Hace algunos meses concluí la segunda parte de la maestría con la entrega de mi proyecto de investigación. Los proyectos en general son de tres meses y uno termina escribiendo un trabajo de alrededor de 50 páginas de texto (generar uno o más artículos no es propiamente un requisito). En mi proyecto básicamente escribí código en Mathematica que permite obtener y manipular identidades de Jacobi en el contexto de la dualidad color-cinemática a través de los diagramas de Feynman asociados a los numeradores cinemáticos de las amplitudes de dispersión a nivel árbol.
Vale, acá voy explicar qué significa todo esto. Para hacerlo, en la segunda parte seguiré algunas de las diapositivas que hice recientemente para un seminario en la UAM-I.
Las ideas generales para dummies* y motivación * dummies: Lectores perspicaces (con o sin formación en física) que ignoran la mayoría de conceptos, argot y lenguaje matemático de la física "de partículas" 😉
Las amplitudes de dispersión son el corazón de la física de partículas, o más en general incluso, de las teorías cuánticas de campo. Una amplitud de dispersión puede decirse a groso modo que es el objeto matemático que está relacionado a través del cuadrado de su norma con la sección eficaz, que es la que codifica la probabilidad de que una dada colección de partículas se dispersen. En el régimen perturbativo de una teoría cuántica de campo la manera más sencilla de lidiar con las contribuciones más significativas de una amplitud es a través de los diagramas de Feynman, que luego se organizan de modo progresivo por el número de bucles (loops y ciclos) que contienen, haciendo los cálculos más complicados mientras más bucles se agregan. La discusión sobre qué son los diagramas de Feynman se puede extender bastante, la idea simplemente es que son grafos que representan (no que describen per se) la información física de las interacciones de dadas partículas (o más precisamente campos) respetando ciertas reglas dictadas por la teoría en cuestión, e.g. el tipo de vértices permitidos, y que dificultan el cálculo de amplitudes cuando se agregan bucles (que en términos de teoría de grafos también incluyen los llamados ciclos) porque éstos implican integrales sobre todos los momentos posibles que estos bucles pueden acarrean.
Notablemente, en 1986, para los diagramas de Feynman más simples (sin bucles), llamados diagramas de árbol, Hideyuki Kawai, David Charles Lewellen y S.H. Henry Tye mostraron que
Amplitud de cuerda cerrada es igual a amplitud de cuerda abierta al cuadrado
La hoja de mundo de una cuerda cerrada (abierta) es conformalmente equivalente a una esfera (disco)
Un poco más de detalle aquí
en lo que hoy se conoce como las relaciones KLT y donde las palabras cerrado y abierto se refieren a conceptos en teoría de cuerdas; sin embargo, en el límite de bajas energías (i.e. cuando las cuerdas se reducen a partículas) de una cierta teoría de cuerdas, esto da el eslogan
Amplitud en gravedad es igual a amplitud en Yang-Mills al cuadrado
que aunque originalmente fue descubierto usando cuerdas, no las necesita para funcionar. La teoría de Yang-Mills es simplemente una teoría de campo (de norma o gauge, que simplemente implica que describe campos mediadores de interacciones) que puede considerarse como una extensión no-abeliana (donde los campos no conmutan) de una teoría de campos electromagnéticos: naturalmente, mientras la teoría abeliana (Maxwell) sirve para describir fotones en electrodinámica cuántica (QED por quantum electrodynamics), la teoría no-abeliana es útil para describir gluones, i.e. los mediadores de interacciones en cromodinámica cuántica (QCD por quantum chromodynamics).
Las amplitudes de dispersión naturalmente satisfacen ciertas propiedades. En particular, para el caso de Yang-Mills, las llamadas amplitudes parciales ordenadas por color (factores de las amplitudes totales que no dependen de factores cinemáticos como momentos, polarizaciones o helicidades) a nivel árbol satisfacen un conjunto de relaciones que surgen del álgebra que obedecen los campos de la teoría, conocida como álgebra de color. Tan sólo hace ocho años, en el artículo New Relations for Gauge-Theory Amplitudes, Zvi Bern, John Joseph M. Carrasco y Henrik Johansson obtuvieron un nuevo conjunto de relaciones para las amplitudes parciales conocidas como las relaciones BCJ usando una identidad satisfecha por los factores cinemáticos de las amplitudes de árbol que ellos previamente obtuvieron. Esta nueva identidad es una bastante sorprendente, contenida en lo que se conoce hoy como la dualidad color-cinemática: básicamente, que pueden hallarse factores cinemáticos de una amplitud de árbol tales que satisfagan las mismas propiedades algebraicas (antisimetría y una identidad de Jacobi) de los factores de color. En el mismo artículo, los autores usan esta dualidad color-cinemática para aportar claridad en las relaciones KLT; como ellos lo dícen:
Las relaciones KLT [4] nos dicen que amplitudes árbol en gravedad pueden expresarse directamente en términos de amplitudes árbol de una teoría de norma. Estas relaciones fueron originalmente derivadas en teoría de cuerdas y son válidas en teoría de campo, dado que el límite de bajas energías de teoría de cuerdas es teoría de campo. De cualquier modo, desde un punto de vista puramente de teoría de campo, partiendo de Lagrangianos de Einstein-Hilbert y de Yang-Mills, estas relaciones han permanecido arcanas (...) usamos la (identidad de Jacobi de numerador cinemático) para clarificar la relación entre gravedad y las teorías de norma, argumentando que las relaciones KLT son equivalentes a una relación de 'elevar al cuadrado' los numeradores diagrama a diagrama de una teoría de norma.
De modo que básicamente si uno ha obtenido la amplitud de árbol en una teoría de norma, uno sólo tiene que reemplazar los factores de color por numeradores cinemáticos (que aún más pueden pertenecer a alguna teoría de norma distinta) para obtener la amplitud de gravedad. Ésto es lo que se conoce como la relación de doble-copia entre gravedad y teorías de norma.
Esta sorprendente historia entre gravedad y teorías de norma es una de las más excitantes hoy en día en la física teórica y mucho esfuerzo se está poniendo para clarificar más esta relación así como los fundamentos subyacentes y las consecuencias. A nivel árbol la dualidad color-cinemática ha sido ampliamente estudiada y demostrada usando teoría de cuerdas e ideas en teoría de campo como las relaciones de recursión BCFW, mientras que a nivel de bucles la dualidad aún es una conjetura conocida como la conjetura BCJ.
Los detalles para no tan dummies Contexto
El contexto con el cual se suele exponer el tema (y con el que BCJ hallaron la dualidad) es el más sencillo: teoría de Yang-Mills pura y no masiva. Resistiendo por el momento la tentación de escribir el Lagrangiano de Yang-Mills, sólo establezcamos que el grupo de simetría de la teoría es el grupo especial unitario $SU(n)$. Los generadores del correspondiente álgebra $\mathbf{T}^a$ con $a=1,\ldots,\dim{SU(n)}=n^2-1$ satisfacen
\begin{align}
\mathrm{e}^{i\epsilon^a\mathbf{T}^a}&\in{SU(n)}\\
[\mathbf{T}^a,\mathbf{T}^b]&=\tilde{f}^{abc}\mathbf{T}^c\\
\mathrm{tr}\mathbf{T}^a\mathbf{T}^b&=\delta^{ab}
\end{align} donde $\tilde{f}^{abc}\equiv{i}\sqrt{2}f^{abc}$ con $f^{abc}$ las constantes de estructura. Además consideraré todos los campos de la teoría, $A^\mu$, no masivos, transformando en la representación adjunta (únicamente "gluones"):
\begin{align}
A_\mu^aT^a\,\text{ con }\,(T^{a})^{bc}&=-\tilde{f}^{abc}\\
\Longrightarrow\,[T^a,T^b]&=\tilde{f}^{abc}T^c\\
\mathrm{tr}T^aT^b&=n\delta^{ab}
\end{align} Los generadores (para ambas representaciones) satisfacen la identidad de Jacobi
\begin{equation}[T^a,[T^b,T^c]]+[T^b,[T^c,T^a]]+[T^c,[T^a,T^b]]=0\end{equation} lo que luego implica que
\begin{equation}\tilde{f}^{ab\color{red!80!black}d}\tilde{f}^{\color{red!80!black}d\color{black}ce}+\tilde{f}^{bc\color{red!80!black}d}\tilde{f}^{\color{red!80!black}d\color{black}ae}+\tilde{f}^{ca\color{red!80!black}d}\tilde{f}^{\color{red!80!black}d\color{black}be}=0\label{Jacobistruct}\end{equation} y que las constantes de estructura son totalmente antisimétricas (antisimétricas en sus tres índices). Aunque la anterior ecuación (\ref{Jacobistruct}) parece un desastre, se puede reconocer rápidamente notando que los índices $d$ y $e$ en cada sumando están en la misma posición, mientras que $abc$ se permuta cíclicamente.
