El lema de Poincaré

Una forma exacta $\phi=d\varphi$ es siempre cerrada dado que $d^2=0$. El lema de Poincaré provee la situación en que el converso también es cierto diciendo que una p-forma cerrada $\phi$ en una región abierta $U$ simplemente-conexa de una variedad $M$ será también exacta. Esto es, siempre que $\phi\in\Omega^p(U)$ con $U\subset{M}$ simplemente-conexo y $d\phi=0$, existe una (p-1)-forma $\varphi$ tal que $\phi=d\varphi$.

Vale, intentaré elaborar un poco sobre la prueba de este resultado que he seguido en este documento para 1-formas y en el libro de Nakahara para p-formas. Al final traduciré algunas cosas a $\mathbb{R}^3$.

1-formas
Acá trataré con una 1-forma cerrada $\phi$ y superficies o 1-variedades $M$. Lo primero que uno piensa es en usar las palabras mágicas simplemente-conexo, pues es lo que hace válido el lema. Intuitivamente, simplemente-conexo significa que está hecho de una sola pieza (conexo) y no tiene hoyos; para formalizar, podemos definir la llamada homotopía de una curva cerrada simple (o que no se intersecta a sí misma; en adelante las llamaré circuitos) $\mc{C}:[a,b]\to{M}$ tal que $\mc{C}(a)=\mc{C}(b)\equiv{p}$ (en general con $\mc{C}^\prime(a)\neq\mc{C}^\prime(b)$) a un punto de la curva, también llamada nulhomotopía, como el mapeo
\begin{equation}h:[a,b]\times[0,1]\to{M}\end{equation} tal que para $u\in[a,b]$, $v\in[0,1]$,
\begin{align}h(u,0)&=\mc{C}(u)\\
h(u,1)&=h(a,v)=h(b,v)=p\end{align} que estrictamente es un 2-segmento (o 2-celda) de $M$ pero que puede pensarse como una colección de circuitos $\mc{C}_v(u)=h(u,v)$ para cada $v$, o mejor aún como una función continua que deforma $\mc{C}$ en el punto $p$ a través del parámetro $v$. Si tal mapeo existe, se dice que $\mc{C}$ es nulhomotópica u homotópica a una constante.

Ilustración en Wikipedia. Un ejemplo visualmente sencillo: $S^2$ es simplemente conexo (en dos dimensiones) porque es conexo y cualquier circuito es nulhomotópico.

Así pues, $M$ es simplemente-conexo si es conexo y cualquier circuito en $M$ es nulhomotópico. Nos interesaría entonces emplear el hecho de que la 1-forma cerrada $\phi$ está en una región $U$ simplemente-conexa de $M$. Considerando entonces un circuito $\mc{C}:[a,b]\to{U}$ y su nulhomotopía $h$, lo más inmediato es usar el teorema de Stokes (segunda igualdad),
\begin{equation}0=\int\limits_hd\phi=\int\limits_{\p{h}}\phi\label{stokes1}\end{equation} Aquí el calcular la frontera $\p{h}$ me resultó un tanto confuso; de cualquier modo lo entendí considerando el caso de un círculo en $\mathbb{R}^2$ con la nulhomotopía siendo un disco. Puedes verlo usando el siguiente botón o continuar si no lo consideras necesario.

Considero la nulhomotopía
$$h:[0,2\pi]\times[0,1]\to\mathbb{R}^2$$ del círculo
$$C:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2$$ al punto $C(0)=C(2\pi)$. Para sentar ideas se puede considerar el caso particular $\mc{C}(u)=(\sin{u},1-\cos{u})$ y la nulhomotopía al punto $\mc{C}(0)=\mc{C}(2\pi)$ explícita (la más sencilla de todas)
$$h(u,v)=(1-v)\,\mc{C}(u)$$
En general, los llamados bordes de un 2-segmento $s:[a,b]\times[c,d]\to{M}$, están dados por $s(u,c)$, $s(u,d)$, $s(a,v)$ y $s(b,v)$ con $u\in[a,b]$ y $v\in[c,d]$; podemos entonces formar la frontera, o la curva borde de $h$ pegando ordenadamente sus bordes, esto es, pues, si hacemos $\alpha(u)=h(u,0)$, $\beta(v)=h(2\pi,v)$, $\gamma(u)=h(u,1)$, $\delta(v)=h(0,v)$, tendremos de manera abstracta (se dice una 'combinación formal'), que
$$\p{h}=\alpha+\beta-\gamma-\delta$$ donde $-\gamma$ y $-\delta$ son las inversiones de orientación de $\gamma$ y $\delta$ respectivamente (e.g. $h(2\pi-u,1)$ y $h(0,1-v)$). Vale, el punto de esto es que lo mismo sucede en general para cualquier nulhomotopía $h$.

Sean entonces $\alpha(u)=h(u,0)$, $\beta(v)=h(b,v)$, $\gamma(u)=h(u,1)$, $\delta(v)=h(a,v)$ los bordes de $h$, de modo que
\begin{equation}\p{h}=\alpha+\beta-\gamma-\delta\end{equation} y en particular nota que en una nulhomotopía, $\beta^\prime(v)=\gamma^\prime(u)=\delta^\prime(v)=0$, de modo que se tiene por (\ref{stokes1}) que
\begin{align}\int\limits_{\p{h}}\phi&=0\nonumber\\
&=\int\limits_\alpha\phi+\underbrace{\int\limits_\beta\phi-\int\limits_\gamma\phi-\int\limits_\delta\phi}_{=\int\limits_0^1\phi(\beta^\prime(v))\,dv-\int\limits_a^b\cdots\,=0}\nonumber\\
&=\int\limits_\alpha\phi=\int\limits_\mc{C}\phi\end{align}

Hay distintas formas equivalentes de definir una 1-forma; aquí la que sirve de manera inmediata es
$$\omega:T(M)\to{C}^\infty(M)$$ donde $T(M)$ es el conjunto de todos los vectores en $M$ (el espacio total del fibrado tangente de $M$) y $C^\infty(M)$ el conjunto de funciones suaves infinitamente diferenciables; en particular, en un punto $p\in{M}$, se tiene $\omega:T_p(M)\to\mathbb{R}$ que también se llama vector cotangente o covector, con $T_p(M)$ el espacio tangente en $p$. Localmente, i.e. en una vecindad $U$ de $p$, el espacio es (isomorfo a) $\mathbb{R}^n$ y se pueden emplear coordenadas locales $x^i$ de modo que $\{\p_i\}$ constituya una base de vectores en cualquier $T_p(M)$ y $\{dx^i\}$ una base de covectores en $T^*_p(M)$, el espacio cotangente de $M$ en $p$ (asumo que se conoce esto, como sea, una explicación rápida y clara en este documento, o bien una más extensa en el libro de Nakahara), tal que $dx^i(\p_j)=\delta^i_j$.

