La expresión para la densidad de corriente en mecánica cuántica

La densidad de corriente asociada a la función de onda $\psi$, en mecánica cuántica, está dada por
$$\mathbf{S}\equiv\frac{\hbar}{2im}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)$$ y sin embargo uno puede ahorrarse un cálculo infernal si decide simplificar un poco esta expresión. En general se sabe que
$$\mathbf{S}=\frac{\hbar}{2im}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)=\frac{\hbar}{im}\Im\left[\psi^*\nabla\psi\right]=\Re\left(\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi\right)$$ aunque rara vez se muestra cómo se obtuvieron las últimas relaciones. Solamente hay que recordar que
$$\Re(z)=\frac{1}{2}(z+z^*)\hspace{0.5in}\Im(z)=\frac{1}{2}(z-z^*)$$ para todo ${z\in\mathbb{C}}$. De aquí se sigue fácilmente que si ${z=\psi^*\nabla\psi}$, entonces, ${z^*=\psi\nabla\psi^*}$, y de este modo se vuelve evidente que
\begin{align*}\mathbf{S}&=\frac{\hbar}{2im}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)\\[0.1in]&=\frac{\hbar}{im}\Im\left[\psi^*\nabla\psi\right]\end{align*} y de manera análoga, si ${z=\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi}$, entonces ${z=-\psi\frac{\hbar}{im}\nabla\psi^*}$, y se vuelve evidente que
\begin{align*}\mathbf{S}&=\frac{1}{2}\left(\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi-\psi\frac{\hbar}{im}\nabla\psi^*\right)\\[0.1in]&=\Re\left(\psi^*\frac{\hbar}{im}\nabla\psi\right)\end{align*} Quizá no estaría de más que se comentara esto un poco en la literatura, ya que al principio parece un tanto desconcertante, aunque en realidad sólo estén detrás un par de relaciones elementales de variable compleja.

Unicidad de la serie de Laurent

Últimamente he tenido el tiempo para jugar con problemas que me resultan bastante interesantes, sobre todo de análisis vectorial y tensorial, teoría de números y variable compleja. Uno de ellos se lee: "Prove that the Laurent development is unique" en "Complex Analysis" de Lars V. Alfors. (3a ed., ej. 1, cap. 5.1.3). El problema es de hecho sencillo de argumentar, ya que por la convergencia uniforme de una serie de Laurent y el teorema integral de Cauchy, cualquier otra serie de Laurent propuesta de la misma función en la misma corona será idéntica. Pero bueno, lo que se quiere es demostrarlo.

La serie de Laurent de una función $f$ en $z$ analítica en ${\mathfrak{D}:\,r_1<|z-z_0|<r_2}$ es
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n(z-z_0)^n$$ por tanto si el desarrollo es único, cualquier otro satisface
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n(z-z_0)^n=\sum_{n=-\infty}^{\infty}B_n(z-z_0)^n$$ esto es
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^n=0$$ Un paso en falso que he cometido es considerar aquí el teorema integral de Cauchy, sin embargo como el lector se puede dar cuenta, sólo se llega a que ${A_{-1}=B_{-1}}$. Para generalizar por este medio es necesario de algún modo considerar una forma de mantener a $n$ en la solución de la integral de contorno. La forma más sencilla es tomar una constante arbitraria.

Sea $m$ un entero arbitrario, entonces también
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^n(z-z_0)^{-m-1}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^{n-m-1}=0$$ Sea $C$ un contorno positivo contenido en $\mathfrak{D}$, entonces
$$\oint_C\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^{n-m-1}\,\mathrm{d}z=0$$ esto es
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)\oint_C(z-z_0)^{n-m-1}\,\mathrm{d}z=0$$ y por el teorema integral de Cauchy
$$2\pi{i}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_n-B_n)\delta_{nm}=0$$ donde
$$\delta_{nm}=\left\{\begin{array}{ll}1,&n=m\\0,&n\neq{m}\end{array}\right.$$ es la delta de Kronecker.

