Depurando mi ordenador de archivos viejos me encontré este ensayo que hice para competir por una plaza de ayudante de profesor en la UAM-A en 2014 —que no obtuve, por cierto :C — mientras entraba a la maestría; como sea lo comparto acá, puede ser útil sobre todo a estudiantes de bachillerato o de primer año de licenciatura (ingeniería o ciencias).
1. Introducción
En el haber cotidiano seguido es de gran importancia conocer qué tanto afecta el cambio de una cantidad dada respecto a otra cantidad relacionada, es decir, su razón de cambio relativo. La esencia del Cálculo Diferencial es precisamente el estudio de razones de cambio. Aunque desde la antigüedad la idea de razón de cambio estaba presente en los conceptos como la tangente de una curva o en las paradojas de Zenón de Elea, no fue sino hasta alrededor de 1666 cuando el desarrollo del Cálculo Infinitesimal por Isaac Newton y Gottfried Leibniz sistematizara el Cálculo Diferencial con el concepto de diferenciación y la derivada. Posteriormente muchos grandes matemáticos como Cauchy o Riemann contribuirían a la formalización del Cálculo Diferencial.
Históricamente, Newton y Leibniz sistematizaron el Cálculo Diferencial pensando la descripción precisa de cambios de posición en cada instante de tiempo, es decir, de movimiento. En el tratamiento moderno del Cálculo Diferencial, dos conceptos básicos son los de límite y continuidad, y en particular al hablar de Cálculo Diferencial se considera el estudio de razones de cambio infinitesimales de funciones reales en una variable real respecto a esta misma variable.
El alcance del Cálculo Diferencial (e Integral) en el estudio de funciones en sí mismas es sumamente amplio y forma la base del Análisis Matemático, además de admitir generalizaciones en espacios (más) abstractos; de cualquier modo, así como en su motivación histórica original, el estudio del Cálculo Diferencial da lugar a un gran número de aplicaciones, e incluso, ciertamente forma uno los pilares básicos en cualquier Ciencia Física o Ingeniería.
2. La Derivada El principal objeto de estudio en el Cálculo Diferencial es la derivada de una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Considérese la regla de correspondencia $x\mapsto{f}(x)$ y un punto $x_0\in\mathbb{R}$ tal que $f$ está definida en una vecindad de $x_0$.
En la siguiente figura se muestra el bosquejo de una función $f$ arbitraria y se señalan dos puntos $x_0$ y $x_0+\epsilon$ con sus imágenes bajo $f$.
Bosquejo de la gráfica de una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y la razón de cambio $\Delta{f}(x_0)/\Delta{x}_0$
De aquı́ entonces puede verse de manera intuitiva que la razón de cambio de la función $f$ cuando $x_0$ aumenta una cantidad $\epsilon$ es \begin{align}\frac{\Delta{f}(x_0)}{\Delta{x}_0}&\equiv\frac{f(x_0+\epsilon)-f(x_0)}{x_0+\epsilon-x_0}\nonumber\\ &=\frac{f(x_0+\epsilon)-f(x_0)}{\epsilon}\end{align} de modo que para razones de cambio arbitrariamente pequeñas, se puede definir \begin{equation}f^\prime(x)\bigg|_{x_0}\equiv{f}^\prime(x_0)=\lim_{\epsilon\to0}\frac{f(x_0+\epsilon)-f(x_0)}{\epsilon}\end{equation} si el lı́mite existe, como la derivada de $f$ en el punto $x_0$. Si la función es continua y dicho lı́mite existe en todo $x$, entonces la derivada de $f$ en $x$ es simplemente \begin{equation}f^\prime(x)=\lim_{\epsilon\to0}\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}\label{def:derivada}\end{equation} Esta notación de "$f^\prime$" es atribuida a Lagrange o bien “$\dot{f}$”, cuando la variable en cuestión es el tiempo, es atribuida a Newton; de cualquier modo, históricamente Leibniz introdujo la notación \begin{equation}\frac{df}{dx}\equiv{f}^\prime(x)\end{equation} pensando en cocientes, como se sugiere en el caso finito (o no infinitesimal). Aunque esta notación de Leibniz es muy útil para realizar operaciones (como se verá adelante), debe notarse que la derivada, al ser el límite de un cociente y entonces al no poderse expresar como el cociente de límites, no es en realidad un cociente.
Las interpretaciones y aplicaciones de la derivada en el estudio de funciones de variable real son muy diversas y amplias, desde la interpretación geométrica de la pendiente de la tangente en un punto a la función como una curva, hasta información vital sobre la función como sus máximos y mı́nimos (locales y globales), crecimiento o decrecimiento y concavidad.
En cuanto a las aplicaciones prácticas, fuera del interés puramente matemático, la derivada puede verse como el pilar no sólo de áreas de estudio como la Física, sino también en temas como Economía, la Computación o más recientemente en temas sociales vistos como Sistemas Complejos.
3. Continuidad y Diferenciabilidad Cuando el lı́mite (\ref{def:derivada}) existe, se dice que $f$ es diferenciable o derivable. Una cuestión relevante en este caso es que este lı́mite implica que si $f$ es diferenciable, entonces también es continua. De cualquier modo, una cuestión importante es que el enunciado opuesto no es cierto: que una función sea continua no implica que ésta sea derivable en todo su dominio.
Un ejemplo claro y el primero que viene a la mente es el de $f(x)=|x|$, que es continua pero cuya derivada no está definida en $x=0$. Esto puede verse claramente por el cambio abrupto o pico que la función tiene en $x=0$.
4. Propiedades de la derivada A partir de las siguientes propiedades para la derivada de una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, que pueden demostrarse a través de la definición (\ref{def:derivada}) y las propiedades de las funciones, pueden seguirse las reglas de derivación más comunes.
4.1 Linealidad Sean $f,g$ funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y $\alpha,\beta$ dos constantes tal que $h=\alpha{f}+\beta{g}$, entonces \begin{equation}h^\prime=\alpha{f}^\prime+\beta{g}^\prime\end{equation}
4.2 Regla del producto Sean $f,g$ funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $h(x)=f(x)\cdot{g}(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$; esta definición se sobreentiende al escribir $h=fg$, entonces \begin{equation}h^\prime=f^\prime{g}+f{g}^\prime\end{equation}
4.3 Regla de la Cadena Sean $f,g$ dos funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $h=f\circ{g}$, entonces \begin{equation}h^\prime=(f^\prime\circ{g})\cdot{g}^\prime\end{equation} Esta regla es particularmente intuitiva en la notación de Leibniz, \begin{equation}\frac{dh}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\label{chain}\end{equation} que además, si $f$ es la inversa de $g$, ésta se reduce a \begin{equation}1=\frac{dx}{dg}\frac{dg}{dx}\end{equation} es decir, \begin{equation}\frac{dg}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dg}}=\frac{1}{\frac{df(g(x))}{dg}}\label{cadena2}\end{equation}
5. Reglas de derivación Las propiedades anteriores sirven en general para calcular de manera práctica la derivada de una función.
El caso más sencillo es el de las potencias, los polinomios y los productos, e.g. si $f(x)=x^n$ con $n$ entero, $f^\prime(x)=nx^{n−1}$ que se sigue de la linealidad de la derivada. De cualquier modo, hay casos especiales de funciones como la exponencial (y su inversa) o las funciones trigonométricas, cuyas derivadas requieren algunas propiedades más de las propias funciones para poder ser obtenidas.
En el caso de la exponencial, tomemos $f(x)=a^x$ con $a\in\mathbb{R}^+$ constante, entonces, de la definición (\ref{def:derivada}), \begin{align}f^\prime(x)&=\lim_{\epsilon\to0}\frac{a^{x+\epsilon}-a^x}{\epsilon}\nonumber\\ &=a^x\lim_{\epsilon\to0}\frac{a^\epsilon-1}{\epsilon}\nonumber\\ &=a^xf^\prime(0)\end{align} de donde se requiere poder calcular el límite $f^\prime(0)$. Como comentario, la forma más sencilla, sin conocer de antemano la derivada de la exponencial, es primero calcular el límite para $a=e$ y obtener \begin{equation}\lim_{\epsilon\to0}\frac{e^\epsilon-1}{\epsilon}=1\end{equation} Esto no es tarea sencilla sin regla de L'Hôpital (hasta donde sé) pero corresponde a otro tema (una forma usual es emplear la identidad $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ descubierta por Euler), así que asumiendo que se conoce este límite, que además implica $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ para todo $x$ real, podemos definir $g(x)\equiv{x}\ln{a}$ \begin{equation}a^x=e^{\ln{a^x}}=e^{x\ln{a}}=e^g\end{equation} de modo que por la regla de la cadena (\ref{chain}), \begin{align}f^\prime(x)&=\frac{de^g}{dg}\frac{dg}{dx}\nonumber\\ &=e^g\frac{d(x\ln{a})}{dx}\nonumber\\ &=a^x\ln{a}\end{align} por lo que también \begin{equation}\lim_{\epsilon\to0}\frac{a^\epsilon-1}{\epsilon}=\ln{a}\end{equation} Además se sigue por la propiedad (\ref{cadena2}), que \begin{equation}\frac{de^x}{dx}=e^x=\frac{1}{\frac{d(\ln{e}^x)}{d(e^x)}}\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}\frac{d\ln{x}}{dx}=\frac{1}{x}\end{equation} De manera similar pueden obtenerse las reglas de derivación para las funciones trigonométricas, e.g. en el caso de $f(x)=\sin{x}$, \begin{align}f^\prime(x)&=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin(x+\epsilon)-\sin{x}}{\epsilon}\nonumber\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin{x}\cos\epsilon+\sin\epsilon\cos{x}-\sin{x}}{\epsilon}\nonumber\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin{x}(\cos\epsilon-1)+\sin\epsilon\cos{x}}{\epsilon}\end{align} de modo que es necesario conocer (u obtener) los límites \begin{align}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\cos\epsilon-1}{\epsilon},\hspace{0.25in}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin\epsilon}{\epsilon}\end{align} La deducción de todas estas reglas junto con las propiedades intrínsecas a la derivada son lo que permite operar de manera sencilla con las derivadas de funciones conocidas y cualquier complicación de éstas con productos, composiciones, etc. Finalmente algunas otras reglas que pueden presentar sus propias complicaciones son la de las derivadas de orden superior y las de la derivación de funciones implícitas, que de cualquier forma (en la versión más simple para funciones reales bien comportadas), se limitan a las propiedades y reglas mencionadas.
6. Optimización De entre las aplicaciones más relevantes de la derivada es la capacidad de determinar el comportamiento creciente o decreciente de una función, sus máximos y mínimos, y su concavidad. Esto es de gran utilidad cuando se modela con alguna función un fenómeno físico o cualquier otro fenómeno de interés práctico.