Así, si localmente $\omega=\omega_idx^i$ con $\omega_i\in{C}^\infty(U)$ y $\vec{v}=v^i\p_i$, tenemos que
$$\omega(\vec{v})=\omega_idx^i(v^j\p_j)=v^i\omega_i$$ (de ahí que $\phi(0)=0$) También es útil recordar la definición de la derivada exterior, o en particular de la diferencial
$$d:C^\infty(M)\to{T}^*(M)$$ que localmente manda funciones $f:U\to\mathbb{R}$ de clase $C^\infty$ a 1-formas a través de
$$df=\p_if\,dx^i$$ de modo que también, en general
$$df(\vec{v})=v^i\p_if$$

es decir, obtenemos que la integral de una 1-forma cerrada $\phi$ a través de un circuito $\mc{C}$ en una región simplemente-conexa es cero,
\begin{equation}\oint\limits_\mc{C}\phi=0\end{equation} que no es más que decir que si tomamos dos puntos $p$ y $q$ y dos curvas que los unan, $\delta$ y $\eta$, de modo que $\mc{C}=\delta-\eta$,
\begin{equation}\int\limits_\delta\phi=\int\limits_\eta\phi\end{equation} i.e. la integral será independiente de los caminos $\delta$ y $\eta$. Usualmente también ésta se toma como una definición equivalente de una forma exacta, e.g. en cursos de termodinámica, donde se toma prácticamente como definición. Sabemos entonces que la integral sólo dependerá de $p$ y $q$; supongamos que fijamos $q$ y dejamos que $p$ sea cualquier punto en $U$, entonces podemos proponer una función $\varphi\in{C}^\infty(U)$ tal que
\begin{equation}\varphi(p)=\int\limits_\eta\phi\end{equation} Más generalmente, consideremos $\eta:[a,b]\to{U}$ y algún $t\in[a,b]$ de modo que tengamos en mente el segmento $\eta_t:[a,t]\to{U}$ y cualquier punto dinámico $\eta(t)$,
\begin{equation}\varphi\left(\eta(t)\right)=\int\limits_{\eta_t}\phi=\int_a^t\phi(\eta^\prime(u))\,du\label{poin1}\end{equation} Considerando $\eta(t)$ en coordenadas locales de modo que $d\varphi=\p_i\varphi\,dx^i$, sea entonces $f:U\to\mathbb{R}$ una función cualquiera de modo que $\frac{df(\eta(t))}{dt}=\frac{dx^i}{dt}\frac{\p{f}}{\p{x}^i}$, entonces $\eta^\prime(t)=\frac{dx^i(\eta(t))}{dt}\p_i$ en coordenadas locales, lo que nos permite calcular que
\begin{equation}d\varphi\left(\eta^\prime(t)\right)=\frac{\p\varphi}{\p{x}^i}\frac{dx^i}{dt}=\frac{d\varphi(\eta(t))}{dt}\end{equation} lo que entonces lleva por (\ref{poin1}) a que
\begin{equation}d\varphi(\eta^\prime(t))=\phi\left(\eta^\prime(t)\right)\end{equation} y $\eta^\prime(t)$ es un vector definido en cada punto de $\eta$ que a su vez es arbitraria siempre que su imagen y su último punto estén en la región simplemente conexa $U\subset{M}$, de modo entonces que en general
\begin{equation}d\varphi=\phi\end{equation} lo que prueba el lema para 1-formas.

Henri Poincaré dibujado por David Levine.
Fuente: www.nybooks.com/galleries/david-levine-illustrator

El lema de Poincaré naturalmente es válido para p-formas con $p\geq1$. El famoso libro de Nakahara, disponible en línea aquí, tiene una demostración sencilla que a lo más requiere la generalización de una nulhomotopía a un punto $p\in{U}$ como $H:U\times[0,1]\to{U}$ con $H(u,0)=u$ y $H(u,1)=p$ para $u\in{U}$ y la definición del pullback de una forma diferencial por una función. Seguramente también es posible generalizar los mismos pasos para p-formas que los que mostré para 1-formas, aunque probablemente sea más laborioso que la demostración de Nakahara; en general debe haber muchas formas y otras muy sencillas de probar el lema.

A fin de cuentas, de cualquier modo, el lema es prácticamente siempre, o lo que es lo mismo, es válido siempre localmente.

Traducción al cálculo vectorial en $\mathbb{R}^3$
Del lema de Poincaré surgen todas las propiedades lindas que se usan en termodinámica con derivadas parciales para las variables de estado; como sea, la situación es realmente más elaborada que esto, aunque a los físicos les sea poco útil esta formalidad.

En general todo espacio vectorial $V$ tiene un espacio dual $V^*$ en el sentido de que existen mapeos de $V$ en $\mathbb{R}$. En el caso de variedades, al menos siempre localmente, se puede proveer un isomorfismo (o difeomorfismo) entre ambos a través de la métrica. El caso de $\mathbb{R}^3$ es bastante lindo como motivación para aprender el lenguaje de las formas diferenciales, que si bien no cambian el contenido, hacen las cosas mucho más sencillas y elegantes. Un ejemplo es el electromagnetismo, que usualmente se formula usando cálculo vectorial, e.g. puedes consultar: Maxwell's equations in terms of differential forms (que en general también sirve para introducirse como físico a las formas diferenciales), y en general muchos temas en física matemática como las teorías de norma (GFT's) están formuladas en estos términos. Adelante sólo asumo primero tres dimensiones y luego paso a $\mathbb{R}^3$ (asumiendo coordenadas cartesianas).