La teoría tiene vértices de 3 y 4 aristas que se visten con factores de color $c_i$ (polinomios en las $f^{abc}$) y factores cinemáticos $N_i$ (funciones de momentos, polarizaciones u otra información cinemática).
Antes de seguir, debo aclarar que, aunque en la sección anterior para dummies escribí sobre diagramas de Feynman, en lo siguiente más bien se consideran grafos parecidos pero que no sólo no describen per-se sino que tampoco representan procesos físicos, i.e. no hay direcciones espacial y temporal en estos diagramas ni partículas que entran y luego salen, los diagramas únicamente codifican la información cinemática y de grupo de los procesos físicos pero nada más, e.g. usualmente se ponen todas las partículas como entrantes (o salientes) y se rastrea conservación de momento (al menos en Yang-Mills; partículas externas on-shell).
Vale, considerando el vértice de 4 puntos, con momentos (todos salientes o todos entrantes) $p_1,p_2,p_3,p_4$ (tales que $p_i^2=0$), éste tendrá una regla de Feynman de la forma
\begin{align}V_4&\propto\,\tilde{f}^{a_1a_2b}\tilde{f}^{ba_3a_4}N_{12}+\tilde{f}^{a_4a_1b}\tilde{f}^{ba_2a_3}N_{14}+\tilde{f}^{a_3a_1b}\tilde{f}^{ba_2a_4}N_{13}\nonumber\\
&\equiv{c_s}N_{12}+c_tN_{14}+c_uN_{13}\nonumber\\
&=c_sN_{12}\left(\frac{s}{s}\right)+c_tN_{14}\left(\frac{t}{t}\right)+c_uN_{13}\left(\frac{u}{u}\right)\end{align} donde $s=(p_1+p_2)^2$, $t=(p_1+p_4)^2$, $u=(p_1+p_3)^2$ son las variables de Mandelstam y $c_i$ es el llamado factor de color asociado al diagrama etiquetado por $i$. De aquí se puede reconocer, pues, que un vértice de 4 puntos puede extenderse en uno de 3 puntos y que hay tres posibles formas: los canales $s$, $t$ y $u$. Los vértices de 3 puntos son usualmente llamados vértices trivalentes y los diagramas con únicamente vértices trivalentes son llamados diagramas cúbicos.
De manera similar este argumento funciona si la teoría permitiera vértices de $n$ puntos, dando $(2n-5)!!$ posibles formas de extender un $V_n$ en diagramas de 3 puntos únicamente. La demostración es sencilla y a su vez demuestra que una amplitud a nivel árbol de $n$ puntos tendrá $(2n-5)!!$ factores o diagramas.
La idea clave es que se pueden obtener todos los diagramas de árbol con $n$ puntos a partir de insertar una arista en medio de cada arista de cada diagrama de $n-1$ puntos, e.g. para 4 puntos:
Notando entonces que el insertar una arista extra en (el medio de un arista) de un diagrama dado le incrementa el número de aristas por 2, sea $\mathcal{L}(n)$ el número de aristas de un diagrama de $n$ puntos, entonces
$$\mathcal{L}(n+1)=\mathcal{L}(n)+2$$ Utilizando el caso base $\mathcal{L}(3)=3$ podemos obtener
\begin{align*}\mathcal{L}(4)&=3+2\\
\mathcal{L}(5)&=3+2(2)\\
\mathcal{L}(6)&=3+2(3)\\
&\vdots\\
\mathcal{L}(n)&=3+2(n-3)=2n-3\\
\end{align*} De este modo entonces, el número de diagramas nivel árbol $\mathcal{D}(n)$ dado $n$ es
\begin{align*}\mathcal{D}(n)&=\mathcal{L}(n-1)\mathcal{L}(n-2)\cdots\mathcal{L}(3)\\
&=(2n-5)(2n-7)\cdots3\\
&=(2n-5)!!\end{align*} que puede probarse por inducción para todo $n>3$ dado el caso base $\mathcal{D}(3)=1$.
Con las definiciones hechas para los factores de color, la identidad de Jacobi puede ponerse sencillamente como
\begin{equation}c_s-c_t+c_u=0\label{colorJac}\end{equation} Para el caso de $n$ partículas, de manera similar, se satisface en general $c_i\pm{c}_j\pm{c}_k=0$ dependiendo de las definiciones de los factores de color, y donde ahora los índices de las constantes de estructura que se contraen corresponden al propagador alrededor del cual se está aplicando la identidad de Jacobi. Explícitamente, en términos de las constantes de estructura, la identidad de Jacobi alrededor de un propagador dado es de la forma
\begin{equation}f^{a_1a_2b_1}f^{b_1a_3b_2}\cdots{f}^{b_{n-3}a_{n-1}a_n}+f^{a_2a_3b_1}f^{b_1a_1b_2}\cdots{f}^{b_{n-3}a_{n-1}a_n}+f^{a_3a_1b_1}f^{b_1a_2b_2}\cdots{f}^{b_{n-3}a_{n-1}a_n}=0\end{equation}
que igualmente a primer vista es intimidante pero realmente la idea para reconocerla es la misma que para la identidad de 4 puntos (\ref{Jacobistruct}) y en este caso las permutaciones cíclicas ocurren para los índices que comparten el propagador alrededor del cual se toma la identidad (en este caso $b_1$). En términos de diagramas, uno puede partir de un diagrama en forma multiperiferal (primer diagrama de izquierda a derecha) y luego hacer ambos un intercambio de aristas y una forma de "tenedor-Y" alrededor del propagador en cuestión. Lo del tenedor-Y es relevante porque puede generar diagramas con topologías distintas a la del diagrama original.
Amplitudes
Regresando a la idea de que sólo se requieren diagramas cúbicos, basado en la discusión hecha arriba, ésto hace que las amplitudes a nivel árbol adquieran la forma general
\begin{equation}\mathcal{A}_n^{(0)}=g^{n-2}\sum_{i\in\Gamma_3}\frac{N_ic_i}{\prod_{\alpha_i}p^2_{\alpha_i}}\label{amptrival}\end{equation} con $i$ corriendo en diagramas cúbicos solamente.
Una relación sumamente importante en lo siguiente es la llamada descomposición por ordenamiento de color de una amplitud de árbol,
\begin{equation}\mathcal{A}_n^{(0)}=g^{n-2}\sum_{\mathcal{P}(23\ldots{n})}\mathrm{tr}[\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\cdots\mathbf{T}^{a_n}]A_n^{(0)}[12\ldots{n}]\end{equation} con la suma sobre permutaciones $\mathcal{P}$ de $(23\ldots{n})$ y que introduce las llamadas amplitudes parciales $A_n^{(0)}$ que contienen información dinámica únicamente y que son invariantes de norma. Uno puede ejemplificar la obtención de esta relación fácilmente para $n=4$ puntos. Primero notamos que
\begin{equation}\mathrm{tr}[\mathbf{T}^a,\mathbf{T}^b]\mathbf{T}^c=\tilde{f}^{abc}\,\Longrightarrow\,c_s=\mathrm{tr}\left([\mathbf{T}^{a_1},\mathbf{T}^{a_2}]\mathbf{T}^b\right)\mathrm{tr}\left([\mathbf{T}^b,\mathbf{T}^{a_3}]\mathbf{T}^{a_4}\right)\label{ck1}\end{equation} y de manera similar para $c_t$, $c_u$. Usando la relación de completitud conocida como identidad de Fierz,
\begin{equation}(\mathbf{T}^a)^i_j(\mathbf{T}^a)^\ell_k=\delta^\ell_j\delta^i_k-\frac{1}{n}\delta^i_j\delta^\ell_k\hspace{0.25in}\text{con}\hspace{0.25in}i,\ldots,\ell=1,\ldots,n\end{equation} podemos expandir el producto de trazas en la ec. previa (\ref{ck1}) como
\begin{equation}c_s=\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_4})+\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_4}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_2})-\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\mathbf{T}^{a_4}\mathbf{T}^{a_3})-\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_4}\mathbf{T}^{a_2})\end{equation} y de manera similar para los otros dos factores de color, con lo que finalmente, sabiendo que la amplitud es $g^2$-proporcional a la suma de cada factor de color, obtenemos
\begin{equation}\mathcal{A}_4^{(0)}=g^2\left\{A_4^{(0)}[1234]\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_4})+\mathcal{P}_\text{dist}(234)\right\}\end{equation} y al comparar con la amplitud completa escrita en la forma (\ref{amptrival}) podemos identificar las amplitudes parciales
\begin{align}A_4^{(0)}[1234]&=\frac{N_s}{s}+\frac{N_t}{t}=A_4^{(0)}[1432]\label{partampsnums1}\\
A_4^{(0)}[1243]&=-\frac{N_s}{s}+\frac{N_u}{u}=A_4^{(0)}[1342]\label{partampsnums2}\\
A_4^{(0)}[1324]&=-\frac{N_t}{t}-\frac{N_u}{u}=A_4^{(0)}[1423]\label{partampsnums3}\end{align} que satisfacen
\begin{equation}A_4^{(0)}[1234]+A_4^{(0)}[1243]+A_4^{(0)}[1324]=0\end{equation} llamada identidad de desacople $U(1)$ (o de fotones) para $n=4$, entre otras relaciones relevantes para el cálculo de amplitudes.
La dualidad color-cinemática
En el ahora famoso artículo de Bern, Carrasco y Johansson (enlace), los autores argumentan que la mencionada identidad de desacople $U(1)$ sólo puede ser no trivial si tiene la forma
\begin{equation}(s+t+u)\chi=0\hspace{0.25in}\text{con}\hspace{0.25in}\chi=\chi(\text{momentos, polarizaciones})\end{equation} pues precisamente $s+t+u=0$ dado que $p_i^2=0$ y que las amplitudes parciales sólo pueden ser $A_4^{(0)}[1234]=u\chi$, $A_4^{(0)}[1243]=t\chi$ y $A_4^{(0)}[1324]=s\chi$, de modo que resolviendo para $\chi$,
\begin{equation}A_4^{(0)}[1234]=\frac{u}{t}A_4^{(0)}[1243]=\frac{u}{s}A_4^{(0)}[1324]\end{equation} y de donde se sigue que, junto con las ecuaciones (\ref{partampsnums1},\ref{partampsnums2},\ref{partampsnums3}) y la condición $s+t+u=0$,
\begin{equation}N_s-N_t+N_u=0\end{equation} que tiene exactamente la misma forma que la identidad de Jacobi para los factores de color (\ref{colorJac}). Éste resultado es, en breve, la dualidad color-cinemática.
Específicamente: La dualidad color-cinemática asegura que las amplitudes en (súper-)Yang-Mills pueden darse en una representación
donde los numeradores cinemáticos tienen las mismas propiedades algebraicas que los factores de color:
\begin{align}c_i\to-c_i\,&\Longleftrightarrow\,N_i\to-N_i\\
c_i\pm{c}_j\pm{c}_k=0\,&\Longleftrightarrow\,N_i\pm{N}_j\pm{N}_k=0\end{align} Uno de los aspectos que hace sorprendente este resultado es que los factores de color evidentemente deben tener cierta estructura, pues provienen del álgebra de grupo de simetría, sin embargo los factores cinemáticos no tienen un grupo de simetría subyacente evidente y en principio no habría razón por la cual debieran obedecer la dualidad. Y en efecto, en general los factores cinemáticos no obedecen la dualidad, e.g. si uno comienza con el Lagrangiano usual de Yang-Mills, $\mathcal{L}_\text{YM}=-\frac{1}{4}F^{a\mu\nu}F^{a}_{\mu\nu}$ y obtiene las reglas de Feynman, los numeradores no obedecerán la dualidad. Podemos notar, primero, que aunque las amplitudes parciales son invariantes de norma, los $N_i$'s no son ni invariantes de norma ni son únicos: existen transformaciones de los numeradores, $N_i\to{N}_i+\Delta_i$ (usualmente llamadas transformaciones de norma generalizadas, i.e. se transforman los numeradores en lugar de los campos) que mantienen la amplitud total invariante (cualquiera en que la deformación es proporcional a la identidad de Jacobi de color) pero no en general a la dualidad; ésta es precisamente la principal razón por la cual la dualidad había permanecido escondida, en general no es trivial obtener explícitamente estos numeradores (o en su caso las transformaciones correspondientes).
Algunas consecuencias de esto son las siguientes:
Las amplitudes parciales se reducen a $(n-3)!$ (hay otros conteos más en el artículo original de BCJ).
La existencia de la dualidad está demostrada para cualquier $n$ (sólo a nivel árbol) con argumentos principalmente provenientes de teoría de cuerdas pero también de teoría de campo (BCFW)
N. E. J. Bjerrum-Bohr, P. H. Damgaard, T. Sondergaard, and P. Vanhove, The momentum kernel of gauge and gravity theories, JHEP 1101, 001 (2011) [arXiv:1010.3933[hep-th]]
La construcción explícita de numeradores que satisfacen la dualidad es (hasta ahora) por fuerza bruta.
¿Formulación Lagrangiana? Como se mencionó, $\mathcal{L}_\text{YM}$ no da numeradores compatibles con la dualidad, pero hay posibilidad de deformar
\begin{equation}\mathcal{L}_\text{YM}=-\frac{1}{4}F^{a\mu\nu}F^a_{\mu\nu}+\mathcal{L}^\prime_5+\mathcal{L}^\prime_6+\ldots\end{equation} con las deformaciones $\mathcal{L}^\prime_n$ involucrando $n$ campos, cada deformación idénticamente cero; disponible un procedimiento sistemático:
M. Tolotti, S. Weinzierl, Construction of an effective Yang-Mills Lagrangian with manifest BCJ duality, [arXiv:1306.2975 [hep-th]]
La conjetura BCJ
Naturalmente queda la pregunta de si la dualidad puede extenderse a nivel de bucles. La respuesta es sí, aunque a diferencia de la dualidad a nivel árbol, aquí la dualidad es una conjetura; de cualquier modo aparentemente tiene todas las de ganar. La conjetura BCJ fue hecha por los mismos autores (BCJ) de la dualidad color-cinemática en el artículo Perturbative Quantum Gravity as a Double Copy of Gauge Theory. Para empezar, se promueve la amplitud en términos de únicamente diagramas trivalentes (\ref{amptrival}) a
\begin{equation}\mathcal{A}_n^{(L)}=i^Lg^{n-2+2L}\sum_{i\in\Gamma_3}\int\prod_{\ell=1}^L\frac{d^Dp_\ell}{(2\pi)^D}\frac{1}{S_i}\frac{N_ic_i}{\prod_{\alpha_i}p^2_{\alpha_i}}\label{BCJamp}\end{equation} El principal argumento que hace parecer inevitable la generalización a bucles es el llamado método de unitariedad generalizada.
Ejemplo de la obtención de una amplitud en 4 puntos y 2 loops a través de el conjunto de cortes (amplitudes árbol)
topológicamente distintos del diagrama original.
Fuente: arXiv:1103.1869 [hep-th]
El tema es bastante amplio y una buena referencia es Basics of Generalized Unitarity (arXiv:1103.1869 [hep-th]) de Zvi Bern y Yu-tin Huang. La idea básica es que este método permite construir amplitudes de bucles a partir de productos de amplitudes de árbol puestos on-shell; algunas palabras clave para entrar al tema son el teorema óptico (en el contexto de QFT) y las reglas de Cutkosky (sospecho que la palabra cut, que aquí traduzco literalmente como corte se usa más bien en el sentido de Cut-kosky).
