Depurando mi ordenador de archivos viejos me encontré este ensayo que hice para competir por una plaza de ayudante de profesor en la UAM-A en 2014 —que no obtuve, por cierto :C — mientras entraba a la maestría; como sea lo comparto acá, puede ser útil sobre todo a estudiantes de bachillerato o de primer año de licenciatura (ingeniería o ciencias).
1. Introducción
En el haber cotidiano seguido es de gran importancia conocer qué tanto afecta el cambio de una cantidad dada respecto a otra cantidad relacionada, es decir, su razón de cambio relativo. La esencia del Cálculo Diferencial es precisamente el estudio de razones de cambio. Aunque desde la antigüedad la idea de razón de cambio estaba presente en los conceptos como la tangente de una curva o en las paradojas de Zenón de Elea, no fue sino hasta alrededor de 1666 cuando el desarrollo del Cálculo Infinitesimal por Isaac Newton y Gottfried Leibniz sistematizara el Cálculo Diferencial con el concepto de diferenciación y la derivada. Posteriormente muchos grandes matemáticos como Cauchy o Riemann contribuirían a la formalización del Cálculo Diferencial.
Históricamente, Newton y Leibniz sistematizaron el Cálculo Diferencial pensando la descripción precisa de cambios de posición en cada instante de tiempo, es decir, de movimiento. En el tratamiento moderno del Cálculo Diferencial, dos conceptos básicos son los de límite y continuidad, y en particular al hablar de Cálculo Diferencial se considera el estudio de razones de cambio infinitesimales de funciones reales en una variable real respecto a esta misma variable.
El alcance del Cálculo Diferencial (e Integral) en el estudio de funciones en sí mismas es sumamente amplio y forma la base del Análisis Matemático, además de admitir generalizaciones en espacios (más) abstractos; de cualquier modo, así como en su motivación histórica original, el estudio del Cálculo Diferencial da lugar a un gran número de aplicaciones, e incluso, ciertamente forma uno los pilares básicos en cualquier Ciencia Física o Ingeniería.
2. La Derivada El principal objeto de estudio en el Cálculo Diferencial es la derivada de una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Considérese la regla de correspondencia $x\mapsto{f}(x)$ y un punto $x_0\in\mathbb{R}$ tal que $f$ está definida en una vecindad de $x_0$.
En la siguiente figura se muestra el bosquejo de una función $f$ arbitraria y se señalan dos puntos $x_0$ y $x_0+\epsilon$ con sus imágenes bajo $f$.
Bosquejo de la gráfica de una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y la razón de cambio $\Delta{f}(x_0)/\Delta{x}_0$
De aquı́ entonces puede verse de manera intuitiva que la razón de cambio de la función $f$ cuando $x_0$ aumenta una cantidad $\epsilon$ es \begin{align}\frac{\Delta{f}(x_0)}{\Delta{x}_0}&\equiv\frac{f(x_0+\epsilon)-f(x_0)}{x_0+\epsilon-x_0}\nonumber\\ &=\frac{f(x_0+\epsilon)-f(x_0)}{\epsilon}\end{align} de modo que para razones de cambio arbitrariamente pequeñas, se puede definir \begin{equation}f^\prime(x)\bigg|_{x_0}\equiv{f}^\prime(x_0)=\lim_{\epsilon\to0}\frac{f(x_0+\epsilon)-f(x_0)}{\epsilon}\end{equation} si el lı́mite existe, como la derivada de $f$ en el punto $x_0$. Si la función es continua y dicho lı́mite existe en todo $x$, entonces la derivada de $f$ en $x$ es simplemente \begin{equation}f^\prime(x)=\lim_{\epsilon\to0}\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}\label{def:derivada}\end{equation} Esta notación de "$f^\prime$" es atribuida a Lagrange o bien “$\dot{f}$”, cuando la variable en cuestión es el tiempo, es atribuida a Newton; de cualquier modo, históricamente Leibniz introdujo la notación \begin{equation}\frac{df}{dx}\equiv{f}^\prime(x)\end{equation} pensando en cocientes, como se sugiere en el caso finito (o no infinitesimal). Aunque esta notación de Leibniz es muy útil para realizar operaciones (como se verá adelante), debe notarse que la derivada, al ser el límite de un cociente y entonces al no poderse expresar como el cociente de límites, no es en realidad un cociente.
Las interpretaciones y aplicaciones de la derivada en el estudio de funciones de variable real son muy diversas y amplias, desde la interpretación geométrica de la pendiente de la tangente en un punto a la función como una curva, hasta información vital sobre la función como sus máximos y mı́nimos (locales y globales), crecimiento o decrecimiento y concavidad.
En cuanto a las aplicaciones prácticas, fuera del interés puramente matemático, la derivada puede verse como el pilar no sólo de áreas de estudio como la Física, sino también en temas como Economía, la Computación o más recientemente en temas sociales vistos como Sistemas Complejos.
3. Continuidad y Diferenciabilidad Cuando el lı́mite (\ref{def:derivada}) existe, se dice que $f$ es diferenciable o derivable. Una cuestión relevante en este caso es que este lı́mite implica que si $f$ es diferenciable, entonces también es continua. De cualquier modo, una cuestión importante es que el enunciado opuesto no es cierto: que una función sea continua no implica que ésta sea derivable en todo su dominio.
Un ejemplo claro y el primero que viene a la mente es el de $f(x)=|x|$, que es continua pero cuya derivada no está definida en $x=0$. Esto puede verse claramente por el cambio abrupto o pico que la función tiene en $x=0$.
4. Propiedades de la derivada A partir de las siguientes propiedades para la derivada de una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, que pueden demostrarse a través de la definición (\ref{def:derivada}) y las propiedades de las funciones, pueden seguirse las reglas de derivación más comunes.
4.1 Linealidad Sean $f,g$ funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y $\alpha,\beta$ dos constantes tal que $h=\alpha{f}+\beta{g}$, entonces \begin{equation}h^\prime=\alpha{f}^\prime+\beta{g}^\prime\end{equation}
4.2 Regla del producto Sean $f,g$ funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $h(x)=f(x)\cdot{g}(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$; esta definición se sobreentiende al escribir $h=fg$, entonces \begin{equation}h^\prime=f^\prime{g}+f{g}^\prime\end{equation}
4.3 Regla de la Cadena Sean $f,g$ dos funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $h=f\circ{g}$, entonces \begin{equation}h^\prime=(f^\prime\circ{g})\cdot{g}^\prime\end{equation} Esta regla es particularmente intuitiva en la notación de Leibniz, \begin{equation}\frac{dh}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\label{chain}\end{equation} que además, si $f$ es la inversa de $g$, ésta se reduce a \begin{equation}1=\frac{dx}{dg}\frac{dg}{dx}\end{equation} es decir, \begin{equation}\frac{dg}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dg}}=\frac{1}{\frac{df(g(x))}{dg}}\label{cadena2}\end{equation}
5. Reglas de derivación Las propiedades anteriores sirven en general para calcular de manera práctica la derivada de una función.
El caso más sencillo es el de las potencias, los polinomios y los productos, e.g. si $f(x)=x^n$ con $n$ entero, $f^\prime(x)=nx^{n−1}$ que se sigue de la linealidad de la derivada. De cualquier modo, hay casos especiales de funciones como la exponencial (y su inversa) o las funciones trigonométricas, cuyas derivadas requieren algunas propiedades más de las propias funciones para poder ser obtenidas.
En el caso de la exponencial, tomemos $f(x)=a^x$ con $a\in\mathbb{R}^+$ constante, entonces, de la definición (\ref{def:derivada}), \begin{align}f^\prime(x)&=\lim_{\epsilon\to0}\frac{a^{x+\epsilon}-a^x}{\epsilon}\nonumber\\ &=a^x\lim_{\epsilon\to0}\frac{a^\epsilon-1}{\epsilon}\nonumber\\ &=a^xf^\prime(0)\end{align} de donde se requiere poder calcular el límite $f^\prime(0)$. Como comentario, la forma más sencilla, sin conocer de antemano la derivada de la exponencial, es primero calcular el límite para $a=e$ y obtener \begin{equation}\lim_{\epsilon\to0}\frac{e^\epsilon-1}{\epsilon}=1\end{equation} Esto no es tarea sencilla sin regla de L'Hôpital (hasta donde sé) pero corresponde a otro tema (una forma usual es emplear la identidad $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ descubierta por Euler), así que asumiendo que se conoce este límite, que además implica $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ para todo $x$ real, podemos definir $g(x)\equiv{x}\ln{a}$ \begin{equation}a^x=e^{\ln{a^x}}=e^{x\ln{a}}=e^g\end{equation} de modo que por la regla de la cadena (\ref{chain}), \begin{align}f^\prime(x)&=\frac{de^g}{dg}\frac{dg}{dx}\nonumber\\ &=e^g\frac{d(x\ln{a})}{dx}\nonumber\\ &=a^x\ln{a}\end{align} por lo que también \begin{equation}\lim_{\epsilon\to0}\frac{a^\epsilon-1}{\epsilon}=\ln{a}\end{equation} Además se sigue por la propiedad (\ref{cadena2}), que \begin{equation}\frac{de^x}{dx}=e^x=\frac{1}{\frac{d(\ln{e}^x)}{d(e^x)}}\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}\frac{d\ln{x}}{dx}=\frac{1}{x}\end{equation} De manera similar pueden obtenerse las reglas de derivación para las funciones trigonométricas, e.g. en el caso de $f(x)=\sin{x}$, \begin{align}f^\prime(x)&=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin(x+\epsilon)-\sin{x}}{\epsilon}\nonumber\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin{x}\cos\epsilon+\sin\epsilon\cos{x}-\sin{x}}{\epsilon}\nonumber\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin{x}(\cos\epsilon-1)+\sin\epsilon\cos{x}}{\epsilon}\end{align} de modo que es necesario conocer (u obtener) los límites \begin{align}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\cos\epsilon-1}{\epsilon},\hspace{0.25in}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin\epsilon}{\epsilon}\end{align} La deducción de todas estas reglas junto con las propiedades intrínsecas a la derivada son lo que permite operar de manera sencilla con las derivadas de funciones conocidas y cualquier complicación de éstas con productos, composiciones, etc. Finalmente algunas otras reglas que pueden presentar sus propias complicaciones son la de las derivadas de orden superior y las de la derivación de funciones implícitas, que de cualquier forma (en la versión más simple para funciones reales bien comportadas), se limitan a las propiedades y reglas mencionadas.
