambos. Una consecuencia de esto es el efecto de lente gravitacional, y el resultado sería que el observador vería la luz desde direcciones distintas, como si hubiera más de una fuente de luz ahí.

Imaginemos n masas puntuales interviniendo entre la fuente y el observador con un centro de masa que es precisamente nuestro lente gravitacional y consideremos el caso en que la distancia entre estas masas es pequeña (comparada con la distancia entre las masas y el observador) de modo que podamos modelar esta distribución con un plano, -llamado plano de lente-. La llamada ecuación de lente -sabiendo que trabajamos con un plano y por tanto podemos usar números complejos- proyecta el k-ésimo punto a la posición ${z_k}$ del plano de lente mediante
$$w=z-\sum_{k=1}^n\frac{\sigma_k}{\bar{z}-\bar{z}_k}$$ con ${\sigma_k\in\mathbb{R}}$ relacionada a la k-ésima masa. Un caso particular y espectacular se da cuando n=1, es decir, cuando hay una sola masa y ésta se encuentra directamente enfrente de la fuente (desde el punto de vista del observador), para ${w=0}$ se tiene una circunferencia con centro en la lente gravitacional. Esta circunferencia es llamada Anillo de Einstein.

Recientemente Dmitry Khavinson y Genevra Neumann decidieron estudiar el teorema fundamental del álgebra -sin idea alguna de astrofísica- para polinomios complejos armónicos (polinomios en 2D, ${P(x,y)}$, que satisfacen la ecuación de Laplace: ${\nabla^2P=0}$), de la forma ${f(z)=p(z)/q(z)-\bar{z}}$, mientras Sun Hong Rhie trabajaba con la ecuación de lente para casos n>1, haciendo pública la conjetura de que el mayor número de imágenes producidas por un n-lente gravitacional es 5n-5, que no demostró rigurosamente, sin embargo Khavinson y Neumann demostraron que para la ecuación
$$r(z)=\sum_{k=1}^n\frac{\sigma_k}{z-z_k}+\bar{w}$$ siendo de la misma forma de la cual partieron sus investigaciones, se tenían precisamente, como cota superior, 5n-5 soluciones, y que el encontrar los ceros en la ecuación anterior significa encontrar las imágenes producidas por el n-lente gravitacional para n>1.

Así, detrás de las ideas que surgieron únicamente de la astrofísica se encontraba una demostración puramente matemática, y detrás del teorema fundamental del álgebra en el caso de polinomios complejos armónicos estaba la respuesta a un caso del efecto de la lente gravitacional.

En la siguiente liga se puede encontrar uno de los artículos de Khavinson y Neumann sobre el tema: From the fundamental theorem of algebra to astrophysics; a "harmonious path"