La principal evidencia a favor de BCJ está en teorías con hasta $\mathcal{N}=4$ supersimetrías en Yang-Mills (arXiv:1303.6605 [hep-th]) y gran parte de la investigación actual se realiza en otras teorías como (s)Yang-Mills con materia (fundamental y/o abeliana), materia Chern-Simons, etc.
La identidad de Jacobi y la generación de diagramas funciona de manera análoga a la de nivel árbol.
El principal resultado de mi trabajo fue código en Mathematica que genera todos los diagramas a partir de todas las identidades de Jacobi alrededor de un propagador dado a nivel árbol dado el número $n$ partículas, e.g. para $n=4$
o casos más complicados, e.g. para $n=8$ alrededor de un propagador dado
o bien, para $n=11$ alrededor de un propagador dado
La idea básica para el funcionamiento del código es usar el comando Graph[] para dibujar los diagramas, especificando los mismos con una función análoga a las $f^{abc}$'s de la estructura de color. El código manipula estas funciones para aplicar las identidades de Jacobi y luego traza los diagramas con Graph[]. Un detalle fino es que las identidades no rastrean los signos particulares para cada diagrama, así que las identidades son puramente esquemáticas y los signos a lo más se pueden rastrear de la función que genera el diagrama comparado con el diagrama original.
Aunque la historia para árboles es interesante y ofrece varias complicaciones para trabajar, el interés del trabajo yacía realmente en nivel de bucles. Aunque yo no estudié realmente ni desarrollé el código con toda generalidad para bucles, mi código tuvo la fortuna de ser fácilmente extensible a bucles:
Estas identidades se pueden encontrar en Scattering Amplitudes in Gauge Theory and Gravity de Elvang y Huang, y se satisfacen en $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills. La idea es que en un futuro proyecto otro estudiante extienda mi código a nivel de bucles.
Una (entre otras) característica deseable sería la de desplegar todas las topologías posibles dados $n$ y, aún más, el número de bucles. A nivel árbol, por ejemplo, para $n=9$, el código debería ser capaz de desplegar algo como
La situación es un tanto más complicada (relacionada con el problema del isomorfismo de grafos) pero sería de suma utilidad si se pudiese implementar para bucles en un tiempo razonable.
La relación de doble copia
Un aspecto sorprendente de todo lo anterior, es la conexión que hay con gravedad (usualmente la bestia indomable de la física); para sentar ideas puede ayudar nuestro amigo Macaulay:
En la segunda diapositiva [7]=arXiv:hep-th/9904026. Esta explicación de Macaulay ya es un indicio de que (amplitudes en) gravedad debe poder ponerse en términos más simples de los que usualmente se ocupan. Igualmente, desde 1986 se tenía este tipo de relación "Gravedad = (Yang-Mills)2" con las relaciones KLT (detalle en esta entrada anterior), que fueron obtenidas en teoría de cuerdas bosónica pero que se reducen a la mencionada relación norma-gravedad a bajas energías (cuerdas → puntos).
Esta relación entre gravedad y norma se conoce como la relación de doble copia, y se puede reducir básicamente a que
\begin{align}
h_{\mu\nu}&\sim{A}_\mu\tilde{A}_\nu\\
V_\text{grav}(123)&={V}_\text{YM}(123)\tilde{V}_\text{YM}(123)\\
|\Phi\rangle_\text{grav}&=|\Phi\rangle_\text{YM}\otimes|\Phi\rangle_\text{YM}\\
\text{Numeradores BCJ}\,\Longrightarrow\,\mathcal{M}_n^{(L)}&=i^{L+1}\left(\frac{\kappa}{2}\right)^{n-2+2L}\sum_{i\in\Gamma_3}\int\prod_{\ell=1}^L\frac{d^Dp_\ell}{(2\pi)^D}\frac{1}{S_i}\frac{N_i\tilde{N}_i}{\prod_{\alpha_i}p^2_{\alpha_i}}
\end{align} en donde para la última ecuación, básicamente sólo se reemplaza el factor de color de la amplitud de norma (\ref{BCJamp}) con un numerador BCJ. Aún más, este numerador puede pertenecer a una teoría distinta de la del otro numerador:
Fuente: Presentación de A. Ochirov (General Relativity: from Geometry to Amplitudes,
Instituto Isaac Newton, Cambridge, 2016)
Para el caso de árboles, la relación de doble copia reproduce las relaciones KLT (obviamente asumiendo color-cinemática; arXiv:1004.0693 [hep-th]) y en general, la mayoría de evidencia, de manera análoga a color-cinemática, es para $\mc{N}=8$ super-gravedad.
Finalmente la mayor relevancia e interés que se pone en la relación de doble copia está en que puede arrojar luz sobre las distintas teorías de gravedad y en general puede ayudar a comprender mucho mejor cuál es la solución al rompecabezas de la gravedad cuántica.
Algunos resultados (recientes y no tan recientes) sobre el comportamiento UV en gravedad
Fuente: Plática de A. Ochirov (QCD Meets Gravity, Instituto Bhaumik, UCLA, 2016)
Hace poco fue el aniversario del nacimiento de Paul Dirac; además, en el mismo mes de agosto, pero en 1932 (treinta años más tarde del nacimiento de Dirac), se encontraría evidencia experimental de la existencia del positrón, tan sólo dos años más tarde de que Dirac (auténticamente) lo predijera.
La historia en sí misma es bastante interesante y hay varias lecturas relevantes en la red como ésta o ésta. También está este buenísimo timeline del sitio web del CERN:
Sobre la vida de Dirac también está el famoso libro The Strangest Man de Graham Farmelo, que no he tenido oportunidad de leer porque es complicado conseguirlo en México, aunque en YouTube se encuentra esta charla del mismo Farmelo:
De las relaciones de momento-energía clásicas no-relativista y relativista de una partícula podemos obtener sus ecuaciones mecánico-cuánticas a través de la correspondencia $(E,\vec{p})\to(i\p_t,-i\nabla)$ en unidades naturales ($\hbar=c=1$). En el caso no-relativista, con el potencial $V=V(x,t)$, tenemos que \begin{equation}E=\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}}{2m}+V\,\to\,i\p_t=-\frac{\nabla^2}{2m}+\hat{V}\end{equation} que aplicado a una función de onda $\Psi=\Psi(x,t)$, reproduce la ecuación de Schrödinger \begin{equation}i\p_t\Psi=\left(-\frac{\nabla^2}{2m}+\hat{V}\right)\Psi\end{equation} y de manera análoga se puede tomar (el cuadrado de) la relación relativista $E^2=p^2+m^2$ de modo que \begin{equation}\left(-\p_t^2+\nabla^2-m^2\right)\Psi=0\end{equation} que es la ecuación de Klein-Gordon. Finalmente, como se hace con la ecuación de Schödinger, se puede obtener una densidad de probabilidad (que junto con la corriente de probabilidad satisfacen una ecuación de continuidad), que sin embargo para este caso no es positiva definida.
En su artículo The Quantum Theory of the Electron de febrero de 1928, Dirac abordó principalmente este problema para electrones considerando que la ecuación cuántico-relativista debía ser lineal o de primer orden en $\p_t$. Dirac es seguramente uno de los autores de antaño que es más sencillo de leer y su famoso artículo no es la excepción. Resumiendo, Dirac parte de que en relatividad especial la dirección temporal "está al mismo nivel" que las demás, de modo que si la ecuación dinámica es lineal en $\p_t$ (i.e. $p_0$), también tendría que serlo en $\p_i$ (i.e. $p_i$), de donde propone la ecuación de prueba (o ansatz) \begin{equation}\left(p_0+\alpha^ip_i+\beta\right)\Psi=0\end{equation} que debe además ser compatible con la relación de energía-momento relativista, i.e. debe reproducir la ecuación de Klein-Gordon (interpretada como un límite clásico --large quantum numbers) si se eleva al cuadrado el lado izquierdo, de donde obtiene relaciones de las que se sigue que los $\alpha_\mu$ no pueden ser números ordinarios y pueden representarse por matrices. Dirac luego construye un caso particular de estas matrices en lo que hoy conocemos como una representación del álgebra de Clifford. Concretamente, en notación moderna (Dirac la escribe también de forma parecida cuando demuestra que la ecuación es invariante ante transformaciones de Lorentz), \begin{equation}\left(i\gamma^\mu\p_\mu-m\right)\psi=0\end{equation} es la ecuación de Dirac con $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2\eta^{\mu\nu}\mathbb{I}$ el álgebra de Clifford (Dirac encuentra una representación particular, notando antes que cualquiera debe estár formada por matrices de al menos 4x4) y $\psi$ es un 4-vector, que concretamente en teoría cuántica de campos se conoce como espinor (aunque desde antes se conocía así precisamente por poderse relacionar con el espín de los electrones).