Finalmente, ya que $m$ es arbitrario, se sigue que
$${A_n=B_n}$$
como se quería mostrar.

La conjetura de Rhie y el Teorema Fundamental del Álgebra

Fue el año 1919 cuando Arthur Eddington confirmaba la desviación de la luz de las estrellas frente al campo gravitatorio del Sol y así entonces también confirmaba uno de los aspectos claves de la relatividad general de Einstein.

La predicción de la relatividad general confirmada por Eddington, es que el camino de un rayo de luz entre un observador y la fuente se verá desviado con la curvatura del espacio-tiempo producida por cualquier campo gravitatorio (planetas, galaxias, u hoyos negros que producen fuertes campos gravitatorios) entre ambos. Una consecuencia de esto es el efecto de lente gravitacional, y el resultado sería que el observador vería la luz desde direcciones distintas, como si hubiera más de una fuente de luz ahí.

Imaginemos n masas puntuales interviniendo entre la fuente y el observador con un centro de masa que es precisamente nuestro lente gravitacional y consideremos el caso en que la distancia entre estas masas es pequeña (comparada con la distancia entre las masas y el observador) de modo que podamos modelar esta distribución con un plano, -llamado plano de lente-. La llamada ecuación de lente -sabiendo que trabajamos con un plano y por tanto podemos usar números complejos- proyecta el k-ésimo punto a la posición ${z_k}$ del plano de lente mediante
$$w=z-\sum_{k=1}^n\frac{\sigma_k}{\bar{z}-\bar{z}_k}$$ con ${\sigma_k\in\mathbb{R}}$ relacionada a la k-ésima masa. Un caso particular y espectacular se da cuando n=1, es decir, cuando hay una sola masa y ésta se encuentra directamente enfrente de la fuente (desde el punto de vista del observador), para ${w=0}$ se tiene una circunferencia con centro en la lente gravitacional. Esta circunferencia es llamada Anillo de Einstein.

Recientemente Dmitry Khavinson y Genevra Neumann decidieron estudiar el teorema fundamental del álgebra -sin idea alguna de astrofísica- para polinomios complejos armónicos (polinomios en 2D, ${P(x,y)}$, que satisfacen la ecuación de Laplace: ${\nabla^2P=0}$), de la forma ${f(z)=p(z)/q(z)-\bar{z}}$, mientras Sun Hong Rhie trabajaba con la ecuación de lente para casos n>1, haciendo pública la conjetura de que el mayor número de imágenes producidas por un n-lente gravitacional es 5n-5, que no demostró rigurosamente, sin embargo Khavinson y Neumann demostraron que para la ecuación
$$r(z)=\sum_{k=1}^n\frac{\sigma_k}{z-z_k}+\bar{w}$$ siendo de la misma forma de la cual partieron sus investigaciones, se tenían precisamente, como cota superior, 5n-5 soluciones, y que el encontrar los ceros en la ecuación anterior significa encontrar las imágenes producidas por el n-lente gravitacional para n>1.

Así, detrás de las ideas que surgieron únicamente de la astrofísica se encontraba una demostración puramente matemática, y detrás del teorema fundamental del álgebra en el caso de polinomios complejos armónicos estaba la respuesta a un caso del efecto de la lente gravitacional.

En la siguiente liga se puede encontrar uno de los artículos de Khavinson y Neumann sobre el tema: From the fundamental theorem of algebra to astrophysics; a "harmonious path"

Liouville, Casorati-Weierstrass y el Gran Teorema de Picard

Se sabe de antemano, como consecuencia inmediata del Teorema fundamental del álgebra, que dada una función f polinomial, entera, y no constante, ésta asumirá cada valor en $\mathbb{C}$.

El Pequeño Teorema de Picard asegura que toda función entera no constante asume todos los valores complejos salvo a lo sumo uno. Sin embargo este teorema se sigue como corolario del llamado Gran Teorema de Picard que afirma que en cualquier entorno de una singularidad esencial, una función entera no constante toma todo valor finito, con una única posible excepción, infinitas veces.

