Del Último Teorema de Fermat a los Espacios de Calabi-Yau

El Universo Elegante fue casi seguramente el primer libro de divulgación sobre Cuerdas que leí (quizá sólo luego de Hiperespacio de Michio Kaku) en la biblioteca de la UAM-A y seguramente uno de los que me inclinaron más hacia la ciencia que hacia la ingeniería. Como sea, recuerdo bien que en algún punto del libro se incluye una ilustración de una red de variedades Calabi-Yau, en la que se explica, están compactificadas las dimensiones espaciales extra.

Fuente: http://members.wolfram.com/jeffb/visualization/stringtheory

De manera fortuita (en realidad por el video al final ;-), hace poco encontré también esta charla de Andrew J. Hanson:


en la que se muestra también este vídeo.

Aunque mi expertise con los Calabi-Yau (el nombre debido a Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau) es básicamente la misma que cuando leí el libro de Brian Greene, o sea, nula, al menos ya tengo acceso a las ideas básicas.

www.amazon.com/The-Shape-Inner-Space-Dimensions/dp/0465028373

Hasta donde sé, hay varias maneras de definir una variedad de Calabi-Yau; de cualquier modo, algunas de sus características son que es una variedad compleja, compacta, Kähler y de curvatura de Ricci nula.

Esto es,

• Un $d$-fold $\mc{M}$ de dimensión compleja $d$ (o $\dim_\mathbb{R}(\mc{M})=2d$) de coordenadas locales $z^i$, $z^\bar{\imath}$ con $i,\bar{\imath}=1,\ldots,d$
• Que puede cubrirse con una cantidad finita de parches coordenados
• Que admite una ${(1,1)}$-forma $\omega$ cerrada, i.e. tal que $d\omega=0$, que se relaciona con una métrica $g$ Hermitiana en $\mc{M}$, i.e. real y tal que $g_{ij}=g_{\bar{\imath}\bar{\jmath}}=0$, que localmente puede escribirse en términos de derivadas de una función real $K=K(z,\bar{z})$ llamada potencial de Kähler, $g_{i\bar{\jmath}}=\frac{\p{K}}{\p{z}^i\p{z}^\bar{\jmath}}$. En general esto y los dos puntos anteriores suelen decirse de una variedad Kähler.
• Cuyas componentes del tensor de Ricci $R_{i\bar{\jmath}}$ se anulan, $R_{i\bar{\jmath}}=0$, además, evidentemente (por el punto anterior) de $R_{ij}$, $R_{\bar{\imath}\bar{\jmath}}$

Éstas, según el autor, pueden tratarse como propiedades o como una definición (espero no hacer enojar a algún purista ;-) y es relevante mencionar que el último punto de hecho suele mencionarse más estrictamente como una consecuencia del llamado Teorema de Yau, proveniente de la llamada antes Conjetura de Calabi (y nacieron los Calabi-Yau ;-), que tiene que ver con que se anulen ciertos invariantes topológicos llamados primera clase de Chern, $c_1(\mc{M})$. El Teorema de Yau dice que dado $\mc{M}$ Kähler con $c_1(\mc{M})=0$ siempre existe una métrica tal que $R_{i\bar{\jmath}}=0$, por esto seguido sólo se dice que un $\mc{M}$ Kähler con $c_1(\mc{M})=0$ es un Calabi-Yau.

Como sea, mi intención es sólo dar una idea de lo que es una variedad de Calabi-Yau a quien -como yo- ya tiene estos conceptos a la mano. Para ahondar en el tema se puede consultar

• String Theory on Calabi-Yau Manifolds de Brian Greene: http://arxiv.org/abs/hep-th/9702155
• A mini-course on topological strings de Marcel Vonk: http://arxiv.org/abs/hep-th/0504147

En las notas de Vonk puede leerse que la última condición es interesante porque las variedades con tensor de Ricci nulo son soluciones de vacío a las ecuaciones de Einstein (con constante cosmológica nula), además de que se asegura que al compactificar 6 dimensiones extra en las variedades de Calabi-Yau, se preservan las supersimetrías de la teoría 4-dimensional, lo que (sea lo que sea) es relevante por razones técnicas y fenomenológicas. El punto es que esto lleva a que en cuerdas se empleen 3-folds Calabi-Yau (i.e. 6 dimensiones reales).

En las notas de Greene se muestra (2.10 y 2.11) que la hipersuperficie (quíntica o de quinto grado) en el espacio proyectivo complejo $\mathbb{C}P^4$ dada por
\begin{equation}z_1^5+z_2^5+z_3^5+z_4^5+z_5^5=0\end{equation} es un 3-fold de Calabi-Yau, mostrando únicamente que es Kähler con primera clase de Chern nula. Finalmente de esta forma es como se relaciona todo con el Último Teorema de Fermat y todo lo que se menciona en el vídeo de Hanson.

Andrew J. Hanson, Indiana University. www.cs.indiana.edu/~hanson

Reproducir los gráficos del corte 2D del Calabi-Yau de Hanson es más complicado de lo que parece. En el artículo

• A.J. Hanson. A construction for computer visualization of certain complex curves. Notices of the Amer. Math. Soc., 41(9):1156-1163, November/December 1994.

se menciona el procedimiento general. De cualquier modo uno siempre puede ocupar los Wolfram Demonstrations disponibles y destripar el código fuente si lo hay. Dos .cdf que pude hallar son

• Calabi-Yau Space: demonstrations.wolfram.com/CalabiYauSpace
• Solutions of Fermat's Equation: demonstrations.wolfram.com/SolutionsOfFermatsEquation

siendo el segundo el que tiene el código fuente disponible.

Finalmente, ya entrados en esto de los Calabi-Yau: