Depurando mi ordenador de archivos viejos me encontré este ensayo que hice para competir por una plaza de ayudante de profesor en la UAM-A en 2014 —que no obtuve, por cierto :C — mientras entraba a la maestría; como sea lo comparto acá, puede ser útil sobre todo a estudiantes de bachillerato o de primer año de licenciatura (ingeniería o ciencias).
1. Introducción
En el haber cotidiano seguido es de gran importancia conocer qué tanto afecta el cambio de una cantidad dada respecto a otra cantidad relacionada, es decir, su razón de cambio relativo. La esencia del Cálculo Diferencial es precisamente el estudio de razones de cambio. Aunque desde la antigüedad la idea de razón de cambio estaba presente en los conceptos como la tangente de una curva o en las paradojas de Zenón de Elea, no fue sino hasta alrededor de 1666 cuando el desarrollo del Cálculo Infinitesimal por Isaac Newton y Gottfried Leibniz sistematizara el Cálculo Diferencial con el concepto de diferenciación y la derivada. Posteriormente muchos grandes matemáticos como Cauchy o Riemann contribuirían a la formalización del Cálculo Diferencial.
Históricamente, Newton y Leibniz sistematizaron el Cálculo Diferencial pensando la descripción precisa de cambios de posición en cada instante de tiempo, es decir, de movimiento. En el tratamiento moderno del Cálculo Diferencial, dos conceptos básicos son los de límite y continuidad, y en particular al hablar de Cálculo Diferencial se considera el estudio de razones de cambio infinitesimales de funciones reales en una variable real respecto a esta misma variable.
El alcance del Cálculo Diferencial (e Integral) en el estudio de funciones en sí mismas es sumamente amplio y forma la base del Análisis Matemático, además de admitir generalizaciones en espacios (más) abstractos; de cualquier modo, así como en su motivación histórica original, el estudio del Cálculo Diferencial da lugar a un gran número de aplicaciones, e incluso, ciertamente forma uno los pilares básicos en cualquier Ciencia Física o Ingeniería.
2. La Derivada El principal objeto de estudio en el Cálculo Diferencial es la derivada de una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Considérese la regla de correspondencia $x\mapsto{f}(x)$ y un punto $x_0\in\mathbb{R}$ tal que $f$ está definida en una vecindad de $x_0$.
En la siguiente figura se muestra el bosquejo de una función $f$ arbitraria y se señalan dos puntos $x_0$ y $x_0+\epsilon$ con sus imágenes bajo $f$.
Bosquejo de la gráfica de una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y la razón de cambio $\Delta{f}(x_0)/\Delta{x}_0$
De aquı́ entonces puede verse de manera intuitiva que la razón de cambio de la función $f$ cuando $x_0$ aumenta una cantidad $\epsilon$ es \begin{align}\frac{\Delta{f}(x_0)}{\Delta{x}_0}&\equiv\frac{f(x_0+\epsilon)-f(x_0)}{x_0+\epsilon-x_0}\nonumber\\ &=\frac{f(x_0+\epsilon)-f(x_0)}{\epsilon}\end{align} de modo que para razones de cambio arbitrariamente pequeñas, se puede definir \begin{equation}f^\prime(x)\bigg|_{x_0}\equiv{f}^\prime(x_0)=\lim_{\epsilon\to0}\frac{f(x_0+\epsilon)-f(x_0)}{\epsilon}\end{equation} si el lı́mite existe, como la derivada de $f$ en el punto $x_0$. Si la función es continua y dicho lı́mite existe en todo $x$, entonces la derivada de $f$ en $x$ es simplemente \begin{equation}f^\prime(x)=\lim_{\epsilon\to0}\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}\label{def:derivada}\end{equation} Esta notación de "$f^\prime$" es atribuida a Lagrange o bien “$\dot{f}$”, cuando la variable en cuestión es el tiempo, es atribuida a Newton; de cualquier modo, históricamente Leibniz introdujo la notación \begin{equation}\frac{df}{dx}\equiv{f}^\prime(x)\end{equation} pensando en cocientes, como se sugiere en el caso finito (o no infinitesimal). Aunque esta notación de Leibniz es muy útil para realizar operaciones (como se verá adelante), debe notarse que la derivada, al ser el límite de un cociente y entonces al no poderse expresar como el cociente de límites, no es en realidad un cociente.
Las interpretaciones y aplicaciones de la derivada en el estudio de funciones de variable real son muy diversas y amplias, desde la interpretación geométrica de la pendiente de la tangente en un punto a la función como una curva, hasta información vital sobre la función como sus máximos y mı́nimos (locales y globales), crecimiento o decrecimiento y concavidad.