La playera que se ha visto utilizan l@s jóvenes cool de hoy$$F=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}dx^\mu\wedge{d}x^\nu$$

0-formas
Primero, en el caso de 0-formas o funciones $\varphi\in\Omega^0$, evidentemente el isomorfismo $\Omega^0\to\Omega^0=C^\infty$ es una identidad $\varphi\mapsto{\varphi}$.

1-formas
Para 1-formas $\phi\in\Omega^1$, se tiene localmente $\phi=\phi_idx^i$ y a través de una métrica, $g$ se obtiene
\begin{align}g^{-1}(\phi,\sigma)&=g^{ij}\phi_i\sigma_j\nonumber\\
&=g^{i\beta}\phi_i\sigma_\alpha\delta^\alpha_\beta\nonumber\\
&=g^{i\beta}\phi_i\p_\beta(\sigma_\alpha{d}x^\alpha)=\phi^i\p_i(\sigma)\end{align} esto es, $g^{-1}(\phi,\cdot)=g^{ij}\phi_i\p_j$, en general, $\phi\mapsto{g}^{-1}(\phi,\cdot)$. Ahora bien, considerando que $d:\Omega^p\to\Omega^{p+1}$, tenemos que $d\varphi\mapsto{g}^{ij}(\p_i\varphi)\p_j$ que en el caso del contradominio ${C}^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)$, con $g^{ij}=\delta^{ij}=\delta_{ij}$, se reduce a $d\varphi\mapsto\nabla\varphi$. Así, el lema de Poincaré en el cálculo vectorial Euclídeo se traduce en que campos conservativos son campos gradiente,
\begin{equation}\phi=d\varphi\longleftrightarrow\vec{\phi}=\nabla\varphi\end{equation} donde $\vec\phi={g}^{-1}(\phi,\cdot)$. La correspondencia mediante la métrica $g$ se llama el isomorfismo musical, que tiene tanto el isomorfismo $\sharp:\Omega^1\to{V}$ como su inversa $\flat:V\to\Omega^1$ (hasta donde sé, el nombre es simplemente por los símbolos de sostenido $\sharp$ y bemol $\flat$) y puede señalarse de manera más sencilla, e.g. en este caso el isomorfismo en términos de $\sharp$ es
\begin{equation}\phi\mapsto\phi^\sharp=g^{ij}\phi_i\p_j\end{equation}

2-formas
Para 2-formas $\omega\in\Omega^2$, localmente, $\omega=\omega_{ij}dx^i\wedge{d}x^j=\frac{\omega_{ij}}{2}(dx^i\otimes{d}x^j-dx^j\otimes{d}x^i)$. Ahora bien, aunque el isomorfismo musical puede extenderse en general para mandar $\bigotimes\limits^pT(M)$ en $\bigotimes\limits^pT^*(M)$ (que no es exactamente el espacio de p-formas) y viceversa, lo que nos interesa es mandar 2-formas en campos vectoriales o funciones. Si consideramos dos 1-formas $\alpha$ y $\beta$, localmente podemos formar la 2-forma
\begin{align}\alpha\wedge\beta&=\alpha_i\beta_j{d}x^i\wedge{d}x^j\nonumber\\
&=(\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1)dx^1\wedge{d}x^2+(\alpha_2\beta_3-\alpha_3\beta_2)dx^2\wedge{d}x^3+(\alpha_3\beta_1-\alpha_1\beta_3)dx^3\wedge{d}x^1\end{align} donde los coeficientes tienen exactamente la misma cara que los de un producto cruz de vectores 3-dimensional. El operador necesario en este caso es el dual (o estrella) de Hodge $\star:\Omega^p\to\Omega^{(n-p)}$, definido por
\begin{equation}\star(dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge{d}x^{i_p})\equiv\frac{\sqrt{|g|}}{(n-p)!}{\epsilon^{i_1\cdots{i}_p}}_{j_1\cdots{j}_{n-p}}dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge{d}x^{j_{n-p}}\end{equation} que entonces aquí mandará 2-formas en 1-formas a través de (asumo $\sqrt{|g|}=1$ en adelante)
\begin{equation}\star(dx^i\wedge{d}x^j)={\epsilon^{ij}}_kdx^k\end{equation} de modo que en tres dimensiones $\star(\alpha\wedge\beta)=\vec{\alpha}\times\vec{\beta}$ y entonces el isomorfismo $\Omega^2(\mathbb{R}^3)\to{C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)}$ es (empleo $\{\mathrm{e}_i\}$ como la base de vectores)
\begin{equation}\omega\mapsto(\star\omega)^\sharp=\epsilon_{ijk}\omega_{ij}\mathrm{e}_k\end{equation} Si además $\omega$ es cerrada, también por lema de Poincaré $\omega=d\phi$ y así
\begin{equation}(\star\,d\phi)^\sharp=\epsilon_{ijk}\p_i\phi_j\mathrm{e}_k=\nabla\times\phi^\sharp\label{conm1}\end{equation} de modo que la versión equivalente del lema es $\vec{\omega}=\nabla\times\vec\phi$, i.e. la versión para campos rotacionales. Si nuevamente $\phi$ es cerrada y por el lema también exacta, se tiene la equivalencia de que los campos conservativos son también irrotacionales,
\begin{equation}\omega=d\phi=d^2\varphi=0\longleftrightarrow\vec\omega=\nabla\times\vec\phi=\nabla\times\nabla\varphi=0\end{equation}

