Hace algunos meses concluí la segunda parte de la maestría con la entrega de mi proyecto de investigación. Los proyectos en general son de tres meses y uno termina escribiendo un trabajo de alrededor de 50 páginas de texto (generar uno o más artículos no es propiamente un requisito). En mi proyecto básicamente escribí código en Mathematica que permite obtener y manipular identidades de Jacobi en el contexto de la dualidad color-cinemática a través de los diagramas de Feynman asociados a los numeradores cinemáticos de las amplitudes de dispersión a nivel árbol.
Vale, acá voy explicar qué significa todo esto. Para hacerlo, en la segunda parte seguiré algunas de las diapositivas que hice recientemente para un seminario en la UAM-I.
Las ideas generales para dummies* y motivación * dummies: Lectores perspicaces (con o sin formación en física) que ignoran la mayoría de conceptos, argot y lenguaje matemático de la física "de partículas" 😉
Las amplitudes de dispersión son el corazón de la física de partículas, o más en general incluso, de las teorías cuánticas de campo. Una amplitud de dispersión puede decirse a groso modo que es el objeto matemático que está relacionado a través del cuadrado de su norma con la sección eficaz, que es la que codifica la probabilidad de que una dada colección de partículas se dispersen. En el régimen perturbativo de una teoría cuántica de campo la manera más sencilla de lidiar con las contribuciones más significativas de una amplitud es a través de los diagramas de Feynman, que luego se organizan de modo progresivo por el número de bucles (loops y ciclos) que contienen, haciendo los cálculos más complicados mientras más bucles se agregan. La discusión sobre qué son los diagramas de Feynman se puede extender bastante, la idea simplemente es que son grafos que representan (no que describen per se) la información física de las interacciones de dadas partículas (o más precisamente campos) respetando ciertas reglas dictadas por la teoría en cuestión, e.g. el tipo de vértices permitidos, y que dificultan el cálculo de amplitudes cuando se agregan bucles (que en términos de teoría de grafos también incluyen los llamados ciclos) porque éstos implican integrales sobre todos los momentos posibles que estos bucles pueden acarrean.
Notablemente, en 1986, para los diagramas de Feynman más simples (sin bucles), llamados diagramas de árbol, Hideyuki Kawai, David Charles Lewellen y S.H. Henry Tye mostraron que
Amplitud de cuerda cerrada es igual a amplitud de cuerda abierta al cuadrado
La hoja de mundo de una cuerda cerrada (abierta) es conformalmente equivalente a una esfera (disco)
Un poco más de detalle aquí
en lo que hoy se conoce como las relaciones KLT y donde las palabras cerrado y abierto se refieren a conceptos en teoría de cuerdas; sin embargo, en el límite de bajas energías (i.e. cuando las cuerdas se reducen a partículas) de una cierta teoría de cuerdas, esto da el eslogan
Amplitud en gravedad es igual a amplitud en Yang-Mills al cuadrado
que aunque originalmente fue descubierto usando cuerdas, no las necesita para funcionar. La teoría de Yang-Mills es simplemente una teoría de campo (de norma o gauge, que simplemente implica que describe campos mediadores de interacciones) que puede considerarse como una extensión no-abeliana (donde los campos no conmutan) de una teoría de campos electromagnéticos: naturalmente, mientras la teoría abeliana (Maxwell) sirve para describir fotones en electrodinámica cuántica (QED por quantum electrodynamics), la teoría no-abeliana es útil para describir gluones, i.e. los mediadores de interacciones en cromodinámica cuántica (QCD por quantum chromodynamics).
Las amplitudes de dispersión naturalmente satisfacen ciertas propiedades. En particular, para el caso de Yang-Mills, las llamadas amplitudes parciales ordenadas por color (factores de las amplitudes totales que no dependen de factores cinemáticos como momentos, polarizaciones o helicidades) a nivel árbol satisfacen un conjunto de relaciones que surgen del álgebra que obedecen los campos de la teoría, conocida como álgebra de color. Tan sólo hace ocho años, en el artículo New Relations for Gauge-Theory Amplitudes, Zvi Bern, John Joseph M. Carrasco y Henrik Johansson obtuvieron un nuevo conjunto de relaciones para las amplitudes parciales conocidas como las relaciones BCJ usando una identidad satisfecha por los factores cinemáticos de las amplitudes de árbol que ellos previamente obtuvieron. Esta nueva identidad es una bastante sorprendente, contenida en lo que se conoce hoy como la dualidad color-cinemática: básicamente, que pueden hallarse factores cinemáticos de una amplitud de árbol tales que satisfagan las mismas propiedades algebraicas (antisimetría y una identidad de Jacobi) de los factores de color. En el mismo artículo, los autores usan esta dualidad color-cinemática para aportar claridad en las relaciones KLT; como ellos lo dícen:
Las relaciones KLT [4] nos dicen que amplitudes árbol en gravedad pueden expresarse directamente en términos de amplitudes árbol de una teoría de norma. Estas relaciones fueron originalmente derivadas en teoría de cuerdas y son válidas en teoría de campo, dado que el límite de bajas energías de teoría de cuerdas es teoría de campo. De cualquier modo, desde un punto de vista puramente de teoría de campo, partiendo de Lagrangianos de Einstein-Hilbert y de Yang-Mills, estas relaciones han permanecido arcanas (...) usamos la (identidad de Jacobi de numerador cinemático) para clarificar la relación entre gravedad y las teorías de norma, argumentando que las relaciones KLT son equivalentes a una relación de 'elevar al cuadrado' los numeradores diagrama a diagrama de una teoría de norma.
De modo que básicamente si uno ha obtenido la amplitud de árbol en una teoría de norma, uno sólo tiene que reemplazar los factores de color por numeradores cinemáticos (que aún más pueden pertenecer a alguna teoría de norma distinta) para obtener la amplitud de gravedad. Ésto es lo que se conoce como la relación de doble-copia entre gravedad y teorías de norma.
Esta sorprendente historia entre gravedad y teorías de norma es una de las más excitantes hoy en día en la física teórica y mucho esfuerzo se está poniendo para clarificar más esta relación así como los fundamentos subyacentes y las consecuencias. A nivel árbol la dualidad color-cinemática ha sido ampliamente estudiada y demostrada usando teoría de cuerdas e ideas en teoría de campo como las relaciones de recursión BCFW, mientras que a nivel de bucles la dualidad aún es una conjetura conocida como la conjetura BCJ.