6. Optimización De entre las aplicaciones más relevantes de la derivada es la capacidad de determinar el comportamiento creciente o decreciente de una función, sus máximos y mínimos, y su concavidad. Esto es de gran utilidad cuando se modela con alguna función un fenómeno físico o cualquier otro fenómeno de interés práctico.
El punto de vista geométrico de la derivada como la pendiente de la recta tangente de la gráfica de una función hace que se vuelvan de particular interés las soluciones de $f^\prime(x)=0$, que son llamadas puntos críticos. Estos puntos críticos sólo tienen 3 posibilidades: ser un máximo, un mínimo o un punto silla.
Una función con tres puntos crı́ticos $x=\pm{a},0$. Mientras $x=\pm{a}$ son mínimos globales, $x=0$ es un máximo local.
En la figura anterior se muestra una función con dos mı́nimos globales y un máximo local, mientras que en la siguiente figura se muestra un punto silla.
Una función con un punto silla en $x=0$.
Las funciones para estos ejemplos particulares son $f(x)=(x+a)^2(x-a)^2$ y $g(x)=x^3$, donde se verifica que \begin{equation}f^\prime(x)=4x(x^2-a^2)\end{equation} y \begin{equation}g^\prime(x)=3x^2\end{equation} cuyas soluciones en efecto son $x=0,\pm{a}$ y $x=0$, respectivamente. Esto sólo dice que estas soluciones son puntos crı́ticos, para determinar analı́ticamente de qué tipo son, se puede recurrir a una segunda derivada y evaluar en el punto en cuestión, o bien, si la función es suficientemente sencilla, evaluar (ya sea la función o la derivada) cerca del punto.
Este tipo de análisis resulta de gran importancia en cualquier problema que involucre conocer el comportamiento de una función, e.g. en Mecánica Clásica, el análisis de las órbitas planetarias se realiza mediante el análisis de un potencial radial que satisface la ecuación \begin{equation}F(r)=-\frac{dU}{dr}=-\frac{d}{dr}\left[\frac{\alpha}{r^2}-\frac{\beta}{r}\right]\end{equation} con constantes $\alpha,\beta$ positivas, de donde se puede conocer $r=r_0$ tal que $F(r_0)=0$, i.e. \begin{equation}\frac{2\alpha}{r_0^3}-\frac{\beta}{r_0^2}=0\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}r_0=\frac{2\alpha}{\beta}\end{equation} que además es un mı́nimo, ya que (haciendo las simplificaciones necesarias) \begin{equation}F^\prime(r_0)=-\frac{6\alpha}{r_0^4}+\frac{2\beta}{r_0^3}=\frac{\beta^4}{8\alpha^3}>0\end{equation}
7. Series de Taylor Las series de Taylor es otra de las ideas sumamente útiles del Cálculo Diferencial y se basan en la idea de la posibilidad de construir polinomios que coincidan una función en un punto y cuyas derivadas coincidan con las derivadas (del mismo orden) de la función en ese punto; el requisito entonces es únicamente que la clase de la función (derivabilidad y continuidad de la derivada) sea infinito.
La construcción se puede ir haciendo paso a paso: sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de clase $C^\infty$ y $x_0\in\mathbb{R}$ constante, entonces la función \begin{equation}P_1(x)\equiv{f}(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)\end{equation} satisface $P_1(x_0)=f(x_0)$ y $P_1^\prime(x_0)=f^\prime(x_0)$, y de manera análoga \begin{equation}P_2(x)\equiv{P_1}(x)+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2\end{equation} satisface $P_2(x_0)=f(x_0)$, $P_2^\prime(x_0)=f^\prime(x_0)$ y $P_2^{\prime\prime}(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0)$. El paso brillante en esta argumentación, está en que, de hecho \begin{equation}f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{equation} donde $f^{(n)}$ señala la $n$-ésima derivada. En el caso de una función $C^k$, o para una serie trunca en $n=k$, el Teorema de Taylor justifica el que una serie de Taylor sea una buena aproximación local de la función original.
8. Otros resultados y alcance del cálculo diferencial El Teorema del Valor Medio y la Regla de L’Hôpital para calcular lı́mites son algunos de los resultados relevantes que se estudian comúnmente en el Cálculo Diferencial en funciones reales de una variable real. Primeramente, el Cálculo Diferencial es útil para pasar al estudio del Cálculo Integral mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, y luego algunas extensiones se pueden encontrar en el Cálculo de Varias Variables, el Análisis Complejo o más allá en temas como el Análisis Funcional, además de que resulta ser la base de cualquier tema que involucre el concepto de derivada, como las Ecuaciones Diferenciales (Ordinarias y Parciales).
Finalmente concluí el último paso burocrático para comenzar a estudiar la maestría el próximo mes de septiembre en la Universidad de Edimburgo, en Reino Unido. El programa es el MSc in Mathematical Physics, que en particular me interesa porque está directamente enfocado a la física matemática y quisiera buscar la opción de luego integrarme al programa de PhD y al grupo de física matemática.
Estatua de James Clerk Maxwell en George Street, Edimburgo Fuente: www.henniker.org.uk Una interesante historia sobre Maxwell, su casa y su estatua: aquí
En esta entrada escribo un poco sobre mi experiencia con todo el proceso, esperando tanto motivar como prevenir a quien esté interesado (aunque para obtener motivación lo mejor seguramente es hablar con alguien que ya ha vivido la experiencia, también está la cuestión sobre si hacer esto para maestría o hasta doctorado, etc). Por supuesto esto es para mexicanos y hago referencia principalmente a maestrías, al Reino Unido, a la Universidad de Edimburgo, y en particular me interesa más llegar a físicos, matemáticos o interesados en ciencia básica. También me referiré a las becas CONACYT al extranjero. De cualquier modo esto también puede dar una idea a quien apenas se está interesado en general en estudiar un posgrado (ya sea maestría o doctorado) en el extranjero.
Como yo, otros estudiantes, sociedades de estudiantes, ex-estudiantes u otros individuos han escrito antes al respecto, así que la información de este tipo (i.e. de consejos/ sugerencias/ comentarios) en la red abunda y evidentemente ésta es sólo mi opinión y nada más. También debes tomar en cuenta que los detalles de este tipo de procesos están en cambio constante; esto no es una guía exhaustiva.
Utiliza la siguiente lista expansible para ver las distintas secciones.
El procedimiento en general
Toma tu tiempo Lo primero a tomar en cuenta es el tiempo de anticipación con el que debes comenzar. En mi caso me llevó un largo año todo el procedimiento, pero al menos por lo que he visto, 6 meses desde que uno egresa e inicia con todos los trámites de titulación deberían bastar, incluso posiblemente menos en ciertas circunstancias, yo simplemente fui desafortunado.
En la UAM las licenciaturas duran 4 años, así que si entras en algún mes de septiembre y terminas a tiempo, igualmente egresas en algún septiembre. Todo el problema acá es puramente burocrático, en lo que te entregan tu título, te postulas para ingresar a la universidad, arreglas documentación migratoria, etc... Mi plan original era buscar ingresar a la Universidad de McGill en el mes de enero, pero simplemente no encontré becas o algún apoyo financiero.
Como sea, hasta donde tengo entendido también hay otras formas de no perder tiempo en otros esquemas como las becas Fullbright para EEUU, quizá el detalle, en general, es que tienes que estar completamente seguro de que vas a terminar tu licenciatura (seguido también debes poder probarlo) y que tendrás tu título a tiempo. Otro problema es que tendrías que lidiar con en este tipo de trámites mientras intentas concluir la licenciatura y/o escribir una tesis, etc.