3-formas
Finalmente la estrella de Hodge manda 3-formas $\psi\in\Omega^3$, localmente $\psi=\psi_{ijk}dx^i\wedge{d}x^j\wedge{d}x^k$ en 0-formas, entonces
\begin{equation}\psi\mapsto\star\psi=\epsilon^{ijk}\psi_{ijk}\end{equation} es un isomorfismo $\Omega^3\to\Omega^0=C^\infty$ inducido naturalmente. En este caso si $\psi=d\omega$, en $\mathbb{R}^3$,
\begin{equation}\star{d}\omega=\epsilon_{ijk}\p_k\omega_{ij}=\nabla\cdot(\star\omega)^\sharp\end{equation} de modo que el lema se traduce en $\star\psi=\nabla\cdot\vec\omega$; si aún a su vez $\omega=d\phi$, se tiene la equivalencia de que los campos rotacionales son libres de divergencia,
\begin{equation}\psi=d\omega=d^2\psi=0\longleftrightarrow\star\psi=\nabla\cdot\vec\omega=\nabla\cdot(\nabla\times\vec\phi)=0\end{equation} Nota de cualquier modo que también, en general para cualquier 1-forma $\zeta\in\Omega^1$ se puede formar
\begin{align}\star{d}\star\zeta&=\star{d}\left(\frac{1}{2}{\epsilon^{i}}_{jk}\zeta_idx^j\wedge{d}x^k\right)\nonumber\\
&=\star\left(\frac{1}{2}{\epsilon^{i}}_{jk}\p_\ell\zeta_i\,dx^\ell\wedge{d}x^j\wedge{d}x^k\right)\nonumber\\
&=\frac{1}{2}\epsilon^{\ell{j}k}{\epsilon^{i}}_{jk}\p_\ell\zeta_i=\delta^{\ell{i}}\p_\ell\zeta_i\stackrel{\mathbb{R}^3}{=}\nabla\cdot\zeta^\sharp\end{align} de manera que igualmente se puede construir $\star{d}\star{d}\varphi=\nabla\cdot\nabla\varphi$.

El complejo de De Rham
Esto usualmente se hace de manera inversa, es decir, pasando de las relaciones del cálculo vectorial a las de las formas diferenciales, de cualquier modo esta manera también es útil y asimismo sirve para notar la generalidad de las p-formas. El siguiente diagrama (formalmente llamado complejo de De Rham)
$$\matrix{ \Omega^0(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2(\mathbb{R}^3) & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3(\mathbb{R}^3) \cr
\big\downarrow\small{\mathrm{Id}}& & \big\downarrow\small{\sharp} & & \big\downarrow\small{\sharp\circ\star} & & \big\downarrow\small{\star} \cr
C^\infty(\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla\times}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) & \stackrel{\nabla\cdot}{\longrightarrow} & C^\infty(\mathbb{R}^3) \cr}$$ con
\begin{align}\mathrm{Id}(\varphi)&=\varphi\\
\sharp(\phi_idx^i)&=\phi_i\mathrm{e}_i\\
\sharp\circ\star(\omega_{ij}dx^i\wedge{dx}^j)&=\epsilon_{ijk}\omega_{ij}\mathrm{e}_k\\
\star(\psi_{ijk}dx^i\wedge{dx}^j\wedge{dx}^k)&=\epsilon^{ijk}\psi_{ijk}\end{align} encapsula de manera bastante concisa toda la información anterior. Como se vio, el diagrama conmuta, i.e. se llega al mismo lugar sin importar qué flechas se sigan.

Acotaciones sobre geometría clásica en "Teoría de cuerdas en variedades Calabi-Yau"

Esta entrada se refiere a las notas String Theory on Calabi-Yau Manifolds de Brian Greene en la sección 2, Some Classical Geometry. Las notas son bastante digeribles para los estudiantes interesados, y en particular esta sección, para los que no han estudiado geometría diferencial o desconocen el lenguaje de las formas diferenciales. Acá muestro algunas acotaciones que me ha sido necesario hacer para leer esta parte de las notas y que en general pueden resultar útiles en otros contextos.

(...) a function $h:\mathbb{C}^{n/2}\to\mathbb{C}^{n/2}$ is holomorphic if $h(z_1,\overline{z}_1,\ldots,z_{n/2},\overline{z}_{n/2})$ is actually independent of all the $\overline{z}_j$
(p. 15)

Se tiene $z\equiv{x+iy}$ y sean $\text{Re}[h]\equiv{u}(x,y),\,\text{Im}[h]\equiv{v}(x,y)$. De las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
\begin{align}u_x&=v_y\\u_y&=-v_x\end{align} se sigue que
\begin{equation}u_x+iv_x=v_y-iu_y\end{equation} de modo que también,
\begin{equation}h_x+ih_y=0\end{equation} y ya que $\overline{z}=x-iy$, por regla de la cadena,
\begin{align}h_x&=\overline{z}_xh_\overline{z}=h_\overline{z}\\h_y&=\overline{z}_yh_\overline{z}=-ih_\overline{z}\end{align} y finalmente,
\begin{equation}h_\overline{z}=0\end{equation} como se esperaba.

(...) $X$ and $Y$ are diffeomorphic but not biholomorphic
(p. 18)

La idea es clara pero la ecuación (2.5) debería leerse algo así como
\begin{equation}z=y_1+iy_2=x_1+ix_2=\frac{1}{2}(\omega+\overline{\omega})+(\omega-\overline{\omega})=\frac{3}{2}\omega-\frac{1}{2}\overline{\omega}\end{equation} de modo que $z$ no es una función holomorfa en $\omega$.