Los detalles para no tan dummies Contexto
El contexto con el cual se suele exponer el tema (y con el que BCJ hallaron la dualidad) es el más sencillo: teoría de Yang-Mills pura y no masiva. Resistiendo por el momento la tentación de escribir el Lagrangiano de Yang-Mills, sólo establezcamos que el grupo de simetría de la teoría es el grupo especial unitario $SU(n)$. Los generadores del correspondiente álgebra $\mathbf{T}^a$ con $a=1,\ldots,\dim{SU(n)}=n^2-1$ satisfacen
\begin{align}
\mathrm{e}^{i\epsilon^a\mathbf{T}^a}&\in{SU(n)}\\
[\mathbf{T}^a,\mathbf{T}^b]&=\tilde{f}^{abc}\mathbf{T}^c\\
\mathrm{tr}\mathbf{T}^a\mathbf{T}^b&=\delta^{ab}
\end{align} donde $\tilde{f}^{abc}\equiv{i}\sqrt{2}f^{abc}$ con $f^{abc}$ las constantes de estructura. Además consideraré todos los campos de la teoría, $A^\mu$, no masivos, transformando en la representación adjunta (únicamente "gluones"):
\begin{align}
A_\mu^aT^a\,\text{ con }\,(T^{a})^{bc}&=-\tilde{f}^{abc}\\
\Longrightarrow\,[T^a,T^b]&=\tilde{f}^{abc}T^c\\
\mathrm{tr}T^aT^b&=n\delta^{ab}
\end{align} Los generadores (para ambas representaciones) satisfacen la identidad de Jacobi
\begin{equation}[T^a,[T^b,T^c]]+[T^b,[T^c,T^a]]+[T^c,[T^a,T^b]]=0\end{equation} lo que luego implica que
\begin{equation}\tilde{f}^{ab\color{red!80!black}d}\tilde{f}^{\color{red!80!black}d\color{black}ce}+\tilde{f}^{bc\color{red!80!black}d}\tilde{f}^{\color{red!80!black}d\color{black}ae}+\tilde{f}^{ca\color{red!80!black}d}\tilde{f}^{\color{red!80!black}d\color{black}be}=0\label{Jacobistruct}\end{equation} y que las constantes de estructura son totalmente antisimétricas (antisimétricas en sus tres índices). Aunque la anterior ecuación (\ref{Jacobistruct}) parece un desastre, se puede reconocer rápidamente notando que los índices $d$ y $e$ en cada sumando están en la misma posición, mientras que $abc$ se permuta cíclicamente.
La teoría tiene vértices de 3 y 4 aristas que se visten con factores de color $c_i$ (polinomios en las $f^{abc}$) y factores cinemáticos $N_i$ (funciones de momentos, polarizaciones u otra información cinemática).
Antes de seguir, debo aclarar que, aunque en la sección anterior para dummies escribí sobre diagramas de Feynman, en lo siguiente más bien se consideran grafos parecidos pero que no sólo no describen per-se sino que tampoco representan procesos físicos, i.e. no hay direcciones espacial y temporal en estos diagramas ni partículas que entran y luego salen, los diagramas únicamente codifican la información cinemática y de grupo de los procesos físicos pero nada más, e.g. usualmente se ponen todas las partículas como entrantes (o salientes) y se rastrea conservación de momento (al menos en Yang-Mills; partículas externas on-shell).
Vale, considerando el vértice de 4 puntos, con momentos (todos salientes o todos entrantes) $p_1,p_2,p_3,p_4$ (tales que $p_i^2=0$), éste tendrá una regla de Feynman de la forma
\begin{align}V_4&\propto\,\tilde{f}^{a_1a_2b}\tilde{f}^{ba_3a_4}N_{12}+\tilde{f}^{a_4a_1b}\tilde{f}^{ba_2a_3}N_{14}+\tilde{f}^{a_3a_1b}\tilde{f}^{ba_2a_4}N_{13}\nonumber\\
&\equiv{c_s}N_{12}+c_tN_{14}+c_uN_{13}\nonumber\\
&=c_sN_{12}\left(\frac{s}{s}\right)+c_tN_{14}\left(\frac{t}{t}\right)+c_uN_{13}\left(\frac{u}{u}\right)\end{align} donde $s=(p_1+p_2)^2$, $t=(p_1+p_4)^2$, $u=(p_1+p_3)^2$ son las variables de Mandelstam y $c_i$ es el llamado factor de color asociado al diagrama etiquetado por $i$. De aquí se puede reconocer, pues, que un vértice de 4 puntos puede extenderse en uno de 3 puntos y que hay tres posibles formas: los canales $s$, $t$ y $u$. Los vértices de 3 puntos son usualmente llamados vértices trivalentes y los diagramas con únicamente vértices trivalentes son llamados diagramas cúbicos.
De manera similar este argumento funciona si la teoría permitiera vértices de $n$ puntos, dando $(2n-5)!!$ posibles formas de extender un $V_n$ en diagramas de 3 puntos únicamente. La demostración es sencilla y a su vez demuestra que una amplitud a nivel árbol de $n$ puntos tendrá $(2n-5)!!$ factores o diagramas.
La idea clave es que se pueden obtener todos los diagramas de árbol con $n$ puntos a partir de insertar una arista en medio de cada arista de cada diagrama de $n-1$ puntos, e.g. para 4 puntos:
Notando entonces que el insertar una arista extra en (el medio de un arista) de un diagrama dado le incrementa el número de aristas por 2, sea $\mathcal{L}(n)$ el número de aristas de un diagrama de $n$ puntos, entonces
$$\mathcal{L}(n+1)=\mathcal{L}(n)+2$$ Utilizando el caso base $\mathcal{L}(3)=3$ podemos obtener
\begin{align*}\mathcal{L}(4)&=3+2\\
\mathcal{L}(5)&=3+2(2)\\
\mathcal{L}(6)&=3+2(3)\\
&\vdots\\
\mathcal{L}(n)&=3+2(n-3)=2n-3\\
\end{align*} De este modo entonces, el número de diagramas nivel árbol $\mathcal{D}(n)$ dado $n$ es
\begin{align*}\mathcal{D}(n)&=\mathcal{L}(n-1)\mathcal{L}(n-2)\cdots\mathcal{L}(3)\\
&=(2n-5)(2n-7)\cdots3\\
&=(2n-5)!!\end{align*} que puede probarse por inducción para todo $n>3$ dado el caso base $\mathcal{D}(3)=1$.