En cuanto a las aplicaciones prácticas, fuera del interés puramente matemático, la derivada puede verse como el pilar no sólo de áreas de estudio como la Física, sino también en temas como Economía, la Computación o más recientemente en temas sociales vistos como Sistemas Complejos.
3. Continuidad y Diferenciabilidad Cuando el lı́mite (\ref{def:derivada}) existe, se dice que $f$ es diferenciable o derivable. Una cuestión relevante en este caso es que este lı́mite implica que si $f$ es diferenciable, entonces también es continua. De cualquier modo, una cuestión importante es que el enunciado opuesto no es cierto: que una función sea continua no implica que ésta sea derivable en todo su dominio.
Un ejemplo claro y el primero que viene a la mente es el de $f(x)=|x|$, que es continua pero cuya derivada no está definida en $x=0$. Esto puede verse claramente por el cambio abrupto o pico que la función tiene en $x=0$.
4. Propiedades de la derivada A partir de las siguientes propiedades para la derivada de una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, que pueden demostrarse a través de la definición (\ref{def:derivada}) y las propiedades de las funciones, pueden seguirse las reglas de derivación más comunes.
4.1 Linealidad Sean $f,g$ funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y $\alpha,\beta$ dos constantes tal que $h=\alpha{f}+\beta{g}$, entonces \begin{equation}h^\prime=\alpha{f}^\prime+\beta{g}^\prime\end{equation}
4.2 Regla del producto Sean $f,g$ funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $h(x)=f(x)\cdot{g}(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$; esta definición se sobreentiende al escribir $h=fg$, entonces \begin{equation}h^\prime=f^\prime{g}+f{g}^\prime\end{equation}
4.3 Regla de la Cadena Sean $f,g$ dos funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $h=f\circ{g}$, entonces \begin{equation}h^\prime=(f^\prime\circ{g})\cdot{g}^\prime\end{equation} Esta regla es particularmente intuitiva en la notación de Leibniz, \begin{equation}\frac{dh}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\label{chain}\end{equation} que además, si $f$ es la inversa de $g$, ésta se reduce a \begin{equation}1=\frac{dx}{dg}\frac{dg}{dx}\end{equation} es decir, \begin{equation}\frac{dg}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dg}}=\frac{1}{\frac{df(g(x))}{dg}}\label{cadena2}\end{equation}
5. Reglas de derivación Las propiedades anteriores sirven en general para calcular de manera práctica la derivada de una función.
El caso más sencillo es el de las potencias, los polinomios y los productos, e.g. si $f(x)=x^n$ con $n$ entero, $f^\prime(x)=nx^{n−1}$ que se sigue de la linealidad de la derivada. De cualquier modo, hay casos especiales de funciones como la exponencial (y su inversa) o las funciones trigonométricas, cuyas derivadas requieren algunas propiedades más de las propias funciones para poder ser obtenidas.
En el caso de la exponencial, tomemos $f(x)=a^x$ con $a\in\mathbb{R}^+$ constante, entonces, de la definición (\ref{def:derivada}), \begin{align}f^\prime(x)&=\lim_{\epsilon\to0}\frac{a^{x+\epsilon}-a^x}{\epsilon}\nonumber\\ &=a^x\lim_{\epsilon\to0}\frac{a^\epsilon-1}{\epsilon}\nonumber\\ &=a^xf^\prime(0)\end{align} de donde se requiere poder calcular el límite $f^\prime(0)$. Como comentario, la forma más sencilla, sin conocer de antemano la derivada de la exponencial, es primero calcular el límite para $a=e$ y obtener \begin{equation}\lim_{\epsilon\to0}\frac{e^\epsilon-1}{\epsilon}=1\end{equation} Esto no es tarea sencilla sin regla de L'Hôpital (hasta donde sé) pero corresponde a otro tema (una forma usual es emplear la identidad $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ descubierta por Euler), así que asumiendo que se conoce este límite, que además implica $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ para todo $x$ real, podemos definir $g(x)\equiv{x}\ln{a}$ \begin{equation}a^x=e^{\ln{a^x}}=e^{x\ln{a}}=e^g\end{equation} de modo que por la regla de la cadena (\ref{chain}), \begin{align}f^\prime(x)&=\frac{de^g}{dg}\frac{dg}{dx}\nonumber\\ &=e^g\frac{d(x\ln{a})}{dx}\nonumber\\ &=a^x\ln{a}\end{align} por lo que también \begin{equation}\lim_{\epsilon\to0}\frac{a^\epsilon-1}{\epsilon}=\ln{a}\end{equation} Además se sigue