El punto de vista geométrico de la derivada como la pendiente de la recta tangente de la gráfica de una función hace que se vuelvan de particular interés las soluciones de $f^\prime(x)=0$, que son llamadas puntos críticos. Estos puntos críticos sólo tienen 3 posibilidades: ser un máximo, un mínimo o un punto silla.
Una función con tres puntos crı́ticos $x=\pm{a},0$. Mientras $x=\pm{a}$ son mínimos globales, $x=0$ es un máximo local.
En la figura anterior se muestra una función con dos mı́nimos globales y un máximo local, mientras que en la siguiente figura se muestra un punto silla.
Una función con un punto silla en $x=0$.
Las funciones para estos ejemplos particulares son $f(x)=(x+a)^2(x-a)^2$ y $g(x)=x^3$, donde se verifica que \begin{equation}f^\prime(x)=4x(x^2-a^2)\end{equation} y \begin{equation}g^\prime(x)=3x^2\end{equation} cuyas soluciones en efecto son $x=0,\pm{a}$ y $x=0$, respectivamente. Esto sólo dice que estas soluciones son puntos crı́ticos, para determinar analı́ticamente de qué tipo son, se puede recurrir a una segunda derivada y evaluar en el punto en cuestión, o bien, si la función es suficientemente sencilla, evaluar (ya sea la función o la derivada) cerca del punto.
Este tipo de análisis resulta de gran importancia en cualquier problema que involucre conocer el comportamiento de una función, e.g. en Mecánica Clásica, el análisis de las órbitas planetarias se realiza mediante el análisis de un potencial radial que satisface la ecuación \begin{equation}F(r)=-\frac{dU}{dr}=-\frac{d}{dr}\left[\frac{\alpha}{r^2}-\frac{\beta}{r}\right]\end{equation} con constantes $\alpha,\beta$ positivas, de donde se puede conocer $r=r_0$ tal que $F(r_0)=0$, i.e. \begin{equation}\frac{2\alpha}{r_0^3}-\frac{\beta}{r_0^2}=0\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}r_0=\frac{2\alpha}{\beta}\end{equation} que además es un mı́nimo, ya que (haciendo las simplificaciones necesarias) \begin{equation}F^\prime(r_0)=-\frac{6\alpha}{r_0^4}+\frac{2\beta}{r_0^3}=\frac{\beta^4}{8\alpha^3}>0\end{equation}
7. Series de Taylor Las series de Taylor es otra de las ideas sumamente útiles del Cálculo Diferencial y se basan en la idea de la posibilidad de construir polinomios que coincidan una función en un punto y cuyas derivadas coincidan con las derivadas (del mismo orden) de la función en ese punto; el requisito entonces es únicamente que la clase de la función (derivabilidad y continuidad de la derivada) sea infinito.
La construcción se puede ir haciendo paso a paso: sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de clase $C^\infty$ y $x_0\in\mathbb{R}$ constante, entonces la función \begin{equation}P_1(x)\equiv{f}(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)\end{equation} satisface $P_1(x_0)=f(x_0)$ y $P_1^\prime(x_0)=f^\prime(x_0)$, y de manera análoga \begin{equation}P_2(x)\equiv{P_1}(x)+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2\end{equation} satisface $P_2(x_0)=f(x_0)$, $P_2^\prime(x_0)=f^\prime(x_0)$ y $P_2^{\prime\prime}(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0)$. El paso brillante en esta argumentación, está en que, de hecho \begin{equation}f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{equation} donde $f^{(n)}$ señala la $n$-ésima derivada. En el caso de una función $C^k$, o para una serie trunca en $n=k$, el Teorema de Taylor justifica el que una serie de Taylor sea una buena aproximación local de la función original.
8. Otros resultados y alcance del cálculo diferencial El Teorema del Valor Medio y la Regla de L’Hôpital para calcular lı́mites son algunos de los resultados relevantes que se estudian comúnmente en el Cálculo Diferencial en funciones reales de una variable real. Primeramente, el Cálculo Diferencial es útil para pasar al estudio del Cálculo Integral mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, y luego algunas extensiones se pueden encontrar en el Cálculo de Varias Variables, el Análisis Complejo o más allá en temas como el Análisis Funcional, además de que resulta ser la base de cualquier tema que involucre el concepto de derivada, como las Ecuaciones Diferenciales (Ordinarias y Parciales).
Como preámbulo no tan relacionado con la entrada: lo más posible es que continúe en la senda académica y me lance a perseguir un doctorado, aunque no en amplitudes de dispersión, como trabajé en mi proyecto de investigación de la maestría. Tengo varias opciones pero el que más me ilusiona es uno en información cuántica en sistemas abiertos, como sea ya escribiré sobre eso a su tiempo.
La entrada trata sobre el siguiente problema, que resolví durante un curso de teoría de información clásica y cuántica en Edimburgo:
Al visitar a tu abuelo en Escocia, decides proponerle un juego para probarle que la tecnología es útil. Cada tarde tú escuchas el pronóstico del clima en la radio y luego ambos, tú y tu abuelo, intentan adivinar si va a llover al día siguiente. Habiendo vivido en Escocia desde su nacimiento, tu abuelo sabe que llueve el 80% de los días. Tú has llegado a la misma conclusión en tus vacaciones previas. Tú también sabes que el pronóstico del clima es correcto el 80% del tiempo y que siempre es correcto cuando predice lluvia. ¿Cuál es la estrategia óptima para tu abuelo? ¿Y para ti?
Vale, lo primero que podemos ver es que el abuelo sólo sabe que lloverá 80% del tiempo, así que si elige predecir lluvia todos los días, estará en lo correcto 8 de 10 veces, de modo que ésta es su mejor estrategia.
Para mí, podemos empezar a distinguir dos variables aleatorias, la del clima y la de la predicción del clima de la radio: \begin{align}X&\equiv\{r=\text{lluvia},\,nr=\text{no lluvia}\}\\ Y&\equiv\{R=\text{la radio predice lluvia},\,NR=\text{la radio predice no lluvia}\}\end{align} (la elección de las letras "r,R" por lluvia en inglés, "rain") de modo que lo que yo sé es \begin{align}p(r)=0.8\,\Longrightarrow\,p(nr)=0.2\\ p(r|R)=1\,\Longrightarrow\,p(nr|R)=0\\ p(r,R)+p(nr,NR)=0.8\label{pro1}\end{align} y de aquí, utilizando la definición de la probabilidad condicional $p(x|y)\equiv{p(x,y)/p(y)}$ y las relaciones entre probabilidades relevantes podemos obtener más probabilidades; específicamente, interesan las probabilidades de los eventos $R$, $NR$ y $r|NR$, $nr|NR$.
Primero, se tiene \begin{equation}p(r|R)=\frac{p(r,R)}{p(R)}=1\,\Longrightarrow\,p(R)=p(r,R)\end{equation} de modo que por (\ref{pro1}), \begin{equation}p(R)=0.8-p(nr,NR)\end{equation} Ahora bien, por total de probabilidad, $p(nr)=p(nr,NR)+p(nr,R)$, entonces \begin{equation}p(R)=0.6+p(nr,R)\end{equation} y dado que $p(nr|R)=0$ también $p(nr,R)=p(R)p(nr|R)=0$, por tanto \begin{equation}\boxed{p(R)=0.6}\end{equation} y de donde se sigue también que \begin{equation}\boxed{p(NR)=0.4}\end{equation} por $p(R)+p(NR)=1$. De manera similar se puede calcular \begin{equation}\boxed{p(r|NR)=p(nr|NR)=0.5}\end{equation} Así pues, en palabras: la radio va a predecir lluvia el 60% del tiempo y al predecir que no lloverá se equivocará 50% del tiempo. Mi mejor estrategia es entonces seguir la predicción de la radio, lo tendré en lo correcto 60% del tiempo y el resto tendré un 50% de probabilidad de también acertar; como sea al final mi probabilidad de éxito será también de 80% por la ecuación (\ref{pro1}).
No habiendo ganado la apuesta, estudias teoría de información porque estás convencido de que tenías más información que tu abuelo. Asumiendo que sigues el pronóstico de la radio, calcula la información mutua entre tu predicción y el clima real, y haz lo mismo para tu abuelo para cuantificar tu expectación.
Por definición, la entropía para el clima real es \begin{equation}H(X)\equiv-p(r)\log_2{p}(r)-p(nr)\log_2{p}(nr)\approx0.72\end{equation} y la entropía para el clima real dada mi predicción (i.e. la de la radio), \begin{align}H(X|Y)&\equiv-\sum_{x\in{X},y\in{Y}}p(x,y)\log_2{p}(x|y)=-\sum_{x\in{X},y\in{Y}}p(y)p(x|y)\log_2{p}(x|y)=0.4\end{align} de modo que la información mutua entre mi predicción y el clima real es \begin{equation}\boxed{I(X;Y)\equiv{H}(X)-H(X|Y)\approx0.32}\end{equation} Para el caso del abuelo podemos definir \begin{equation}A\equiv\{aR=\text{lluvia},\,aN=\text{no lluvia}\}\end{equation} para sus predicciones. De este modo, si el abuelo sigue su mejor estrategia, $p(aR)=1$ y $p(aN)=0$, además $p(r,aR)=0.8$ y $p(nr,aR)=0.2$; con esto entonces podemos encontrar \begin{equation}\boxed{H(X|A)=H(X)\,\Longrightarrow\,I(X;A)=0}\end{equation} Lo que esto significa es que por un lado, en el caso del abuelo, su predicción y el clima real no están correlacionados: conocer una no dice nada sobre la otra. A su vez, en mi caso hay una reducción de incertidumbre acerca del clima dada mi predicción (i.e. la del radio), o dicho de otro modo, puedo saber acerca del clima real futuro una vez que sé la predicción de la radio.
Una forma exacta $\phi=d\varphi$ es siempre cerrada dado que $d^2=0$. El lema de Poincaré provee la situación en que el converso también es cierto diciendo que una p-forma cerrada $\phi$ en una región abierta $U$ simplemente-conexa de una variedad $M$ será también exacta. Esto es, siempre que $\phi\in\Omega^p(U)$ con $U\subset{M}$ simplemente-conexo y $d\phi=0$, existe una (p-1)-forma $\varphi$ tal que $\phi=d\varphi$. Vale, intentaré elaborar un poco sobre la prueba de este resultado que he seguido en este documento para 1-formas y en el libro de Nakahara para p-formas. Al final traduciré algunas cosas a $\mathbb{R}^3$.