Éste es un resultado muy importante para funciones enteras, no constantes y no polinomiales, que describe el comportamiento local en un punto singular esencial.

El Pequeño Teorema de Picard es un gran refuerzo al Teorema de Liouville, que afirma que toda función entera y acotada es constante pues para el Pequeño Teorema de Picard, si una función f entera omite al menos dos números en $\mathbb{C}$, entonces f debe ser constante. Por ello se sigue como corolario del Teorema de Liouville que funciones enteras no constantes son densas en $\mathbb{C}$, es decir que ${\forall\,\alpha\in\mathbb{C}\;,\varepsilon>0}$ existe ${z\in\mathbb{C}}$ tal que ${|f(z)-\alpha|<\varepsilon}$. Este es un resultado muy importante y fácil de demostrar apoyados en el Teorema de Liouville.

Supongamos que f entera y no constante no es densa en ${\mathbb{C}}$, entonces si ${g(z)=f(z)-\alpha}$, también ${|g(z)|\geq\varepsilon}$ para todo z. Pero entonces podríamos decir que ${1/g(z)}$ sería una función entera y acotada, lo que significaría que ${f(z)}$ también sería acotada, y por el Teorema de Liouville ${f(z)}$ sería constante, por lo que concluimos que f entera y no acotada es densa en $\mathbb{C}$.

Esto nos acerca un poco más al resultado de Picard, pero para entender un poco más del comportamiento de una función cerca de una singularidad esencial y acercarnos aun más al Gran Teorema de Picard, debemos hablar del siguiente Teorema de Casorati-Weierstrass.

Bien, ya se ha dicho que f entera y no acotada es densa en $\mathbb{C}$. El Teorema de Casorati-Weierstrass nos habla en términos muy similares para la vecindad de una singularidad esencial de f. En general, este Teorema afirma que en todo entorno perforado de una singularidad esencial, una función f toma valores arbitrariamente próximos a cualquier número dado.

Sea f una función holomorfa con una singularidad esencial en ${z_0}$ y sea ${w_0}$ cualquier número complejo. Entonces para todo ${\varepsilon>0}$ se satisface
$$|f(z)-w_0|<\varepsilon$$ en algún punto z de cualquier entorno perforado ${0<|z-z_0|<\delta}$ de ${z_0}$.

Lo que nos dice lo anterior es que f se hace arbitrariamente cercana a cualquier número complejo en toda vecindad de ${z_0}$. La demostración no es muy complicada si se procede de manera similar a la realizada para demostrar que f entera y no acotada es densa en $\mathbb{C}$, sin embargo para el extra necesario, me apoyaré -sin hacer la propia demostración- en el llamado Teorema de Riemann, que se lee: Sea f una función analítica y acotada en un entorno perforado ${0<|z-z_0|<\delta}$ de un punto ${z_0}$. Si f no es analítica en ${z_0}$, tiene una singularidad removible en ese punto.

Supongamos entonces que ${|f(z)-w_0|\geq{0}}$ cuando ${0<|z-z_0|<\delta}$ y definamos ahora
$$g(z)=\frac{1}{f(z)-w_0}$$ que también es holomorfa y por la suposición hecha, acotada. Por el Teorema de Riemann, ${z_0}$ sería una singularidad removible de g y veamos entonces que
$$f(z_0)=\frac{1}{z_0}+w_0\hspace{0.5in}\left(\,0<|z-z_0|<\delta\,\right)$$ lo que por contradicción demuestra el Teorema de Casorati-Weierstrass.

Ahora es más sencilla una noción del Teorema de Picard, pues representa una forma mucho más amplia y fuerte del Teorema de Liouville y del Teorema Casorati-Weierstrass.