The antisymmetry involved in exterior differentiation ensures that $d(d\alpha)=0$ for any form $\alpha$
(p. 22)

Esto es evidente de la definición de la derivada exterior aplicada dos veces,
\begin{equation}d(d\alpha)\equiv{d}^2\alpha=\p_{jk}\alpha_{i_1\ldots{i}_p}\,dx^j\wedge{d}x^k\wedge{d}x^{i_1}\wedge\ldots\wedge{d}x^{i_p}\end{equation} ya que j,k pueden intercambiarse, pero también $dx^j\wedge{d}x^k=-dx^k\wedge{d}x^j$. Algo lindo de este resultado es que en $\mathbb{R}^3$ es equivalente a los resultados $\nabla\times(\nabla{f})=0$ y $\nabla\cdot(\nabla\times{v})=0$, i.e. en general el diagrama
$$\matrix{ \Omega^0 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3 \cr
\big\uparrow\small{r}& & \big\uparrow\small{s} & & \big\uparrow\small{t} & & \big\uparrow\small{u} \cr
\Omega^0 & \stackrel{\nabla}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\times}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\cdot}{\longrightarrow} & \Omega^0 \cr}$$ conmuta (empleo $\Omega^q$ como el espacio de $q$-formas en la variedad $X$; $V$ son campos vectoriales, $r,s,t,u$ son isomorfismos y que el diagrama conmute significa, por ejemplo, que $s\circ\nabla=d\circ{r}$ o que $d\circ{s}\circ\nabla=t\circ\nabla\times\circ\nabla$, etc...).

In local coordinates, the fact that $dJ=0$ for a Kähler manifold implies
$$dJ=(\p+\overline\p)i{g}_{i\bar\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline{\jmath}$$ This implies that $$\frac{\p{g}_{i\overline{\jmath}}}{\p{z}^\ell}=\frac{\p{g}_{\ell\overline{\jmath}}}{\p{z}^i}$$(p. 24)

Se tiene que
\begin{align}dJ=i\left(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right)=0\end{align} que tiene sumandos con partes (2-holomorfa,1-antiholomorfa) y viceversa, de modo que deben anularse independientemente. Descomponiendo los objetos $\p_\mu{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ y $\p_\overline{\mu}{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ en partes simétrica y antisimétrica en los pares de índices del mismo tipo, sólo la parte antisimétrica no se anula idénticamente junto con la (r,s)-forma correspondiente al expandir los índices, entonces,
\begin{align}dJ=\frac{i}{2}\left[(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}-\p_i{g}_{\ell\overline\jmath})\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+(\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}-\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}})\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right]=0\end{align} de modo que se sigue finalmente que
\begin{align}\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}&=\p_i{g}_{\ell\overline\jmath}\\
\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}&=\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}}\end{align} como se esperaba.

...it is not hard to show that $\gamma$ vanishes...
(p.27)

Vale, ciertamente no es difícil, pero se requiere algo más que $\Delta\omega^\prime=0$. Sea $\alpha$ una $p$-forma cualquiera, entonces tomando en cuenta que el producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es positivo definido,
\begin{align}\langle\Delta\alpha,\alpha\rangle&=\langle{d^\dagger}d\alpha+dd^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\
&=\langle{d^\dagger}d\alpha,\alpha\rangle+\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\
&=\langle{d}\alpha,d\alpha\rangle+\langle{d^\dagger}\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{align} entonces si $\alpha$ es armónica, la igualdad se cumple y así también $d\alpha=d^\dagger\alpha=0$. De aquí se sigue que si
\begin{equation}\omega=d\beta+d^\dagger\gamma+\omega^\prime\end{equation} es cerrada y $\omega^\prime$ es armónica,
\begin{equation}d\omega=dd^\dagger\gamma=0\end{equation} y ya que también, en general para cualquier $\alpha$,
\begin{equation}\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle=\langle{d}^\dagger\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{equation} se tiene finalmente que $d^\dagger\gamma=0$, que es realmente lo que se necesita mostrar.

...it is straightforward to show that all of the Laplacians built from $d$, $\overline\p$ and $\p$, namely $\Delta$, $\Delta_\overline{\p}$ and $\Delta_\p$ are related by $$\Delta=2\Delta_\overline{\p}=2\Delta_\p$$ (p.27)

En este caso, a diferencia del anterior, además de también requerir más, aparentemente no es realmente tan simple. El famoso Geometry, Topology and Physics de Mikio Nakahara se limita a decir "The proof requires some technicalities and we simply refer to Schwartz (1986) and Goldberg (1962)".

Yo me limitaré a la misma salida: Kähler identities.

Finalmente las propiedades
\begin{align}h^{r,s}_X&=h^{m-r,m-s}_X\\[0.1in]
h^{r,s}_X&=h^{s,r}_X\\[0.1in]
H^p_d(X)&=\bigoplus_{r+s=p}H^{r,s}_{\overline\p}(X)\end{align} también se discuten en el libro de Nakahara (Greene no lo menciona, pero $m\equiv\text{dim}_\mathbb{C}{X}$). Al menos las dos últimas requieren $\Delta\propto\Delta_\overline{\p}=\Delta_\p$.

It is not hard to show that the vanishing of the $U(1)$ part of the connection, effectively its trace, which ensures that the holonomy lies in $SU(d)$, is tantamount to having a Ricci-flat metric.
(p. 31)

El álgebra de Lie, $\mathfrak{u}(d)$, del grupo unitario, $U(d)$, consiste en las matrices antisimétricas complejas (o antihermitianas) $d\times{d}$, con el corchete de Lie dado por el conmutador. Así entonces se puede introducir una (1,1)-forma de curvatura
\begin{equation}\Omega_{\overline{k}\ell}\equiv{R}_{\overline{k}\ell{i}\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\end{equation} que en efecto satisface
\begin{align}\Omega_{\overline{k}\ell}&=\overline{{R}_{k\overline{\ell\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\
&=-\overline{{R}_{\overline{\ell}k\overline{\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\
&=-\overline{{R}_{\overline{\ell}kj\overline{\imath}}dz^j\wedge{d}\overline{z}^\overline{\imath}}\nonumber\\
&=-\overline{\Omega_{\bar{\ell}k}}\end{align} De aquí entonces, ya que $\mathfrak{u}(d)\simeq\mathfrak{su}(d)\oplus\mathfrak{u}(1)$, i.e. $\Omega_{\overline{k}\ell}$ puede descomponerse en una parte con traza nula en $\mathfrak{su}(d)$ más su traza en $\mathfrak{u}(1)$, de modo que el que la traza cumpla
\begin{equation}{\Omega^\ell}_\ell=R_{i\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=\p_i{\Gamma^\overline{k}}_{\overline{\jmath{k}}}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=0\end{equation} equivale a que tener una métrica Ricci-plana y a que el grupo de holonomía esté contenido en $SU(d)$.