1-formas Acá trataré con una 1-forma cerrada $\phi$ y superficies o 1-variedades $M$. Lo primero que uno piensa es en usar las palabras mágicas simplemente-conexo, pues es lo que hace válido el lema. Intuitivamente, simplemente-conexo significa que está hecho de una sola pieza (conexo) y no tiene hoyos; para formalizar, podemos definir la llamada homotopía de una curva cerrada simple (o que no se intersecta a sí misma; en adelante las llamaré circuitos) $\mc{C}:[a,b]\to{M}$ tal que $\mc{C}(a)=\mc{C}(b)\equiv{p}$ (en general con $\mc{C}^\prime(a)\neq\mc{C}^\prime(b)$) a un punto de la curva, también llamada nulhomotopía, como el mapeo \begin{equation}h:[a,b]\times[0,1]\to{M}\end{equation} tal que para $u\in[a,b]$, $v\in[0,1]$, \begin{align}h(u,0)&=\mc{C}(u)\\ h(u,1)&=h(a,v)=h(b,v)=p\end{align} que estrictamente es un 2-segmento (o 2-celda) de $M$ pero que puede pensarse como una colección de circuitos $\mc{C}_v(u)=h(u,v)$ para cada $v$, o mejor aún como una función continua que deforma $\mc{C}$ en el punto $p$ a través del parámetro $v$. Si tal mapeo existe, se dice que $\mc{C}$ es nulhomotópica u homotópica a una constante.
Ilustración en Wikipedia. Un ejemplo visualmente sencillo: $S^2$ es simplemente conexo (en dos dimensiones) porque es conexo y cualquier circuito es nulhomotópico.
Así pues, $M$ es simplemente-conexo si es conexo y cualquier circuito en $M$ es nulhomotópico. Nos interesaría entonces emplear el hecho de que la 1-forma cerrada $\phi$ está en una región $U$ simplemente-conexa de $M$. Considerando entonces un circuito $\mc{C}:[a,b]\to{U}$ y su nulhomotopía $h$, lo más inmediato es usar el teorema de Stokes (segunda igualdad), \begin{equation}0=\int\limits_hd\phi=\int\limits_{\p{h}}\phi\label{stokes1}\end{equation} Aquí el calcular la frontera $\p{h}$ me resultó un tanto confuso; de cualquier modo lo entendí considerando el caso de un círculo en $\mathbb{R}^2$ con la nulhomotopía siendo un disco. Puedes verlo usando el siguiente botón o continuar si no lo consideras necesario.
Considero la nulhomotopía $$h:[0,2\pi]\times[0,1]\to\mathbb{R}^2$$ del círculo $$C:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2$$ al punto $C(0)=C(2\pi)$. Para sentar ideas se puede considerar el caso particular $\mc{C}(u)=(\sin{u},1-\cos{u})$ y la nulhomotopía al punto $\mc{C}(0)=\mc{C}(2\pi)$ explícita (la más sencilla de todas) $$h(u,v)=(1-v)\,\mc{C}(u)$$
En general, los llamados bordes de un 2-segmento $s:[a,b]\times[c,d]\to{M}$, están dados por $s(u,c)$, $s(u,d)$, $s(a,v)$ y $s(b,v)$ con $u\in[a,b]$ y $v\in[c,d]$; podemos entonces formar la frontera, o la curva borde de $h$ pegando ordenadamente sus bordes, esto es, pues, si hacemos $\alpha(u)=h(u,0)$, $\beta(v)=h(2\pi,v)$, $\gamma(u)=h(u,1)$, $\delta(v)=h(0,v)$, tendremos de manera abstracta (se dice una 'combinación formal'), que $$\p{h}=\alpha+\beta-\gamma-\delta$$ donde $-\gamma$ y $-\delta$ son las inversiones de orientación de $\gamma$ y $\delta$ respectivamente (e.g. $h(2\pi-u,1)$ y $h(0,1-v)$). Vale, el punto de esto es que lo mismo sucede en general para cualquier nulhomotopía $h$.
Sean entonces $\alpha(u)=h(u,0)$, $\beta(v)=h(b,v)$, $\gamma(u)=h(u,1)$, $\delta(v)=h(a,v)$ los bordes de $h$, de modo que \begin{equation}\p{h}=\alpha+\beta-\gamma-\delta\end{equation} y en particular nota que en una nulhomotopía, $\beta^\prime(v)=\gamma^\prime(u)=\delta^\prime(v)=0$, de modo que se tiene por (\ref{stokes1}) que \begin{align}\int\limits_{\p{h}}\phi&=0\nonumber\\ &=\int\limits_\alpha\phi+\underbrace{\int\limits_\beta\phi-\int\limits_\gamma\phi-\int\limits_\delta\phi}_{=\int\limits_0^1\phi(\beta^\prime(v))\,dv-\int\limits_a^b\cdots\,=0}\nonumber\\ &=\int\limits_\alpha\phi=\int\limits_\mc{C}\phi\end{align}
Hay distintas formas equivalentes de definir una 1-forma; aquí la que sirve de manera inmediata es $$\omega:T(M)\to{C}^\infty(M)$$ donde $T(M)$ es el conjunto de todos los vectores en $M$ (el espacio total del fibrado tangente de $M$) y $C^\infty(M)$ el conjunto de funciones suaves infinitamente diferenciables; en particular, en un punto $p\in{M}$, se tiene $\omega:T_p(M)\to\mathbb{R}$ que también se llama vector cotangente o covector, con $T_p(M)$ el espacio tangente en $p$. Localmente, i.e. en una vecindad $U$ de $p$, el espacio es (isomorfo a) $\mathbb{R}^n$ y se pueden emplear coordenadas locales $x^i$ de modo que $\{\p_i\}$ constituya una base de vectores en cualquier $T_p(M)$ y $\{dx^i\}$ una base de covectores en $T^*_p(M)$, el espacio cotangente de $M$ en $p$ (asumo que se conoce esto, como sea, una explicación rápida y clara en este documento, o bien una más extensa en el libro de Nakahara), tal que $dx^i(\p_j)=\delta^i_j$.
Así, si localmente $\omega=\omega_idx^i$ con $\omega_i\in{C}^\infty(U)$ y $\vec{v}=v^i\p_i$, tenemos que $$\omega(\vec{v})=\omega_idx^i(v^j\p_j)=v^i\omega_i$$ (de ahí que $\phi(0)=0$) También es útil recordar la definición de la derivada exterior, o en particular de la diferencial $$d:C^\infty(M)\to{T}^*(M)$$ que localmente manda funciones $f:U\to\mathbb{R}$ de clase $C^\infty$ a 1-formas a través de $$df=\p_if\,dx^i$$ de modo que también, en general $$df(\vec{v})=v^i\p_if$$
es decir, obtenemos que la integral de una 1-forma cerrada $\phi$ a través de un circuito $\mc{C}$ en una región simplemente-conexa es cero, \begin{equation}\oint\limits_\mc{C}\phi=0\end{equation} que no es más que decir que si tomamos dos puntos $p$ y $q$ y dos curvas que los unan, $\delta$ y $\eta$, de modo que $\mc{C}=\delta-\eta$, \begin{equation}\int\limits_\delta\phi=\int\limits_\eta\phi\end{equation} i.e. la integral será independiente de los caminos $\delta$ y $\eta$. Usualmente también ésta se toma como una definición equivalente de una forma exacta, e.g. en cursos de termodinámica, donde se toma prácticamente como definición. Sabemos entonces que la integral sólo dependerá de $p$ y $q$; supongamos que fijamos $q$ y dejamos que $p$ sea cualquier punto en $U$, entonces podemos proponer una función $\varphi\in{C}^\infty(U)$ tal que \begin{equation}\varphi(p)=\int\limits_\eta\phi\end{equation} Más generalmente, consideremos $\eta:[a,b]\to{U}$ y algún $t\in[a,b]$ de modo que tengamos en mente el segmento $\eta_t:[a,t]\to{U}$ y cualquier punto dinámico $\eta(t)$, \begin{equation}\varphi\left(\eta(t)\right)=\int\limits_{\eta_t}\phi=\int_a^t\phi(\eta^\prime(u))\,du\label{poin1}\end{equation} Considerando $\eta(t)$ en coordenadas locales de modo que $d\varphi=\p_i\varphi\,dx^i$, sea entonces $f:U\to\mathbb{R}$ una función cualquiera de modo que $\frac{df(\eta(t))}{dt}=\frac{dx^i}{dt}\frac{\p{f}}{\p{x}^i}$, entonces $\eta^\prime(t)=\frac{dx^i(\eta(t))}{dt}\p_i$ en coordenadas locales, lo que nos permite calcular que \begin{equation}d\varphi\left(\eta^\prime(t)\right)=\frac{\p\varphi}{\p{x}^i}\frac{dx^i}{dt}=\frac{d\varphi(\eta(t))}{dt}\end{equation} lo que entonces lleva por (\ref{poin1}) a que \begin{equation}d\varphi(\eta^\prime(t))=\phi\left(\eta^\prime(t)\right)\end{equation} y $\eta^\prime(t)$ es un vector definido en cada punto de $\eta$ que a su vez es arbitraria siempre que su imagen y su último punto estén en la región simplemente conexa $U\subset{M}$, de modo entonces que en general \begin{equation}d\varphi=\phi\end{equation} lo que prueba el lema para 1-formas.
El lema de Poincaré naturalmente es válido para p-formas con $p\geq1$. El famoso libro de Nakahara, disponible en línea aquí, tiene una demostración sencilla que a lo más requiere la generalización de una nulhomotopía a un punto $p\in{U}$ como $H:U\times[0,1]\to{U}$ con $H(u,0)=u$ y $H(u,1)=p$ para $u\in{U}$ y la definición del pullback de una forma diferencial por una función. Seguramente también es posible generalizar los mismos pasos para p-formas que los que mostré para 1-formas, aunque probablemente sea más laborioso que la demostración de Nakahara; en general debe haber muchas formas y otras muy sencillas de probar el lema.
A fin de cuentas, de cualquier modo, el lema es prácticamente siempre, o lo que es lo mismo, es válido siempre localmente.
Traducción al cálculo vectorial en $\mathbb{R}^3$ Del lema de Poincaré surgen todas las propiedades lindas que se usan en termodinámica con derivadas parciales para las variables de estado; como sea, la situación es realmente más elaborada que esto, aunque a los físicos les sea poco útil esta formalidad.
En general todo espacio vectorial $V$ tiene un espacio dual $V^*$ en el sentido de que existen mapeos de $V$ en $\mathbb{R}$. En el caso de variedades, al menos siempre localmente, se puede proveer un isomorfismo (o difeomorfismo) entre ambos a través de la métrica. El caso de $\mathbb{R}^3$ es bastante lindo como motivación para aprender el lenguaje de las formas diferenciales, que si bien no cambian el contenido, hacen las cosas mucho más sencillas y elegantes. Un ejemplo es el electromagnetismo, que usualmente se formula usando cálculo vectorial, e.g. puedes consultar: Maxwell's equations in terms of differential forms (que en general también sirve para introducirse como físico a las formas diferenciales), y en general muchos temas en física matemática como las teorías de norma (GFT's) están formuladas en estos términos. Adelante sólo asumo primero tres dimensiones y luego paso a $\mathbb{R}^3$ (asumiendo coordenadas cartesianas).