De su ecuación, Dirac resolvió el problema de la densidad de probabilidad negativa [otra forma de determinar los coeficientes de la ecuación de Dirac es precisamente buscando que se satisfaga una ecuación de continuidad de tipo $\p_t(\psi^\dagger\psi)+\nabla\cdot\vec{j}=0$] pero persistía otro problema importante: energías negativas. Resulta que las soluciones de la ecuación de Dirac pueden descomponerse en dos espinores de dos componentes que son eigenestados de energía positiva y negativa. Clásicamente las energías negativas pueden simplemente ignorarse por no tener sentido físico y nada impide descartarlas, de cualquier modo en cuántica estos estados no pueden ignorarse así nada más, ya que la teoría misma requiere tener conjuntos completos (y ortonormales) de eigenestados.
Así pues, Dirac, viendo al monstruo que había creado, atacó también de manera bastante ingeniosa este problema en el artículo A Theory of Electrons and Protons: los electrones son fermiones, así que están sujetos al principio de exclusión de Pauli y por tanto los estados de energía negativa deben estar todos ocupados, siendo accesibles únicamente los de energía positiva. Esto es lo que se conoce como el mar de Dirac. Pero Dirac no se detuvo ahí, notó además que un hueco en el mar de Dirac se comporta como una partícula con carga positiva y el resto de propiedades del electrón: el antielectrón o positrón, que además se aniquila con el electrón emitiendo radiación.
Finalmente el mar de Dirac resultó ser sólo una pifia, de cualquier modo, increíblemente llevó a la respuesta correcta sobre el positrón y luego en general sobre la antimateria. Hoy (y desde algo así como 1934) la ecuación de Dirac únicamente se entiende consistentemente en el contexto de la teoría cuántica de campos: el espinor no es una función de onda, sino un campo clásico que se cuantiza en partículas de espín 1/2 y las antipartículas no están asociadas necesariamente sólo a fermiones, además el Hamiltoniano asociado a la ecuación de Dirac es positivo definido, de modo que es acotado por abajo, como debe, y desaparecen las energías negativas. De manera análoga, más tarde la ecuación de Klein-Gordon fue interpretada por Pauli (?) como una para un campo de espín nulo, también con un Hamiltoniano positivo definido y energías positivas.
In this attempt, the success seems to have been on the side of Dirac rather than logic.
- Pauli sobre Dirac
La predicción de Dirac seguramente era descabellada, además de que nunca se había reportado la observación experimental de algo parecido. Como sea, y contrario a muchas ideas relevantes actualmente, se tenía la ventaja de que se podía falsificar rápidamente su predicción, y así ocurrió con un experimento de Carl Anderson en 1932.
Carl D. Anderson, Physical Review Vol.43, p491 (1933)
Y la idea es bastante simple: utilizar una cámara de niebla: un detector de partículas que funciona mediante vapor de agua supersaturado. El vapor de la cámara de niebla se ioniza cuando cierta radiación ionizante pasa por él, en este caso rayos cósmicos (apenas descubiertos), lo que genera el rastro de un camino ionizado que se fotografía para ser analizado. Si además se aplica un campo magnético, las partículas se curvarán en cierta dirección debido a la fuerza de Lorentz.
Producción de un electrón y un positrón a partir de un fotón de alta energía. Fuente: http://teachers.web.cern.ch
A fin de cuentas Anderson encontró que la partícula que estaba midiendo no podía ser un protón y que correspondía al electrón de carga positiva, que bautizó como positrón. Y el resto es historia, se siguieron descubriendo antipartículas y se generó la noción de la antimateria, que puede ser tan estigmatizada por la cantidad de energía que libera al aniquilarse con la materia hasta ser tan mundana por aplicaciones como la tomografía por emisión de positrones.
When I was a young man, Dirac was my hero. He made a breakthrough, a new method of doing physics. He had the courage to simply guess at the form of an equation, the equation we now call the Dirac equation, and to try to interpret it afterwards. Maxwell in his day got his equations, but only in an enormous mass of 'gear wheels' and so forth.
Hace poco encontré estos vídeos sobre supersimetría y teoría de cuerdas, dos temas íntimamente relacionados: Supersimetría: el LHC regresa a la búsqueda de nueva física
Este vídeo está dirigido al público en general. La anfitriona entrevista a varios físicos, entre ellos a John Ellis, quien habla acerca del Run II del LHC y en particular sobre la búsqueda de nueva física y supersimetría. La explicación a nivel divulgativo es la usual, pero las entrevistas son interesantes y se presenta también el lado más escéptico de la propuesta de SUSY con Alvaro De Rújula que bromea un poco sobre viajar al pasado.
Entre otras cosas, si no se encuentra SUSY en el Run II del LHC, John Ellis señala que tendrá que limpiar su oficina.
El escritorio de John Ellis @CERN
Teoría de cuerdas en un universo sin supersimetría
Luego del Run I del LHC, los medios y "algunos físicos" comenzaron a decir que SUSY estaba muerto. En realidad, y como se explica en el vídeo anterior, SUSY podría estar en cualquier escala de energía y podría incluso ser inalcanzable por el LHC. De cualquier modo esto mete en problemas a muchos teóricos y en particular a los que se dedican a la construcción de modelos realistas de partículas (tipo modelo estándar) a partir de teoría de cuerdas (fenomenología de cuerdas).
Algunos recursos para abordar este tema conceptualmente son:
Saúl Ramos, investigador del IFUNAM, aborda el tema de Cuerdas sin SUSY (y explica exactamente a qué se refiere esto en el tiempo 27:00 gracias a una pregunta) precisamente motivado por el hecho de que no ha habido evidencia alguna de SUSY en el LHC, entre otros.
El squark stop es la superpartícula asociada al top quark y era una de las primeras que se esperaba en el LHC
La charla no es divulgativa (seminario de Altas Energías en la UNAM) pero es accesible para quien esté interesado sin ser experto. El audio es relativamente malo pero vale la pena intentar seguirlo (como sea se agradece la iniciativa del camarógrafo) y la acción en específico sobre la construcción de N=0 comienza en el tiempo 21:00.
Finalmente, no recuerdo si durante la presentación se cita el artículo en que está basada la presentación, pero parece que es este trabajo:
We investigate orbifold and smooth Calabi-Yau compactifications of the non-supersymmetric heterotic SO(16)×SO(16) string. We focus on such Calabi-Yau backgrounds in order to recycle commonly employed techniques, like index theorems and cohomology theory, to determine both the fermionic and bosonic 4D spectra. We argue that the N=0 theory never leads to tachyons on smooth Calabi-Yaus in the large volume approximation. As twisted tachyons may arise on certain singular orbifolds, we conjecture that such tachyonic states are lifted in the full blow-up. We perform model searches on selected orbifold geometries. In particular, we construct an explicit example of a Standard Model-like theory with three generations and a single Higgs field.
Lo que todo físico debería saber sobre teoría de cuerdas
Al fin una charla de Eddie Witten que todos podemos entender... todos los físicos... todos los que conocen, al menos de lejitos, QFT y obviamente relatividad general.
Las diapositivas de la charla están disponibles aquí a través del sitio del Strings 2015.
