Unicidad de la serie de Laurent

Últimamente he tenido el tiempo para jugar con problemas que me resultan bastante interesantes, sobre todo de análisis vectorial y tensorial, teoría de números y variable compleja. Uno de ellos se lee: "Prove that the Laurent development is unique" en "Complex Analysis" de Lars V. Alfors. (3a ed., ej. 1, cap. 5.1.3). El problema es de hecho sencillo de argumentar, ya que por la convergencia uniforme de una serie de Laurent y el teorema integral de Cauchy, cualquier otra serie de Laurent propuesta de la misma función en la misma corona será idéntica. Pero bueno, lo que se quiere es demostrarlo.

La serie de Laurent de una función $f$ en $z$ analítica en ${\mathfrak{D}:\,r_1<|z-z_0|<r_2}$ es
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n(z-z_0)^n$$ por tanto si el desarrollo es único, cualquier otro satisface
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n(z-z_0)^n=\sum_{n=-\infty}^{\infty}B_n(z-z_0)^n$$ esto es
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^n=0$$ Un paso en falso que he cometido es considerar aquí el teorema integral de Cauchy, sin embargo como el lector se puede dar cuenta, sólo se llega a que ${A_{-1}=B_{-1}}$. Para generalizar por este medio es necesario de algún modo considerar una forma de mantener a $n$ en la solución de la integral de contorno. La forma más sencilla es tomar una constante arbitraria.

Sea $m$ un entero arbitrario, entonces también
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^n(z-z_0)^{-m-1}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^{n-m-1}=0$$ Sea $C$ un contorno positivo contenido en $\mathfrak{D}$, entonces
$$\oint_C\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)(z-z_0)^{n-m-1}\,\mathrm{d}z=0$$ esto es
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(A_n-B_n)\oint_C(z-z_0)^{n-m-1}\,\mathrm{d}z=0$$ y por el teorema integral de Cauchy
$$2\pi{i}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_n-B_n)\delta_{nm}=0$$ donde
$$\delta_{nm}=\left\{\begin{array}{ll}1,&n=m\\0,&n\neq{m}\end{array}\right.$$ es la delta de Kronecker.

Finalmente, ya que $m$ es arbitrario, se sigue que
$${A_n=B_n}$$
como se quería mostrar.