La playera que se ha visto utilizan l@s jóvenes cool de hoy$$F=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}dx^\mu\wedge{d}x^\nu$$
0-formas Primero, en el caso de 0-formas o funciones $\varphi\in\Omega^0$, evidentemente el isomorfismo $\Omega^0\to\Omega^0=C^\infty$ es una identidad $\varphi\mapsto{\varphi}$.
1-formas Para 1-formas $\phi\in\Omega^1$, se tiene localmente $\phi=\phi_idx^i$ y a través de una métrica, $g$ se obtiene \begin{align}g^{-1}(\phi,\sigma)&=g^{ij}\phi_i\sigma_j\nonumber\\ &=g^{i\beta}\phi_i\sigma_\alpha\delta^\alpha_\beta\nonumber\\ &=g^{i\beta}\phi_i\p_\beta(\sigma_\alpha{d}x^\alpha)=\phi^i\p_i(\sigma)\end{align} esto es, $g^{-1}(\phi,\cdot)=g^{ij}\phi_i\p_j$, en general, $\phi\mapsto{g}^{-1}(\phi,\cdot)$. Ahora bien, considerando que $d:\Omega^p\to\Omega^{p+1}$, tenemos que $d\varphi\mapsto{g}^{ij}(\p_i\varphi)\p_j$ que en el caso del contradominio ${C}^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)$, con $g^{ij}=\delta^{ij}=\delta_{ij}$, se reduce a $d\varphi\mapsto\nabla\varphi$. Así, el lema de Poincaré en el cálculo vectorial Euclídeo se traduce en que campos conservativos son campos gradiente, \begin{equation}\phi=d\varphi\longleftrightarrow\vec{\phi}=\nabla\varphi\end{equation} donde $\vec\phi={g}^{-1}(\phi,\cdot)$. La correspondencia mediante la métrica $g$ se llama el isomorfismo musical, que tiene tanto el isomorfismo $\sharp:\Omega^1\to{V}$ como su inversa $\flat:V\to\Omega^1$ (hasta donde sé, el nombre es simplemente por los símbolos de sostenido $\sharp$ y bemol $\flat$) y puede señalarse de manera más sencilla, e.g. en este caso el isomorfismo en términos de $\sharp$ es \begin{equation}\phi\mapsto\phi^\sharp=g^{ij}\phi_i\p_j\end{equation}
2-formas Para 2-formas $\omega\in\Omega^2$, localmente, $\omega=\omega_{ij}dx^i\wedge{d}x^j=\frac{\omega_{ij}}{2}(dx^i\otimes{d}x^j-dx^j\otimes{d}x^i)$. Ahora bien, aunque el isomorfismo musical puede extenderse en general para mandar $\bigotimes\limits^pT(M)$ en $\bigotimes\limits^pT^*(M)$ (que no es exactamente el espacio de p-formas) y viceversa, lo que nos interesa es mandar 2-formas en campos vectoriales o funciones. Si consideramos dos 1-formas $\alpha$ y $\beta$, localmente podemos formar la 2-forma \begin{align}\alpha\wedge\beta&=\alpha_i\beta_j{d}x^i\wedge{d}x^j\nonumber\\ &=(\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1)dx^1\wedge{d}x^2+(\alpha_2\beta_3-\alpha_3\beta_2)dx^2\wedge{d}x^3+(\alpha_3\beta_1-\alpha_1\beta_3)dx^3\wedge{d}x^1\end{align} donde los coeficientes tienen exactamente la misma cara que los de un producto cruz de vectores 3-dimensional. El operador necesario en este caso es el dual (o estrella) de Hodge $\star:\Omega^p\to\Omega^{(n-p)}$, definido por \begin{equation}\star(dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge{d}x^{i_p})\equiv\frac{\sqrt{|g|}}{(n-p)!}{\epsilon^{i_1\cdots{i}_p}}_{j_1\cdots{j}_{n-p}}dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge{d}x^{j_{n-p}}\end{equation} que entonces aquí mandará 2-formas en 1-formas a través de (asumo $\sqrt{|g|}=1$ en adelante) \begin{equation}\star(dx^i\wedge{d}x^j)={\epsilon^{ij}}_kdx^k\end{equation} de modo que en tres dimensiones $\star(\alpha\wedge\beta)=\vec{\alpha}\times\vec{\beta}$ y entonces el isomorfismo $\Omega^2(\mathbb{R}^3)\to{C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)}$ es (empleo $\{\mathrm{e}_i\}$ como la base de vectores) \begin{equation}\omega\mapsto(\star\omega)^\sharp=\epsilon_{ijk}\omega_{ij}\mathrm{e}_k\end{equation} Si además $\omega$ es cerrada, también por lema de Poincaré $\omega=d\phi$ y así \begin{equation}(\star\,d\phi)^\sharp=\epsilon_{ijk}\p_i\phi_j\mathrm{e}_k=\nabla\times\phi^\sharp\label{conm1}\end{equation} de modo que la versión equivalente del lema es $\vec{\omega}=\nabla\times\vec\phi$, i.e. la versión para campos rotacionales. Si nuevamente $\phi$ es cerrada y por el lema también exacta, se tiene la equivalencia de que los campos conservativos son también irrotacionales, \begin{equation}\omega=d\phi=d^2\varphi=0\longleftrightarrow\vec\omega=\nabla\times\vec\phi=\nabla\times\nabla\varphi=0\end{equation}
3-formas Finalmente la estrella de Hodge manda 3-formas $\psi\in\Omega^3$, localmente $\psi=\psi_{ijk}dx^i\wedge{d}x^j\wedge{d}x^k$ en 0-formas, entonces \begin{equation}\psi\mapsto\star\psi=\epsilon^{ijk}\psi_{ijk}\end{equation} es un isomorfismo $\Omega^3\to\Omega^0=C^\infty$ inducido naturalmente. En este caso si $\psi=d\omega$, en $\mathbb{R}^3$, \begin{equation}\star{d}\omega=\epsilon_{ijk}\p_k\omega_{ij}=\nabla\cdot(\star\omega)^\sharp\end{equation} de modo que el lema se traduce en $\star\psi=\nabla\cdot\vec\omega$; si aún a su vez $\omega=d\phi$, se tiene la equivalencia de que los campos rotacionales son libres de divergencia, \begin{equation}\psi=d\omega=d^2\psi=0\longleftrightarrow\star\psi=\nabla\cdot\vec\omega=\nabla\cdot(\nabla\times\vec\phi)=0\end{equation} Nota de cualquier modo que también, en general para cualquier 1-forma $\zeta\in\Omega^1$ se puede formar \begin{align}\star{d}\star\zeta&=\star{d}\left(\frac{1}{2}{\epsilon^{i}}_{jk}\zeta_idx^j\wedge{d}x^k\right)\nonumber\\ &=\star\left(\frac{1}{2}{\epsilon^{i}}_{jk}\p_\ell\zeta_i\,dx^\ell\wedge{d}x^j\wedge{d}x^k\right)\nonumber\\ &=\frac{1}{2}\epsilon^{\ell{j}k}{\epsilon^{i}}_{jk}\p_\ell\zeta_i=\delta^{\ell{i}}\p_\ell\zeta_i\stackrel{\mathbb{R}^3}{=}\nabla\cdot\zeta^\sharp\end{align} de manera que igualmente se puede construir $\star{d}\star{d}\varphi=\nabla\cdot\nabla\varphi$.
El complejo de De Rham Esto usualmente se hace de manera inversa, es decir, pasando de las relaciones del cálculo vectorial a las de las formas diferenciales, de cualquier modo esta manera también es útil y asimismo sirve para notar la generalidad de las p-formas. El siguiente diagrama (formalmente llamado complejo de De Rham) $$\matrix{ \Omega^0(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3(\mathbb{R}^3) \cr \big\downarrow\small{\mathrm{Id}}& & \big\downarrow\small{\sharp} & & \big\downarrow\small{\sharp\circ\star} & & \big\downarrow\small{\star} \cr C^\infty(\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla\times}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla\cdot}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3) \cr}$$ con \begin{align}\mathrm{Id}(\varphi)&=\varphi\\ \sharp(\phi_idx^i)&=\phi_i\mathrm{e}_i\\ \sharp\circ\star(\omega_{ij}dx^i\wedge{dx}^j)&=\epsilon_{ijk}\omega_{ij}\mathrm{e}_k\\ \star(\psi_{ijk}dx^i\wedge{dx}^j\wedge{dx}^k)&=\epsilon^{ijk}\psi_{ijk}\end{align} encapsula de manera bastante concisa toda la información anterior. Como se vio, el diagrama conmuta, i.e. se llega al mismo lugar sin importar qué flechas se sigan.
It is shown that there is a precise sense in which the Heisenberg uncertainty between fluxes of electric and magnetic fields through finite surfaces is given by (one-half $\hbar$ times) the Gauss linking number of the loops that bound these surfaces. To regularize the relevant operators, one is naturally led to assign a framing to each loop. The uncertainty between the fluxes of electric and magnetic fields through a single surface is then given by the self-linking number of the framed loop which bounds the surface.
Admito que desconocía este resultado, que Baez atribuye a Ashtekar y a Corichi, aunque es un tanto viejo (1997). Incluso tampoco había visto de cerca el número de enlace de Gauss, que es el invariante topológico de enlace de nudos más simple y cuyo alcance se dice es mucho mayor que sólo el de la física o las matemáticas, así que hace poco decidí leer acerca del tema y acá comparto un poquitín sobre ello (para el número de enlace sólo se requiere saber una pizquilla de electromagnetismo y/o cálculo vectorial, el resto lo tocaré de manera más superficial).
El número de enlace de Gauss Consideremos un aro delgado por el que circula una corriente estacionaria $i$ (i.e. el caso estático) representado por una curva $\mc{C}^\prime$.