por la propiedad (\ref{cadena2}), que \begin{equation}\frac{de^x}{dx}=e^x=\frac{1}{\frac{d(\ln{e}^x)}{d(e^x)}}\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}\frac{d\ln{x}}{dx}=\frac{1}{x}\end{equation} De manera similar pueden obtenerse las reglas de derivación para las funciones trigonométricas, e.g. en el caso de $f(x)=\sin{x}$, \begin{align}f^\prime(x)&=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin(x+\epsilon)-\sin{x}}{\epsilon}\nonumber\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin{x}\cos\epsilon+\sin\epsilon\cos{x}-\sin{x}}{\epsilon}\nonumber\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin{x}(\cos\epsilon-1)+\sin\epsilon\cos{x}}{\epsilon}\end{align} de modo que es necesario conocer (u obtener) los límites \begin{align}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\cos\epsilon-1}{\epsilon},\hspace{0.25in}\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sin\epsilon}{\epsilon}\end{align} La deducción de todas estas reglas junto con las propiedades intrínsecas a la derivada son lo que permite operar de manera sencilla con las derivadas de funciones conocidas y cualquier complicación de éstas con productos, composiciones, etc. Finalmente algunas otras reglas que pueden presentar sus propias complicaciones son la de las derivadas de orden superior y las de la derivación de funciones implícitas, que de cualquier forma (en la versión más simple para funciones reales bien comportadas), se limitan a las propiedades y reglas mencionadas.
6. Optimización De entre las aplicaciones más relevantes de la derivada es la capacidad de determinar el comportamiento creciente o decreciente de una función, sus máximos y mínimos, y su concavidad. Esto es de gran utilidad cuando se modela con alguna función un fenómeno físico o cualquier otro fenómeno de interés práctico.
El punto de vista geométrico de la derivada como la pendiente de la recta tangente de la gráfica de una función hace que se vuelvan de particular interés las soluciones de $f^\prime(x)=0$, que son llamadas puntos críticos. Estos puntos críticos sólo tienen 3 posibilidades: ser un máximo, un mínimo o un punto silla.
Una función con tres puntos crı́ticos $x=\pm{a},0$. Mientras $x=\pm{a}$ son mínimos globales, $x=0$ es un máximo local.
En la figura anterior se muestra una función con dos mı́nimos globales y un máximo local, mientras que en la siguiente figura se muestra un punto silla.
Una función con un punto silla en $x=0$.
Las funciones para estos ejemplos particulares son $f(x)=(x+a)^2(x-a)^2$ y $g(x)=x^3$, donde se verifica que \begin{equation}f^\prime(x)=4x(x^2-a^2)\end{equation} y \begin{equation}g^\prime(x)=3x^2\end{equation} cuyas soluciones en efecto son $x=0,\pm{a}$ y $x=0$, respectivamente. Esto sólo dice que estas soluciones son puntos crı́ticos, para determinar analı́ticamente de qué tipo son, se puede recurrir a una segunda derivada y evaluar en el punto en cuestión, o bien, si la función es suficientemente sencilla, evaluar (ya sea la función o la derivada) cerca del punto.
Este tipo de análisis resulta de gran importancia en cualquier problema que involucre conocer el comportamiento de una función, e.g. en Mecánica Clásica, el análisis de las órbitas planetarias se realiza mediante el análisis de un potencial radial que satisface la ecuación \begin{equation}F(r)=-\frac{dU}{dr}=-\frac{d}{dr}\left[\frac{\alpha}{r^2}-\frac{\beta}{r}\right]\end{equation} con constantes $\alpha,\beta$ positivas, de donde se puede conocer $r=r_0$ tal que $F(r_0)=0$, i.e. \begin{equation}\frac{2\alpha}{r_0^3}-\frac{\beta}{r_0^2}=0\hspace{0.25in}\Longrightarrow\hspace{0.25in}r_0=\frac{2\alpha}{\beta}\end{equation} que además es un mı́nimo, ya que (haciendo las simplificaciones necesarias) \begin{equation}F^\prime(r_0)=-\frac{6\alpha}{r_0^4}+\frac{2\beta}{r_0^3}=\frac{\beta^4}{8\alpha^3}>0\end{equation}
7. Series de Taylor Las series de Taylor es otra de las ideas sumamente útiles del Cálculo Diferencial y se basan en la idea de la posibilidad de construir polinomios que coincidan una función en un punto y cuyas derivadas coincidan con las derivadas (del mismo orden) de la función en ese punto; el requisito entonces es únicamente que la clase de la función (derivabilidad y continuidad de la derivada) sea infinito.