Requisitos académicos Como requisito académico tienes que pensar principalmente en tener un buen promedio y en satisfacer el requisito de idioma, que casi siempre es el inglés, seguido aunque vayas a algún país de habla hispana. Además de esto se necesita estar titulado o en proceso de titularse y contar con referencias que puedan recomendarte.
El requisito del promedio, contrario a lo que se podría pensar, usualmente no es demasiado, normalmente lo mínimo que piden las universidades británicas a estudiantes mexicanos es 8 y podría variar quizá a lo más hasta un 9. Igualmente el requisito mínimo para obtener una beca CONACYT es de 8. De cualquier modo toma en cuenta que tendrás más posibilidades de ingresar a la Universidad y programa que te interesa y de conseguir apoyo financiero entre mejor sea tu promedio.
También parece que no es usual tener que presentar algún examen de admisión extra, al menos no para Reino Unido ni Europa, contrario e.g. a EEUU para el que normalmente solicitan GRE, que tiene cierto costo y (al menos cuando yo me informé) tiene pocas fechas de aplicación (al menos el GRE Subject, que suele ser el importante). Como sea, es posible que haya otros aspectos que sean relevantes y que permitan comparar tus aptitudes con las de aspirantes de otras partes del mundo, como proyectos de investigación, trabajos de titulación, eventos atendidos, etc...
Requisitos monetarios En general, estudiar en el extranjero es carísimo. En el Reino Unido el costo de matriculación puede ir desde £15,000 (GBP) anuales, que equivale a alrededor de \$370,000 (MXN) hasta £25,000 que equivale aprox a \$600,000; el costo de vida son alrededor de £800 mensuales (supuestamente viéndome moderado) fuera de Londres, que equivale a alrededor de \$20,000 y aprox £1,000 en Londres, que equivale a alrededor de \$25,000. Y el escenario es bastante parecido para cualquier otro país, así que si tienes los recursos, pues muchas felicidades; de otro modo, abundan las oportunidades de apoyo (en muchas ocasiones completo, matrícula y manutención), así que esto no es una barrera infranqueable.
Lo cierto es que al menos debes prever cierto gasto para todo el proceso, como el requisito de idioma, examenes o pruebas extra, traducciones, tu título mismo, el Visado y/o requisitos de inmigración, y si tu apoyo no lo incluye, el boleto de avión.
Los pasos a seguir A muy groso modo, mi proceso fue así:
Examen de idioma (IELTS)
Septiembre 2014
Admisión a UoE
Noviembre 2014
Solicitud beca CONACYT
Febrero 2015
Respuesta beca CONACYT
Mayo 2015
Proceso Migratorio 1 (ATAS)
Junio/Julio 2015
Proceso Migratorio 2 (Visa)
Julio/Agosto 2015
y en efecto uno puede comenzar todo los primeros meses del año y seguramente no tendrá mayor problema, sólo hay que tener en cuenta los documentos necesarios que también llevan tiempo, como el título, y ya está.
Este proceso general también puede variar dependiendo el esquema de apoyo que elijas; hay becas que te acobijan bastante y no te dejan solo en ningún paso. Algunas de éstas son Fullbright para EEUU, DAAD para Alemania, Erasmus Mundus para Europa o Chevening para Reino Unido; el único detalle es que para la mayoría se tiene que aplicar con alrededor de un año de anticipación. Incluso dentro de la Física hay programas como el de Perimeter Institute en que el propio instituto te paga todo. Yo no puedo recordar por qué no apliqué para una Chevening y eso me fastidia; usualmente el apoyo es significativamente mayor al que provee CONACYT, así que infórmate bien y al final recuerda que "lo peor que puede pasar es que te digan que no" ;-)
No te quedes sin plan B Éste es un punto al parecer obvio, pero yo no lo hice y sufrí infernalmente estos últimos meses porque básicamente si mi Visa hubiera sido rechazada, hubiera también considerado terminar de una vez por todas mis aspiraciones de una carrera académica. En general seguramente la situación no será tan drástica pero a nadie le gusta perder el tiempo.
El proceso, así de largo como es, no es 100% seguro hasta que no has llegado al último paso, desde que puedes no obtener la calificación deseada en el examen de requisito de idioma hasta que pueden negarte el visado por alguna metida de pata que cometas. Así que con plan B, me refiero a una opción de posgrado nacional, si es que quieres seguir con ese camino sin importar en dónde (en mi caso con la física y las matemáticas).
En mi caso las opciones nacionales que tenía eran excelentes, así que no perdía demasiado si me quedaba en el país (sólo hubiera gastado un año más de cursos, pues aquí la duración usual de la maestría son dos años). Primero, tenía por supuesto la opción de continuar en la UAM-I, e incluso tenía también pase directo por promedio a la maestría en ciencias físicas de la UNAM, aunque estaba aferrado a hacer la transición hacia las matemáticas, así que descarté ambas opciones; las otras dos que tenía eran la maestría en matemáticas básicas del CIMAT en Guanajuato y el posgrado conjunto en ciencias matemáticas de la UNAM/UMSNH en Morelia, a las cuales no apliqué al final por el gasto que representaba ir a realizar los examenes/cursos de admisión correspondientes.
Así que toma en cuenta esto, junto con el gasto que podría representar y no te quedes sin un colchón en qué caer.
El requisito de idioma
One language to rule them all Obviamente dependiendo de en qué país quieras realizar tus estudios tendrás un distinto requisito de idioma. En particular si quieres irte con apoyo de CONACYT, me parece que el idioma inglés es requisito obligatorio independientemente del país de destino, aparte del requisito de idioma local e independientemente de si es un país de habla hispana.
Los exámenes de inglés Las opciones predilectas para evaluar la competencia que uno tiene con el idioma inglés son los exámenes estandarizados TOEFL y IELTS.
En términos generales, la versión gringa es el TOEFL y la versión británica es el IELTS. Presuntamente el TOEFL en los últimos años enfrentó problemas de credibilidad y ha sido en mayor grado reemplazado por el IELTS, así que lo mejor es que antes te informes bien qué examen te conviene o debes presentar (también hay otras opciones).
En general el IELTS es un examen complicado, más por el examen mismo que por el idioma, y al menos por comentarios que me hizo un colega que preparó también el TOEFL, es significativamente más difícil que este último. Como sea, si tienes un nivel al menos intermedio de inglés, lo más seguro es que no tengas problemas mayores para obtener el puntaje mínimo que requieras, simplemente tendrás que preparar el examen per se y ya está.
Hace casi un año ya, cuando recibí mis resultados del examen, escribí sobre él en esta entrada.
Otros idiomas En general suelen emplearse exámenes estandarizados, e.g. revisa esta lista de Wikipedia.
La admisión
Buscar opciones Buscar información hoy en día es de lo más sencillo. Busca la mayor información posible sobre los lugares que te interesen y compara. La decisión final que tomes dependerá de lo que quieras y de tus circunstancias particulares, para esto te puede aconsejar tu tutor de la licenciatura o algún otro académico a quien le tengas confianza. Igualmente si cumples con los requisitos, puedes aplicar a cuantas Universidades quieras (a veces incluso a varios programas dentro de una Universidad) y asegurar un lugar en todas.
Cumplir requisitos En general los requisitos serán como los mencioné en el punto 1: promedio, aptitudes de idioma, recomendaciones académicas, título o constancia de título en trámite y que al menos tengas idea de cómo sufragar tus gastos. Además necesitarás traducciones certificadas por un perito traductor, mismas que seguramente te volverán a servir más adelante. El nivel y/o detalles de cada uno será en general distinto dependiendo del programa y Universidad a los que aspiras y podrían haber requisitos extra. Si vas a un programa de PhD, igualmente es probable que necesites hacer otras cosas como contactar a posibles asesores y/o plantear una propuesta de investigación.
Esperar respuesta No suele ser tan tardado recibir respuesta de la Universidad una vez enviada la solicitud de ingreso, quizá por mucho un mes, aunque igualmente dependerá de los estándares de la Universidad. Igualmente acá, si envías tu solicitud con mayor tiempo de anticipación, mejor.
Obtener financiamiento
Buscar opciones Existen muchas formas de financiar un posgrado fuera del país. La mejor es obviamente la de las becas completas, aunque a pesar de la amplia oferta, no todas aplican al caso propio, así que lo mejor que puede hacerse es explorar todas las oportunidades para tomar una mejor decisión.
También, no siempre uno accede a una beca luego de haber sido aceptado en una Universidad, hay algunos esquemas que te dan seguimiento desde antes y ellos mismos se encargan de todo el papeleo.
CONACYT Ésta es quizá la forma más popular para estudiar un posgrado y aplica principalmente para quienes quieren estudiar en áreas relacionadas con la ciencia y la tecnología, aunque no está restringido a las mismas.