En este caso entonces en todos los puntos fuera de $\mc{C}^\prime$, la ley de Ampère-Maxwell se reduce a \begin{equation}\nabla\times\vec{B}=0\end{equation} por lo que en esta región existe alguna $\psi$ tal que \begin{equation}\vec{B}=-\nabla\psi\end{equation} En los cursos de electromagnetismo de licenciatura seguido se discute (o los alumnos deben investigar por su cuenta) las razones por las cuales este potencial escalar magnético $\psi$ es relativamente inútil; de cualquier modo aquí resultará en cierto modo relevante. Vale, en general, en magnetostática la forma más sencilla para determinar un campo $\vec{B}$ es la ley de Ampère "original" en forma integral, \begin{equation}\oint\vec{B}\cdot{d}\vec{\ell}=\mu_0{i}\end{equation} de cualquier modo, si consideramos un circuito amperiano $\mc{C}$,
parametrizado por alguna función $\vec{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3$ con parámetro $\tau$ y tal que $\vec{r}(a)=\vec{r}(b)$, tenemos que \begin{align}\mu_0{i}&=\oint\limits_\mc{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}=-\oint\limits_\mc{C}\nabla{\psi}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}\nonumber\\ &=-\int_a^b\nabla\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\cdot\dot{\vec{r}}(\tau)\,d\tau\nonumber\\ &=-\int_a^b\frac{d}{d\tau}\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\,d\tau\nonumber\\ &=\psi\left(\vec{r}(a)\right)-\psi\left(\vec{r}(b)\right)\end{align} y entonces el potencial $\psi$ es multivaluado, tomando múltiplos enteros de $\mu_0{i}$ por cada vuelta al circuito. Como se cita en el artículo de Ashtekar y Corichi, podemos interpretar este incremento del potencial como el trabajo $W$ hecho al mover un monopolo magnético a lo largo de $\mc{C}$ (aparentemente este argumento fue debido a Maxwell y no a Gauss como se señala). En general, podemos considerar deformar el aro $\mc{C}^\prime$ de forma que se enlace $n$ veces con el circuito amperiano $\mc{C}$. Estrictamente, para definir los enlaces o entrelazamientos entre ambas curvas, hay que considerar una superficie conexa cualquiera (a pesar de la ilustración) $\Sigma$ tal que $\p\Sigma=\mc{C}^\prime$ (o en su defecto $\p\Sigma=\mc{C}$) y contar las veces que $\mc{C}$ la intersecta (o $\mc{C}^\prime$ en el otro caso),
de modo que el trabajo o el incremento del potencial alrededor del circuito amperiano será \begin{equation}W=n\mu_0{i}\label{potmulti1}\end{equation} Ahora bien, usualmente en los primeros cursos de electromagnetismo se tortura a los estudiantes con calcular a fuerza bruta el campo $\vec{B}$ en un punto $\vec{\mc{R}}$ cualquiera usando la ley de Biot-Savart, en este caso como \begin{equation}\vec{B}(\vec{\mc{R}})=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime)}{|\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} donde $\vec{r}^\prime$ son puntos en $\mc{C}^\prime$. Usando este resultado entonces se sigue también que \begin{equation}W=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} Se define entonces \begin{equation}\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)\equiv\frac{1}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\label{gausslink2}\end{equation} como el llamado enlace de Gauss, que sabemos además, casi de manera gratuita por (\ref{potmulti1}), que es un entero positivo o nulo $n$ (siempre que $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$ no se intersecten; no lo justifico, pero la cuestión seguramente es más sutil). Éstas dos últimas son, escritas ligeramente distinto, las dos primeras ecuaciones del artículo de Ashtekar y Corichi.
El número de enlace es relevante porque al ser un número entero, es también un invariante topológico al no depender de la forma de las curvas $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$. Además, parece no tener relación alguna con la física que se usó para obtenerlo; de hecho se dice que Gauss simplemente lo introdujo para contar el número de veces que una curva cerrada circunda a otra curva cerrada en el espacio (aunque estaba motivado también por el magnetismo terrestre):
Una cuestión primordial en la interfase de la geometria situs y la geometria magnitudinis será la de contar los entrelazamientos de dos curvas cerradas o interminables. Sean $x,y,z$ las coordenadas de un punto indeterminado en la primera curva; $x^\prime,y^\prime,z^\prime$ las de un punto en la segunda y sea $$\iint\frac{(x^\prime-x)(dydz^\prime-dzdy^\prime)+(y^\prime-y)(dzdx^\prime-dxdz^\prime)+(z^\prime-z)(dxdy^\prime-dydx^\prime)}{\left[(x^\prime-x)+(y^\prime-y)^2+(z^\prime-z)^2\right]^\frac{3}{2}}=V$$ entonces esta integral tomada a lo largo de ambas curvas es $$=4m\pi$$ siendo $m$ el número de entrelazamientos. El valor es recíproco, i.e. se mantiene igual si las curvas se intercambian.
Y en efecto, tomando $\vec{r}=(x,y,z)$ y $\vec{r}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$ en (\ref{gausslink2}) se tiene $4\pi\,\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)=V$; además se puede comprobar que $\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)=\mc{G}\mc{L}(\mc{C}^\prime,\mc{C})$. Al derivar este resultado, Gauss estaba pensando en ángulos sólidos, como se puede leer más en el artículo que cité de Ricca y Nipoti, sólo luego Maxwell elaboraría sobre esto con el argumento físico en base al trabajo que realiza el monopolo magnético.
Aunque no encontré la correspondencia entre Maxwell y Tait, esto es del Vol. II de A Treatise on Electricity and Magnetism. La Fig. 4 muestra que también existe el caso en que $\mc{G}\mc{L}=0$ para dos curvas inseparables; el eslabón de Whitehead es otro ejemplo famoso. Geometry of Position o Geometria Situs es el nombre vintage de la Topología.
De cualquier modo, de 1830 o 1860 a nuestra época hay una cantidad impresionante de matemáticas de por medio, por lo que es de esperar que existan numerosas generalizaciones y extensiones de este bello resultado. Sinceramente ignoro la gran mayoría; de cualquier modo algunos enlaces (en el espíritu de la física-matemática) que he encontrado relevantes son:
El principio de incertidumbre electro-magnético Quizá en los cursos de E&M de licenciatura no se habla del número de enlace (o quizá dependa del profe) porque éste parece no tener importancia física alguna: al final se reduce al numerillo que le dice al alumno qué tantas vueltas está encerrando con su circuito amperiano cuando resuelve con ley de Ampère el problemita del campo $\vec{B}$ en las distintas regiones de un embobinado.
It turns out that the double integral $\mc{G}\mc{L}(L_1,L_2)$ does have a fundamental significance in electro-magnetism, which however, could not have been guessed before the advent of quantum field theory.
«Resulta que la integral doble $\mc{G}\mc{L}(L_1,L_2)$ sí tiene un papel fundamental en el electromagnetismo que, de cualquier modo, no hubiera podido ser descubierto antes de la aparición de la teoría cuántica de campo», dicen Ashtekar y Corichi en el artículo, que básicamente comienza con el paréntesis de Poisson \begin{equation}\{B[\alpha],E[\beta]\}=\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} (entre otras cosas, la ec. (1.4) es básicamente el teorema de Stokes usando $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$) y luego entonces proponen la segunda cuantización como \begin{equation}\left[\hat{B}[\alpha],\hat{E}[\beta]\right]=i\hbar\,\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} de modo que también que hay una incertidumbre de Heisenberg intrínseca en mediciones simultáneas de los campos eléctrico y magnético a través de superficies finitas que además depende del número de enlace de las fronteras de ambas superficies.
En el resto del artículo, los autores obtienen rigurosamente este resultado (que señalan es más bien al nivel del usual en física teórica que el de física matemática). No me puedo decir experto ni mucho menos, pero la cuestión parece ir algo así:
En general en una QFT los campos satisfacen un principio de incertidumbre con su momento conjugado en términos de promedios de ambos en distintas regiones espaciales (asumiendo tiempos iguales o al menos separación temporal). Básicamente los autores construyen un operador $\hat{E}[\beta]$ (e implícitamente también $\hat{B}[\alpha]$) bien definido en el espacio de Fock (la suma de espacios de Hilbert de los fotones) desplegando el campo (intento de traducción de smear; esto se hace en general en QFT, véase e.g. aquí la página 31 o más ampliamente aquí) con una distribución $f^{(\beta)}$ que luego determinan introduciendo reguladores como extender el circuito $\beta$ a un listón e introducir un corte ultravioleta para lidiar con una divergencia. Finalmente calculan el conmutador entre los operadores regulados y toman el límite para quitar los objetos reguladores (el listón, $\epsilon\to0$ y el corte ultravioleta, $\Lambda\to\infty$); extienden además el resultado a circuitos que se intersectan e incluso a cuando se trata del mismo circuito. En el caso más simple sin intersecciones, concluyen:
«La relación de incertidumbre $\displaystyle{\left(\Delta\hat{B}[\alpha]\right)\left(\Delta\hat{E}[\beta]\right)\geq\frac{\hbar}{2}\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)}$ se afirma en el sentido de $\displaystyle{\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\lim_{\Lambda\to\infty}\left[\hat{B}[f^{(P_\alpha,\Lambda)}],\hat{E}[f^{(P_\beta,\Lambda)}]\right]\right)=i\hbar\,\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)}$»
i.e. la incertidumbre electro-magnética proporcional al número de enlace está bien definida en los límites en que los operadores de ambos campos están bien definidos.
Finalmente, de nuevo, en esta nota de justo poco después de la fecha del artículo, John Baez escribe:
Quantum mechanics, electromagnetism, and knot theory are clearly quite tangled up here. Since the linking number was first discovered by Gauss in his work on magnetism, it's all quite fitting.
How do you teach someone to understand math when they are capable but unwilling to do so? (¿Cómo le enseñas a alguien a entender las matemáticas cuando es capaz pero renuente de hacerlo?)
y aunque cuenta con muchas respuestas disponibles (29 en este momento), quisiera compartir una de ellas (hasta ahora la que tiene mayor cantidad de votos), dada por el usuario Ittay Weiss. Mi único propósito acá es mostrar la discusión en español. En la pregunta básicamente se plantea la situación de una hermana menor que, sin problemas de incapacidad mental, no aprende matemáticas básicas; el hermano le quiere explicar cómo calcular la circunferencia de un círculo y en última instancia el significado geométrico del número $\pi$.
La respuesta que me interesó es entonces la siguiente:
Si uno no quiere hacer algo, entonces no podrá hacerlo. La pregunta es cómo superar cualquier resistencia y problemas que uno tiene, en este caso, con las matemáticas. De la conversación anterior (planteada en la pregunta sobre la circunferencia y $\pi$), puedo hacer algunas recomendaciones. Primero, evita hacer preguntas sencillas para las cuales la respuesta es obvia para ti y debería ser obvia para el alumno. La razón es que podría no ser obvia, y el alumno, presintiendo la naturaleza elemental de la pregunta por el tono de tu voz, tratará de adivinar rápidamente y muy probablemente se equivocará, forzando un irresistible refunfuño de tu parte, lo que indicará al alumno... sólo cosas malas. Cuando el estudiante está teniendo dificultades psicológicas, lo mejor es evitar tales preguntas y en su lugar procurar involucrar al alumno pidiéndole que ratifique cosas que sabes que deben ser triviales (algo como "entonces éste es el radio del círculo, ¿cierto?" mientras lo señalas. Luego puedes seguir con "¿y qué será ésto?", apuntando al diámetro, y quizá inmediatamente añadiendo "bueno, no puede ser el radio ya que ése era este individuo por acá, entonces esto debe ser el diámetro..." etcétera).
En cuanto al problema particular con $\pi$, de hecho es algo para nada trivial. Primero, está el problema de comparar "dividie la circunferencia por el diámetro, mira, casi tenemos 3.14, eso significa que el diámetro cabe en la circunferencia $\pi$ veces" con "divide 10 manzanas por 2 personas, cada una tiene 5, entonces 5 manzanas caben en 10 dos veces", que es problemático. ¿Qué demonios significa $\pi$ veces? La intuición cuantitativa que la mayoría de estudiantes tiene para multiplicar números naturales se va al caño cuando continúan a los números reales que no son fracciones. La manera usual de 'resolver' esto en las escuelas es atiborrando a los alumnos con interminables cálculos con expansiones decimales hasta que los estudiantes creen que lo entienden. Por supuesto, muchos estudiantes entonces insistirán que $0.999\ldots\neq1$, lo que muestra cuán inefectivo es este método para entender qué son los números reales.
