Sigo trabajando por mi cuenta con temas que me interesan, en este caso tensores. En general me he guiado con "Mathematical Methods for Physicists" de Arfken & Weber para introducirme al cálculo tensorial. El siguiente enunciado corresponde al ejercicio 2.6.6 de la 5a edición.
Se pide demostrar que el número de componentes independientes del tensor de curvatura Riemann-Christoffel (relatividad general), 4-dimensional de grado cuatro ${R_{\rho\sigma\mu\nu}}$, que en general tiene 256 componentes, se reduce consecuentemente a 20 a través de las siguientes relaciones de simetría con índices que corren de 0 a 3,
\begin{align}R_{\rho\sigma\mu\nu}&=-R_{\rho\sigma\nu\mu}=-R_{\sigma\rho\mu\nu}\,\Rightarrow\,36\text{ componentes}\\[0.1in]R_{\rho\sigma\mu\nu}&=R_{\mu\nu\rho\sigma}\,\Rightarrow\,21\text{componentes}\\[0.1in]R_{\rho\sigma\mu\nu}&+R_{\rho\mu\nu\sigma}+R_{\rho\nu\sigma\mu}=0\,\Rightarrow\,20\text{componentes}\end{align} En general, un tensor $\boldsymbol{\chi}$ de grado n en el espacio N-dimensional tiene ${N^n\equiv\xi_{\boldsymbol\chi}}$ componentes, por ello
\begin{equation}\xi_{\mathbf{R}}=4^4=256\end{equation} La primer relación mostrada es de antisimetría. Pensemos en cualquier tensor $\mathbf{A}$ de grado ${n=2}$ tal que
\begin{equation}A_{ij}=-A_{ji}\end{equation} por lo que necesariamente se cumple, para k en el rango de índices,
\begin{equation}A_{kk}=-A_{kk}=0\end{equation} entonces se sigue que el número de componentes independientes de $\mathbf{A}$ se reduce a *
\begin{equation}\xi_{\boldsymbol{A}}=\frac{1}{2}\left[N^2-N\right]=\frac{1}{2}N(N-1)\end{equation} En este caso podemos hacer analogía con el tensor de grado dos tomando parejas de índices como si se tratase de una sola, respectivamente. Existen ${N^2}$ modos de ordenar cada pareja de índices en el espacio N-dimensional **, entonces
\begin{equation}\xi_\mathbf{R}=\left[\frac{1}{2}N(N-1)\right]^2=6^2=36\end{equation} Continuando, la relación que sigue implica la simetría que nos es familiar en una matriz cuadrada o un tensor grado dos
\begin{equation}A_{ij}=A_{ji}\end{equation} pero esta relación implica que en general ${A_{kk}\neq{0}}$, por lo que tendríamos que agregar los N elementos de índices iguales a la relación anterior, entonces tenemos que
\begin{equation}\xi_{\boldsymbol{A}}=\frac{1}{2}N(N-1)+N=\frac{1}{2}N(N+1)\end{equation} Tengamos en cuenta que para la pareja de parejas individuales de índices ${[\rho\sigma][\mu\nu]}$, el tensor es simétrico para la pareja y antisimétrico para cada pareja individual, por tanto
\begin{align}\xi_\mathbf{R}&=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}N(N-1)\right]\left[\frac{1}{2}N(N-1)+1\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{8}(N^4-2N^3+3N^2-2N)\nonumber\\[0.1in]&=21\end{align} Para la última relación, nótese que para cualquier tensor $\boldsymbol{\Psi}$, por definición
\begin{equation}0=-\Psi_{\sigma\mu\nu}-\Psi_{\mu\nu\sigma}-\Psi_{\nu\sigma\mu}\end{equation} de donde se sigue precisamente antisimetría, en este caso nula.
De modo análogo al caso anterior, de agrupar términos, aquí se sigue que
\begin{equation}R_{\rho[\sigma\mu\nu]}=0\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}-R_{[\sigma\mu\nu]\rho}=0\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}R_{[\rho\sigma\mu\nu]}=0\end{equation} es decir, que la parte antisimétrica de $\mathbf{R}$ [entre corchetes], es nula, lo que significa que se trata de un tensor completamente antisimétrico.
