SUSY en el LHC, Cuerdas sin SUSY y lo que todo físico debería saber sobre Cuerdas

Hace poco encontré estos vídeos sobre supersimetría y teoría de cuerdas, dos temas íntimamente relacionados:

Supersimetría: el LHC regresa a la búsqueda de nueva física
Este vídeo está dirigido al público en general. La anfitriona entrevista a varios físicos, entre ellos a John Ellis, quien habla acerca del Run II del LHC y en particular sobre la búsqueda de nueva física y supersimetría. La explicación a nivel divulgativo es la usual, pero las entrevistas son interesantes y se presenta también el lado más escéptico de la propuesta de SUSY con Alvaro De Rújula que bromea un poco sobre viajar al pasado.

Entre otras cosas, si no se encuentra SUSY en el Run II del LHC, John Ellis señala que tendrá que limpiar su oficina.

El escritorio de John Ellis @CERN

Teoría de cuerdas en un universo sin supersimetría
Luego del Run I del LHC, los medios y "algunos físicos" comenzaron a decir que SUSY estaba muerto. En realidad, y como se explica en el vídeo anterior, SUSY podría estar en cualquier escala de energía y podría incluso ser inalcanzable por el LHC. De cualquier modo esto mete en problemas a muchos teóricos y en particular a los que se dedican a la construcción de modelos realistas de partículas (tipo modelo estándar) a partir de teoría de cuerdas (fenomenología de cuerdas).

Algunos recursos para abordar este tema conceptualmente son:

What if the LHC doesn't see SUSY? en Physics SE
Why string theory implies supersymmetry en The Reference Frame

Saúl Ramos, investigador del IFUNAM, aborda el tema de Cuerdas sin SUSY (y explica exactamente a qué se refiere esto en el tiempo 27:00 gracias a una pregunta) precisamente motivado por el hecho de que no ha habido evidencia alguna de SUSY en el LHC, entre otros.

El squark stop es la superpartícula asociada al top quark y era una de las primeras que se esperaba en el LHC 

La charla no es divulgativa (seminario de Altas Energías en la UNAM) pero es accesible para quien esté interesado sin ser experto. El audio es relativamente malo pero vale la pena intentar seguirlo (como sea se agradece la iniciativa del camarógrafo) y la acción en específico sobre la construcción de N=0 comienza en el tiempo 21:00.


Finalmente, no recuerdo si durante la presentación se cita el artículo en que está basada la presentación, pero parece que es este trabajo:

Non-supersymmetric heterotic model building
Michael Blaszczyk, Stefan Groot Nibbelink, Orestis Loukas, Saúl Ramos-Sánchez

We investigate orbifold and smooth Calabi-Yau compactifications of the non-supersymmetric heterotic SO(16)×SO(16) string. We focus on such Calabi-Yau backgrounds in order to recycle commonly employed techniques, like index theorems and cohomology theory, to determine both the fermionic and bosonic 4D spectra. We argue that the N=0 theory never leads to tachyons on smooth Calabi-Yaus in the large volume approximation. As twisted tachyons may arise on certain singular orbifolds, we conjecture that such tachyonic states are lifted in the full blow-up. We perform model searches on selected orbifold geometries. In particular, we construct an explicit example of a Standard Model-like theory with three generations and a single Higgs field.

Lo que todo físico debería saber sobre teoría de cuerdas
Al fin una charla de Eddie Witten que todos podemos entender... todos los físicos... todos los que conocen, al menos de lejitos, QFT y obviamente relatividad general.

Las diapositivas de la charla están disponibles aquí a través del sitio del Strings 2015.

A groso modo, en la primera parte, Witten comienza con la que sería una formulación 1-dimensional de gravedad cuántica, en la que el tensor de Riemann es idénticamente nulo y así la curvatura de Ricci y la acción de Einstein-Hilbert, con D campos escalares y llega a una teoría de campo en un espaciotiempo D-dimensional curvo. Luego incluso, con este modelo unidimensional, continúa calculando el propagador de una partícula de un punto a otro e introduce interacciones. Finalmente considera el caso dos dimensional, explica por qué Cuerdas es una teoría de gravedad cuántica (no esperen conocer al gravitón, aunque sólo quedan unas patadillas para describirlo) y discute cómo es que en cuerdas desaparecen las divergencias ultravioleta.