Luego, hay otra cuestión. El hecho de que para todos los círculos la razón de la circunferencia con el diámetro es una constante es lejos de ser obvio, tampoco es una cuestión trivial el dar una demostración de este hecho. Incluso, recuerdo que cuando en la escuela se nos daba la fórmula $c=\pi{d}$, realmente no entendía por qué era cierto, y dado que se pretendía que era algo obvio, sentía que estaba siendo estúpido por no ver por qué era cierto. Entonces si uno presenta la fórmula $c=\pi{d}$ como algo que debe ser claro, es un problema. No es claro. Sólo se vuelve 'claro' para aquellos estudiantes yendo por el sistema siendo atiborrados sin fin con la fórmula hasta que creen que la entienden. Lo que yo hago es definir $\pi$ como la circunferencia del círculo de diámetro 1 o como el área del círculo de radio 1. Luego puedes discutir el extraño comportamiento de la longitud (i.e., que es extremadamente sensible a pequeñas perturbaciones y que sólo es semicontinua inferiormente) y tratar de convencer al estudiante de que $\pi=4$ e inmediatamente mostrar que debe ser menor a 4 por diversas aproximaciones geométricas. Luego una rápida discusión sobre la estabilidad del área comparada con la longitud, de modo que deberíamos preferir la definición de $\pi$ por medio del área. Luego viene la fórmula no-trivial $c=\pi{d}$. Ahora no es sólo una fórmula vacía, si no algo que lleva un significado.
Finalmente, el aprendizaje llega cuando el estudiante quiere aprender. La motivación puede llegar de diferentes fuentes y por diferentes razones. A veces, el estudiante no está motivado. No es gran cosa. No hay razón para esperar que alguien esté interesado en algo sólo porque alguien en la escuela decidió que debe estarlo. No saber qué es $\pi$ nunca ha matado a nadie. Y, la mejor manera de crear y reforzar problemas con las matemáticas es presionando al estudiante cuando éste no está interesado. Puedo confesar que yo básicamente odiaba las matemáticas en la escuela debido a la forma en que se enseñaban (y aún se enseñan). Cuando me motivé, que fue cuando me topé con las matemáticas de nivel universitario por medio de un libro que encontré, muy rápidamente aprendí lo que no sabía. Encontrarás que todo el material enseñado en la escuela se resume a muy poco, y que puede ser comprendido bastante rápido si uno está motivado.
También son interesantes un par de comentarios sobre la respuesta (los más altamente calificados):
- (Comentario del usuario raindrop) "Cuando me motivé, que fue cuando me encontré con las matemáticas de nivel universitario por medio de un libro que encontré". Yo realmente quiero que los niños estén rodeados de libros de nivel universitario. Es importante para los niños al menos saber que una gran cantidad de cosas son explicadas en esos libros. Cuando era joven, ni siquiera sabía que podía encontrar explicaciones a las cosas en los libros universitarios. La gente no simplemente le da libros universitarios a los niños de 10 años, pero ésta es una actitud equivocada. Exponer a un niño a libros universitarios puede motivarl@ a amar el aprendizaje muy intensamente.
- (Respuesta de Ittay Weiss) Yo una vez, por un periodo corto de tiempo, fui tutor de una niña de 10 u 11 años. Estaba muerta de aburrimiento con el contenido de la escuela. Entonces, tomé una naranja y comencé a tallar figuras en ella. Ella se fascinó al encontrar que todas esas cosas que le dijeron que eran verdad, en realidad eran falsas. Ella entonces fue a la cocina, regresó con toda la fruta que pudo encontrar y experimentó con la geometría no-Euclídea. No necesariamente se necesitan libros universitarios para involucrar a los niños. Sólo necesitas mantenerlos alejados de la basura curricular estándar de la escuela y los libros.
Esta entrada se refiere a las notas String Theory on Calabi-Yau Manifolds de Brian Greene en la sección 2, Some Classical Geometry. Las notas son bastante digeribles para los estudiantes interesados, y en particular esta sección, para los que no han estudiado geometría diferencial o desconocen el lenguaje de las formas diferenciales. Acá muestro algunas acotaciones que me ha sido necesario hacer para leer esta parte de las notas y que en general pueden resultar útiles en otros contextos.
(...) a function $h:\mathbb{C}^{n/2}\to\mathbb{C}^{n/2}$ is holomorphic if $h(z_1,\overline{z}_1,\ldots,z_{n/2},\overline{z}_{n/2})$ is actually independent of all the $\overline{z}_j$ (p. 15)
Se tiene $z\equiv{x+iy}$ y sean $\text{Re}[h]\equiv{u}(x,y),\,\text{Im}[h]\equiv{v}(x,y)$. De las ecuaciones de Cauchy-Riemann, \begin{align}u_x&=v_y\\u_y&=-v_x\end{align} se sigue que \begin{equation}u_x+iv_x=v_y-iu_y\end{equation} de modo que también, \begin{equation}h_x+ih_y=0\end{equation} y ya que $\overline{z}=x-iy$, por regla de la cadena, \begin{align}h_x&=\overline{z}_xh_\overline{z}=h_\overline{z}\\h_y&=\overline{z}_yh_\overline{z}=-ih_\overline{z}\end{align} y finalmente, \begin{equation}h_\overline{z}=0\end{equation} como se esperaba.
(...) $X$ and $Y$ are diffeomorphic but not biholomorphic (p. 18)
La idea es clara pero la ecuación (2.5) debería leerse algo así como \begin{equation}z=y_1+iy_2=x_1+ix_2=\frac{1}{2}(\omega+\overline{\omega})+(\omega-\overline{\omega})=\frac{3}{2}\omega-\frac{1}{2}\overline{\omega}\end{equation} de modo que $z$ no es una función holomorfa en $\omega$.
The antisymmetry involved in exterior differentiation ensures that $d(d\alpha)=0$ for any form $\alpha$ (p. 22)
Esto es evidente de la definición de la derivada exterior aplicada dos veces, \begin{equation}d(d\alpha)\equiv{d}^2\alpha=\p_{jk}\alpha_{i_1\ldots{i}_p}\,dx^j\wedge{d}x^k\wedge{d}x^{i_1}\wedge\ldots\wedge{d}x^{i_p}\end{equation} ya que j,k pueden intercambiarse, pero también $dx^j\wedge{d}x^k=-dx^k\wedge{d}x^j$. Algo lindo de este resultado es que en $\mathbb{R}^3$ es equivalente a los resultados $\nabla\times(\nabla{f})=0$ y $\nabla\cdot(\nabla\times{v})=0$, i.e. en general el diagrama $$\matrix{ \Omega^0 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3 \cr \big\uparrow\small{r}& & \big\uparrow\small{s} & & \big\uparrow\small{t} & & \big\uparrow\small{u} \cr \Omega^0 & \stackrel{\nabla}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\times}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\cdot}{\longrightarrow} & \Omega^0 \cr}$$ conmuta (empleo $\Omega^q$ como el espacio de $q$-formas en la variedad $X$; $V$ son campos vectoriales, $r,s,t,u$ son isomorfismos y que el diagrama conmute significa, por ejemplo, que $s\circ\nabla=d\circ{r}$ o que $d\circ{s}\circ\nabla=t\circ\nabla\times\circ\nabla$, etc...).
In local coordinates, the fact that $dJ=0$ for a Kähler manifold implies $$dJ=(\p+\overline\p)i{g}_{i\bar\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline{\jmath}$$ This implies that $$\frac{\p{g}_{i\overline{\jmath}}}{\p{z}^\ell}=\frac{\p{g}_{\ell\overline{\jmath}}}{\p{z}^i}$$(p. 24)
Se tiene que \begin{align}dJ=i\left(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right)=0\end{align} que tiene sumandos con partes (2-holomorfa,1-antiholomorfa) y viceversa, de modo que deben anularse independientemente. Descomponiendo los objetos $\p_\mu{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ y $\p_\overline{\mu}{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ en partes simétrica y antisimétrica en los pares de índices del mismo tipo, sólo la parte antisimétrica no se anula idénticamente junto con la (r,s)-forma correspondiente al expandir los índices, entonces, \begin{align}dJ=\frac{i}{2}\left[(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}-\p_i{g}_{\ell\overline\jmath})\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+(\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}-\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}})\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right]=0\end{align} de modo que se sigue finalmente que \begin{align}\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}&=\p_i{g}_{\ell\overline\jmath}\\ \p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}&=\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}}\end{align} como se esperaba.
...it is not hard to show that $\gamma$ vanishes... (p.27)
Vale, ciertamente no es difícil, pero se requiere algo más que $\Delta\omega^\prime=0$. Sea $\alpha$ una $p$-forma cualquiera, entonces tomando en cuenta que el producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es positivo definido, \begin{align}\langle\Delta\alpha,\alpha\rangle&=\langle{d^\dagger}d\alpha+dd^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\ &=\langle{d^\dagger}d\alpha,\alpha\rangle+\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\ &=\langle{d}\alpha,d\alpha\rangle+\langle{d^\dagger}\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{align} entonces si $\alpha$ es armónica, la igualdad se cumple y así también $d\alpha=d^\dagger\alpha=0$. De aquí se sigue que si \begin{equation}\omega=d\beta+d^\dagger\gamma+\omega^\prime\end{equation} es cerrada y $\omega^\prime$ es armónica, \begin{equation}d\omega=dd^\dagger\gamma=0\end{equation} y ya que también, en general para cualquier $\alpha$, \begin{equation}\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle=\langle{d}^\dagger\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{equation} se tiene finalmente que $d^\dagger\gamma=0$, que es realmente lo que se necesita mostrar.
...it is straightforward to show that all of the Laplacians built from $d$, $\overline\p$ and $\p$, namely $\Delta$, $\Delta_\overline{\p}$ and $\Delta_\p$ are related by $$\Delta=2\Delta_\overline{\p}=2\Delta_\p$$ (p.27)
En este caso, a diferencia del anterior, además de también requerir más, aparentemente no es realmente tan simple. El famoso Geometry, Topology and Physics de Mikio Nakahara se limita a decir "The proof requires some technicalities and we simply refer to Schwartz (1986) and Goldberg (1962)".
Finalmente las propiedades \begin{align}h^{r,s}_X&=h^{m-r,m-s}_X\\[0.1in] h^{r,s}_X&=h^{s,r}_X\\[0.1in] H^p_d(X)&=\bigoplus_{r+s=p}H^{r,s}_{\overline\p}(X)\end{align} también se discuten en el libro de Nakahara (Greene no lo menciona, pero $m\equiv\text{dim}_\mathbb{C}{X}$). Al menos las dos últimas requieren $\Delta\propto\Delta_\overline{\p}=\Delta_\p$.