A groso modo, en la primera parte, Witten comienza con la que sería una formulación 1-dimensional de gravedad cuántica, en la que el tensor de Riemann es idénticamente nulo y así la curvatura de Ricci y la acción de Einstein-Hilbert, con D campos escalares y llega a una teoría de campo en un espaciotiempo D-dimensional curvo. Luego incluso, con este modelo unidimensional, continúa calculando el propagador de una partícula de un punto a otro e introduce interacciones. Finalmente considera el caso dos dimensional, explica por qué Cuerdas es una teoría de gravedad cuántica (no esperen conocer al gravitón, aunque sólo quedan unas patadillas para describirlo) y discute cómo es que en cuerdas desaparecen las divergencias ultravioleta.
Hay además disponible en YouTube una charla de 2013 del mismo Witten llamada Feynman diagrams in String Theory que parece ser esencialmente la misma, aunque quizá con un poco más de detalle (en la primera diapositiva menciona "I will aim to explain the minimum about string perturbation theory that every quantum physicist should know"). Finalmente en algo con relación únicamente a Witten: How does Edward Witten know so much math?.
I fortunately happened to live during the rise and development of the internet and other information technologies. Now I'm witnessing the proliferation of the so called MOOCS and open access to (under)graduate level courses, which is great. I'd say these type of courses and lectures are presumably the best option for those who want to self-teach themselves, those who want to change fields of study, or to those who want to deepen their understanding in some particular topic. I've gone through the whole of David Tong's lectures on QFT (mentioned in earlier posts) and part of his lectures on String Theory too; these are great by themselves and the QFT ones have some advantage in that there are YouTube videos available (though -the videos, not the lectures- of poor quality). It seems that a lot of leading universities and their academics are (becoming?) aware of the relevance of making available good quality content to the general public, even if not specially by well organized MOOCs but just by access to online lecture notes.
Here I share two courses which I'm currently following.
These lectures on supersymmetry and extra dimensions are aimed at finishing undergraduate and beginning postgraduate students with a background in quantum field theory and group theory. Basic knowledge in general relativity might be advantageous for the discussion of extra dimensions. This course was taught as a 24+1 lecture course in Part III of the Mathematical Tripos in recent years. The first six chapters give an introduction to supersymmetry in four spacetime dimensions, they fill about two thirds of the lecture notes and are in principle self-contained. The remaining two chapters are devoted to extra spacetime dimensions which are in the end combined with the concept of supersymmetry. Videos from the course lectured in 2006 can be found online at this http URL.
I've gone until §2.2 and I find the lecture notes really easy to follow. The math notation has some weird spaces in the equations, (which are not numbered btw) and there are some occasional seemingly non-relevant errors, like on page 19, \begin{equation*}{N_\alpha}^\beta(x_\nu\sigma^\nu)_{\beta\dot\gamma}N_{\dot\alpha}^{*\,\dot\gamma}\stackrel{\color{blue}{?}}{=}{\Lambda_\mu}^{\nu}x_\nu\sigma^\mu\end{equation*} where the $\alpha\dot{\alpha}$ subindices on the RHS are missing; it could've been written simply as $Nx_\rho\sigma^{\rho}N^\dagger={\Lambda_\mu}^{\nu}x_\nu\sigma^\mu$ or, emphasizing the components, I guess the RHS should've been ${\Lambda_\mu}^{\nu}x_\nu(\sigma^\mu)_{\alpha\dot\alpha}$. Also, the procedure to get this equation isn't explicitly -or more carefully- written in the notes (it can be worked out knowing the $x_\mu\sigma^\mu$ transformations under both groups and using the fact that they are the same; the ${\Lambda_\mu}^\nu$ appears as something like ${\Lambda_\mu}^\alpha{\Lambda_\alpha}^\nu$).
I have to say I didn't really liked the video lectures and I didn't find them very helpful: minor issues like the one above don't get straightened and most of the time Prof. Quevedo (which is no insignificant name in the field) just transfer the notes to the blackboard. That's kind of understandable, but, as in the issue I mentioned, not seeing "balanced" indices at an equation should hurt one's eyes enough. However, some discussions may be useful and it is at least more dynamical to follow the notes along with the videos (I also confess that the accent of Prof. Quevedo became a little annoying to me after a while; I don't blame him though, because I might have a similar one).
Then, there's this beautiful course about the Higgs Boson by the University of Edinburgh on what they call Open Education:
The Discovery of the Higgs Boson Should we be excited about the Higgs boson? Find out more about particle physics and understanding the universe.
(...) This free online course introduces the theoretical tools needed to appreciate the discovery, and presents the elementary particles that have been discovered at the tiniest scales ever explored. Beginning with basic concepts in classical mechanics, the story unfolds through relativity and quantum mechanics, describing forces, matter and the unification of theories with an understanding driven by the tools of mathematics.
Narrating the journey through experimental results which led to the discovery in 2012, the course invites you to learn from a team of world-class physicists at Edinburgh University. Learners participate in discussion of the consequences of the Higgs boson, to physics and cosmology, and towards a stronger understanding and new description of the universe. (...)
The course is meant to be accessible to everyone with high school education. It's already too late to register formally, but there's also a YouTube playlist available from the previous year's course:
So I guess that's pretty much enough ;-) I've seen a few videos and of course there's a lot of detail you won't see, but at least the big picture is there (I didn't truly realize some things, like how to read the plot of the data) and it is fantastic.
I also like to brag a little because most probably I'll be attending the MSc in Mathematical Physics at Edinburgh ;-)
Visualization of the future building of the Higgs Centre for Theoretical Physics at Edinburgh (due to open in 2016)
I still have around half a year off until I start attending my Master's courses (at least if everything, e.g. funding, etc... comes ok), so now I'm trying to follow the String Theory lectures by David Tong. As with the QFT ones, these too are great as an introductory reading at a graduate level or for self-study. Solutions to the example sheets are available from a PhD student named Chris Blair; in particular, here for the first one. What I'm concerned about is problem 2.
The p-brane of me got the joke a little late (hurdles of a non-native speaker)
In part b, one is asked to
Show that the Dirac action \begin{equation}S_\text{Dirac}=-T\int{d}^{p+1}\sigma\sqrt{-\det\gamma}\end{equation} where $\sigma^\alpha$, $\alpha=0,\ldots,p$ are coordinates on the brane world-volume and $\gamma_{\alpha\beta}$ is the pullback of the Minkowski metric onto the brane, \begin{equation}\gamma_{\alpha\beta}=\frac{\p{X}^\mu}{\p\sigma^\alpha}\frac{\p{X}^\nu}{\p\sigma^\beta}\eta_{\mu\nu}\end{equation} is equivalent to the Polyakov-type action with dynamical world-volume metric $g_{\alpha\beta}$, \begin{equation}S=-\frac{T}{2}\int{d}^{p+1}\sigma\sqrt{-g}\left(g^{\alpha\beta}\p_\alpha{X}^\mu\p_\beta{X}^\nu\eta_{\mu\nu}-(p-1)\right)\label{poly1}\end{equation}
Now, the thing is that in the solution by Blair, he starts off with (\ref{poly1}) replacing the $g$'s by $\gamma$'s, which doesn't seem to be what is asked for. This confused me badly, but finally I managed to see what's going on.