Hay además disponible en YouTube una charla de 2013 del mismo Witten llamada Feynman diagrams in String Theory que parece ser esencialmente la misma, aunque quizá con un poco más de detalle (en la primera diapositiva menciona "I will aim to explain the minimum about string perturbation theory that every quantum physicist should know"). Finalmente en algo con relación únicamente a Witten: How does Edward Witten know so much math?.

http://abstrusegoose.com/332

The Dirac action for p-branes from the Polyakov-type action

I still have around half a year off until I start attending my Master's courses (at least if everything, e.g. funding, etc... comes ok), so now I'm trying to follow the String Theory lectures by David Tong. As with the QFT ones, these too are great as an introductory reading at a graduate level or for self-study. Solutions to the example sheets are available from a PhD student named Chris Blair; in particular, here for the first one. What I'm concerned about is problem 2.

The p-brane of me got the joke a little late
(hurdles of a non-native speaker)

In part b, one is asked to

Show that the Dirac action
\begin{equation}S_\text{Dirac}=-T\int{d}^{p+1}\sigma\sqrt{-\det\gamma}\end{equation} where $\sigma^\alpha$, $\alpha=0,\ldots,p$ are coordinates on the brane world-volume and $\gamma_{\alpha\beta}$ is the pullback of the Minkowski metric onto the brane,
\begin{equation}\gamma_{\alpha\beta}=\frac{\p{X}^\mu}{\p\sigma^\alpha}\frac{\p{X}^\nu}{\p\sigma^\beta}\eta_{\mu\nu}\end{equation} is equivalent to the Polyakov-type action with dynamical world-volume metric $g_{\alpha\beta}$,
\begin{equation}S=-\frac{T}{2}\int{d}^{p+1}\sigma\sqrt{-g}\left(g^{\alpha\beta}\p_\alpha{X}^\mu\p_\beta{X}^\nu\eta_{\mu\nu}-(p-1)\right)\label{poly1}\end{equation}

Now, the thing is that in the solution by Blair, he starts off with (\ref{poly1}) replacing the $g$'s by $\gamma$'s, which doesn't seem to be what is asked for. This confused me badly, but finally I managed to see what's going on.

What needs to be done is similar to what is done in part a of the problem. As with the string case, $g_{\alpha\beta}$ is now a new field that is fixed by its own equations of motion. First, let's write (\ref{poly1}) as
\begin{equation}S=-\frac{T}{2}\int{d}^{p+1}\sigma\sqrt{-g}\left(g^{\alpha\beta}\gamma_{\alpha\beta}-(p-1)\right)\label{poly12}\end{equation} so that it can be handled more easily (also, from here it's evident that Blair's approach does not solves the problem). To get the equations of motion for $g_{\alpha\beta}$, we should vary the action, where it's needed the fact that
\begin{equation}\delta\sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\alpha\beta}\delta{g}^{\alpha\beta}\end{equation} which can be obtained through
\begin{equation}\delta\det{M}=\det{M}\,\text{Tr}\left(M^{-1}\delta{M}\right)\end{equation} namely, Jacobi's formula for invertible $M$ (which here is $g_{\alpha\beta}$, i.e. $\delta{g}=g\,g^{\alpha\beta}\delta{g}_{\alpha\beta}$). Using this, and stationary action $\delta{S}=0$, the equations of motion are
\begin{equation}-\frac{1}{2}g_{\alpha\beta}\left(g^{\rho\sigma}\gamma_{\rho\sigma}-(p-1)\right)+\gamma_{\alpha\beta}=0\end{equation} so that $g_{\alpha\beta}$ is related to $\gamma_{\alpha\beta}$ as
\begin{equation}g_{\alpha\beta}=\frac{2\gamma_{\alpha\beta}}{g^{\rho\sigma}\gamma_{\rho\sigma}-(p-1)}\label{poly2}\end{equation} which is basically eq. (1.25) in the lecture notes for $p=1$, as expected. Now, to finally recover the Dirac action from here, just take the determinant on both sides of (\ref{poly2}), so that
\begin{equation}\sqrt{-g}=\frac{2\sqrt{-\gamma}}{g^{\rho\sigma}\gamma_{\rho\sigma}-(p-1)}\end{equation} and as the $\rho$ and $\sigma$ indices in the denominator are dummy, inserting this in (\ref{poly12}),
\begin{equation}S\bigg|_{\text{EOM}}=-T\int{d}^{p+1}\sigma\sqrt{-\det\gamma}=S_\text{Dirac}\end{equation} which is the actual desired result. Now, of course if $g_{\mu\nu}=\gamma_{\mu\nu}$ the result follows as the conformal factor is simply equal to one and it can be readily used that $\gamma^{\mu\nu}\gamma_{\mu\nu}=p+1$ on (\ref{poly12}) to get the result; however, that apparent solution can get misleading because one can think that the Dirac action is recovered only when $g_{\mu\nu}=\gamma_{\mu\nu}$. The relevant thing of this example is to see that once this new field satisfy it's equations of motion, the original Dirac (or Nambu-Goto) action is recovered. Also one should be able to see what gauge symmetry this new field brings upon, as the equations of motion for $X^\mu$ are the same: for the string it is Weyl invariance, however, I couldn't find the case for the $p$-brane but I guess it should be an analogous conformal symmetry (for now I can only say in page 58 it's stated that a $U(1)$ gauge field $A_\mu$ lives on a D-brane, however, the group language still seems a bit foreign to me ;-)