Para relacionar esta propiedad con las dos anteriores, véase que para cualquier tensor ${\boldsymbol\Psi}$ de grado cuatro completamente antisimétrico,
\begin{equation}\Psi_{\alpha\beta\gamma\delta}=-\Psi_{\alpha\beta\delta\gamma}=-\Psi_{\beta\alpha\gamma\delta}=\Psi_{\beta\alpha\delta\gamma}\end{equation} se tiene un tensor antisimétrico para cada índice y simétrico para cada pareja de índices, se sigue entonces que esta propiedad de $\mathbf{R}$ es independiente de las dos anteriores.
Un tensor completamente antisimétrico, por ejemplo, es el símbolo Levi-Civita
\begin{equation}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}=\left\{\begin{array}{lll} 0, & \text{si cualquier indice es identico a otro} \\ 1, & \text{si }\alpha\beta\gamma\delta \text{ son permutaciones pares de }0123 \\ -1, & \text{si } \alpha\beta\gamma\delta \text{ son permutaciones impares de }0123 \end{array}\right.\end{equation} y es evidente que sus componentes independientes son exactamente 1.
En general para un tensor completamente antisimétrico de grado n en el espacio N-dimensional, las componentes independientes serán las combinaciones de n en N. ***
Así pues, se concluye que
\begin{align}\xi_\mathbf{R}&=\frac{1}{8}(N^4-2N^3+3N^2-2N)-\binom{N}{n}\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{8}(N^4-2N^3+3N^2-2N)-\frac{N!}{4}\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{8}(N^4-2N^3+3N^2-2N)-\frac{(N-3)(N-2)(N-1)N}{4}\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{12}N^2(N^2-1)=20\end{align} * Pruébense los casos más sencillos N=2,3,4
** ${N=4\,\Longrightarrow\,\{00,01,10,02,20,\ldots,13,31,23,32\}}$ (se le llama regla del producto de pares ordenados)
*** Por ejemplo es claro que si n>N todas las componentes serán nulas, pues siempre se repetirá uno u otro índice. De igual modo, véase que la fórmula obtenida antes es simplemente el caso particular ${\binom{4}{2}=6}$, pero cada pareja puede ordenarse en ${4^2}$ modos, por lo que se tienen ${\binom{4}{2}^2=6^2=36}$ componentes independientes.
Se pide demostrar que el número de componentes independientes del tensor de curvatura Riemann-Christoffel (relatividad general), 4-dimensional de grado cuatro ${R_{\rho\sigma\mu\nu}}$, que en general tiene 256 componentes, se reduce consecuentemente a 20 a través de las siguientes relaciones de simetría con índices que corren de 0 a 3,
\begin{align}R_{\rho\sigma\mu\nu}&=-R_{\rho\sigma\nu\mu}=-R_{\sigma\rho\mu\nu}\,\Rightarrow\,36\text{ componentes}\\[0.1in]R_{\rho\sigma\mu\nu}&=R_{\mu\nu\rho\sigma}\,\Rightarrow\,21\text{componentes}\\[0.1in]R_{\rho\sigma\mu\nu}&+R_{\rho\mu\nu\sigma}+R_{\rho\nu\sigma\mu}=0\,\Rightarrow\,20\text{componentes}\end{align} En general, un tensor $\boldsymbol{\chi}$ de grado n en el espacio N-dimensional tiene ${N^n\equiv\xi_{\boldsymbol\chi}}$ componentes, por ello
\begin{equation}\xi_{\mathbf{R}}=4^4=256\end{equation} La primer relación mostrada es de antisimetría. Pensemos en cualquier tensor $\mathbf{A}$ de grado ${n=2}$ tal que
\begin{equation}A_{ij}=-A_{ji}\end{equation} por lo que necesariamente se cumple, para k en el rango de índices,
\begin{equation}A_{kk}=-A_{kk}=0\end{equation} entonces se sigue que el número de componentes independientes de $\mathbf{A}$ se reduce a *
\begin{equation}\xi_{\boldsymbol{A}}=\frac{1}{2}\left[N^2-N\right]=\frac{1}{2}N(N-1)\end{equation} En este caso podemos hacer analogía con el tensor de grado dos tomando parejas de índices como si se tratase de una sola, respectivamente. Existen ${N^2}$ modos de ordenar cada pareja de índices en el espacio N-dimensional **, entonces