El acceso a las becas al extranjero es por concurso y hay dos convocatorias generales al año, la primera se abre de alrededor de febrero a abril y la segunda de alrededor de abril a junio. Además de éstas hay otras convocatorias que se abren en convenio con otras organizaciones o entidades federativas y puede ser que seas elegible. Toda la información se encuentra en el sitio web de CONACYT.
Ingresar una solicitud es bastante sencillo y quizá lo único latoso es batallar con el sistema aparentemente programado en los noventas al tratar de llenar los formatos (al menos como me tocó; espero que pronto sea distinto).
El apoyo que brinda CONACYT es significativo y en gran cantidad de ocasiones puede cubrir totalmente tanto la matrícula como manutención, que si bien probablemente no alcance como para darse lujos, al menos seguramente es suficiente para permitir estudiar tranquilamente (o ya estaré contando lo contrario dentro de unos meses). Si obtienes una beca de CONACYT, debes tener en cuenta que los recursos que obtendrás son federales, i.e. básicamente todos los contribuyentes mexicanos van a estar pagando tu educación superior. Acá la discusión sobre los fondos de CONACYT se puede extender muchísimo y seguramente aunque el apoyo es casi como una bendición con la que no cuentan los estudiantes de muchos otros países, seguramente las cosas podrían ser mucho mejores no sólo en el tema de las becas (nacionales como internacionales) sino en general en el espectro más amplio de actividades que realiza CONACYT.
Finalmente también puedes buscar complementar la beca de CONACYT con otras becas externas como las que ofrece la propia Universidad a la que aspiras; esto casi seguramente es mucho más sencillo para estudios de doctorado que para maestría. Como sea, lo único que tienes que buscar es que sea compatible con CONACYT, lo que finalmente se traduce a que no provengan de recursos federales (a menos que sean explícitamente becas de complemento, como la de la SEP).
Préstamos En mi opinión ésta es la última opción a considerar, aunque la puedes ponderar si consideras fuertemente que tus estudios al final te van a devolver lo invertido y más (o sea que si quieres ser académico mejor ignora esta opción ;-). El punto de los préstamos es que usualmente las tasas de interés son inmejorables y los plazos son muy largos. El préstamo más famoso es casi seguramente el de FIDERH.
El proceso de inmigración
Visas Éste es casi seguramente el último paso que tendrás que realizar para ya tener todo asegurado. El proceso debería ya de ser un mero trámite y seguramente el paso más sencillo de todos. Pues en el caso del Reino Unido es un infiernillo ;-) o al menos así me pareció, quizá más por la información que ronda en la red y demás que por otra cosa.
Es casi seguro que independientemente del país al que vayas tendrás que tramitar una Visa de estudiante (en Reino Unido uno como turista mexicano no requiere Visa) y el procedimiento por supuesto variará ampliamente dependiendo del país.
Para el caso de Reino Unido toma en cuenta los puntos siguientes.
ATAS Academic Technology Approval Scheme. Este requisito es relativamente nuevo; lo introdujo el gobierno británico en 2007 para "prevenir la difusión fuera del Reino Unido de conocimientos y habilidades que puedan usarse para construir y distribuir armas de destrucción masiva".
Pues eso. El ATAS es un certificado de autorización para estudiar ciertos programas que podrían ser "sensibles"; en mi caso es un tanto bobo que se requiera ATAS para estudiar Física Matemática, pero bue... El trámite es gratuito y sólo hay que llenar un formato en línea; tu Universidad te informará si necesitas el certificado una vez que tengas una oferta y te indicará más sobre cuándo lo puedes tramitar, etc.
Este trámite de menos lleva 20 días hábiles; en mi caso llevó algo así como 1 mes con 1 semana y tuve que contactar a la Universidad para que me respondieran. Éste es la verdadera patada en las pelotas, además de que en la red abundan historias trágicas en las que el certificado tarda más de 3 meses. Quizá sea un mito o no, pero es posible que esto dependa del país de procedencia de uno, en el caso de México es muy probable que no haya problema y tarde alrededor de un mes; como sea si tienes este requisito debes tomarlo en cuenta con buen tiempo de anticipación porque también lo necesitarás en el trámite de la Visa.
Mensaje en un foro del sitio www.thestudentroom.co.uk (donde abundan historias de terror de ATAS de 3 meses)
La Visa Nivel 4 Ya finalmente si el ATAS puede ser un puntapié en las pelotas por el temor a lo tardado y a los errores pequeños de porque si pusiste X cuando debía ser Y, la Visa es todavía peor (si te preguntabas si existe algo peor, pues así es), y todo se intensifica porque es el último paso, sabes que es el más bobo, pero aún así podría dejarte ahogado en la orilla. Aunque al final también llegué a la conclusión de que ese sufrimiento no sólo fue innecesario sino además causado por agentes externos que uno deja que lo influencien (y no digo que el malo sea el otro sino más bien lo es uno mismo).
Vale, la categoría de Visa británica para estudiante es la Nivel 4 (o Tier 4), que además distingue ciertas subcategorías. En general, y a muy groso modo, lo que se requiere para obtener la Visa Tier 4 es ser un estudiante genuino y probar que tienes recursos suficientes para sufragar los gastos de tus estudios. De cualquier modo, aquí el diablo también está en los detalles y hay muchos que pueden hacer que metas la pata en serio (como mal comprobar dinero, no enviar documentación necesaria, etc). La guía completa se encuentra en este sitio, y aunque ahí básicamente se encuentra toda la información necesaria, es bastante difícil navegar el desgraciado documento. En mi caso, me apoyé también con este documento de la UoE que tiene toda la información bastante bien condensada. Igualmente, si no cuentas con algún servicio de asesoría, para dudas concretas lo mejor que puedes hacer es contactar al departamento de inmigración de tu Universidad, ya sea por email o por mensajes instantáneos en Outlook o el servicio que utilicen, ellos sabrán asesorarte y al menos en la UoE todos fueron suficientemente oportunos y amables.
Finalmente, no te preocupes de más por detalles estúpidos. Bueno, un pequeñillo problema con esta aserción es saber cuál es un detalle estúpido. En mi caso fueron los siguientes:
Me registré con la subcategoría Tier 4 (General)(Sponsored) Esto quizá fue lo que más me atormentó, pues vi en foros como en los grupos de facebook y blogs como el de KCL que la categoría que uno debería elegir es Tier 4 (General). Vale, pues no sé si esto cambió recientemente, porque casi siempre que leí esto se mencionaba que "Sponsored" es para becarios Chevening, cuando en realidad ahora a ellos les corresponde la categoría Tier 4 (UK Government Scholarship). Finalmente parece que no hay diferencia entre (General) y (General)(Sponsored), siempre que si eliges la segunda cuentes con un Official Financial Sponsor (en mi caso fue completo, si tienes duda, contacta a tu universidad). Hasta ahora la única diferencia con mi Visa es que señala Type TIER 4(GENERAL(S)) STUDENT.
Mi traducción no tenía fecha Sólo requerí traducción certificada de mi título. Uno de los lineamientos de las traducciones es que incluyan la fecha de traducción, y pues nada, la mía no lo incluía y lo noté hasta luego. Como sea, incluía el resto de elementos necesarios.
La cantidad mensual reportada en el formulario En el formato que debe llenarse en línea se pregunta "How much funding GBP(£) per month do you have to cover your the maintenance charges?", con el error de dedo y todo. Aquí la cantidad que uno debe reportar debe ser mayor o igual al mínimo que uno debería tener por mes, digamos en este caso X, que fue la que yo reporté; al final esta cantidad no será relevante porque lo que importa es que uno demuestre, ya sea con la carta del patrocinador financiero o con estados de cuenta, que tiene tal cantidad disponible para 9 meses, es decir, uno debe probar 9X y eso es lo verdaderamente relevante. El punto es que seguido leí que uno debería tomar la cantidad anual de CONACYT, dividirla entre 9 y reportar esa cantidad, que en el caso de una beca completa será mayor a X. Esto seguramente funciona por la razón que acabo de dar, sin embargo no es relevante, lo que importa es reportar una cantidad mayor o igual a X y ya está.
Vale, pues éstas son las que recuerdo que más me perturbaron. Algo que puede ayudar a discernir entre errores estúpidos y metidas de pata reales es este documento. Con esto tampoco quiero sugerir que se tomen las cosas a la ligera, procura ser lo más preciso posible, simplemente si dudas sobre algún detalle que se pueda considerar pequeño, no te preocupes de más.
Como recursos extra está e.g. el blog de la sociedad mexicana de King's College London, que está muy completo y puedes hacer preguntas a mexicanos que ya pasaron por esto. Ya concretamente si necesitas asesoría, hay varias asociaciones como Accross The Pond que te pueden ayudar de manera gratuita desde cero (también hay otras no gratuitas, pero ya queda la elección a discreción personal) o incluso agentes de las mismas universidades; yo no usé ningún servicio de asesoría pero quizá me hubiera ahorrado muchos ratos de incertidumbre y estrés innecesarios.
El ateísmo no es en mí resultado de algo, y mucho menos un acontecimiento de mi vida; para mí, el ateísmo es una cosa instintiva. Soy demasiado curioso, demasiado problemático, demasiado pedante para contentarme con una respuesta burda. Dios es una respuesta burda, una falta de consideración para con nosotros los pensadores, incluso, no es más que una burda prohibición que nos hacen diciéndonos que no debemos pensar.
- Friedrich Nietzsche, Ecce Homo (I, Por qué soy tan inteligente)
Cuando leí por primera vez a Nietzsche en El Anticristo, éste causó en mí una impresión tremenda con su tono agresivo y sus comentarios particularmente agudos sobre el cristianismo. La cita de Ecce Homo que he escrito arriba es ciertamente una de mis favoritas y me parece que representa bien el hecho de que para muchos de nosotros la idea del Dios convencional (elegir aquí a su favorito) es una que ni siquiera merece consideración seria por ser lógicamente inadmisible por definición; es una respuesta burda, la salida fácil a cualquier pregunta que se le escape una respuesta racional. Vale, eso parece obvio, pero precisamente las razones por las que los creyentes creen en un Dios convencional son completamente ajenas al pensamiento racional, aunque luego intenten justificarlo racionalmente y se embarquen en debates imposibles de ganar [objetivamente, me refiero, pues al final queda la cuestión de quién juzga ;-)].
No parece descabellado conjeturar que la correlación de las creencias entre ciertos individuos y sus familiares es casi perfecta; a su vez éstas parecen estar determinadas en su mayoría por las creencias predominantes en la sociedad en cuestión: si eres Mexicana, muy probablemente eres católica, igual que tus padres, y a su vez, si en lugar de eso fueras Yemení, muy probablemente serías musulmana y vestirías un hiyab (o algún otro velo) con orgullo. Excluyendo entonces los casos en que un individuo se decide por un amigo imaginario distinto al predominante en su familia o región del mundo, ¿qué hace que surjan ovejas negras que descartan al Dios convencional?
En esta pequeña publicación web, la autora aborda la cuestión:
We examined with functional magnetic resonance imaging the brain activity of 12 supernatural believers and 11 skeptics who first imagined themselves in critical life situations (e.g. problems in intimate relationships) and then watched emotionally charged pictures of lifeless objects and scenery (e.g. two red cherries bound together). Supernatural believers reported seeing signs of how the situations were going to turn out in the pictures more often than skeptics did. Viewing the pictures activated the same brain regions among all participants (e.g. the left inferior frontal gyrus, IFG). However, the right IFG, previously associated with cognitive inhibition, was activated more strongly in skeptics than in supernatural believers, and its activation was negatively correlated to sign seeing in both participant groups. We discuss the implications of these findings for research on the universal processes that may underlie supernatural beliefs and the role of cognitive inhibition in explaining individual differences in such beliefs.
que se puede traducir como
«¿Es sólo un ladrillo en la pared o una señal del universo? Un estudio IRMf de creyentes de lo sobrenatural y escépticos» «Examinamos con imagen por resonancia magnética funcional la actividad cerebral de 12 creyentes de lo sobrenatural y 11 escépticos quienes primero se imaginaron a sí mismos en situaciones críticas de vida (e.g. problemas en relaciones íntimas) y luego miraron imágenes emocionalmente cargadas de objetos inertes y paisajes (e.g. dos cerezas rojas unidas). Los creyentes de lo sobrenatural reportaron ver señales de cómo las situaciones iban a resultar en las imágenes más frecuentemente que los escépticos. Ver las imágenes activó las mismas regiones cerebrales en todos los participantes (e.g. el giro frontal inferior izquierdo, GFI). De cualquier modo, el GFI derecho, previamente asociado con inhibición cognitiva, se activó más fuertemente en los escépticos que en los creyentes de lo sobrenatural, y su activación estuvo negativamente correlacionada con la visión de señales en ambos grupos de participantes. Discutimos las implicaciones de estos descubrimientos para la investigación de los procesos universales que podrían subyacer las creencias sobrenaturales y el papel de la inhibición cognitiva en explicar diferencias individuales en tales creencias.»
El artículo es de acceso gratuito y la única barrera posible es el idioma; como sea el resultado principal se puede resumir a que los escépticos pueden detener o invalidar ciertos procesos mentales (inhibición cognitiva) con más facilidad, desechando así información indeseada o irrelevante. Luego de ésto queda la cuestión sobre qué procesos hacen que los creyentes de lo sobrenatural vean señales en información irrelevante (i.e. que tengan poca inhibición cognitiva), así como la de cuáles son las razones que hacen que un individuo tenga una mayor o menor inhibición cognitiva.
En la parte de discusión, casi al final del artículo, los autores señalan:
Although people’s general inclination toward supernatural beliefs may be understood as a form of natural information processing, weak cognitive inhibition may explain why supernatural beliefs are not typical of everybody but especially of, for example, children, old people, creative individuals, intuitive thinkers, people in distress and with mental disorders, as well as during decreased sense of control and altered states of consciousness (...). Similarly, it is possible that, besides an implicit inclination toward supernatural interpretations, skeptics may have endorsed explicit supernatural beliefs at some point in their lives. We suggest that developmental increases in cognitive inhibition may be among the factors that contribute to the decline of these beliefs.
i.e.
«Aunque la inclinación general de la gente hacia las creencias sobrenaturales puede entenderse como una forma de procesamiento de información natural, una inhibición cognitiva débil podría explicar por qué las creencias sobrenaturales no son típicas de todos pero especialmente de, por ejemplo, niños, ancianos, individuos creativos, pensadores intuitivos, personas en sufrimiento y con desordenes mentales, así como durante un disminuido sentido del control y estados de consciencia alterados (...). De manera similar, es posible que, además de una inclinación implícita a las interpretaciones sobrenaturales, los escépticos podrían haber apoyado creencias sobrenaturales explícitas en algún punto de sus vidas. Sugerimos que el desarrollo de incrementos en la inhibición cognitiva podría estar entre los factores que contribuyen a la disminución de esas creencias.»
Así pues, la cuestión no es simplemente la de que los individuos puedan separarse en estúpidos y en poseedores de la verdad. En mi caso, como la gran mayoría de Mexicanos, fui inculcado la religión católica desde pequeño (aunque a un nivel muy moderado), y aún así desde una edad temprana empecé a cuestionar muchas cosas que me parecían evidente(mente absurda)s, desde cuestiones meramente religiosas como el sincretismo que implícitamente acarrea el guadalupanismo, hasta la idea misma del Dios del catolicismo. Pero esto es algo que se va desarrollando con la propia experiencia mediante innumerables factores y a través del propio ejercicio y crecimiento intelectual.
Como se resalta en el primer artículo web que cité (Why doesn't everyone...), este cambio usualmente surge más fácilmente cuando las propias creencias (usualmente estúpidas, o si se quiere, predispuestas y tendenciosas) chocan con nuestra situación de vida: e.g. ser inculcado principios altamente homofóbicos y descubrirse eventualmente uno mismo como alguien con preferencias homosexuales. Como sea, en última instancia las creencias religiosas son probablemente las más complicadas de inhibir, además de que algunas religiones como la católica están renovando sus valores continuamente a modo de ser más amigables y de retener la mayor cantidad posible de adeptos (con esto no quiero decir que las fundamentalistas sean a su vez más deseables).
Es más fácil llegar a la obviedad de que dos (o más) personas que conscientemente han elegido estar juntas y ser felices deberían tener el derecho a estarlo y serlo, independientemente de su género, que entender que la idea de un Dios convencional es fundamentalmente obtusa.
Finalmente, en general, todos vemos el mundo a través de nuestros prejuicios, sean religiosos, de género, de raza, o ante cualquier decisión mundana que hemos de tomar, nos guste o no; el punto es que tenemos la capacidad de trascender estos prejuicios como mejor corresponda empleando nuestro intelecto, además de poder desarrollar esta capacidad con la experiencia propia o una educación consciente.
How do you teach someone to understand math when they are capable but unwilling to do so? (¿Cómo le enseñas a alguien a entender las matemáticas cuando es capaz pero renuente de hacerlo?)
y aunque cuenta con muchas respuestas disponibles (29 en este momento), quisiera compartir una de ellas (hasta ahora la que tiene mayor cantidad de votos), dada por el usuario Ittay Weiss. Mi único propósito acá es mostrar la discusión en español. En la pregunta básicamente se plantea la situación de una hermana menor que, sin problemas de incapacidad mental, no aprende matemáticas básicas; el hermano le quiere explicar cómo calcular la circunferencia de un círculo y en última instancia el significado geométrico del número $\pi$.