It seems funny, but in the end all of (super)string theory boils down (the history is quite interesting, from scattering amplitudes to the superstring revolutions to today) to the naive step from relativistic points to strings to branes / worldline to worldsheet to worldvolume.

Del Último Teorema de Fermat a los Espacios de Calabi-Yau

El Universo Elegante fue casi seguramente el primer libro de divulgación sobre Cuerdas que leí (quizá sólo luego de Hiperespacio de Michio Kaku) en la biblioteca de la UAM-A y seguramente uno de los que me inclinaron más hacia la ciencia que hacia la ingeniería. Como sea, recuerdo bien que en algún punto del libro se incluye una ilustración de una red de variedades Calabi-Yau, en la que se explica, están compactificadas las dimensiones espaciales extra.

Fuente: http://members.wolfram.com/jeffb/visualization/stringtheory

De manera fortuita (en realidad por el video al final ;-), hace poco encontré también esta charla de Andrew J. Hanson:


en la que se muestra también este vídeo.

Aunque mi expertise con los Calabi-Yau (el nombre debido a Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau) es básicamente la misma que cuando leí el libro de Brian Greene, o sea, nula, al menos ya tengo acceso a las ideas básicas.

www.amazon.com/The-Shape-Inner-Space-Dimensions/dp/0465028373

Hasta donde sé, hay varias maneras de definir una variedad de Calabi-Yau; de cualquier modo, algunas de sus características son que es una variedad compleja, compacta, Kähler y de curvatura de Ricci nula.

Esto es,

• Un $d$-fold $\mc{M}$ de dimensión compleja $d$ (o $\dim_\mathbb{R}(\mc{M})=2d$) de coordenadas locales $z^i$, $z^\bar{\imath}$ con $i,\bar{\imath}=1,\ldots,d$
• Que puede cubrirse con una cantidad finita de parches coordenados
• Que admite una ${(1,1)}$-forma $\omega$ cerrada, i.e. tal que $d\omega=0$, que se relaciona con una métrica $g$ Hermitiana en $\mc{M}$, i.e. real y tal que $g_{ij}=g_{\bar{\imath}\bar{\jmath}}=0$, que localmente puede escribirse en términos de derivadas de una función real $K=K(z,\bar{z})$ llamada potencial de Kähler, $g_{i\bar{\jmath}}=\frac{\p{K}}{\p{z}^i\p{z}^\bar{\jmath}}$. En general esto y los dos puntos anteriores suelen decirse de una variedad Kähler.
• Cuyas componentes del tensor de Ricci $R_{i\bar{\jmath}}$ se anulan, $R_{i\bar{\jmath}}=0$, además, evidentemente (por el punto anterior) de $R_{ij}$, $R_{\bar{\imath}\bar{\jmath}}$