La construcción se puede ir haciendo paso a paso: sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de clase $C^\infty$ y $x_0\in\mathbb{R}$ constante, entonces la función \begin{equation}P_1(x)\equiv{f}(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)\end{equation} satisface $P_1(x_0)=f(x_0)$ y $P_1^\prime(x_0)=f^\prime(x_0)$, y de manera análoga \begin{equation}P_2(x)\equiv{P_1}(x)+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2\end{equation} satisface $P_2(x_0)=f(x_0)$, $P_2^\prime(x_0)=f^\prime(x_0)$ y $P_2^{\prime\prime}(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0)$. El paso brillante en esta argumentación, está en que, de hecho \begin{equation}f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{equation} donde $f^{(n)}$ señala la $n$-ésima derivada. En el caso de una función $C^k$, o para una serie trunca en $n=k$, el Teorema de Taylor justifica el que una serie de Taylor sea una buena aproximación local de la función original.
8. Otros resultados y alcance del cálculo diferencial El Teorema del Valor Medio y la Regla de L’Hôpital para calcular lı́mites son algunos de los resultados relevantes que se estudian comúnmente en el Cálculo Diferencial en funciones reales de una variable real. Primeramente, el Cálculo Diferencial es útil para pasar al estudio del Cálculo Integral mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, y luego algunas extensiones se pueden encontrar en el Cálculo de Varias Variables, el Análisis Complejo o más allá en temas como el Análisis Funcional, además de que resulta ser la base de cualquier tema que involucre el concepto de derivada, como las Ecuaciones Diferenciales (Ordinarias y Parciales).
Quieres resolver la ecuación diferencial $$f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)+x^{-1}f(x)=0$$ con ${x\in\mathbb{R}}$, por lo que, sabiendo que la singularidad en ${x=0}$ es regular, propones una solución de la forma $$f(x)=x^{\beta}F(x)$$ entonces obtienes que $$x^{\beta}F^{\prime\prime}+\left[2\beta\,x^{\beta-1}+x^\beta\right]F^\prime+\left[\beta(\beta-1)x^{\beta-2}+(\beta+1)\,x^{\beta-1}\right]F=0$$ que multiplicado por ${x^2}$ ambos lados y cuando ${x\to0}$, $$\beta(\beta-1)x^{\beta}F=0$$ asumiendo que, por ejemplo, ${0^{0}=1}$ y ya que ${F\neq{0}}$ en general, podemos considerar entonces el caso en que ${\beta(\beta-1)=0}$ y obtenemos la solución aceptable ${\beta=1}$; y en efecto, la solución puede hallarse en la forma ${x\,F(x)}$. Traigo esto a colación, pues en mecánica cuántica este razonamiento ha sido de ayuda para trabajar el problema de una partícula en un campo central.
De hecho me parece una manera fea de llegar a un resultado correcto. En clase se nos ha justificado el asumir que ${x^{\beta}}$ puede ser distinto de cero, ya que "cualquier número elevado a la cero es igual a uno"
Se nos ocurre notar que $$0^0\to\lim_{z\to0^+}0^z=\lim_{z\to0^+}0=0$$ y también notamos que, $$0^0\to\lim_{z\to0^+}z^0=\lim_{z\to0^+}1=1$$ esto es prácticamente equivalente a decir que "cero a la cualquier potencia es cero" y luego decir que "cualquier número a la potencia cero es uno". Bueno, en realidad el decir que ${0^0}$ está indeterminado es en general correcto, ya que una función ${f(x,y)=y^x}$ es discontinua en ${(0,0)}$, aunque quizá no lo sea tanto el decir que está indefinido, pues de hecho suele definirse ${0^0=1}$. La discusión es bastante antigua, y suele concluirse que la definición ${0^0=1}$ es tanto útil como consistente, y aunque seguido se considere también como un feo parche, lo usamos todo el tiempo en simplificaciones y demás al asumir ${a^0=1}$ para cualquier a.
Este tipo de cosas seguramente están muy presentes en los matemáticos, y al menos la gran mayoría de los que he conocido suelen ser muy cuidadosos con el lenguaje que emplean (recuerdo en alguna ocasión una larga discusión porque a alguien se le ocurrió decir "sacar factor común").
En el caso de interés supongo que hubiera sido más claro y suficiente aseverar que ${x^\beta}$ está definido para todo $\beta$ (al menos en $\mathbb{R}$) ignorando su valor para alguna de ellas y ${x=0}$, siendo posiblemente no nulo. De este modo, naturalmente se parte a obter los valores de ${\beta}$ que anulan la expresión, sin ser de interés particular el caso ${0^0}$. Aunque por supuesto naturalmente también a veces no somos capaces de conformarnos con simplemente ignorar el valor de una cantidad y considerarla posiblemente no nula. Acá dejo una entrada de askamathematician que he encontrado hace algún tiempo en el que se mencionan algunas razones por las cuales se define ${0^0=1}$.