La respuesta que me interesó es entonces la siguiente:
Si uno no quiere hacer algo, entonces no podrá hacerlo. La pregunta es cómo superar cualquier resistencia y problemas que uno tiene, en este caso, con las matemáticas. De la conversación anterior (planteada en la pregunta sobre la circunferencia y $\pi$), puedo hacer algunas recomendaciones. Primero, evita hacer preguntas sencillas para las cuales la respuesta es obvia para ti y debería ser obvia para el alumno. La razón es que podría no ser obvia, y el alumno, presintiendo la naturaleza elemental de la pregunta por el tono de tu voz, tratará de adivinar rápidamente y muy probablemente se equivocará, forzando un irresistible refunfuño de tu parte, lo que indicará al alumno... sólo cosas malas. Cuando el estudiante está teniendo dificultades psicológicas, lo mejor es evitar tales preguntas y en su lugar procurar involucrar al alumno pidiéndole que ratifique cosas que sabes que deben ser triviales (algo como "entonces éste es el radio del círculo, ¿cierto?" mientras lo señalas. Luego puedes seguir con "¿y qué será ésto?", apuntando al diámetro, y quizá inmediatamente añadiendo "bueno, no puede ser el radio ya que ése era este individuo por acá, entonces esto debe ser el diámetro..." etcétera).
En cuanto al problema particular con $\pi$, de hecho es algo para nada trivial. Primero, está el problema de comparar "dividie la circunferencia por el diámetro, mira, casi tenemos 3.14, eso significa que el diámetro cabe en la circunferencia $\pi$ veces" con "divide 10 manzanas por 2 personas, cada una tiene 5, entonces 5 manzanas caben en 10 dos veces", que es problemático. ¿Qué demonios significa $\pi$ veces? La intuición cuantitativa que la mayoría de estudiantes tiene para multiplicar números naturales se va al caño cuando continúan a los números reales que no son fracciones. La manera usual de 'resolver' esto en las escuelas es atiborrando a los alumnos con interminables cálculos con expansiones decimales hasta que los estudiantes creen que lo entienden. Por supuesto, muchos estudiantes entonces insistirán que $0.999\ldots\neq1$, lo que muestra cuán inefectivo es este método para entender qué son los números reales.
Luego, hay otra cuestión. El hecho de que para todos los círculos la razón de la circunferencia con el diámetro es una constante es lejos de ser obvio, tampoco es una cuestión trivial el dar una demostración de este hecho. Incluso, recuerdo que cuando en la escuela se nos daba la fórmula $c=\pi{d}$, realmente no entendía por qué era cierto, y dado que se pretendía que era algo obvio, sentía que estaba siendo estúpido por no ver por qué era cierto. Entonces si uno presenta la fórmula $c=\pi{d}$ como algo que debe ser claro, es un problema. No es claro. Sólo se vuelve 'claro' para aquellos estudiantes yendo por el sistema siendo atiborrados sin fin con la fórmula hasta que creen que la entienden. Lo que yo hago es definir $\pi$ como la circunferencia del círculo de diámetro 1 o como el área del círculo de radio 1. Luego puedes discutir el extraño comportamiento de la longitud (i.e., que es extremadamente sensible a pequeñas perturbaciones y que sólo es semicontinua inferiormente) y tratar de convencer al estudiante de que $\pi=4$ e inmediatamente mostrar que debe ser menor a 4 por diversas aproximaciones geométricas. Luego una rápida discusión sobre la estabilidad del área comparada con la longitud, de modo que deberíamos preferir la definición de $\pi$ por medio del área. Luego viene la fórmula no-trivial $c=\pi{d}$. Ahora no es sólo una fórmula vacía, si no algo que lleva un significado.
Finalmente, el aprendizaje llega cuando el estudiante quiere aprender. La motivación puede llegar de diferentes fuentes y por diferentes razones. A veces, el estudiante no está motivado. No es gran cosa. No hay razón para esperar que alguien esté interesado en algo sólo porque alguien en la escuela decidió que debe estarlo. No saber qué es $\pi$ nunca ha matado a nadie. Y, la mejor manera de crear y reforzar problemas con las matemáticas es presionando al estudiante cuando éste no está interesado. Puedo confesar que yo básicamente odiaba las matemáticas en la escuela debido a la forma en que se enseñaban (y aún se enseñan). Cuando me motivé, que fue cuando me topé con las matemáticas de nivel universitario por medio de un libro que encontré, muy rápidamente aprendí lo que no sabía. Encontrarás que todo el material enseñado en la escuela se resume a muy poco, y que puede ser comprendido bastante rápido si uno está motivado.
También son interesantes un par de comentarios sobre la respuesta (los más altamente calificados):
- (Comentario del usuario raindrop) "Cuando me motivé, que fue cuando me encontré con las matemáticas de nivel universitario por medio de un libro que encontré". Yo realmente quiero que los niños estén rodeados de libros de nivel universitario. Es importante para los niños al menos saber que una gran cantidad de cosas son explicadas en esos libros. Cuando era joven, ni siquiera sabía que podía encontrar explicaciones a las cosas en los libros universitarios. La gente no simplemente le da libros universitarios a los niños de 10 años, pero ésta es una actitud equivocada. Exponer a un niño a libros universitarios puede motivarl@ a amar el aprendizaje muy intensamente.
- (Respuesta de Ittay Weiss) Yo una vez, por un periodo corto de tiempo, fui tutor de una niña de 10 u 11 años. Estaba muerta de aburrimiento con el contenido de la escuela. Entonces, tomé una naranja y comencé a tallar figuras en ella. Ella se fascinó al encontrar que todas esas cosas que le dijeron que eran verdad, en realidad eran falsas. Ella entonces fue a la cocina, regresó con toda la fruta que pudo encontrar y experimentó con la geometría no-Euclídea. No necesariamente se necesitan libros universitarios para involucrar a los niños. Sólo necesitas mantenerlos alejados de la basura curricular estándar de la escuela y los libros.
El fenómeno de la moda de la exposición de Yayoi Kusama en el Museo Tamayo me ha provocado querer escribir esta entrada. El arte es seguramente uno de los elementos propios de la vida humana que proporciona un sentido superior y extraordinario de experiencia, y por ello no es de sorprender que lo popular, lo vulgar y lo escatológico adquieran exactamente el mismo sentido cuando se habla de arte.
Un mes atrás, la conocida crítica de arte Avelina Lésper escribió esta opinión sobre la exposición de Kusama: "El centro de la dona". Las líneas de la opinión de Lésper que me parece capturan la esencia de lo que discute, son:
Los individuos quieren ser populares, ser trending topic, tener miles de amigos y eso se consigue con simpatía. Por eso es absurdo que esta obra no se asuma como el pretexto comercial enajenante que es y la sitúen en un museo, le den una infraestructura intelectual y la llamen arte. Deberían llevarla a sus últimas consecuencias, liberarla de las estrecheces institucionales, pintar con el mismo estilo el centro de convivencia infantil y la montaña rusa, poner animadoras y payasos mostrando la exposición disfrazados de Kusama, invitar a los asistentes a una alberca de pelotas, con observadores psiquiatras, sociólogos y antropólogos que hagan un estudio de lo que está pasando con el arte.
Por supuesto cualquiera es libre de consumir cualquier basura que se le dé la gana, y además, de disfrutarla; de cualquier modo, puedo identificar que el asunto deja de ser inocuo cuando esa basura se institucionaliza y se intelectualiza. Lo primero se hace en sociedad con cualquier cantidad de cosas y, en general, hoy en día cualquier cosa que pretenda adquirir relevancia social debe estar relacionada o pertenecer a alguna institución. Con lo segundo me refiero a lo que Lésper llama (dar) una infraestructura intelectual y (llamar) arte.
Discernir qué es arte y qué no, es casi seguramente más sencillo que distinguir la calidad del arte. Aunque ambos son procesos esencialmente subjetivos, al menos el primero involucra elementos inevitables. La misma Lésper, en su crítica al arte contemporáneo, "Matemos la belleza", escribe
La belleza es una demostración de talento y de inteligencia, de sensibilidad y de búsqueda creadora.
Al final el arte no es más que este tipo de belleza y los elementos inevitables en esta belleza artística son la demostración de un proceso creador que es a su vez sensible e inteligente. La obra de Kusama carece de esa sensibilidad e inteligencia, y como dice Lésper, es indistinguible de un circo o del sello de la imagen empresarial de Krispy Kreme.
Hay muchas formas en que quienes defienden el arte contemporáneo intentan presumir su validez como arte. Si se entiende como arte contemporáneo no sólo el arte reciente, sino el arte realizado mediante técnicas no-convencionales, yo no iría tan lejos como para decir que ninguna obra de arte contemporáneo califica como arte. De cualquier modo, hay interminables argumentos que pretenden justificar la validez de obras como la de Kusama como artísticas que fácilmente pueden disminuirse; el único que quisiera mencionar acá es el de la "profundidad en la abstracción" y el "trasfondo psicológico" que supuestamente muestran obras como la de Kusama.