Éstas, según el autor, pueden tratarse como propiedades o como una definición (espero no hacer enojar a algún purista ;-) y es relevante mencionar que el último punto de hecho suele mencionarse más estrictamente como una consecuencia del llamado Teorema de Yau, proveniente de la llamada antes Conjetura de Calabi (y nacieron los Calabi-Yau ;-), que tiene que ver con que se anulen ciertos invariantes topológicos llamados primera clase de Chern, $c_1(\mc{M})$. El Teorema de Yau dice que dado $\mc{M}$ Kähler con $c_1(\mc{M})=0$ siempre existe una métrica tal que $R_{i\bar{\jmath}}=0$, por esto seguido sólo se dice que un $\mc{M}$ Kähler con $c_1(\mc{M})=0$ es un Calabi-Yau.

Como sea, mi intención es sólo dar una idea de lo que es una variedad de Calabi-Yau a quien -como yo- ya tiene estos conceptos a la mano. Para ahondar en el tema se puede consultar

• String Theory on Calabi-Yau Manifolds de Brian Greene: http://arxiv.org/abs/hep-th/9702155
• A mini-course on topological strings de Marcel Vonk: http://arxiv.org/abs/hep-th/0504147

En las notas de Vonk puede leerse que la última condición es interesante porque las variedades con tensor de Ricci nulo son soluciones de vacío a las ecuaciones de Einstein (con constante cosmológica nula), además de que se asegura que al compactificar 6 dimensiones extra en las variedades de Calabi-Yau, se preservan las supersimetrías de la teoría 4-dimensional, lo que (sea lo que sea) es relevante por razones técnicas y fenomenológicas. El punto es que esto lleva a que en cuerdas se empleen 3-folds Calabi-Yau (i.e. 6 dimensiones reales).

En las notas de Greene se muestra (2.10 y 2.11) que la hipersuperficie (quíntica o de quinto grado) en el espacio proyectivo complejo $\mathbb{C}P^4$ dada por
\begin{equation}z_1^5+z_2^5+z_3^5+z_4^5+z_5^5=0\end{equation} es un 3-fold de Calabi-Yau, mostrando únicamente que es Kähler con primera clase de Chern nula. Finalmente de esta forma es como se relaciona todo con el Último Teorema de Fermat y todo lo que se menciona en el vídeo de Hanson.

Andrew J. Hanson, Indiana University. www.cs.indiana.edu/~hanson

Reproducir los gráficos del corte 2D del Calabi-Yau de Hanson es más complicado de lo que parece. En el artículo

• A.J. Hanson. A construction for computer visualization of certain complex curves. Notices of the Amer. Math. Soc., 41(9):1156-1163, November/December 1994.

se menciona el procedimiento general. De cualquier modo uno siempre puede ocupar los Wolfram Demonstrations disponibles y destripar el código fuente si lo hay. Dos .cdf que pude hallar son

• Calabi-Yau Space: demonstrations.wolfram.com/CalabiYauSpace
• Solutions of Fermat's Equation: demonstrations.wolfram.com/SolutionsOfFermatsEquation

siendo el segundo el que tiene el código fuente disponible.

Finalmente, ya entrados en esto de los Calabi-Yau:

Dualidad holográfica o correspondencia AdS/CFT

El siguiente es un extracto de la sección 5 del capítulo llamado El universo de las supercuerdas por el Dr. Saúl Ramos Sánchez, investigador del IFUNAM, y forma parte del libro Fronteras de la Física en el Siglo XXI. Esta sección en particular me pareció interesantísima y ha sido de las primeras lecturas que me ha motivado a decidirme a seguir una dirección más particular en mi carrera, dado que (me parece) no abunda la información sobre este tema a nivel licenciatura o menor (divulgación, si se quiere). Las secciones y capítulos completos de Fronteras de la Física me parecen muy recomendables tanto para el lector que busca definir con mayor precisión la dirección de su interés en la física, así como para cualquier lector interesado en conocer algunos de los temas más excitantes de la física actual. Comparto entonces el extracto a continuación:

El ambicioso propósito de la teoría de cuerdas de describir toda la física observada tiene aún muchos obstáculos y nadie sabe con toda certeza si será posible alcanzarlo. Pero, ¿qué pasaría si un día llegamos a entender que todos los esfuerzos en esta dirección están condenados al fracaso? Como veremos a continuación, aún ante este escenario, el estudio de la teoría de cuerdas nos ha conducido a observaciones y resultados que justifican los años invertidos en él.