Ésta es la idea sencilla, basada en Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary For Physicists. En The N=2 wonderland: From Calabi-Yau Manifolds To Topological Field Theories se puede encontrar otro tratamiento que justifica un tanto más la introducción de la forma de curvatura.

Thus, a quintic hypersurface in $\mathbb{C}P^4$ es a Calabi-Yau manifold with complex dimension 3.
(p. 33)

Esta parte de las notas es a la que refiero aquí.
En general desde la discusión de los espacios $\mathbb{C}P^n$, para los no-iniciados (como yo) es necesario consultar otras fuentes en extenso.

El Hiperboloide de una Hoja y Superficies Regladas

Hace poco encontré esta imagen (fuente):

lo que básicamente significa que el hiperboloide de una hoja puede construirse empleando únicamente líneas rectas.

En general, una superficie reglada $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}^3$ puede pensarse como una superficie que puede generarse moviendo una línea recta en el espacio (aquí $\mathbb{R}^3$). Esto entonces dice que cualquier superficie reglada tiene una parametrización $\alpha:\mathcal{U}\times\mathcal{V}\to\mathcal{S}$ de la forma
\begin{equation}\alpha(u,v)=\beta(u)\,v+\gamma(u)\end{equation} con $u\in\mathcal{U}$, $v\in\mathcal{V}$ dos parámetros y $\beta,\gamma:\mathcal{U}\to\mathbb{R}^3$ curvas en el espacio. Esto es, algo así como la generalización de una parametrización de la de una recta $y(t)=ax(t)+b$. Se dice además que $\alpha$ es un parche reglado, $\beta$ la curva directriz y $\gamma$ la curva base. Las mismas líneas rectas $v\mapsto\alpha(u_0,v)$ son llamadas reglas (intento de traducción de rulings). Nota que $\beta$ no debe ser cero y que $\gamma$ no debe ser constante para tener una genuina superficie reglada.

Quizá la forma más sencilla de mostrar cómo es que el hiperboloide de una hoja es una superficie reglada es así (fuente):

Se puede construir el parche reglado del hiperboloide de una hoja de manera intuitiva de forma similar a como puede construirse su ecuación cuadrática: pensando en elipses. Una elipse en el plano $\{x,y,0\}$ puede parametrizarse por
\begin{equation}\mathcal{E}(u)=(a\cos{u},b\sin{u},0),\hspace{0.5in}u\in[0,2\pi)\equiv\mathcal{U}\end{equation} y convenientemente podemos elegir a $\mathcal{E}$ como la curva base. La ecuación cuadrática del hiperboloide de una hoja es
\begin{equation}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\end{equation} con $a,b,c>0$ constantes. Entonces queremos encontrar el parche reglado
\begin{equation}\mathcal{H}(u,v)\equiv\beta(u)\,v+\mathcal{E}(u)=\left(\mathcal{H}_x(u,v),\mathcal{H}_y(u,v),\mathcal{H}_z(u,v)\right)\end{equation} con $v\in\mathbb{R}\equiv\mathcal{V}$ y tal que
\begin{equation}\mathcal{H}_x^2+\mathcal{H}_y^2-\mathcal{H}_z^2=1\end{equation} es decir, si $\beta(u)=(\beta_x(u),\beta_y(u),\beta_z(u))$,
\begin{equation}\frac{\beta_x^2v^2}{a^2}+\frac{\beta_y^2v^2}{b^2}+\frac{2}{a}\beta_xv\cos{u}+\frac{2}{b}\beta_yv\sin{u}=\frac{\beta_z^2}{c^2}v^2\end{equation} de donde requerimos que el lado izquierdo sea proporcional a $v^2$ pues por definición $\beta_z=\beta_z(u)$, o la parametrización, aunque seguiría siendo válida, ya no sería un parche reglado. El lector puede investigar, si así lo desea, qué elecciones $\beta_x,\beta_y$ hay de modo que esto ocurra, pero si no se tiene la paciencia y el tiempo para hacer los pasos algebráicos, la elección más sencilla y evidente es
\begin{equation}\beta_x=\pm{a}\sin{u},\hspace{0.5in}\beta_y=\mp{b}\cos{u}\end{equation} de modo que se siga que
\begin{equation}\beta_z=c\end{equation} y finalmente entonces
\begin{equation}\mathcal{H}_\pm(u,v)=\left(a(\cos{u}\pm{v}\sin{u}),b(\sin{u}\mp{v}\cos{u}),cv\right)\end{equation} que son de hecho dos parches reglados distintos y en consecuencia se dice que el hiperboloide de dos hojas es una superficie doblemente reglada. Algunas visualizaciones que hice con Mathematica son las que siguen:

Tomando $u\in[0,u_f)$ y modificando $u_f$ hasta $2\pi$,

o bien, en el espíritu del primer GIF, cambiando valores constantes de $u_0\in[0,2\pi)$ y graficando las rectas $v\mapsto\mathcal{H}_+(u_0,v)$,

También es interesante que se puede escribir
\begin{equation}\mathcal{H}_\pm(u,v)=\pm\mathcal{E}^\prime(u){v}+\mathcal{E}(u)\pm(0,0,cv)\end{equation} y uno puede visualizar cómo cambia la superficie y su proyección en el plano $\{x,y,0\}$ en el parámetro $v$.

$\mathcal{H}_+(u,v)$ y cambiando $v$ de -6 a 6

$\mathcal{E}^\prime(u)v+\mathcal{E}(u)$ y cambiando $v$ de 0 a 6

Las únicas superficies doblemente regladas son el plano, el paraboloide hiperbólico (silla de montar) y el hiperboloide de una hoja. En general los conos y los cilindros son las superficies regladas más sencillas y también en general las superficies regladas suelen ser las más sencillas de parametrizar. Hay también por supuesto un sinfín de propiedades de estas superficies que pueden estudiarse, además, por supuesto, de que en el caso tridimensional resultan visualmente atractivas y pueden ser de gran utilidad para diseñadores, arquitectos, etc...

Estación de tren en Varsovia, Polonia: Paraboloide Hiperbólico (fuente)

Finalmente, hay por supuesto otras superficies regladas más complicadas (e.g. el conoide de Plücker), pero ya que estoy con esto de visualizaciones y pequeños GIF's animados con Mathematica, dejaré más de una superficie reglada muy famosa: la cinta de Möbius parametrizada por
\begin{equation}\mathcal{M}(u,v)=\left(\cos{u/2}\,\cos{u},\cos{u/2}\sin{u},\sin{u/2}\right)\,v+(\cos{u},\sin{u},0)\end{equation}

La curva directriz de la banda de Möbius recorrida en sentido positivo
en $u\in[-2\pi,2\pi)$ y contenida en la 2-esfera unitaria

Tomando $v\in[-1/2,1/2]$, $u\in[0,u_f)$ y modificando $u_f$ hasta $2\pi$

Agujeros Negros en AdS

He estado ausente algún tiempo intentando terminar la licenciatura, y como mostré en la entrada anterior, he estado trabajando en la geometría (clásica) del espacio de Anti-de Sitter. Ahora quiero compartir algunos comentarios sobre Agujeros Negros en AdS, basándome en este ensayo de Peng Zhao.

El caso más sencillo es (A)dS-Schwarzschild, y la idea es que partiendo de una métrica esféricamente simétrica en forma de Schwarzschild,
\begin{equation}ds^2=-f(r)\,dt^2+f^{-1}(r)\,dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation} uno puede tomar $f$ tal que cerca del origen se tenga un espacio de Schwarzschild y asintóticamente se tenga (A)dS (para una obtención más metódica de esta métrica véase e.g. la p.823 de las notas de M. Blau). Las métricas de AdS y de Schwarzschild, respectivamente, pueden escribirse como
\begin{align}ds_\text{AdS}^2&=-\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}\right)\,dt^2+\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\\
ds_\text{Sch}^2&=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\,dt^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\end{align} donde $\alpha$ es una constante positiva (el radio de AdS) y $r_s$ es el radio de Schwarzschild. De aquí, se define entonces la métrica de AdS-Schwarzschild como
\begin{equation}ds^2=-\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}-\frac{r_s}{r}\right)\,dt^2+\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation} que en efecto se comporta como un agujero negro de Schwarzschild para $r$ pequeña y como AdS para $r$ grande. Lo propio puede hacerse empleando de Sitter.

***(Actualización)
La primera cuestión es a AdS se le puede asociar una energía finita y por tanto el análogo a una pared de potencial infinita en su infinito asintótico. Por teorema de Noether, en AdS la energía es una carga conservada, $E=-P_\mu{V}^\mu$ (el signo negativo es simplemente por consistencia, de cualquier modo siempre se le puede cargar a $E$ que es constante); en este caso nos interesa la energía $E_\text{loc}$ medida por un observador local (es decir, que localmente está en un sistema plano) estático, en donde tendríamos simplemente que $P=(E,\vec{0})$ y $V=(1,\vec{0})$. Lo que nos interesa es encontrar esta relación para este observador en el sistema global de coordenadas de AdS (esféricas). Considérense los vectores transformados $p$ y $v$. Primero empleemos la condición de normalización $v^\mu{v}_\mu=-1$ y el hecho de que el observador es estático también en el sistema global de AdS, i.e. $v=(v^t,\vec{0})$, esto implica que $v^t=1/\sqrt{-g_{tt}}$, entonces en este sistema coordenado,
\begin{equation}E_\text{loc}=-p_\mu{v}^\mu=-g_{\mu\nu}p^\mu{v}^\nu=\sqrt{-g_{tt}}p^t\end{equation} Ahora bien, en el sistema del observador local estático simplemente $p^t=m\dot{t}$ con $m$ la masa de la partícula (el observador), que podemos llevar a la forma en coordenadas de AdS sabiendo que $P^t=g_{tt}\dot{t}=-E$ en AdS, de modo que $p^t=-mE/g_{tt}\equiv-{E}_0/g_{tt}$ y así,
\begin{equation}E_\text{loc}(r)=\frac{E_0}{\sqrt{-g_{tt}(r)}}\label{1}\end{equation} de donde se lee que la energía medida por un observador local en algún punto $r$ tiene un corrimiento al rojo (debido al campo gravitacional) respecto a la energía $E_0$. En el ensayo de Zhao se escribe $E_0$ como $E_\infty$, sin embargo la notación se antoja un poco desafortunada, ya que ésta es la energía total medida por un observador local estático en $r=0$; la notación probablemente proviene de la interpretación de ser la energía medida por un observador alejado infinitamente del campo gravitacional del espacio, lo que resulta útil e.g. en Schwarzschild, donde $E$ en efecto es la energía (por unidad de masa) medida por un observador local estático en $r\to\infty$, aquí de hecho $E_\text{loc}\to0$ cuando $r\to\infty$, contrario a Schwarzschild, en donde $E_\text{loc}\to{mE}$ cuando $r\to\infty$ y $E_\text{loc}\to\infty$ cuando $r\to{r}_s$, esto hace la gran diferencia para ver a AdS como una caja. Nótese también que los vectores de momento y de velocidad (i.e. el vector de Killing transformado) se recuperan para el caso local en AdS con $r=0$ y en Schwarzschild con $r\to\infty$. Como se ve adelante, pueden construirse estados térmicos en AdS identificando periódicamente una coordenada de tiempo imaginaria con periodo $\beta_0=T^{-1}$. Esto significa entonces que (\ref{1}) puede escribirse también como $T_\text{loc}=\frac{T}{\sqrt{-g_{tt}}}$ y que la energía total de la radiación térmica en AdS es finita sin necesidad de encerrarla en una caja.
***