Con las definiciones hechas para los factores de color, la identidad de Jacobi puede ponerse sencillamente como
\begin{equation}c_s-c_t+c_u=0\label{colorJac}\end{equation} Para el caso de $n$ partículas, de manera similar, se satisface en general $c_i\pm{c}_j\pm{c}_k=0$ dependiendo de las definiciones de los factores de color, y donde ahora los índices de las constantes de estructura que se contraen corresponden al propagador alrededor del cual se está aplicando la identidad de Jacobi. Explícitamente, en términos de las constantes de estructura, la identidad de Jacobi alrededor de un propagador dado es de la forma
\begin{equation}f^{a_1a_2b_1}f^{b_1a_3b_2}\cdots{f}^{b_{n-3}a_{n-1}a_n}+f^{a_2a_3b_1}f^{b_1a_1b_2}\cdots{f}^{b_{n-3}a_{n-1}a_n}+f^{a_3a_1b_1}f^{b_1a_2b_2}\cdots{f}^{b_{n-3}a_{n-1}a_n}=0\end{equation}
que igualmente a primer vista es intimidante pero realmente la idea para reconocerla es la misma que para la identidad de 4 puntos (\ref{Jacobistruct}) y en este caso las permutaciones cíclicas ocurren para los índices que comparten el propagador alrededor del cual se toma la identidad (en este caso $b_1$). En términos de diagramas, uno puede partir de un diagrama en forma multiperiferal (primer diagrama de izquierda a derecha) y luego hacer ambos un intercambio de aristas y una forma de "tenedor-Y" alrededor del propagador en cuestión. Lo del tenedor-Y es relevante porque puede generar diagramas con topologías distintas a la del diagrama original.
Amplitudes
Regresando a la idea de que sólo se requieren diagramas cúbicos, basado en la discusión hecha arriba, ésto hace que las amplitudes a nivel árbol adquieran la forma general
\begin{equation}\mathcal{A}_n^{(0)}=g^{n-2}\sum_{i\in\Gamma_3}\frac{N_ic_i}{\prod_{\alpha_i}p^2_{\alpha_i}}\label{amptrival}\end{equation} con $i$ corriendo en diagramas cúbicos solamente.
Una relación sumamente importante en lo siguiente es la llamada descomposición por ordenamiento de color de una amplitud de árbol,
\begin{equation}\mathcal{A}_n^{(0)}=g^{n-2}\sum_{\mathcal{P}(23\ldots{n})}\mathrm{tr}[\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\cdots\mathbf{T}^{a_n}]A_n^{(0)}[12\ldots{n}]\end{equation} con la suma sobre permutaciones $\mathcal{P}$ de $(23\ldots{n})$ y que introduce las llamadas amplitudes parciales $A_n^{(0)}$ que contienen información dinámica únicamente y que son invariantes de norma. Uno puede ejemplificar la obtención de esta relación fácilmente para $n=4$ puntos. Primero notamos que
\begin{equation}\mathrm{tr}[\mathbf{T}^a,\mathbf{T}^b]\mathbf{T}^c=\tilde{f}^{abc}\,\Longrightarrow\,c_s=\mathrm{tr}\left([\mathbf{T}^{a_1},\mathbf{T}^{a_2}]\mathbf{T}^b\right)\mathrm{tr}\left([\mathbf{T}^b,\mathbf{T}^{a_3}]\mathbf{T}^{a_4}\right)\label{ck1}\end{equation} y de manera similar para $c_t$, $c_u$. Usando la relación de completitud conocida como identidad de Fierz,
\begin{equation}(\mathbf{T}^a)^i_j(\mathbf{T}^a)^\ell_k=\delta^\ell_j\delta^i_k-\frac{1}{n}\delta^i_j\delta^\ell_k\hspace{0.25in}\text{con}\hspace{0.25in}i,\ldots,\ell=1,\ldots,n\end{equation} podemos expandir el producto de trazas en la ec. previa (\ref{ck1}) como
\begin{equation}c_s=\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_4})+\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_4}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_2})-\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\mathbf{T}^{a_4}\mathbf{T}^{a_3})-\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_4}\mathbf{T}^{a_2})\end{equation} y de manera similar para los otros dos factores de color, con lo que finalmente, sabiendo que la amplitud es $g^2$-proporcional a la suma de cada factor de color, obtenemos
\begin{equation}\mathcal{A}_4^{(0)}=g^2\left\{A_4^{(0)}[1234]\mathrm{tr}(\mathbf{T}^{a_1}\mathbf{T}^{a_2}\mathbf{T}^{a_3}\mathbf{T}^{a_4})+\mathcal{P}_\text{dist}(234)\right\}\end{equation} y al comparar con la amplitud completa escrita en la forma (\ref{amptrival}) podemos identificar las amplitudes parciales
\begin{align}A_4^{(0)}[1234]&=\frac{N_s}{s}+\frac{N_t}{t}=A_4^{(0)}[1432]\label{partampsnums1}\\
A_4^{(0)}[1243]&=-\frac{N_s}{s}+\frac{N_u}{u}=A_4^{(0)}[1342]\label{partampsnums2}\\
A_4^{(0)}[1324]&=-\frac{N_t}{t}-\frac{N_u}{u}=A_4^{(0)}[1423]\label{partampsnums3}\end{align} que satisfacen
\begin{equation}A_4^{(0)}[1234]+A_4^{(0)}[1243]+A_4^{(0)}[1324]=0\end{equation} llamada identidad de desacople $U(1)$ (o de fotones) para $n=4$, entre otras relaciones relevantes para el cálculo de amplitudes.
La dualidad color-cinemática
En el ahora famoso artículo de Bern, Carrasco y Johansson (enlace), los autores argumentan que la mencionada identidad de desacople $U(1)$ sólo puede ser no trivial si tiene la forma
\begin{equation}(s+t+u)\chi=0\hspace{0.25in}\text{con}\hspace{0.25in}\chi=\chi(\text{momentos, polarizaciones})\end{equation} pues precisamente $s+t+u=0$ dado que $p_i^2=0$ y que las amplitudes parciales sólo pueden ser $A_4^{(0)}[1234]=u\chi$, $A_4^{(0)}[1243]=t\chi$ y $A_4^{(0)}[1324]=s\chi$, de modo que resolviendo para $\chi$,
\begin{equation}A_4^{(0)}[1234]=\frac{u}{t}A_4^{(0)}[1243]=\frac{u}{s}A_4^{(0)}[1324]\end{equation} y de donde se sigue que, junto con las ecuaciones (\ref{partampsnums1},\ref{partampsnums2},\ref{partampsnums3}) y la condición $s+t+u=0$,
\begin{equation}N_s-N_t+N_u=0\end{equation} que tiene exactamente la misma forma que la identidad de Jacobi para los factores de color (\ref{colorJac}). Éste resultado es, en breve, la dualidad color-cinemática.
Específicamente: La dualidad color-cinemática asegura que las amplitudes en (súper-)Yang-Mills pueden darse en una representación
donde los numeradores cinemáticos tienen las mismas propiedades algebraicas que los factores de color:
\begin{align}c_i\to-c_i\,&\Longleftrightarrow\,N_i\to-N_i\\
c_i\pm{c}_j\pm{c}_k=0\,&\Longleftrightarrow\,N_i\pm{N}_j\pm{N}_k=0\end{align} Uno de los aspectos que hace sorprendente este resultado es que los factores de color evidentemente deben tener cierta estructura, pues provienen del álgebra de grupo de simetría, sin embargo los factores cinemáticos no tienen un grupo de simetría subyacente evidente y en principio no habría razón por la cual debieran obedecer la dualidad. Y en efecto, en general los factores cinemáticos no obedecen la dualidad, e.g. si uno comienza con el Lagrangiano usual de Yang-Mills, $\mathcal{L}_\text{YM}=-\frac{1}{4}F^{a\mu\nu}F^{a}_{\mu\nu}$ y obtiene las reglas de Feynman, los numeradores no obedecerán la dualidad. Podemos notar, primero, que aunque las amplitudes parciales son invariantes de norma, los $N_i$'s no son ni invariantes de norma ni son únicos: existen transformaciones de los numeradores, $N_i\to{N}_i+\Delta_i$ (usualmente llamadas transformaciones de norma generalizadas, i.e. se transforman los numeradores en lugar de los campos) que mantienen la amplitud total invariante (cualquiera en que la deformación es proporcional a la identidad de Jacobi de color) pero no en general a la dualidad; ésta es precisamente la principal razón por la cual la dualidad había permanecido escondida, en general no es trivial obtener explícitamente estos numeradores (o en su caso las transformaciones correspondientes).
Algunas consecuencias de esto son las siguientes:
Las amplitudes parciales se reducen a $(n-3)!$ (hay otros conteos más en el artículo original de BCJ).
La existencia de la dualidad está demostrada para cualquier $n$ (sólo a nivel árbol) con argumentos principalmente provenientes de teoría de cuerdas pero también de teoría de campo (BCFW)
N. E. J. Bjerrum-Bohr, P. H. Damgaard, T. Sondergaard, and P. Vanhove, The momentum kernel of gauge and gravity theories, JHEP 1101, 001 (2011) [arXiv:1010.3933[hep-th]]
La construcción explícita de numeradores que satisfacen la dualidad es (hasta ahora) por fuerza bruta.
¿Formulación Lagrangiana? Como se mencionó, $\mathcal{L}_\text{YM}$ no da numeradores compatibles con la dualidad, pero hay posibilidad de deformar
\begin{equation}\mathcal{L}_\text{YM}=-\frac{1}{4}F^{a\mu\nu}F^a_{\mu\nu}+\mathcal{L}^\prime_5+\mathcal{L}^\prime_6+\ldots\end{equation} con las deformaciones $\mathcal{L}^\prime_n$ involucrando $n$ campos, cada deformación idénticamente cero; disponible un procedimiento sistemático:
M. Tolotti, S. Weinzierl, Construction of an effective Yang-Mills Lagrangian with manifest BCJ duality, [arXiv:1306.2975 [hep-th]]
La conjetura BCJ
Naturalmente queda la pregunta de si la dualidad puede extenderse a nivel de bucles. La respuesta es sí, aunque a diferencia de la dualidad a nivel árbol, aquí la dualidad es una conjetura; de cualquier modo aparentemente tiene todas las de ganar. La conjetura BCJ fue hecha por los mismos autores (BCJ) de la dualidad color-cinemática en el artículo Perturbative Quantum Gravity as a Double Copy of Gauge Theory. Para empezar, se promueve la amplitud en términos de únicamente diagramas trivalentes (\ref{amptrival}) a
\begin{equation}\mathcal{A}_n^{(L)}=i^Lg^{n-2+2L}\sum_{i\in\Gamma_3}\int\prod_{\ell=1}^L\frac{d^Dp_\ell}{(2\pi)^D}\frac{1}{S_i}\frac{N_ic_i}{\prod_{\alpha_i}p^2_{\alpha_i}}\label{BCJamp}\end{equation} El principal argumento que hace parecer inevitable la generalización a bucles es el llamado método de unitariedad generalizada.
Ejemplo de la obtención de una amplitud en 4 puntos y 2 loops a través de el conjunto de cortes (amplitudes árbol)
topológicamente distintos del diagrama original.
Fuente: arXiv:1103.1869 [hep-th]
El tema es bastante amplio y una buena referencia es Basics of Generalized Unitarity (arXiv:1103.1869 [hep-th]) de Zvi Bern y Yu-tin Huang. La idea básica es que este método permite construir amplitudes de bucles a partir de productos de amplitudes de árbol puestos on-shell; algunas palabras clave para entrar al tema son el teorema óptico (en el contexto de QFT) y las reglas de Cutkosky (sospecho que la palabra cut, que aquí traduzco literalmente como corte se usa más bien en el sentido de Cut-kosky).
La principal evidencia a favor de BCJ está en teorías con hasta $\mathcal{N}=4$ supersimetrías en Yang-Mills (arXiv:1303.6605 [hep-th]) y gran parte de la investigación actual se realiza en otras teorías como (s)Yang-Mills con materia (fundamental y/o abeliana), materia Chern-Simons, etc.
La identidad de Jacobi y la generación de diagramas funciona de manera análoga a la de nivel árbol.
El principal resultado de mi trabajo fue código en Mathematica que genera todos los diagramas a partir de todas las identidades de Jacobi alrededor de un propagador dado a nivel árbol dado el número $n$ partículas, e.g. para $n=4$
o casos más complicados, e.g. para $n=8$ alrededor de un propagador dado
o bien, para $n=11$ alrededor de un propagador dado
La idea básica para el funcionamiento del código es usar el comando Graph[] para dibujar los diagramas, especificando los mismos con una función análoga a las $f^{abc}$'s de la estructura de color. El código manipula estas funciones para aplicar las identidades de Jacobi y luego traza los diagramas con Graph[]. Un detalle fino es que las identidades no rastrean los signos particulares para cada diagrama, así que las identidades son puramente esquemáticas y los signos a lo más se pueden rastrear de la función que genera el diagrama comparado con el diagrama original.
Aunque la historia para árboles es interesante y ofrece varias complicaciones para trabajar, el interés del trabajo yacía realmente en nivel de bucles. Aunque yo no estudié realmente ni desarrollé el código con toda generalidad para bucles, mi código tuvo la fortuna de ser fácilmente extensible a bucles:
Estas identidades se pueden encontrar en Scattering Amplitudes in Gauge Theory and Gravity de Elvang y Huang, y se satisfacen en $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills. La idea es que en un futuro proyecto otro estudiante extienda mi código a nivel de bucles.
Una (entre otras) característica deseable sería la de desplegar todas las topologías posibles dados $n$ y, aún más, el número de bucles. A nivel árbol, por ejemplo, para $n=9$, el código debería ser capaz de desplegar algo como
La situación es un tanto más complicada (relacionada con el problema del isomorfismo de grafos) pero sería de suma utilidad si se pudiese implementar para bucles en un tiempo razonable.
La relación de doble copia
Un aspecto sorprendente de todo lo anterior, es la conexión que hay con gravedad (usualmente la bestia indomable de la física); para sentar ideas puede ayudar nuestro amigo Macaulay:
En la segunda diapositiva [7]=arXiv:hep-th/9904026. Esta explicación de Macaulay ya es un indicio de que (amplitudes en) gravedad debe poder ponerse en términos más simples de los que usualmente se ocupan. Igualmente, desde 1986 se tenía este tipo de relación "Gravedad = (Yang-Mills)2" con las relaciones KLT (detalle en esta entrada anterior), que fueron obtenidas en teoría de cuerdas bosónica pero que se reducen a la mencionada relación norma-gravedad a bajas energías (cuerdas → puntos).
Esta relación entre gravedad y norma se conoce como la relación de doble copia, y se puede reducir básicamente a que
\begin{align}
h_{\mu\nu}&\sim{A}_\mu\tilde{A}_\nu\\
V_\text{grav}(123)&={V}_\text{YM}(123)\tilde{V}_\text{YM}(123)\\
|\Phi\rangle_\text{grav}&=|\Phi\rangle_\text{YM}\otimes|\Phi\rangle_\text{YM}\\
\text{Numeradores BCJ}\,\Longrightarrow\,\mathcal{M}_n^{(L)}&=i^{L+1}\left(\frac{\kappa}{2}\right)^{n-2+2L}\sum_{i\in\Gamma_3}\int\prod_{\ell=1}^L\frac{d^Dp_\ell}{(2\pi)^D}\frac{1}{S_i}\frac{N_i\tilde{N}_i}{\prod_{\alpha_i}p^2_{\alpha_i}}
\end{align} en donde para la última ecuación, básicamente sólo se reemplaza el factor de color de la amplitud de norma (\ref{BCJamp}) con un numerador BCJ. Aún más, este numerador puede pertenecer a una teoría distinta de la del otro numerador:
Fuente: Presentación de A. Ochirov (General Relativity: from Geometry to Amplitudes,
Instituto Isaac Newton, Cambridge, 2016)
Para el caso de árboles, la relación de doble copia reproduce las relaciones KLT (obviamente asumiendo color-cinemática; arXiv:1004.0693 [hep-th]) y en general, la mayoría de evidencia, de manera análoga a color-cinemática, es para $\mc{N}=8$ super-gravedad.
Finalmente la mayor relevancia e interés que se pone en la relación de doble copia está en que puede arrojar luz sobre las distintas teorías de gravedad y en general puede ayudar a comprender mucho mejor cuál es la solución al rompecabezas de la gravedad cuántica.
Algunos resultados (recientes y no tan recientes) sobre el comportamiento UV en gravedad
Fuente: Plática de A. Ochirov (QCD Meets Gravity, Instituto Bhaumik, UCLA, 2016)
I fortunately happened to live during the rise and development of the internet and other information technologies. Now I'm witnessing the proliferation of the so called MOOCS and open access to (under)graduate level courses, which is great. I'd say these type of courses and lectures are presumably the best option for those who want to self-teach themselves, those who want to change fields of study, or to those who want to deepen their understanding in some particular topic. I've gone through the whole of David Tong's lectures on QFT (mentioned in earlier posts) and part of his lectures on String Theory too; these are great by themselves and the QFT ones have some advantage in that there are YouTube videos available (though -the videos, not the lectures- of poor quality). It seems that a lot of leading universities and their academics are (becoming?) aware of the relevance of making available good quality content to the general public, even if not specially by well organized MOOCs but just by access to online lecture notes.
Here I share two courses which I'm currently following.
These lectures on supersymmetry and extra dimensions are aimed at finishing undergraduate and beginning postgraduate students with a background in quantum field theory and group theory. Basic knowledge in general relativity might be advantageous for the discussion of extra dimensions. This course was taught as a 24+1 lecture course in Part III of the Mathematical Tripos in recent years. The first six chapters give an introduction to supersymmetry in four spacetime dimensions, they fill about two thirds of the lecture notes and are in principle self-contained. The remaining two chapters are devoted to extra spacetime dimensions which are in the end combined with the concept of supersymmetry. Videos from the course lectured in 2006 can be found online at this http URL.
I've gone until §2.2 and I find the lecture notes really easy to follow. The math notation has some weird spaces in the equations, (which are not numbered btw) and there are some occasional seemingly non-relevant errors, like on page 19, \begin{equation*}{N_\alpha}^\beta(x_\nu\sigma^\nu)_{\beta\dot\gamma}N_{\dot\alpha}^{*\,\dot\gamma}\stackrel{\color{blue}{?}}{=}{\Lambda_\mu}^{\nu}x_\nu\sigma^\mu\end{equation*} where the $\alpha\dot{\alpha}$ subindices on the RHS are missing; it could've been written simply as $Nx_\rho\sigma^{\rho}N^\dagger={\Lambda_\mu}^{\nu}x_\nu\sigma^\mu$ or, emphasizing the components, I guess the RHS should've been ${\Lambda_\mu}^{\nu}x_\nu(\sigma^\mu)_{\alpha\dot\alpha}$. Also, the procedure to get this equation isn't explicitly -or more carefully- written in the notes (it can be worked out knowing the $x_\mu\sigma^\mu$ transformations under both groups and using the fact that they are the same; the ${\Lambda_\mu}^\nu$ appears as something like ${\Lambda_\mu}^\alpha{\Lambda_\alpha}^\nu$).
I have to say I didn't really liked the video lectures and I didn't find them very helpful: minor issues like the one above don't get straightened and most of the time Prof. Quevedo (which is no insignificant name in the field) just transfer the notes to the blackboard. That's kind of understandable, but, as in the issue I mentioned, not seeing "balanced" indices at an equation should hurt one's eyes enough. However, some discussions may be useful and it is at least more dynamical to follow the notes along with the videos (I also confess that the accent of Prof. Quevedo became a little annoying to me after a while; I don't blame him though, because I might have a similar one).
Then, there's this beautiful course about the Higgs Boson by the University of Edinburgh on what they call Open Education:
The Discovery of the Higgs Boson Should we be excited about the Higgs boson? Find out more about particle physics and understanding the universe.
(...) This free online course introduces the theoretical tools needed to appreciate the discovery, and presents the elementary particles that have been discovered at the tiniest scales ever explored. Beginning with basic concepts in classical mechanics, the story unfolds through relativity and quantum mechanics, describing forces, matter and the unification of theories with an understanding driven by the tools of mathematics.
Narrating the journey through experimental results which led to the discovery in 2012, the course invites you to learn from a team of world-class physicists at Edinburgh University. Learners participate in discussion of the consequences of the Higgs boson, to physics and cosmology, and towards a stronger understanding and new description of the universe. (...)
The course is meant to be accessible to everyone with high school education. It's already too late to register formally, but there's also a YouTube playlist available from the previous year's course:
So I guess that's pretty much enough ;-) I've seen a few videos and of course there's a lot of detail you won't see, but at least the big picture is there (I didn't truly realize some things, like how to read the plot of the data) and it is fantastic.
I also like to brag a little because most probably I'll be attending the MSc in Mathematical Physics at Edinburgh ;-)
Visualization of the future building of the Higgs Centre for Theoretical Physics at Edinburgh (due to open in 2016)
El llamado "Breakthrough Prize" en Física Fundamental, que se hiciera famoso en 2012 como el premio más lucrativo en ciencia básica (ahora no sólo lo hay de Física, sino también de Matemáticas y de "Ciencias de la Vida"), se celebró este año el 10 de noviembre y hace aproximadamente una semana se hicieron públicos los vídeos de las charlas de algunos de los ganadores de los premios pasados.
La pasada semana tuve oportunidad de ver algunas de las charlas y en particular me pareció interesante la de Nathan Seiberg: "What is Quantum Field Theory?".
Seiberg comienza diciendo: "¿Qué es Teoría Cuántica de Campos? No tengo idea" y continúa sugiriendo que la teoría seguramente debe ser reformulada, no porque la formulación actual sea incorrecta, sino porque seguramente existe una mejor y más profunda formulación. Algo que me pareció intrigante es la cuestión de que existen QFT's sin Lagrangiano, pues la gente (yo incluido) seguido se refiere al Lagrangiano como sinónimo de Teoría. Finalmente Seiberg se va a detalles más técnicos y describe trabajo reciente en Simetrías Globales Generalizadas.
Otras dos charlas que me parecieron interesantes son la de Joseph Polchinski sobre algunas cuestiones fundamentales de la mecánica cuántica y la de Nima Arkani-Hamed sobre el amplituhedron y la noción del espaciotiempo como algo emergente. El nivel técnico de las charlas varía, pero de algunas al menos se puede seguir la idea general (e.g. quise seguir también la charla de Maxim Kontsevich y me resultó casi imposible).
La charla (el vídeo) de Greg Moore, Physical Mathematics and the Future es del Strings 2014 (Visions Talk) y aunque ya tiene unos meses, decidí compartirla acá porque en el tiempo reciente he sido más consciente de este tema de la Física Matemática. En México, al menos para un estudiante de preparatoria interesado en la Física (ya no digamos un ciudadano lego, o incluso para algunos especialistas), la palabra "Física-Matemática" es sólo un sinónimo de "Física", pues lo que a él concierne, la Física está repleta de Matemáticas y listo. Pero la dicotomía por supuesto se vuelve evidente entrados algunos semestres de la carrera (incluso cuando uno dice cursar alguna carrera afín) y pareciera que son como agua y aceite cuando uno quiere involucrarse en serio con la otra.
La Física Matemática es básicamente el campo de estudio de la intersección de la Física y las Matemáticas; i.e. en donde ambos campos son de interés per se simultáneamente. Moore ofrece una discusión más amplia de la definición de la Física Matemática en este documento al que se refiere en su charla y aclara por qué prefiere emplear Physical Mathematics en lugar de Mathematical Physics, que es básicamente por la motivación prioritariamente física de las preguntas y metas planteadas.
La discusión de Moore es sumamente interesante y ofrece una perspectiva de dónde viene y hacia dónde se dirige la Física Matemática. Lo primero acerca del matrimonio y el divorcio de la Física y las Matemáticas es seguramente lo más notable y algo de lo que probablemente ya cualquiera interesado en la Física Matemática es consciente. En el documento in extenso lo discute al final y yo procuro verlo desde mi punto de vista; sé de poca gente en México que haga Física Matemática propiamente (e.g. Oscar A. Sánchez Valenzuela, si no menciono más es en mayor grado por ignorancia), ya sea que hagan Física o Matemáticas, seguido no se meten con la otra, y de hecho me parece que, contrario a lo que dice Moore, los matemáticos meten más libremente su cuchara en la Física que los físicos en las Matemáticas, sea cual sea la motivación que tengan; esto -supongo- porque seguido la intersección de la Física con la Matemática fácilmente puede estar presente aunque sea inadvertidamente (e.g. en QFT, en Geometría, en Topología, etc...), mientras que en el sentido opuesto es menos probable que sea así: aunque se trabaje con Matemáticas sofisticadas en temas de frontera en Física, uno no necesariamente estará avanzando en temas de interés Matemático.
De las cuestiones planteadas por Moore seguramente la más relevante es la de definir QFT y un punto que me parece sumamente interesante es el 5.6 relacionado a la geometrización o formulación geométrica de QFT. Relacionado con esto, un tema que es de mi interés, es TQFT (Teoría Cuántica de Campos Topológica o TFT en el punto 5.7), que en general podría responder qué es QFT y en particular se piensa puede arrojar un poco de luz en gravedad cuántica 4-dimensional (e.g. véase aquí para una discusión introductoria y amigable).
Además en la cuestión sobre Teoría M que menciona Moore en el vídeo, lo que me parece más interesante es Teoría de Cuerdas Topológica [diríase TST? ;-) punto 4.1.2] que de manera análoga a TQFT, supongo podría ser un acercamiento más sencillo y a la vez más general a Cuerdas (aquí unas notas breves). Finalmente, Moore destaca (en el vídeo) las estructuras algebraicas en Física Matemática (de lo que no sé casi nada pero igual parece bastante interesante; relacionado con esto es la charla de Miranda Cheng en el mismo Strings 2014 sobre Moonshine y Cuerdas).
Regresando al tema de la Física Matemática en México, y cerrando análogamente a como hace Moore, aunque no creo realmente necesario que un estudiante de preparatoria sepa particularmente qué es la Física Matemática, seguramente sería bueno que hubieran más grupos de trabajo decididamente enfocados a los temas que plantea Moore y que se abrieran puertas para estudios de posgrado enfocados directamente en esta área (seguido uno tiene que elegir entre un posgrado en Ciencias Físicas o uno en Ciencias Matemáticas, con un enfoque inclinado hacia una u otra área; en contraste, en el extranjero hay varios grupos y posgrados especializados, e.g. Simons Center, Perimeter Institute, Edinburgh, DESY-Hamburg, etc...); sólo queda trabajar para que esto pueda impulsarse un poco más al menos en el tiempo que se tenga vida ;-)
El siguiente es un extracto de la sección 5 del capítulo llamado El universo de las supercuerdas por el Dr. Saúl Ramos Sánchez, investigador del IFUNAM, y forma parte del libro Fronteras de la Física en el Siglo XXI. Esta sección en particular me pareció interesantísima y ha sido de las primeras lecturas que me ha motivado a decidirme a seguir una dirección más particular en mi carrera, dado que (me parece) no abunda la información sobre este tema a nivel licenciatura o menor (divulgación, si se quiere). Las secciones y capítulos completos de Fronteras de la Física me parecen muy recomendables tanto para el lector que busca definir con mayor precisión la dirección de su interés en la física, así como para cualquier lector interesado en conocer algunos de los temas más excitantes de la física actual. Comparto entonces el extracto a continuación:
El ambicioso propósito de la teoría de cuerdas de describir toda la física observada tiene aún muchos obstáculos y nadie sabe con toda certeza si será posible alcanzarlo. Pero, ¿qué pasaría si un día llegamos a entender que todos los esfuerzos en esta dirección están condenados al fracaso? Como veremos a continuación, aún ante este escenario, el estudio de la teoría de cuerdas nos ha conducido a observaciones y resultados que justifican los años invertidos en él.
En una visión quizá más moderna de la teoría de cuerdas, se exploran otras alternativas tal vez menos ambiciosas que la de encontrar una teoría de todo. En esta visión, las cuerdas se emplean como una fuente de herramientas matemáticas que ayuden a resolver problemas de la física actual. El máximo exponente de esta visión es posiblemente la dualidad holográfica o correspondencia norma/gravedad o AdS/CFT, o dualidad de Maldacena [17]. Esta dualidad ha conseguido proveer estimaciones de la entropía, viscosidad y conductividad del plasma de quarks y gluones que se sabe debió haber formado parte del universo temprano (instantes después de la gran explosión) y que puede ser observado en laboratorios internacionales como el LHC o RHIC. Además, la dualidad holográfica ha mostrado que puede tener muchas aplicaciones en materia condensada, ofreciendo algo de intuición con respecto a e.g. superconductividad, superfluidez, metales extraños y fluidez de Hall [18]. Se recomienda [19] como una discusión introductoria y [20] como una revisión más detallada para entender esta dualidad.
Teoría de campos con interacciones fuertes
$\underset{\text{[Maldacena]}}{=}$
Teoría de cuerdas compactificada
Partículas
Cuerdas
Sin gravedad
Con gravedad
Espacio-tiempo plano
Espacio-tiempo curvo
Con interacciones fuertes (débiles)
Con interacciones débiles (fuertes)
4 dimensiones
10 dimensiones
Tabla 2: Un resumen [19] de la equivalencia propuesta por Maldacena. A pesar de lo absurdamente distinto de las teorías, la correspondencia ha sido confirmada en miles de trabajos científicos.
La dualidad holográfica, sugerida en 1997 por J. Maldacena [17], muestra que existe una equivalencia entre dos teorías muy diferentes: una teoría de cuerdas con gravedad cuántica definida en un espacio 10-dimensional y una teoría de campos 4-dimensional. La cualidad holográfica de la dualidad proviene justamente de que la información de la teoría de cuerdas es capturada en una teoría con menos dimensiones, como sucede en los hologramas bidimensionales. Representa así un éxito del principio holográfico, propuesto por G.'t Hooft y refinado por L. Susskind [21], que establece que, en una teoría de gravedad, la descripción de la física contenida en el volumen de un cierto espacio está codificada en una teoría no gravitacional definida en la frontera de ese espacio. La tabla 2 permite apreciar lo casi inverosímil de la propuesta de Maldacena: las características de las teorías relacionadas por la dualidad holográfica son tan distintas, que difícilmente uno se puede imaginar descripciones más opuestas. Y, sin embargo, son equivalentes.
Entendamos mejor las teorías relacionadas por esta dualidad mediante un ejemplo particular. En su modelo original, Maldacena propuso que la física contenida en la frontera al infinito de la compactificación de la teoría de cuerdas tipo IIB en un espacio con geometría $\text{AdS}^5\times\text{S}^5$ corresponde a la misma que encontramos en una teoría conforme supersimétrica 4-dimensional super Yang-Mills con el máximo de supersimetría posible (abreviado MSYM). El espacio-tiempo de anti-De Sitter $\text{AdS}^5$ y la esfera $\text{S}^5$ son las variedades 5-dimensionales más simples después del espacio plano o de Minkowski. Mientras que la curvatura de $\text{AdS}^5$ es negativa (como la de la silla de montar), en $\text{S}^5$ es positiva. La teoría de cuerdas IIB así compactificada conduce a cuerdas dinámicas cuyas vibraciones son interpretadas como los gravitones (fluctuaciones cuánticas de la métrica) en el espacio tiempo de anti-De Sitter. La teoría de MSYM corresponde a una teoría de norma conforme (es decir, que no cambia al aplicarle transformaciones de escala) dotada sólo de bosones de norma y de sus compañeros supersimétricos. Si se elige la simetría de norma como SU(N), la teoría resultante de MSYM semeja en algunos aspectos (y para ciertos propósitos) a la cromodinámica cuántica sin quarks (sólo con gluones). Lo fascinante de la dualidad holográfica es que los cálculos demuestran que el régimen de acoplamiento débil en la teoría gravitacional (cuerdas IIB) equivale al régimen de interacciones fuertes en la teoría de norma (MSYM), y viceversa. De esta forma, cálculos entre partículas que interactúan fuertemente (cuando no tenemos control de la teoría) como en la cromodinámica cuántica se pueden realizar fácilmente en la teoría de cuerdas en el límite de acoplamiento débil, ¡que es el único sobre el que tenemos control! Igualmente, podríamos conocer el comportamiento de la teoría de cuerdas cuando las cuerdas interactúan fuertemente (por encontrarse en un espacio altamente curvado), mediante cálculos en la teoría de campos con interacciones débiles.
Claramente, la propuesta de Maldacena no consideraba nuestro universo, pues, por una parte, la cromodinámica cuántica difiere de MSYM en que contiene quarks y no tiene supersimetría, y por otra parte, nosotros no habitamos un espacio 5-dimensional tipo anti-De Sitter. Sin embargo, ambos escenarios son un buen inicio. Tras la propuesta de Maldacena, muchos científicos han encontrado los mecanismos para e.g. añadir los quarks y las interacciones adecuadas de la cromodinámica cuántica, y suprimir la supersimetría en la teoría de campos. Los resultados han probado ser bastante exitosos cuando la mezcla de quarks y gluones es tan densa que sólo se percibe un fluido de ellos, el famoso plasma de quarks y gluones. Es difícil medir las propiedades de este fluido, pero las pocas mediciones obtenidas han sido sorprendentemente cercanas a los resultados predichos mediante la aplicación de la dualidad.
La dualidad holográfica es considerada aún una conjetura, pues no existe prueba matemática rigurosa que demuestre la equivalencia planteada. Pero el hecho de que haya sido sometida a miles de intentos de mostrarla incorrecta y en todos ellos haya salido victoriosa, y que haya aportado resultados que no difieren mucho de su contraparte experimental, permite afirmar sin duda que estamos ante el despertar de una nueva forma de apreciar y hacer la física.
La dualidad holográfica es una revolución en sí misma, quizá incluso mayor que el descubrimiento de las dualidades que condujeron a la teoría M, por su cercanía con la física observable. La propuesta de Maldacena nos indica que las teorías de norma están íntimamente vinculadas con teorías de gravedad; y nos sugiere que es posible vincular marcos teóricos sin gravedad con otros que sí la incluyan, de tal forma que la existencia o inexistencia de ésta depende del lenguaje adoptado en cada marco. Más relevante para nuestra discusión es que la dualidad revela que la teoría de cuerdas, si bien podría resultar ser una teoría menos ambiciosa de lo que se sospechaba, no está desconectada de la física que describe lo que nos rodea.
Referencias citadas en el texto: [17] J. M. Maldacena, “The Large N limit of superconformal field theories and supergravity,” Adv.Theor.Math.Phys., vol. 2, pp. 231–252, 1998. [18] S. A. Hartnoll, “Lectures on holographic methods for condensed matter physics,” Class.Quant.Grav., vol. 26, p. 224002, 2009. [19] A. Güijosa, “La correspondencia holográfica: una aplicación útil de la teoría de cuerdas”, Boletin de la SMF, vol. 26, pp. 85–99, 2012. [20] O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, and Y. Oz, “Large N field theories, string theory and gravity,” Phys.Rept., vol. 323, pp. 183–386, 2000. [21] L. Susskind, “The World as a hologram,” J.Math.Phys., vol. 36, pp. 6377–6396, 1995.
Creo que la época en que vivimos es promisoria aunque los contrastes sigan siendo muy marcados. Esto me viene a la mente, de cualquier modo en forma optimista, con el libro Fronteras de la Física en el Siglo XXI, un trabajo hecho por científicos "reconocidos como autoridades en sus campos" y editado por los doctores Karen Volke y Octavio Miramontes, ya que como señalan:
Varias razones han motivado la existencia de este libro. Comencemos por mencionar que la física deja el siglo XX y transita hacia otros horizontes donde los desafíos abiertos no son pocos y cuya naturaleza fundamental hace pensar en nuevas revoluciones científicas en ciernes. Luego, la raison d’etre es la exploración colectiva de un gran número de ideas visionarias que habrán de inquietar las mentes de los jóvenes lectores a quienes este libro va especialmente destinado. Para este propósito, nos servimos de otra de las grandes contribuciones de la física de nuestros días: la WWW. El presente libro ha sido específicamente pensado para ser distribuido ampliamente y leído de manera abierta y gratuita por la internet. En un mundo donde la cultura, la información y la educación son cada vez más presas de la mercantilización y por ende, su acceso es cada vez más difícil y restrictivo, nos proponemos innovar.
Me parece un esfuerzo loable y que da un gran paso en la dirección correcta. No he tenido oportunidad de leer completo el libro, sin embargo me parece apto para cualquier lector ampliamente interesado en los temas de frontera, o como se dice en inglés de cutting edge, de la física, que pueden volverse infinitamente apasionantes contra cualquier tema de ficción u otras chácharas. El contenido del libro está dividido en las partes
que igualmente a primer vista es intimidante pero realmente la idea para reconocerla es la misma que para la identidad de 4 puntos (\ref{Jacobistruct}) y en este caso las permutaciones cíclicas ocurren para los índices que comparten el propagador alrededor del cual se toma la identidad (en este caso $b_1$). En términos de diagramas, uno puede partir de un diagrama en forma multiperiferal (primer diagrama de izquierda a derecha) y luego hacer ambos un intercambio de aristas y una forma de "tenedor-Y" alrededor del propagador en cuestión. Lo del tenedor-Y es relevante porque puede generar diagramas con topologías distintas a la del diagrama original.