En una visión quizá más moderna de la teoría de cuerdas, se exploran otras alternativas tal vez menos ambiciosas que la de encontrar una teoría de todo. En esta visión, las cuerdas se emplean como una fuente de herramientas matemáticas que ayuden a resolver problemas de la física actual. El máximo exponente de esta visión es posiblemente la dualidad holográfica o correspondencia norma/gravedad o AdS/CFT, o dualidad de Maldacena [17]. Esta dualidad ha conseguido proveer estimaciones de la entropía, viscosidad y conductividad del plasma de quarks y gluones que se sabe debió haber formado parte del universo temprano (instantes después de la gran explosión) y que puede ser observado en laboratorios internacionales como el LHC o RHIC. Además, la dualidad holográfica ha mostrado que puede tener muchas aplicaciones en materia condensada, ofreciendo algo de intuición con respecto a e.g. superconductividad, superfluidez, metales extraños y fluidez de Hall [18]. Se recomienda [19] como una discusión introductoria y [20] como una revisión más detallada para entender esta dualidad.

Teoría de campos con interacciones fuertes	$\underset{\text{[Maldacena]}}{=}$	Teoría de cuerdas compactificada
Partículas		Cuerdas
Sin gravedad		Con gravedad
Espacio-tiempo plano		Espacio-tiempo curvo
Con interacciones fuertes (débiles)		Con interacciones débiles (fuertes)
4 dimensiones		10 dimensiones
Tabla 2: Un resumen [19] de la equivalencia propuesta por Maldacena. A pesar de lo absurdamente distinto de las teorías, la correspondencia ha sido confirmada en miles de trabajos científicos.

La dualidad holográfica, sugerida en 1997 por J. Maldacena [17], muestra que existe una equivalencia entre dos teorías muy diferentes: una teoría de cuerdas con gravedad cuántica definida en un espacio 10-dimensional y una teoría de campos 4-dimensional. La cualidad holográfica de la dualidad proviene justamente de que la información de la teoría de cuerdas es capturada en una teoría con menos dimensiones, como sucede en los hologramas bidimensionales. Representa así un éxito del principio holográfico, propuesto por G.'t Hooft y refinado por L. Susskind [21], que establece que, en una teoría de gravedad, la descripción de la física contenida en el volumen de un cierto espacio está codificada en una teoría no gravitacional definida en la frontera de ese espacio. La tabla 2 permite apreciar lo casi inverosímil de la propuesta de Maldacena: las características de las teorías relacionadas por la dualidad holográfica son tan distintas, que difícilmente uno se puede imaginar descripciones más opuestas. Y, sin embargo, son equivalentes.