Luego entonces, tomando $r=r_+$ el horizonte de eventos de AdS-Schwarzschild, i.e. la raíz más grande de
\begin{equation}V(r)\equiv1-\frac{r_s}{r}+\frac{r^2}{\alpha^2}\end{equation} se fija el valor de $r_s$ a
\begin{equation}V(r_+)=0\,\Longrightarrow\,r_s=\frac{r_+(\alpha^2+r_+^2)}{\alpha^2}\end{equation} y entonces en efecto al ver la métrica cerca del horizonte, i.e. con $r=r_++\epsilon^2$ con $|\epsilon|\ll1$, para el orden dominante en $\epsilon$,
\begin{equation}V(r_++\epsilon^2)\approx\frac{\alpha^2+3r_+^2}{\alpha^2r_+}\epsilon^2\end{equation} y haciendo una rotación de Wick, $\tau=it$, se sigue para la métrica AdS-Schwarzschild,
\begin{equation}ds^2=\frac{4\alpha^2r_+}{\alpha^2+3r_+^2}\left[d\epsilon^2+\left(\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}\right)^2\epsilon^2d\tau^2\right]+(r_++\epsilon^2)^2d\Omega^2\end{equation} Aquí puede resultar poco claro cómo ver que necesariamente $\tau$ es periódica. El punto es entender lo que significa que se tenga una singularidad cónica. La idea es básicamente que si $\tau$ tiene un cierto periodo $\beta_0$, el espacio se cubrirá completamente, lo que no sucederá necesariamente con cualquier otro valor; la analogía que utiliza Zhao es la de las coordenadas polares $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$, donde $\theta$ debe tener un periodo de $2\pi$ para corresponder a la métrica del plano, de otro modo se tiene un hueco del tipo de una rebanada de pastel, lo que lleva a algo así como un pico de un cono, lo que es la singularidad cónica.

En este caso es particularmente fácil verificar cuál es el periodo $\beta_0$ de $\tau$, dado que el término entre corchetes de la métrica AdS-Schwarzschild cerca del horizonte es análoga a la del plano en coordenadas polares. Se debe satisfacer entonces que
\begin{equation}\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}\int_0^{\beta_0}d\tau\int_0^{r_+}\epsilon\,{d}\epsilon=\pi{r}_+^2\,\Longrightarrow\,\beta_0=\frac{4\pi\alpha^2r_+}{\alpha^2+3r_+^2}\end{equation}
En adelante la cosa es bastante clara, al menos antes de llegar a la parte de AdS/CFT, y el resultado $T=\beta^{-1}$ creo que es bastante majo, pues entonces la temperatura del agujero negro puede obtenerse únicamente con argumentos geométricos, sin invocar directamente la gravedad de superficie. Sólo hay detalles cuando se menciona la distribución canónica, aunque al final igual lo que se calcula es $S=\beta\langle{E}\rangle+\ln{Z}$. La intención es llegar a la dualidad fluido/gravedad, pero de eso tal vez escriba después  ;-)

La suma de ángulos internos de un triángulo esférico

Verificar que la suma de los ángulos internos ${\alpha,\,\beta,\,\gamma}$ de un triángulo esférico de área $A$ sobre esta superficie de radio $a$ es \begin{equation}\alpha+\beta+\gamma=\pi+\frac{A}{a^2}\end{equation} es un problema bastante divertido y el resultado es uno sencillo pero de gran relevancia cuando uno se dispone a estudiar otras geometrías (para los físicos, por supuesto en Relatividad General). Vale, para empezar, fijemos ${\alpha,\beta=\pi/2}$, entonces podemos escribir \begin{equation}\alpha+\beta+\gamma=\pi+\gamma\end{equation} que se satisface trivialmente para cualquier $\gamma$. Gráficamente esto corresponde en la situación que nos interesa a

El elemento de área en coordenadas esféricas para un radio fijo $a$ es \begin{equation}dA\equiv{a}^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\label{dag1}\end{equation} con $\theta$ el ángulo polar y $\phi$ el ángulo azimutal, entonces el área del hemisferio norte de la esfera de la figura, i.e. para ${\theta\in[0,\pi/2]}$, en términos del ángulo azimutal es \begin{equation}A_N=a^2\phi\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=a^2\phi\end{equation} pero en este caso $\gamma$ es precisamente idéntico al ángulo azimutal y entonces ${A_N}$ corresponde al área $A$ del triángulo ${ABC}$ de la figura, de modo que \begin{equation}\gamma=\frac{A}{a^2}\end{equation} de donde se sigue que \begin{equation}\alpha+\beta+\gamma=\pi+\frac{A}{a^2}\end{equation}

Para hacer esto de modo general lo más sencillo es de nuevo relacionar el área de la esfera con alguna propiedad del triángulo. Considérese el siguiente triángulo

Se puede seccionar entonces el área de la esfera considerando los siguientes biángulos relacionados a cada vértice

Evidentemente el triángulo $ABC$ está contenido dos veces (el otro en la parte punteada de los dibujos) en cada uno de los biángulos, digamos ${\mathcal{B}_A}$, ${\mathcal{B}_B}$ y ${\mathcal{B}_C}$. Esto significa que, \begin{equation}\mathcal{A}(\mathcal{S}^2)=\mathcal{A}(\mathcal{B}_A)+\mathcal{A}(\mathcal{B}_B)+\mathcal{A}(\mathcal{B}_C)-4\mathcal{A}(\triangle{ABC})\end{equation} para las áreas $\mathcal{A}$ correspondientes. Ahora bien, para cualquier biángulo ${\mathcal{B}_x}$ uno puede fijar su vértice en un polo y calcular su área a partir del elemento de área (\ref{dag1}), \begin{equation}\mathcal{A}(\mathcal{B}_x)=a^2\chi\int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2a^2\chi\end{equation} donde $\chi$ es el ángulo asociado al biángulo (equivalente al ángulo azimutal en el cálculo), entonces se sigue que \begin{equation}4\pi{a}^2=a^2(4\alpha+4\beta+4\gamma)-4A\end{equation} donde $A$ es el área de ${\triangle{ABC}}$, es decir \begin{equation}\alpha+\gamma+\beta=\pi+\frac{A}{a^2}\end{equation} como se quería mostrar.