It is not hard to show that the vanishing of the $U(1)$ part of the connection, effectively its trace, which ensures that the holonomy lies in $SU(d)$, is tantamount to having a Ricci-flat metric. (p. 31)
El álgebra de Lie, $\mathfrak{u}(d)$, del grupo unitario, $U(d)$, consiste en las matrices antisimétricas complejas (o antihermitianas) $d\times{d}$, con el corchete de Lie dado por el conmutador. Así entonces se puede introducir una (1,1)-forma de curvatura \begin{equation}\Omega_{\overline{k}\ell}\equiv{R}_{\overline{k}\ell{i}\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\end{equation} que en efecto satisface \begin{align}\Omega_{\overline{k}\ell}&=\overline{{R}_{k\overline{\ell\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\ &=-\overline{{R}_{\overline{\ell}k\overline{\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\ &=-\overline{{R}_{\overline{\ell}kj\overline{\imath}}dz^j\wedge{d}\overline{z}^\overline{\imath}}\nonumber\\ &=-\overline{\Omega_{\bar{\ell}k}}\end{align} De aquí entonces, ya que $\mathfrak{u}(d)\simeq\mathfrak{su}(d)\oplus\mathfrak{u}(1)$, i.e. $\Omega_{\overline{k}\ell}$ puede descomponerse en una parte con traza nula en $\mathfrak{su}(d)$ más su traza en $\mathfrak{u}(1)$, de modo que el que la traza cumpla \begin{equation}{\Omega^\ell}_\ell=R_{i\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=\p_i{\Gamma^\overline{k}}_{\overline{\jmath{k}}}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=0\end{equation} equivale a que tener una métrica Ricci-plana y a que el grupo de holonomía esté contenido en $SU(d)$.
Thus, a quintic hypersurface in $\mathbb{C}P^4$ es a Calabi-Yau manifold with complex dimension 3. (p. 33)
Esta parte de las notas es a la que refiero aquí. En general desde la discusión de los espacios $\mathbb{C}P^n$, para los no-iniciados (como yo) es necesario consultar otras fuentes en extenso.
Siguiendo la idea de la entrada "Estudiar física: Motivación", comparto ahora algunos comentarios sobre dónde estudiar física y en específico sobre estudiar en la UAM Iztapalapa (UAM-I).
Antes algo más acerca de la motivación Como expresé anteriormente, yo descubrí tarde que quería estudiar física. Seguido cuando aparecen científicos en entrevistas, éstos ponen de manifiesto que desde que eran chiquititos han querido ser científicos, y casi seguramente están diciendo la verdad, pero esto no siempre es así y más cuando existen tantas posibilidades y tantas motivaciones para dedicarse a tal o cual actividad. Quizá la mejor forma de descubrir aquello que nos apasiona es explorando lo más profundamente posible las opciones que se nos presentan y evaluándolas respecto a nuestra persona; si bien la orientación vocacional en el bachillerato seguido es deficiente, encontrar información en la red hoy en día es sumamente sencillo y hay una cantidad y calidad enorme de divulgadores y divulgación científica sobre las fronteras de la física y la ciencia en general.
Mi caso es peculiar, pero puede servirle a algún alma deambulante: antes de entrar a la universidad, básicamente era considerado un caso perdido; abandoné (por convicción) el bachillerato a la mitad y apenas logré concluirlo en el llamado sistema abierto con un pésimo promedio, aunque suficiente para entrar a alguna universidad pública. Luego de aquellos años de aventura y ya viendo complicada la situación de tener que trabajar y ver mi vida reducida a la de la mayoría de mexicanos, como me alcanzaba mi promedio (el mínimo entonces era de 7.0, yo lo libré por dos décimas), decidí estudiar Matemáticas Aplicadas y Computación en la FES Acatlán porque me interesaba aquello de la programación y por querer hacer algo por cambiar al mundo con conocimientos técnicos (influenciado por contenidos como Zeitgeist), además de que la calificación mínima del examen de ingreso era relativamente baja. Durante estos estudios adquirí una buena sed de conocimiento y en mí ejerció una gran influencia la serie Cosmos de Carl Sagan (que ya está completita y en español en YouTube), además de que leí algunos libros de divulgación sobre nanotecnología y relatividad en la biblioteca de la FES. De aquí decidí cambiarme oportunamente a la Ing. Física en la UAM Azcapotzalco (con la ingenua idea de que saldría siendo un excelente físico a la vez que ingeniero) en donde finalmente comprendí que quería estudiar física sólo por la motivación científica, además de que me interesé por matemáticas más abstractas de las que la ingeniería me ofrecía; leí e.g. Hiperespacio de Kaku, El Universo Elegante de Greene, Of Men and Numbers de Muir, The Shape of Space de Weeks y me maravilló el Complex Analysis de Ahlfors. El punto es que uno no necesariamente tiene que tener su futuro decidido y más bien debe decidirse a explorar con la mayor profundidad posible aquello que capte su atención, aunque sea por su cuenta. Incluso dentro de la misma física el dilema continúa pues al final uno debe seguir especializándose cada vez más y tiene que elegir entre algún área particular u otra, así que a su vez tener intereses suficientemente amplios es algo que también resulta positivo.
Finalmente el estudiar física no necesariamente implica que el único camino posible es convertirse en académico; de hecho la gran mayoría de físicos se dedican a otra actividad relacionada y las universidades suelen hacer énfasis en este amplio abanico de posibilidades cuando promueven la carrera. Lo que sí recomiendo personalmente es que si se considera haber hecho una mala decisión o si se prefiere algún otro camino, se cambie de dirección lo antes posible, pues el no hacerlo podría volverse una carga para toda la vida. Dedicarse a la física, o en general a una carrera científica, no es particularmente sencillo [como dice Feynman, uno básicamente se siente estúpido todo el tiempo ;-) ] pero uno inevitablemente sabe cuando estas adversidades se quedan cortas ante el propio goce de hacerlo.
Las opciones Vale, entonces ya sabes que quieres estudiar física; lo que sigue es saber en dónde. En México en general las opciones parecen estar restringidas a universidades públicas y en particular en la Ciudad de México las opciones son la UNAM, en Ciudad Universitaria, la UAM en Iztapalapa o el IPN en Zacatenco. Aunque la razón de que ciertas universidades privadas -a mi parecer sobrevaloradas por la opinión pública- no ofrezcan la formación de científicos está sujeta a discusión, mi primer sospechoso por razones obvias es la poca o nula generación inmediata de dinero; de cualquier modo creo que es algo positivo y, aunque también tiene su lado negativo y requiera mejoras, espero que así continúe por diversas razones, entre ellas que los estudiantes pagan una cantidad mínima de colegiatura, aún así tienen la posibilidad de recibir apoyo económico y en su mayoría ingresan por méritos académicos (aunque como en mi caso, se reduzcan a fletarse un examen de ingreso no muy sencillo). Las tres opciones en general son consideradas las mejores para estudiar física u otra ciencia, no sólo en el D.F. si no en todo el país, y la elección puede reducirse a una puramente personal.
Al final la que creo que es la diferencia más marcada es que el presupuesto destinado a la UNAM en 2014 fue algo más de 5 veces el destinado a la UAM y poco más de 2 veces el destinado al IPN (fuente). Eso al final se traduce en que en la UNAM, entre otras cosas, uno está rodeado de mayor cantidad de eventos académicos y culturales, además de tener a la vuelta de la esquina recintos tan importantes como el Instituto de Física o el de Ciencias Nucleares. De cualquier modo en cualquiera de las tres uno tiene acceso a instalaciones y eventos importantes, pero sobre todo a expertos reconocidos en el mundo [al menos el mundo académico ;-) ], por lo que seguramente la formación que se obtiene en una no deja mucho que desear de la otra. Acá quizá el mejor consejo es visitar las universidades y acercarse a los responsables de los programas de licenciatura o a su físico favorito para entender mejor qué tal la pasarían los próximos cuatro años de su vida y en general durante toda su carrera.
La admisión En cuanto a la admisión, las opiniones son tan diversas como los jóvenes que presentan los exámenes: hay a quien se la complica más uno y hay a quien se le complica más otro. En mi experiencia sólo hice los exámenes de la UNAM (para Matemáticas Aplicadas, el mismo que para todos los aspirantes) y el de la UAM (para Ing. Física, el mismo que para los aspirantes de CBI), y en general los dos me parecieron bastante demandantes; para el de la UNAM traía una preparación deficiente e.g. en cuanto a mi entendimiento de las matemáticas de bachillerato pero me mecanicé lo suficiente (a fin de cuentas a esto se reducen los exámenes de admisión, lo que al menos en este sentido los hace poco eficientes) para sacar una puntuación de 89/120 (si bien recuerdo, lo que no me hubiera alcanzado entonces para entrar a física), mientras que para el de la UAM, como ya traía una preparación de casi un año en matemáticas, lo que se me complicó fue la química y la física, que a diferencia de la UNAM, te preguntan una cantidad mayor si aspiras a una licenciatura de CBI. Una vez en la UAM-A pude realizar mi cambio a la UAM-I, no sin muchas complicaciones, como haber terminado el 'tronco común' de asignaturas y haber gastado un trimestre entero (es decir, sin haberlo cursado) con el trámite en espera.
Para la UAM no supe el puntaje que obtuve, únicamente supe que había sido admitido; al parecer en la UAM los puntajes necesarios se determinan respecto a cada proceso, aunque supongo que existe un mínimo bien establecido. De cualquier modo el porcentaje de aceptación es relativamente alto, siendo casi del 50%. También es de destacar que el ingreso (desde el intento mismo) de mujeres respecto al de hombres sigue siendo muy poco, prácticamente de la mitad. Ésta y más cifras se pueden consultar en este documento.
El edificio de CBI de la UAM-I
Cómo funcionan las cosas en la UAM Una diferencia importante de la UAM respecto a las demás universidades es que utiliza un sistema trimestral. Esto la hace sumamente demandante porque en 11 o 12 semanas se estudian y evalúan temarios completos, donde se adquieren conocimientos que además luego son necesarios en otras asignaturas. Dependiendo del profesor, usualmente se realizan tres evaluaciones, por lo que cada 3 semanas y fracción uno ya debe estar listo para ser evaluado, para lo que antes uno ya debió haber movido su manita lo suficiente con la solución de una buena cantidad de problemas y con lo que entonces antes uno debió haber atendido con gran atención las clases o debió haber leído algún libro de texto al menos de pasadita. Eso, claro, si uno quiere pasar la asignatura al menos de manera decente; a algunos les llevará más o menos esfuerzo, pero en términos generales esa es la situación, que resulta muy distinta al sistema semestral en el que uno se la puede llevar relativamente relajado al menos durante buena parte del semestre. De cualquier modo, un ligero inconveniente del sistema trimestral es que uno tiene poco tiempo para digerir las cosas, lo que siempre es necesario, sobre todo para alguien que estudia física o matemáticas y quiere realmente entender algo más que simplemente poder hacer cálculos.