Entendamos mejor las teorías relacionadas por esta dualidad mediante un ejemplo particular. En su modelo original, Maldacena propuso que la física contenida en la frontera al infinito de la compactificación de la teoría de cuerdas tipo IIB en un espacio con geometría $\text{AdS}^5\times\text{S}^5$ corresponde a la misma que encontramos en una teoría conforme supersimétrica 4-dimensional super Yang-Mills con el máximo de supersimetría posible (abreviado MSYM). El espacio-tiempo de anti-De Sitter $\text{AdS}^5$ y la esfera $\text{S}^5$ son las variedades 5-dimensionales más simples después del espacio plano o de Minkowski. Mientras que la curvatura de $\text{AdS}^5$ es negativa (como la de la silla de montar), en $\text{S}^5$ es positiva. La teoría de cuerdas IIB así compactificada conduce a cuerdas dinámicas cuyas vibraciones son interpretadas como los gravitones (fluctuaciones cuánticas de la métrica) en el espacio tiempo de anti-De Sitter. La teoría de MSYM corresponde a una teoría de norma conforme (es decir, que no cambia al aplicarle transformaciones de escala) dotada sólo de bosones de norma y de sus compañeros supersimétricos. Si se elige la simetría de norma como SU(N), la teoría resultante de MSYM semeja en algunos aspectos (y para ciertos propósitos) a la cromodinámica cuántica sin quarks (sólo con gluones). Lo fascinante de la dualidad holográfica es que los cálculos demuestran que el régimen de acoplamiento débil en la teoría gravitacional (cuerdas IIB) equivale al régimen de interacciones fuertes en la teoría de norma (MSYM), y viceversa. De esta forma, cálculos entre partículas que interactúan fuertemente (cuando no tenemos control de la teoría) como en la cromodinámica cuántica se pueden realizar fácilmente en la teoría de cuerdas en el límite de acoplamiento débil, ¡que es el único sobre el que tenemos control! Igualmente, podríamos conocer el comportamiento de la teoría de cuerdas cuando las cuerdas interactúan fuertemente (por encontrarse en un espacio altamente curvado), mediante cálculos en la teoría de campos con interacciones débiles.

Claramente, la propuesta de Maldacena no consideraba nuestro universo, pues, por una parte, la cromodinámica cuántica difiere de MSYM en que contiene quarks y no tiene supersimetría, y por otra parte, nosotros no habitamos un espacio 5-dimensional tipo anti-De Sitter. Sin embargo, ambos escenarios son un buen inicio. Tras la propuesta de Maldacena, muchos científicos han encontrado los mecanismos para e.g. añadir los quarks y las interacciones adecuadas de la cromodinámica cuántica, y suprimir la supersimetría en la teoría de campos. Los resultados han probado ser bastante exitosos cuando la mezcla de quarks y gluones es tan densa que sólo se percibe un fluido de ellos, el famoso plasma de quarks y gluones. Es difícil medir las propiedades de este fluido, pero las pocas mediciones obtenidas han sido sorprendentemente cercanas a los resultados predichos mediante la aplicación de la dualidad.

La dualidad holográfica es considerada aún una conjetura, pues no existe prueba matemática rigurosa que demuestre la equivalencia planteada. Pero el hecho de que haya sido sometida a miles de intentos de mostrarla incorrecta y en todos ellos haya salido victoriosa, y que haya aportado resultados que no difieren mucho de su contraparte experimental, permite afirmar sin duda que estamos ante el despertar de una nueva forma de apreciar y hacer la física.

La dualidad holográfica es una revolución en sí misma, quizá incluso mayor que el descubrimiento de las dualidades que condujeron a la teoría M, por su cercanía con la física observable. La propuesta de Maldacena nos indica que las teorías de norma están íntimamente vinculadas con teorías de gravedad; y nos sugiere que es posible vincular marcos teóricos sin gravedad con otros que sí la incluyan, de tal forma que la existencia o inexistencia de ésta depende del lenguaje adoptado en cada marco. Más relevante para nuestra discusión es que la dualidad revela que la teoría de cuerdas, si bien podría resultar ser una teoría menos ambiciosa de lo que se sospechaba, no está desconectada de la física que describe lo que nos rodea.

Referencias citadas en el texto:
[17] J. M. Maldacena, “The Large N limit of superconformal field theories and supergravity,” Adv.Theor.Math.Phys., vol. 2, pp. 231–252, 1998.
[18] S. A. Hartnoll, “Lectures on holographic methods for condensed matter physics,” Class.Quant.Grav., vol. 26, p. 224002, 2009.
[19] A. Güijosa, “La correspondencia holográfica: una aplicación útil de la teoría de cuerdas”, Boletin de la SMF, vol. 26, pp. 85–99, 2012.
[20] O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, and Y. Oz, “Large N field theories, string theory and gravity,” Phys.Rept., vol. 323, pp. 183–386, 2000.
[21] L. Susskind, “The World as a hologram,” J.Math.Phys., vol. 36, pp. 6377–6396, 1995.