What needs to be done is similar to what is done in part a of the problem. As with the string case, $g_{\alpha\beta}$ is now a new field that is fixed by its own equations of motion. First, let's write (\ref{poly1}) as \begin{equation}S=-\frac{T}{2}\int{d}^{p+1}\sigma\sqrt{-g}\left(g^{\alpha\beta}\gamma_{\alpha\beta}-(p-1)\right)\label{poly12}\end{equation} so that it can be handled more easily (also, from here it's evident that Blair's approach does not solves the problem). To get the equations of motion for $g_{\alpha\beta}$, we should vary the action, where it's needed the fact that \begin{equation}\delta\sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\alpha\beta}\delta{g}^{\alpha\beta}\end{equation} which can be obtained through \begin{equation}\delta\det{M}=\det{M}\,\text{Tr}\left(M^{-1}\delta{M}\right)\end{equation} namely, Jacobi's formula for invertible $M$ (which here is $g_{\alpha\beta}$, i.e. $\delta{g}=g\,g^{\alpha\beta}\delta{g}_{\alpha\beta}$). Using this, and stationary action $\delta{S}=0$, the equations of motion are \begin{equation}-\frac{1}{2}g_{\alpha\beta}\left(g^{\rho\sigma}\gamma_{\rho\sigma}-(p-1)\right)+\gamma_{\alpha\beta}=0\end{equation} so that $g_{\alpha\beta}$ is related to $\gamma_{\alpha\beta}$ as \begin{equation}g_{\alpha\beta}=\frac{2\gamma_{\alpha\beta}}{g^{\rho\sigma}\gamma_{\rho\sigma}-(p-1)}\label{poly2}\end{equation} which is basically eq. (1.25) in the lecture notes for $p=1$, as expected. Now, to finally recover the Dirac action from here, just take the determinant on both sides of (\ref{poly2}), so that \begin{equation}\sqrt{-g}=\frac{2\sqrt{-\gamma}}{g^{\rho\sigma}\gamma_{\rho\sigma}-(p-1)}\end{equation} and as the $\rho$ and $\sigma$ indices in the denominator are dummy, inserting this in (\ref{poly12}), \begin{equation}S\bigg|_{\text{EOM}}=-T\int{d}^{p+1}\sigma\sqrt{-\det\gamma}=S_\text{Dirac}\end{equation} which is the actual desired result. Now, of course if $g_{\mu\nu}=\gamma_{\mu\nu}$ the result follows as the conformal factor is simply equal to one and it can be readily used that $\gamma^{\mu\nu}\gamma_{\mu\nu}=p+1$ on (\ref{poly12}) to get the result; however, that apparent solution can get misleading because one can think that the Dirac action is recovered only when $g_{\mu\nu}=\gamma_{\mu\nu}$. The relevant thing of this example is to see that once this new field satisfy it's equations of motion, the original Dirac (or Nambu-Goto) action is recovered. Also one should be able to see what gauge symmetry this new field brings upon, as the equations of motion for $X^\mu$ are the same: for the string it is Weyl invariance, however, I couldn't find the case for the $p$-brane but I guess it should be an analogous conformal symmetry (for now I can only say in page 58 it's stated that a $U(1)$ gauge field $A_\mu$ lives on a D-brane, however, the group language still seems a bit foreign to me ;-)
It seems funny, but in the end all of (super)string theory boils down (the history is quite interesting, from scattering amplitudes to the superstring revolutions to today) to the naive step from relativistic points to strings to branes / worldline to worldsheet to worldvolume.
El Universo Elegante fue casi seguramente el primer libro de divulgación sobre Cuerdas que leí (quizá sólo luego de Hiperespacio de Michio Kaku) en la biblioteca de la UAM-A y seguramente uno de los que me inclinaron más hacia la ciencia que hacia la ingeniería. Como sea, recuerdo bien que en algún punto del libro se incluye una ilustración de una red de variedades Calabi-Yau, en la que se explica, están compactificadas las dimensiones espaciales extra.
Aunque mi expertise con los Calabi-Yau (el nombre debido a Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau) es básicamente la misma que cuando leí el libro de Brian Greene, o sea, nula, al menos ya tengo acceso a las ideas básicas.
Hasta donde sé, hay varias maneras de definir una variedad de Calabi-Yau; de cualquier modo, algunas de sus características son que es una variedad compleja, compacta, Kähler y de curvatura de Ricci nula.
Esto es,
Un $d$-fold $\mc{M}$ de dimensión compleja $d$ (o $\dim_\mathbb{R}(\mc{M})=2d$) de coordenadas locales $z^i$, $z^\bar{\imath}$ con $i,\bar{\imath}=1,\ldots,d$
Que puede cubrirse con una cantidad finita de parches coordenados
Que admite una ${(1,1)}$-forma $\omega$ cerrada, i.e. tal que $d\omega=0$, que se relaciona con una métrica $g$ Hermitiana en $\mc{M}$, i.e. real y tal que $g_{ij}=g_{\bar{\imath}\bar{\jmath}}=0$, que localmente puede escribirse en términos de derivadas de una función real $K=K(z,\bar{z})$ llamada potencial de Kähler, $g_{i\bar{\jmath}}=\frac{\p{K}}{\p{z}^i\p{z}^\bar{\jmath}}$. En general esto y los dos puntos anteriores suelen decirse de una variedad Kähler.
Cuyas componentes del tensor de Ricci $R_{i\bar{\jmath}}$ se anulan, $R_{i\bar{\jmath}}=0$, además, evidentemente (por el punto anterior) de $R_{ij}$, $R_{\bar{\imath}\bar{\jmath}}$
Éstas, según el autor, pueden tratarse como propiedades o como una definición (espero no hacer enojar a algún purista ;-) y es relevante mencionar que el último punto de hecho suele mencionarse más estrictamente como una consecuencia del llamado Teorema de Yau, proveniente de la llamada antes Conjetura de Calabi (y nacieron los Calabi-Yau ;-), que tiene que ver con que se anulen ciertos invariantes topológicos llamados primera clase de Chern, $c_1(\mc{M})$. El Teorema de Yau dice que dado $\mc{M}$ Kähler con $c_1(\mc{M})=0$ siempre existe una métrica tal que $R_{i\bar{\jmath}}=0$, por esto seguido sólo se dice que un $\mc{M}$ Kähler con $c_1(\mc{M})=0$ es un Calabi-Yau.
Como sea, mi intención es sólo dar una idea de lo que es una variedad de Calabi-Yau a quien -como yo- ya tiene estos conceptos a la mano. Para ahondar en el tema se puede consultar
En las notas de Vonk puede leerse que la última condición es interesante porque las variedades con tensor de Ricci nulo son soluciones de vacío a las ecuaciones de Einstein (con constante cosmológica nula), además de que se asegura que al compactificar 6 dimensiones extra en las variedades de Calabi-Yau, se preservan las supersimetrías de la teoría 4-dimensional, lo que (sea lo que sea) es relevante por razones técnicas y fenomenológicas. El punto es que esto lleva a que en cuerdas se empleen 3-folds Calabi-Yau (i.e. 6 dimensiones reales).
En las notas de Greene se muestra (2.10 y 2.11) que la hipersuperficie (quíntica o de quinto grado) en el espacio proyectivo complejo $\mathbb{C}P^4$ dada por \begin{equation}z_1^5+z_2^5+z_3^5+z_4^5+z_5^5=0\end{equation} es un 3-fold de Calabi-Yau, mostrando únicamente que es Kähler con primera clase de Chern nula. Finalmente de esta forma es como se relaciona todo con el Último Teorema de Fermat y todo lo que se menciona en el vídeo de Hanson.
se menciona el procedimiento general. De cualquier modo uno siempre puede ocupar los Wolfram Demonstrations disponibles y destripar el código fuente si lo hay. Dos .cdf que pude hallar son
He estado ausente algún tiempo intentando terminar la licenciatura, y como mostré en la entrada anterior, he estado trabajando en la geometría (clásica) del espacio de Anti-de Sitter. Ahora quiero compartir algunos comentarios sobre Agujeros Negros en AdS, basándome en este ensayo de Peng Zhao. El caso más sencillo es (A)dS-Schwarzschild, y la idea es que partiendo de una métrica esféricamente simétrica en forma de Schwarzschild, \begin{equation}ds^2=-f(r)\,dt^2+f^{-1}(r)\,dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation} uno puede tomar $f$ tal que cerca del origen se tenga un espacio de Schwarzschild y asintóticamente se tenga (A)dS (para una obtención más metódica de esta métrica véase e.g. la p.823 de las notas de M. Blau). Las métricas de AdS y de Schwarzschild, respectivamente, pueden escribirse como \begin{align}ds_\text{AdS}^2&=-\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}\right)\,dt^2+\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\\ ds_\text{Sch}^2&=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\,dt^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\end{align} donde $\alpha$ es una constante positiva (el radio de AdS) y $r_s$ es el radio de Schwarzschild. De aquí, se define entonces la métrica de AdS-Schwarzschild como \begin{equation}ds^2=-\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}-\frac{r_s}{r}\right)\,dt^2+\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation} que en efecto se comporta como un agujero negro de Schwarzschild para $r$ pequeña y como AdS para $r$ grande. Lo propio puede hacerse empleando de Sitter.