Véase que la función
$$\exp\left(\frac{1}{z}\right)=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{6z}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!\,z^k}\hspace{0.75in}|z|>0$$ tiene una singularidad esencial en ${z_0=0}$. Podemos recordar un momento la fórmula de Euler, en donde
$$e^{(2n-1)i\pi}=-1\hspace{0.75in}n=0,\pm{1},\pm{2},\ldots$$ Así entonces si
$$\exp\left(\frac{1}{z}\right)=-1$$ se tiene que
$$z=\frac{1}{(2n-1)i\pi}=-\frac{i}{(2n-1)\pi}\hspace{0.75in}n=0,\pm{1},\pm{2},\ldots$$ y de aquí es claro que existe una infinidad de puntos que satisfacen lo anterior entorno del origen.

El anterior es el ejemplo al que más se recurre. Puede verse además que el hecho de que f asuma a lo más una excepción es característico de ambos -Pequeño y Grande- Teoremas de Picard ya que $\displaystyle{e^{z}}$ es entera no constante y de igual modo nunca toma el valor 0.

Otro ejemplo sencillo a considerar es para la función
$$\cos\left(\frac{1}{z}\right)=1-\frac{1}{2\,z^2}+\frac{1}{4!\,z^4}-\frac{1}{6!\,z^6}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\left(\frac{1}{z}\right)^{2k}}{(2k)!}\hspace{0.75in}|z|>0$$ Se sabe que
$$\cos\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left[\exp\left(\frac{i}{z}\right)+\exp\left(-\frac{i}{z}\right)\right]$$ Digamos que buscamos $\displaystyle{\cos\left(\frac{1}{z}\right)=1}$, entonces
$$\exp\left(\frac{i}{z}\right)+\exp\left(-\frac{i}{z}\right)=2$$ y de manera análoga al ejemplo anterior, se puede ver que
$$z=\frac{1}{2\pi{n}}\hspace{0.75in}n\neq{0}\,,n\in\mathbb{Z}$$ y de nuevo existe una infinidad de puntos entorno del origen que satisfacen lo anterior.

El teorema integral de Cauchy

Bueno, últimamente he estado bastante ocupado y no he trabajado mas que con lo necesario para asimilar nuevos conceptos y distintos problemas no necesariamente extraordinarios. Sin embargo quiero exponer el teorema de Cauchy por su importancia y por su belleza intrínseca, así como una de sus demostraciones (se dice que la propia de Cauchy). El teorema integral de Cauchy se lee:

Si $f(z)$ es analítica en un dominio simplemente conexo $\mathcal{D}$, para todo contorno $C$ en $\mathcal{D}$ se cumple
$$\oint_Cf(z)\,dz=0$$

Este teorema es de lo más conmovedor si además consideramos su demostración para el caso ${f^\prime(z)}$ continua.

Sabemos que ${f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$. Si para la integral de línea se tiene
$$S_n=\sum_{m=1}^n(u+iv)(\Delta{x}_m+i\Delta{y}_m)\\[0.1in]\lim_{n\to\infty}S_n=\int_{\tilde{C}}f(z)\,dz=\int_{\tilde{C}}\left(u\,dx-v\,dy\right)+i\int_{\tilde{C}}\left(u\,dy+v\,dx\right)$$ entonces análogamente, para un contorno $C$,
$$\oint_Cf(z)\,dz=\oint_{C}\left(u\,dx-v\,dy\right)+i\,\oint_{C}\left(u\,dy+v\,dx\right)$$ Como consideramos el caso en que ${f^\prime(z)}$ es continua, $u$ y $v$ tienen derivadas parciales continuas en $\mathcal{D}$.

Lo conmovedor de esta demostración, es que es aplicable el teorema de Green, que nos dice que si ${u,\,v}$ tienen derivadas parciales continuas en una región abierta $R$ en $\mathcal{D}$, se cumple
$$\int_{\tilde{C}}(u\,dx-v\,dy)=\iint\limits_{R}\left(-\frac{\partial{v}}{\partial{x}}-\frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right)\,dx\,dy$$ ...y como la gente sabe, para toda función analítica en $\mathcal{D}$ se deben cumplir las ecuaciones Cauchy- Riemann, a saber:
$$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}\hspace{0.5in}\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$$ Y con ello se ha demostrado el teorema integral de Cauchy para ${f^\prime{(z)}}$ continua.