En algunos comentarios he leído que la obra de Kusama es "complicada y profunda" y que por tanto es sorprendente que sea tan popular. El que una obra produzca sensaciones no la califica necesariamente como arte; es lo que se diría una condición necesaria pero no suficiente para que la obra posea belleza artística ;-) Estas sensaciones probablemente sean el factor principal que hace que se busque justificar lo artístico de la obra como algo abstracto que uno puede luego interpretar subjetivamente, pero la discusión seguramente puede volverse mucho más elaborada. Luego, de algún modo relacionado a esto, también he visto que se hace mucha alusión al supuesto trasfondo psicológico de Kusama; Lésper escribe:
Kusama aclara que los puntos y las variaciones Krispy Kreme de chispas de colores son sus alucinaciones, consecuencia de su conflictiva psique y su torturada vida, menciona anécdotas melodramáticas del hospital psiquiátrico como un hogar con facilidades psicotrópicas para la creación.
Al final lo que bien puede asegurar el Museo Tamayo, entre otros, es que ésto resulta comercialmente un éxito ;-)
Este tipo de discusiones seguido me parecen fútiles, sin embargo, con la descripción que di del arte como uno que proporciona un sentido superior y extraordinario de experiencia, me pareció oportuno escribir un poco aquí sobre ello.
Finalmente, aunque no es mi fuerte el tema, mantendré la esencia de este blog dejando ésto por acá:
Social trends or fashions are spontaneous collective decisions made by large portions of a community, often without an apparent good reason. The spontaneous formation of trends provides a well documented mechanism for the spread of information across a population, the creation of culture and the self-regulation of social behavior. Here I introduce an agent based dynamical model that captures the essence of trend formation and collapse. The resulting population dynamics alternates states of great diversity (large configurational entropy) with the dominance by a few trends. This behavior displays a kind of self-organized criticality, measurable through cumulants analogous to those used to study percolation. I also analyze the robustness of trend dynamics subject to external influences, such as population growth or contraction and in the presence of explicit information biases. The resulting population response gives insights about the fragility of public opinion in specific circumstances and suggests how it may be driven to produce social consensus or dissonance.
donde básicamente, Motl critica algunos 'métodos alternativos' para la enseñanza de las matemáticas diseminados en la República Checa. La primera entrada es particularmente larga, aunque la segunda no se queda atrás. Primeramente, a manera de disclaimer: al comenzar a escribir esta entrada pensaba titularla "La enseñanza de las Matemáticas en México", de cualquier modo, desconozco cómo se enseña Matemáticas en todo México y no estoy realmente calificado para abordar tal problemática, únicamente puedo discurrir desde una perspectiva personal. No pienso ser tan exhaustivo como Motl, pero al menos compartiré algunas ideas.
Métodos Alternativos La crítica que hace Motl es bastante convincente, al menos respecto a los métodos a los que se refiere. La médula de tales "métodos" es ablandar la enseñanza de las Matemáticas y eliminar parte del currículo que se enseña. Éste casi seguramente es un problema general (ahora sí preferiría referirme en particular a México) e incluso a nivel universitario, e.g. cuando se tajan los programas de estudio. De cualquier modo, aunque no precisamente éstos, la manera de enseñar Matemáticas y Ciencia, en general, creo que sí necesita cambios (aunque aparentemente Motl defienda la manera actual siempre) y enfrenta problemas que son evidentes incluso para quien no se dedica a las Matemáticas o a la enseñanza de las mismas.
Mayorías / Minorías y Talento Desperdiciado En uno de los comentarios, Motl dice:
"(...) it's still better to torture the kids who don't like mathematics than to risk that (almost) no one will learn those things."
(...) sigue siendo mejor torturar a los niños que no gustan de las Matemáticas que arriesgarse a que (casi) nadie aprenda esas cosas (Matemáticas "no-triviales").
y en buena parte así es, pero hay varios claroscuros. Es cierto que no todos los niños van a utilizar Matemáticas sofisticadas, pero eso no necesariamente implica que los otros deban ser torturados ni que entonces se deba sacrificar el contenido que se enseña. A menos que posean un diagnóstico adverso y extraordinario sobre su condición mental, los niños presuntamente son capaces de entender las Matemáticas del currículo de educación básica; seguramente el currículo no es perfecto, pero más que tratarse de Matemáticas demasiado avanzadas como para no poder ser comprendidas por niños, creo que el problema radica en cómo se enseña el currículo (lo que estrictamente buscaría cambiar un nuevo método), e.g. mediante memorización y repetición de técnicas superfluas para resolver problemas sin pensar, y esto ocurre no sólo con los niños que son considerados idiotas, si no que en muchos casos (al menos bastantes que conozco), los niños considerados brillantes terminan llegando a la universidad con promedio de 9.9 sabiendo derivar e integrar o cualquier otra sin tener idea de qué es lo que están haciendo. Más que diseñar una enseñanza blanda para las mayorías, se deberían diseñar métodos que motiven y eleven a la mayoría mientras potencian el interés y talento que puedan mostrar algunas minorías; al final ciertamente sólo los pocos estarán en la frontera de la investigación científica, pero eso no significa que el resto deba aletargarse con las cuestiones más básicas, justo como ocurre hoy en día.
Motivación y Creatividad Y tampoco creo que se trate de un problema de abstracción en los niños; erróneamente se tiene la idea de que la abstracción es casi inasequible y que todo se debe reducir a peras y manzanas para poder ser entendido (esto lo he apreciado incluso en profesores al tratar ciertos conceptos físicos). Es cierto que, en general, y al menos inicialmente, necesitamos asociar conceptos nuevos con los ya conocidos para poder entenderlos (y en cierto modo así es como se construyen las Matemáticas), pero eso no impide que se enseñen las cosas con cierto nivel de abstracción y sólo entonces se inculque al estudiante a estudiar y visualizar casos particulares (aún en la universidad, en los primeros cursos en las ingenierías, se ve a los estudiantes lidiando con un millar de problemas llenos de numeritos que luego con gran pericia éstos ingresan rápidamente a sus calculadoras para obtener sus resultados fútiles en tanto al entendimiento del mismo estudiante). De igual forma, el motivar el estudio de las Matemáticas únicamente por sus aplicaciones al mundo cotidiano es reducir el panorama de las Matemáticas abismalmente; la riqueza y belleza de las Matemáticas en sí mismas es en sí la única motivación, sólo luego entran las aplicaciones, de entre las que el estudiante puede elegir libremente.
En general, creo que lo más importante en la educación básica es dotar a los estudiantes de motivación para estudiar Matemáticas y Ciencia, no haciéndoles creer que todo es fácil y mutilando los programas de estudio, sino todo lo contrario, mostrando las grandes ideas así como los grandes problemas, desde la Geometría Euclídea y la Mecánica Newtoniana hasta las ideas de frontera en Física y Matemáticas (por supuesto con sus respectivos grados de profundidad). Por supuesto un niño no puede redescubrir por sí mismo tanto conocimiento acumulado y más bien el momento creativo en el proceso de aprendizaje puede llegar cuando un estudiante tiene que demostrar cierta proposición o dar ejemplos particulares de un principio y ver cuándo aplica o no o cuáles son las restricciones y cómo podrían librarse, etc...
Profesores que no son Matemáticos Otro problema que me parece latente es que muchos profesores que enseñan Matemáticas, no entienden las Matemáticas ellos mismos, simplemente se dedican a leer los cursos como recetas de cocina y ya está. Más que técnicas pedagógicas, lo que se requiere es que los profesores entiendan y se apasionen por las Matemáticas, al final todo el trabajo de entendimiento, motivación y creatividad ocurrirá en la cabeza del estudiante, pero el profesor, junto con el gran número de herramientas que se tienen a la mano hoy en día, tiene que ser capaz de plantar una semilla en el estudiante de donde germinen estos resultados.
Otra cuestión Hace poco más de una semana en el blog de David Mumford apareció este artículo:
sobre la vida y trabajo de Alexander Grothendieck, que inicialmente pensaban (junto con John Tate) sería publicado en Nature, pero que fue rechazado por ser considerado muy técnico. Lo menciono acá porque en cierto sentido está relacionado con la enseñanza de las Matemáticas, aunque ahora se trate no de niños, sino de científicos mismos (aunque Mumford sólo dice "biólogos" en el título, esto ocurre incluso, para mi pesar, con Físicos).
Mumford cierra la entrada de su blog diciendo:
"The sad thing is that this was rejected as much too technical for their readership. Their editor wrote me that 'higher degree polynomials', 'infinitesimal vectors' and 'complex space' (even complex numbers) were things at least half their readership had never come across. The gap between the world I have lived in and that even of scientists has never seemed larger. I am prepared for lawyers and business people to say they hated math and not to remember any math beyond arithmetic, but this!? Nature is read only by people belonging to the acronym 'STEM' (= Science, Technology, Engineering and Mathematics) and in the Common Core Standards, all such people are expected to learn a hell of a lot of math. Very depressing."
La parte triste es que esto fue rechazado por ser muy técnico para sus lectores. El editor me escribió que 'polinomios de grado mayor', 'vectores infinitesimales' y 'espacio complejo' (incluso números complejos) eran cosas con que al menos la mitad de sus lectores nunca se habían topado. El espacio entre el mundo en que he vivido y aquél incluso de los científicos nunca me había parecido tan grande. Estoy preparado para que abogados y gente de negocios me diga que odiaban las Matemáticas y que no recuerdan nada más que aritmética, ¡¿pero ésto?! Nature es leído sólo por personas pertenecientes a las siglas 'STEM' (por Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas) y en los estándares del Common Core (de los Estados Unidos), se espera que toda esta gente aprenda una gran cantidad de Matemáticas. Muy deprimente.