Las calificaciones en la UAM también se manejan de forma distinta; se emplean las letras MB, B, S y NA para designar calificaciones de 10 (Muy Bien), 8 (Bien), 6 (Suficiente) y No Acreditado (simplemente no se promedia). Esto puede resultar ventajoso o todo lo contrario, pues usualmente los profesores califican en una escala de 10 en decimales y luego determinan los intervalos que corresponden a cada calificación en letra sólo de modo que se incluya el valor oficial, por ejemplo si establecen que 5.9<S≤7.9<B≤8.9<MB≤10, uno obtendría una MB con un 9 pero una S con un 7.9, que en realidad está más cerca de la B.
El programa de la UAM-I Ambos programas, el de Ing. Física y el de Lic. Física son bastante parecidos hasta poco luego del "tronco general"; quizá la única asignatura que percibí distinta fue la de termodinámica clásica, que en la UAM-A desde un principio parecen enfocarla hacia la ingeniería; fuera de ese tipo de detalles, la preparación matemática, por ejemplo, que recibí en la UAM-A, fue tan buena como la necesaria para estudiar física. Algo que sí lamenté al llegar a la UAM-I fue que la preparación matemática que los físicos reciben es también la que reciben los ingenieros y no los matemáticos, pero esta situación se ha vuelto recientemente la misma (anteriormente los físicos sí llevaban las primeras clases de matemáticas junto con los matemáticos) en muchas otras universidades, incluida la UNAM, y sinceramente ahora creo que estaría de más que fuera del otro modo, pues los físicos en las últimas de la licenciatura o los ya egresados que están interesados en física-matemática o en matemáticas per se pueden hacer la transición de manera relativamente suave.
Luego el currículo principal de la licenciatura en física cubre los temas de Mecánica Clásica, Mecánica Cuántica, Electromagnetismo, Mecánica Estadística (Termodinámica) y Física Experimental. Acá yo tengo mis reservas sobre la última, pues en los últimos trimestres se cursan materias experimentales consideradas 'avanzadas' que más bien se enfocan en temas específicos como espectroscopía y materiales, y que por tanto considero que deberían de ser optativas, en cambio es inverosímil que egresen físicos que no saben Relatividad (al menos la especial) porque la materia no es obligatoria. De cualquier modo, en general parece que han empezado a haber avances en cuanto a la apertura a la gravitación y la física de altas energías en la UAM-I para alumnos de licenciatura; a mí me tocó llevar cursos de relatividad especial, relatividad general, una introducción a cuerdas, y el interés de los alumnos continuaba aún cuando egresé pues seguían solicitando más cursos de este tipo.
Finalmente, además de los cursos optativos, que están sujetos a que otros alumnos tengan intereses como los tuyos, están los llamados Proyectos Terminales. En general para egresar de una licenciatura de la UAM no es necesario escribir una tesis. Esto también tiene sus lados positivos y negativos; creo que lo mejor sería que se ofreciera la opción de escribir o no una tesis, pues puede ser relevante sobre todo para quienes quieren continuar con una carrera académica. Como sea, los proyectos terminales (cada uno en un trimestre correspondiente) son dos proyectos de investigación que uno propone junto con un asesor en algún tema que le interese; esto permite entender un poco de qué va el hacer investigación científica, ya sea experimental o teórica. Lo que yo hice es este trabajo sobre atractores inflacionarios, que es un ejemplo de un proyecto teórico; los resultados pueden ir desde un pequeño reporte hasta la producción de un artículo científico.
Imagen de la película A Serious Man (2009)
No podría decir menos a que el programa es de un nivel excelente y en general complicado en el sentido de que a los alumnos de las carreras de CBI en promedio les lleva 20 trimestres, o algo así como 7 años, egresar. De cualquier modo esto es completamente relativo y pasa en cualquier universidad; en mi caso me tomó los 12 trimestres (o 4 años) concluir, incluido el trimestre que no cursé por esperar el trámite del cambio, aunque lo logré llevando una carga bastante grande en los primeros trimestres (llegué a inscribir hasta 7 materias en un solo trimestre) y una carga regular (4 o 5 materias por trimestre) después, como sea el hecho es que si uno se apega al plan de estudios (específicamente al llamado boligrama) con paso firme, no debería haber ningún problema en ser alumno (en tiempo) regular.
Para conocer más sobre el programa de la UAM-I contacta a la Coordinación de la Licenciatura o bien, en Facebook existe este grupo creado y gestionado por alumnos donde puedes recibir otras opiniones valiosas.
Hace ya algún tiempo leía este pequeño artículo de Michio Kaku: "So You Want to Become a Physicist?", en donde describe de qué va el convertirse en físico. A diferencia de Kaku, yo apenas me subí al barco, pero ya soy un tripulante, así que igual comentaré algunas cosas al respecto. ¿Por qué convertirse en físic@? Querer ser físico significa querer entender el funcionamiento y la estructura de la naturaleza.
Así dicho puede parecer muy vago (empezando por la palabra naturaleza), pero al final eso es todo lo que es, y dejaré la pedantería para luego. El motor de un físico no es el de generar nuevas tecnologías ni el de generar beneficios materiales para la sociedad (como parece sugerir Kaku), si no simple y llanamente el de comprender la realidad física a través del método científico, promoviendo el impulso de las fronteras del conocimiento actual. Esto no significa que como físico no se tenga consciencia social o no se tenga otros intereses profesionales, pero no es la motivación principal como seguido se promueve.
Seguido se plantea también la pregunta: "¿para qué estudiar física?", que parece ser en esencia la misma pero no lo es. Hay una infinidad de razones por las cuales estudiar física, independientemente de si te gustaría dedicarte a las finanzas, a la biología o a la ingeniería, pero sólo la que mencioné se refiere directamente a estudiar física para convertirse en físico; las demás, como las relacionadas con las aplicaciones, suelen servir como anuncio comercial más que nada. Nuevamente eso no significa que siendo físico no puedas hacer o interesarte por otras cosas, de hecho la mayoría de los estudiantes de física termina dedicándose profesionalmente a algo distinto (de algún modo yo también opté, o estoy optando, por una variante ligeramente distinta); las razones nuevamente son una infinidad, pero entre ellas puede estar incluso la misma Academia o el tipo de trabajo mismo que es el llevar acabo investigación en ciencia básica.
Salvo excepciones, creo que en México se hace una mala labor de guiar a los niños o jóvenes hacia la ciencia o las matemáticas en general. El enfoque en secundaria y bachillerato debería estar en el entendimiento profundo de los pilares y la motivación en las fronteras y los problemas más grandes y actuales; hay varias barreras para ello, pero ese es otro tema. El punto es que hay muchísimos fenómenos físicos mundanos que podrían explorarse en la educación básica maravillando al estudiante y sin hacerlo pasar por el infierno que actualmente es la física y las matemáticas en secundaria y el bachillerato, y luego existe también un sin fin de cuestiones relevantes en la investigación básica actual, desde cuestiones puramente clásicas como el caos, la turbulencia y los sistemas dinámicos, hasta los confines de la cosmología, la física de partículas y la gravedad cuántica.
Por experiencia propia, en la UAM-I, al menos en generaciones cercanas a la mía, apenas reconozco a dos estudiantes, uno siendo yo, de excelencia académica (con esto no quiero decir que no hubiera otros estudiantes talentosos o brillantes en algún sentido) y los dos comenzamos estudiando una ingeniería. Quizá el problema más común para un estudiante es la incapacidad de ver más allá en términos de la razón de estudiar física, normalmente porque no hay algún mentor o guía o modelo a seguir en una etapa temprana, aparte de la historia de que hay muchas cosas de provecho en qué usar el conocimiento técnico (en particular, yo tenía la ingenua idea de que al estudiar "ingeniería física" sería un experto en física además de ingeniero).
(Kaplan) ¿Por qué lo estamos haciendo? Tenemos dos respuestas: una es la que le contamos a la gente, y la otra es la verdad. Les contaré las dos. No es que la primera respuesta sea incorrecta, es solo que... no habla de lo que nos motiva. No es así como pensamos, pero sí es algo que se puede decir con rapidez y la persona a la que se lo cuentas no se distraerá, o pasará de ti (...) La respuesta número uno es: estamos reproduciendo las condiciones que se daban justo tras el big bang. Lo estamos haciendo en este colisionador, y lo estamos reproduciendo para ver qué pasaba cuando el universo acababa de nacer. Esto es lo que le contamos a la gente.
Vale, segunda respuesta: estamos tratando de comprender las leyes básicas de la naturaleza. Suena algo más suave, pero en esto es en lo que estamos y esto es lo que tratamos de hacer. Estudiamos las partículas porque, inmediatamente tras el big bang, lo único que había eran partículas, y en ellas se halla la información sobre cómo el universo comenzó, y cómo llegó a ser como es, y su futuro.
(Audiencia) Supongamos que tienen éxito y que todo sale bien. Vale, ¿qué beneficios vamos a obtener? ¿Qué ganamos con esto? ¿Cómo justifica usted todo esto? Por cierto, soy economista.
(Kaplan) No se lo tendré en cuenta (...). Tengo una respuesta muy, muy sencilla: no tengo ni idea. No tenemos ni idea. Cuando se descubrieron las ondas de radio, nadie las llamó ondas de radio, porque no había radios. Se descubrieron como cierta clase de radiación. Para que en ciencia básica se den grandes avances se necesita operar a un nivel en el que nadie esté preguntando "¿cuál es el beneficio económico?" Lo que te preguntas es "¿qué no sabemos, y dónde podemos hacer progresos?" Así que, ¿para qué sirve el LHC? Puede que para nada... excepto para entenderlo todo.
Particle Fever, en general, captura bastante bien de qué va ser físico en la que seguramente es hasta hoy la empresa científica más grande de la historia, resaltando además la diferencia sutil entre los físicos experimentales y los teóricos. Está disponible en Netflix (LatAm), o puede comprarse en Amazon, o bien, conseguirse en la web.
Por supuesto el camino no es sencillo (y eso que yo no he llegado a la parte más difícil), sobre todo porque la naturaleza es la que es y no la que nos gustaría que fuera. Esto de algún modo contrasta con el hecho de que al final, al menos en muchos aspectos, de lo que se trata es de tener creatividad para abordar nuevos problemas y proveer nuevas soluciones.
Finalmente, en el artículo de Kaku se detalla el camino estándar hacia convertirse en físico y realizar investigación, que básicamente empieza con la licenciatura, continúa hacia el posgrado y converge en la Academia. Este último paso casi seguramente es lo más difícil, pero si uno llega hasta ahí es seguramente porque se ha convencido ya de que ése es el camino que debe seguir.