Además, una de las consecuencias más importantes de este teorema es la llamada fórmula integral de Cauchy, que dice que
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi{i}}\,\oint_C\,\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$$ con $C$ un contorno que encierra al punto ${z_0}$. O bien, se tiene también la llamada forma diferencial de la fórmula,
$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi{i}}\,\oint_C\,\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz,\hspace{0.1in}\forall{n}\in\mathbb{N}$$ Édouard Goursat, un matemático francés, demostró por el año 1900 la demostración del teorema integral de Cauchy sin la condición ${f^\prime{(z)}}$ continua, que además contribuye, por ejemplo, al hecho de que la derivada de una función analítica también sea analítica.

En el siguiente documento puede encontrarse información detallada y la demostración de Goursat. ["El teorema integral de Cauchy y algunas de sus consecuencias"]

Fórmula e identidad de Euler

Bueno hoy he trabajado con la exponencial compleja y me han presentado la fórmula considerada la más bella de las matemáticas, a saber
$$e^{i\pi}+1=0$$ …oportunamente mi profesor de variable compleja ha dicho que si esta fórmula no nos conmueve, simplemente debemos dedicarnos a otra cosa; toda persona con conocimientos matemáticos vulgares y silvestres nota las constantes matemáticas, las operaciones y los números naturales fundamentales en esa cortísima fórmula.

Bien, veamos qué dice esta ecuación; porqué es verdadera. Para ello primero introduciré la fórmula de Euler.

Sabemos que podemos desarrollar $\displaystyle{e^{x},x\in\mathbb{R}}$ en serie de potencias como
$$e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$$ esto es,
$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots$$ entonces, se sigue que
$$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\cdots$$ recordemos ahora que
$$i=\sqrt{-1}\,\Longleftrightarrow\,{i^{2}=-1}$$ por lo que podemos simplificar nuestra ecuación como
$$e^{ix}=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{ix^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots$$ Recordemos que un número complejo z tiene la forma ${z=u+iv}$, con $\displaystyle{u,v\in\mathbb{R}}$, entonces convenientemente escribimos que
$$e^{ix}=\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots\right)+i\;\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)$$ …hmmmm, esas series infinitas en lo que llamamos u,v parecen conocidas… tal vez sean las primeras series que nos enseñaron para ejemplificar las series de Taylor… Claro!
$$e^{ix}=\cos{x}+i\;{\sin{x}}$$ Y voilà! ésta es la llamada fórmula de Euler. Inmediatamente se sigue que ${e^{z}=e^{u}\left(\cos{v}+i\;\sin{v}\right)}$ , que es la exponencial compleja. En el plano complejo vemos esto así

La identidad de Euler es un caso particular de la fórmula de Euler, para la que según lo que hemos dicho, ${x=\pi}$, y entonces se tiene
$$e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\;\sin(\pi)=-1$$ …es decir
$$e^{i\pi}+1=0$$ Esta fórmula es sumamente celebrada por la comunidad matemática y científica, y no podía ser para menos. El análisis complejo resulta una tentación enorme para quien disfruta de las matemáticas, el nombre complejo simplemente ha sido acarreado, mas sin embargo es una parte del análisis que nos revela una infinidad de hechos que generalmente ignoramos y que el análisis de variable real calla.

Ya habrá notado el lector que la exponencial compleja es una función periódica, mientras que para una exponencial real siempre hemos pensado en una función monótona, ésta y otras propiedades hacen en sumo interesante aventarse un clavado al análisis complejo.

Las curvas de nivel de la parte imaginaria de la exponencial compleja se ven algo así (la periodicidad es evidente).