\begin{equation}\xi_\mathbf{R}=\left[\frac{1}{2}N(N-1)\right]^2=6^2=36\end{equation} Continuando, la relación que sigue implica la simetría que nos es familiar en una matriz cuadrada o un tensor grado dos
\begin{equation}A_{ij}=A_{ji}\end{equation} pero esta relación implica que en general ${A_{kk}\neq{0}}$, por lo que tendríamos que agregar los N elementos de índices iguales a la relación anterior, entonces tenemos que
\begin{equation}\xi_{\boldsymbol{A}}=\frac{1}{2}N(N-1)+N=\frac{1}{2}N(N+1)\end{equation} Tengamos en cuenta que para la pareja de parejas individuales de índices ${[\rho\sigma][\mu\nu]}$, el tensor es simétrico para la pareja y antisimétrico para cada pareja individual, por tanto
\begin{align}\xi_\mathbf{R}&=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}N(N-1)\right]\left[\frac{1}{2}N(N-1)+1\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{8}(N^4-2N^3+3N^2-2N)\nonumber\\[0.1in]&=21\end{align} Para la última relación, nótese que para cualquier tensor $\boldsymbol{\Psi}$, por definición
\begin{equation}0=-\Psi_{\sigma\mu\nu}-\Psi_{\mu\nu\sigma}-\Psi_{\nu\sigma\mu}\end{equation} de donde se sigue precisamente antisimetría, en este caso nula.
De modo análogo al caso anterior, de agrupar términos, aquí se sigue que
\begin{equation}R_{\rho[\sigma\mu\nu]}=0\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}-R_{[\sigma\mu\nu]\rho}=0\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}R_{[\rho\sigma\mu\nu]}=0\end{equation} es decir, que la parte antisimétrica de $\mathbf{R}$ [entre corchetes], es nula, lo que significa que se trata de un tensor completamente antisimétrico.
Para relacionar esta propiedad con las dos anteriores, véase que para cualquier tensor ${\boldsymbol\Psi}$ de grado cuatro completamente antisimétrico,
\begin{equation}\Psi_{\alpha\beta\gamma\delta}=-\Psi_{\alpha\beta\delta\gamma}=-\Psi_{\beta\alpha\gamma\delta}=\Psi_{\beta\alpha\delta\gamma}\end{equation} se tiene un tensor antisimétrico para cada índice y simétrico para cada pareja de índices, se sigue entonces que esta propiedad de $\mathbf{R}$ es independiente de las dos anteriores.
Un tensor completamente antisimétrico, por ejemplo, es el símbolo Levi-Civita
\begin{equation}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}=\left\{\begin{array}{lll} 0, & \text{si cualquier indice es identico a otro} \\ 1, & \text{si }\alpha\beta\gamma\delta \text{ son permutaciones pares de }0123 \\ -1, & \text{si } \alpha\beta\gamma\delta \text{ son permutaciones impares de }0123 \end{array}\right.\end{equation} y es evidente que sus componentes independientes son exactamente 1.
En general para un tensor completamente antisimétrico de grado n en el espacio N-dimensional, las componentes independientes serán las combinaciones de n en N. ***
Así pues, se concluye que
\begin{align}\xi_\mathbf{R}&=\frac{1}{8}(N^4-2N^3+3N^2-2N)-\binom{N}{n}\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{8}(N^4-2N^3+3N^2-2N)-\frac{N!}{4}\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{8}(N^4-2N^3+3N^2-2N)-\frac{(N-3)(N-2)(N-1)N}{4}\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{12}N^2(N^2-1)=20\end{align} * Pruébense los casos más sencillos N=2,3,4
** ${N=4\,\Longrightarrow\,\{00,01,10,02,20,\ldots,13,31,23,32\}}$ (se le llama regla del producto de pares ordenados)
*** Por ejemplo es claro que si n>N todas las componentes serán nulas, pues siempre se repetirá uno u otro índice. De igual modo, véase que la fórmula obtenida antes es simplemente el caso particular ${\binom{4}{2}=6}$, pero cada pareja puede ordenarse en ${4^2}$ modos, por lo que se tienen ${\binom{4}{2}^2=6^2=36}$ componentes independientes.
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