La charla (el vídeo) de Greg Moore, Physical Mathematics and the Future es del Strings 2014 (Visions Talk) y aunque ya tiene unos meses, decidí compartirla acá porque en el tiempo reciente he sido más consciente de este tema de la Física Matemática. En México, al menos para un estudiante de preparatoria interesado en la Física (ya no digamos un ciudadano lego, o incluso para algunos especialistas), la palabra "Física-Matemática" es sólo un sinónimo de "Física", pues lo que a él concierne, la Física está repleta de Matemáticas y listo. Pero la dicotomía por supuesto se vuelve evidente entrados algunos semestres de la carrera (incluso cuando uno dice cursar alguna carrera afín) y pareciera que son como agua y aceite cuando uno quiere involucrarse en serio con la otra.
La Física Matemática es básicamente el campo de estudio de la intersección de la Física y las Matemáticas; i.e. en donde ambos campos son de interés per se simultáneamente. Moore ofrece una discusión más amplia de la definición de la Física Matemática en este documento al que se refiere en su charla y aclara por qué prefiere emplear Physical Mathematics en lugar de Mathematical Physics, que es básicamente por la motivación prioritariamente física de las preguntas y metas planteadas.
La discusión de Moore es sumamente interesante y ofrece una perspectiva de dónde viene y hacia dónde se dirige la Física Matemática. Lo primero acerca del matrimonio y el divorcio de la Física y las Matemáticas es seguramente lo más notable y algo de lo que probablemente ya cualquiera interesado en la Física Matemática es consciente. En el documento in extenso lo discute al final y yo procuro verlo desde mi punto de vista; sé de poca gente en México que haga Física Matemática propiamente (e.g. Oscar A. Sánchez Valenzuela, si no menciono más es en mayor grado por ignorancia), ya sea que hagan Física o Matemáticas, seguido no se meten con la otra, y de hecho me parece que, contrario a lo que dice Moore, los matemáticos meten más libremente su cuchara en la Física que los físicos en las Matemáticas, sea cual sea la motivación que tengan; esto -supongo- porque seguido la intersección de la Física con la Matemática fácilmente puede estar presente aunque sea inadvertidamente (e.g. en QFT, en Geometría, en Topología, etc...), mientras que en el sentido opuesto es menos probable que sea así: aunque se trabaje con Matemáticas sofisticadas en temas de frontera en Física, uno no necesariamente estará avanzando en temas de interés Matemático.
De las cuestiones planteadas por Moore seguramente la más relevante es la de definir QFT y un punto que me parece sumamente interesante es el 5.6 relacionado a la geometrización o formulación geométrica de QFT. Relacionado con esto, un tema que es de mi interés, es TQFT (Teoría Cuántica de Campos Topológica o TFT en el punto 5.7), que en general podría responder qué es QFT y en particular se piensa puede arrojar un poco de luz en gravedad cuántica 4-dimensional (e.g. véase aquí para una discusión introductoria y amigable).
Además en la cuestión sobre Teoría M que menciona Moore en el vídeo, lo que me parece más interesante es Teoría de Cuerdas Topológica [diríase TST? ;-) punto 4.1.2] que de manera análoga a TQFT, supongo podría ser un acercamiento más sencillo y a la vez más general a Cuerdas (aquí unas notas breves). Finalmente, Moore destaca (en el vídeo) las estructuras algebraicas en Física Matemática (de lo que no sé casi nada pero igual parece bastante interesante; relacionado con esto es la charla de Miranda Cheng en el mismo Strings 2014 sobre Moonshine y Cuerdas).
Regresando al tema de la Física Matemática en México, y cerrando análogamente a como hace Moore, aunque no creo realmente necesario que un estudiante de preparatoria sepa particularmente qué es la Física Matemática, seguramente sería bueno que hubieran más grupos de trabajo decididamente enfocados a los temas que plantea Moore y que se abrieran puertas para estudios de posgrado enfocados directamente en esta área (seguido uno tiene que elegir entre un posgrado en Ciencias Físicas o uno en Ciencias Matemáticas, con un enfoque inclinado hacia una u otra área; en contraste, en el extranjero hay varios grupos y posgrados especializados, e.g. Simons Center, Perimeter Institute, Edinburgh, DESY-Hamburg, etc...); sólo queda trabajar para que esto pueda impulsarse un poco más al menos en el tiempo que se tenga vida ;-)
Acabo de recibir mis resultados del examen IELTS Académico con band 7.5 general (Overall y +6 en cada módulo). El examen IELTS es probablemente el examen preponderante del idioma Inglés actualmente, ya sea para trámites académicos (estudiar un grado o posgrado en el extranjero), personales o de migración. La información acerca del examen abunda en la red, así que no la reproduciré aquí.
Afortunadamente para quienes estamos interesados en estudiar un posgrado en ciencias básicas o ingeniería, la exigencia mínima de la calificación del IELTS es relativamente menor (si no la menor) respecto a otras áreas (comúnmente más de band 6 general y no menos de band 6 en cada módulo). Seguido se dice que el examen es complicado incluso para gente cuya lengua nativa es el Inglés, y casi seguramente así ocurre.
Preparando el examen estuve revisando muchos consejos sobre el examen y yo quisiera añadir (o comentar) algunos:
Prepararse para el examen con al menos un mes de anticipación Antes de esto se debe tener claro que el propio nivel al hablar, escribir, leer y escuchar Inglés debe ser al menos bueno; de no ser así, simplemente no hay forma de tener un buen resultado y antes se tendrá que subir de nivel en estas habilidades. Lo mejor es ser objetivo (sin menospreciarse tampoco) y trabajar en cada habilidad poniendo énfasis en la que se considere más débil sin descuidar las otras. Con esto, no queda más que practicar, y un mes probablemente sea suficiente: hay una gran cantidad de recursos en la red como exámenes prueba, videos, consejos y libros (éste es buenísimo), además de que muchos lugares ofrecen cursos de preparación (sobre todo para el Speaking y Writing) como International House, de duración aproximada de un mes.
Superar los nervios en el Speaking Module A la gran mayoría nos asusta tener que hablar Inglés en un examen (y más si una parte es hablar durante 2 minutos sin pausa) simplemente porque rara vez lo hablamos en absoluto. Si se tiene un nivel suficiente, probablemente si se intenta hablar con algún amigo en un ambiente casual, se logrará sin problemas; el detalle está en tener que hablar con alguien completamente desconocido, en un examen en el que te observan con lupa y a la vez procurar hacer relucir un Inglés más formal. También aunque las preguntas son completamente casuales y referentes a la propia experiencia, suelen ser preguntas que uno jamás se hace y a las que puede volverse complicado exprimir una respuesta decente. Esto y más usualmente se acumula en una quimera infernalmente aterradora, por lo que seguramente será imposible evadir los nervios antes del examen [y tal vez un trauma post-examen por unas horas aunque lo hagas bien: mi experiencia ;-) ]. Lo verdaderamente importante es poderse dominar durante el examen (que dura sólo 11 a 15 minutos) y sacar una buena actitud aunque se llegue a cometer errores, el punto es no estancarse y hundirse solo: de algún modo ésta también puede ser una prueba psicológica. Se debe procurar hacer uso de la mayor cantidad de buenos consejos y confiar en que uno lo hará bien: aunque no se puedan evitar los nervios, simplemente se les debe dominar, no hay más.
Entrenar el oído a escuchar cualquier acento El IELTS es famoso porque usualmente se emplea todo tipo de acento en el Listening Module: británico, neozelandés, escocés e incluso no-nativo como hindú, etc., así que se debe procurar acostumbrarse a cualquier acento, i.e. practicar la mayor cantidad de exámenes de prueba de Listening posibles.
Si quieres realizar estudios de grado o posgrado, pon atención a Reading & Writing Lo ignoraba antes, pero el reporte del IELTS contiene esta leyenda:
"Admission to undergraduate or post graduate courses should be based on the ACADEMIC Reading and Writing Modules"
Esto no significa que se descuide cualquier otro módulo, pues usualmente se pedirá una calificación mínima en cada uno, simplemente que se debería procurar obtener las mejores puntuaciones en Reading & Writing. Esto probablemente es realmente importante e.g. si se intenta entrar a un (pos)grado muy competido y parte los competidores potenciales tienen un currículo académico muy parecido al propio.
En la red hay un sinfín de consejos, así que uno debería procurar hacer uso de ellos. Finalmente el resultado del examen, como el de cualquier otro, puede ser una cuestión de algún modo fortuita (cuando practicaba para el examen mis resultados siempre oscilaron entre band 6 y band 9), así que sólo queda procurar hacerlo lo mejor posible y ya está ;-)