***(Actualización) La primera cuestión es a AdS se le puede asociar una energía finita y por tanto el análogo a una pared de potencial infinita en su infinito asintótico. Por teorema de Noether, en AdS la energía es una carga conservada, $E=-P_\mu{V}^\mu$ (el signo negativo es simplemente por consistencia, de cualquier modo siempre se le puede cargar a $E$ que es constante); en este caso nos interesa la energía $E_\text{loc}$ medida por un observador local (es decir, que localmente está en un sistema plano) estático, en donde tendríamos simplemente que $P=(E,\vec{0})$ y $V=(1,\vec{0})$. Lo que nos interesa es encontrar esta relación para este observador en el sistema global de coordenadas de AdS (esféricas). Considérense los vectores transformados $p$ y $v$. Primero empleemos la condición de normalización $v^\mu{v}_\mu=-1$ y el hecho de que el observador es estático también en el sistema global de AdS, i.e. $v=(v^t,\vec{0})$, esto implica que $v^t=1/\sqrt{-g_{tt}}$, entonces en este sistema coordenado, \begin{equation}E_\text{loc}=-p_\mu{v}^\mu=-g_{\mu\nu}p^\mu{v}^\nu=\sqrt{-g_{tt}}p^t\end{equation} Ahora bien, en el sistema del observador local estático simplemente $p^t=m\dot{t}$ con $m$ la masa de la partícula (el observador), que podemos llevar a la forma en coordenadas de AdS sabiendo que $P^t=g_{tt}\dot{t}=-E$ en AdS, de modo que $p^t=-mE/g_{tt}\equiv-{E}_0/g_{tt}$ y así, \begin{equation}E_\text{loc}(r)=\frac{E_0}{\sqrt{-g_{tt}(r)}}\label{1}\end{equation} de donde se lee que la energía medida por un observador local en algún punto $r$ tiene un corrimiento al rojo (debido al campo gravitacional) respecto a la energía $E_0$. En el ensayo de Zhao se escribe $E_0$ como $E_\infty$, sin embargo la notación se antoja un poco desafortunada, ya que ésta es la energía total medida por un observador local estático en $r=0$; la notación probablemente proviene de la interpretación de ser la energía medida por un observador alejado infinitamente del campo gravitacional del espacio, lo que resulta útil e.g. en Schwarzschild, donde $E$ en efecto es la energía (por unidad de masa) medida por un observador local estático en $r\to\infty$, aquí de hecho $E_\text{loc}\to0$ cuando $r\to\infty$, contrario a Schwarzschild, en donde $E_\text{loc}\to{mE}$ cuando $r\to\infty$ y $E_\text{loc}\to\infty$ cuando $r\to{r}_s$, esto hace la gran diferencia para ver a AdS como una caja. Nótese también que los vectores de momento y de velocidad (i.e. el vector de Killing transformado) se recuperan para el caso local en AdS con $r=0$ y en Schwarzschild con $r\to\infty$. Como se ve adelante, pueden construirse estados térmicos en AdS identificando periódicamente una coordenada de tiempo imaginaria con periodo $\beta_0=T^{-1}$. Esto significa entonces que (\ref{1}) puede escribirse también como $T_\text{loc}=\frac{T}{\sqrt{-g_{tt}}}$ y que la energía total de la radiación térmica en AdS es finita sin necesidad de encerrarla en una caja. ***
Luego entonces, tomando $r=r_+$ el horizonte de eventos de AdS-Schwarzschild, i.e. la raíz más grande de \begin{equation}V(r)\equiv1-\frac{r_s}{r}+\frac{r^2}{\alpha^2}\end{equation} se fija el valor de $r_s$ a \begin{equation}V(r_+)=0\,\Longrightarrow\,r_s=\frac{r_+(\alpha^2+r_+^2)}{\alpha^2}\end{equation} y entonces en efecto al ver la métrica cerca del horizonte, i.e. con $r=r_++\epsilon^2$ con $|\epsilon|\ll1$, para el orden dominante en $\epsilon$, \begin{equation}V(r_++\epsilon^2)\approx\frac{\alpha^2+3r_+^2}{\alpha^2r_+}\epsilon^2\end{equation} y haciendo una rotación de Wick, $\tau=it$, se sigue para la métrica AdS-Schwarzschild, \begin{equation}ds^2=\frac{4\alpha^2r_+}{\alpha^2+3r_+^2}\left[d\epsilon^2+\left(\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}\right)^2\epsilon^2d\tau^2\right]+(r_++\epsilon^2)^2d\Omega^2\end{equation} Aquí puede resultar poco claro cómo ver que necesariamente $\tau$ es periódica. El punto es entender lo que significa que se tenga una singularidad cónica. La idea es básicamente que si $\tau$ tiene un cierto periodo $\beta_0$, el espacio se cubrirá completamente, lo que no sucederá necesariamente con cualquier otro valor; la analogía que utiliza Zhao es la de las coordenadas polares $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$, donde $\theta$ debe tener un periodo de $2\pi$ para corresponder a la métrica del plano, de otro modo se tiene un hueco del tipo de una rebanada de pastel, lo que lleva a algo así como un pico de un cono, lo que es la singularidad cónica.
En este caso es particularmente fácil verificar cuál es el periodo $\beta_0$ de $\tau$, dado que el término entre corchetes de la métrica AdS-Schwarzschild cerca del horizonte es análoga a la del plano en coordenadas polares. Se debe satisfacer entonces que \begin{equation}\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}\int_0^{\beta_0}d\tau\int_0^{r_+}\epsilon\,{d}\epsilon=\pi{r}_+^2\,\Longrightarrow\,\beta_0=\frac{4\pi\alpha^2r_+}{\alpha^2+3r_+^2}\end{equation} En adelante la cosa es bastante clara, al menos antes de llegar a la parte de AdS/CFT, y el resultado $T=\beta^{-1}$ creo que es bastante majo, pues entonces la temperatura del agujero negro puede obtenerse únicamente con argumentos geométricos, sin invocar directamente la gravedad de superficie. Sólo hay detalles cuando se menciona la distribución canónica, aunque al final igual lo que se calcula es $S=\beta\langle{E}\rangle+\ln{Z}$. La intención es llegar a la dualidad fluido/gravedad, pero de eso tal vez escriba después ;-)
Hace poco encontré esta entrevista, poco difundida hasta este momento (apenas 36 vistas) aunque se publicó apenas hace unas dos semanas. Alberto Güijosa Hidalgo es un investigador del Instituto de Ciencias Nucleares de la UNAM enfocado principalmente a la dualidad AdS/CFT. En la entrevista, el Dr. Güijosa habla a nivel divulgación de diversos aspectos de la física de altas energías. Por supuesto los temas resultan sumamente interesantes y Güijosa los explica de una manera muy sencilla. Quizá el único defecto es que el Dr. Güijosa parece hablar muy apresuradamente o algo por el estilo, de cualquier modo puede resultar gratificante escucharlo.
También apenas me encontré en línea una presentación por el Dr. Güijosa, parte de la III Escuela Mexicana de Cuerdas y Supersimetría celebrada en la Universidad de Guanajuato del 3 al 12 de Junio del año pasado. El enlace está acá: La Correspondencia Holográfica: Color a Partir de Geometría, igual en el sitio del evento pueden encontrarse algunas otras presentaciones que pueden ser de interés.
que igualmente a primer vista es intimidante pero realmente la idea para reconocerla es la misma que para la identidad de 4 puntos (\ref{Jacobistruct}) y en este caso las permutaciones cíclicas ocurren para los índices que comparten el propagador alrededor del cual se toma la identidad (en este caso $b_1$). En términos de diagramas, uno puede partir de un diagrama en forma multiperiferal (primer diagrama de izquierda a derecha) y luego hacer ambos un intercambio de aristas y una forma de "tenedor-Y" alrededor del propagador en cuestión. Lo del tenedor-Y es relevante porque puede generar diagramas con topologías distintas a la del diagrama original.
![Andrew J. Hanson, Indiana University. [CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0) or Attribution], via Wikimedia Commons](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/CalabiYau5.jpg/512px-CalabiYau5.jpg "Andrew J. Hanson, Indiana University. [CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0) or Attribution], via Wikimedia Commons")