Interpretación del teorema de Green. Imagen:Math Insight
Hace poco tiempo me vi envuelto en una discusión con una profesora acerca del teorema de Green. Y bueno, estas cuestiones ocurren en todos lados, seguido nos topamos con profesores o en general autoridades, que quizá al sentirse comprometidas, no son capaces de aceptar que se equivocan o siquiera de intentar razonar; las cosas son -o no- porque así ellos lo deciden. Y quién sabe, pueden ser sólo malos días o qué sé yo. El meollo del asunto -como menciona el título de esta entrada- es pues, con el teorema de Green y la profesora presuntuosa. La profesora invalidó el resultado de un problema de examen porque mencionaba el uso del teorema de Green.
Bien, ya explico entonces la situación.
El problema pedía calcular $\displaystyle{\oint_{C^+}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}}$, donde ${\mathrm{d}\mathbf{s}}$ es el elemento de línea, ${C:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2}$ es una curva simple cerrada... ¡sí, en ${\mathbb{R}^2}$! y ${\mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3}$. El alumno ha sugerido entonces utilizar el teorema de Green para resolver el problema, lo que casi le cuesta una mala nota, siendo que está en lo correcto.
El detalle es que en la literatura seguido se le llama teorema de Green en forma rotacional, o algo por el estilo, a la "aplicación del teorema de Green" en el espacio ${\mathbb{R}^3}$. A mi parecer es un tratamiento desafortunado, e incluso, en mi opinión, simplemente se debería tratar el tema como teorema de Stokes. Por supuesto me parece plausible el hablar de George Green, y mencionar el caso especial, pero creo que ahí debería quedar. Una situación similar sucede con las series de MacLaurin y las series de Taylor. El dilema es que suelen causar confusión entre alumnos primerizos y ahora hasta entre algunos profesores.
Supongamos para nuestro problema, que se tienen las funciones ${\mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3}$ y ${f_1,f_2,f_3:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}}$ de clase ${C^1}$, de modo que ${\mathbf{F}=(f_1,f_2,f_3)}$. Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes (en cursos básicos normalmente sólo se le llama teorema de Stokes, aunque Lord Kelvin comunicó esta forma del teorema a George Stokes) escribimos $$\oint_{\partial{S}}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}=\iint\limits_S\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathbf{\hat{n}}\;\mathrm{d}S$$ donde S es alguna superficie en ${\mathbb{R}^3}$ cuya frontera es ${\partial{S}}$ y cuyo vector normal está dado por ${\mathbf{\hat{n}}}$; ${\mathrm{d}S}$ es el elemento de superficie. Para sentar ideas, se trata al espacio ${\mathbb{R}^3}$ como el dotado de ternas ${(x,y,z)}$, cuya base ortonormal se escribe ${\left\{\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\right\}}$ y a ${\mathbb{R}^2}$ como un subespacio para el cual ${z=c}$ (constante). Con esto se tiene ya toda la información para resolver el problema, hagámoslo entonces; se tiene $$\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial{f_2}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f_3}}{\partial{y}}\right)\;\hat{\imath}+\left(\frac{\partial{f_3}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f_1}}{\partial{z}}\right)\;\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial{f_1}}{\partial{y}}-\frac{\partial{f_2}}{\partial{x}}\right)\;\hat{k}$$ sin embargo, no era necesario aventurarse a hacer esto, ya que se tiene la valiosa información de que ${z=c}$, por lo que notamos que ${\mathbf{\hat{n}}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial{x}}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial{y}}=\hat{k}}$ donde $\mathbf{r}$ es una parametrización de S en este espacio. De aquí surge la llamada forma rotacional del teorema de Green, que se caracteriza por la identidad $$\oint_{\partial{S}}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}=\iint\limits_D\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot\hat{k}\;\mathrm{d}A$$ donde D es la región encerrada por ${\partial{S}}$ (es decir, una superficie plana) y ${\mathrm{d}A}$ el elemento de área de dicha región. Esto se considera una generalización en el espacio del teorema de Green, sin embargo sigue siendo simplemente un caso del teorema de Stokes. Regresando al dilema de la profesora, pues, se llega a la identidad $$\oint_{\partial{S}}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}=\iint\limits_D\left(\frac{\partial{f_1}}{\partial{y}}-\frac{\partial{f_2}}{\partial{x}}\right)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y$$ que es precisamente la que caracteriza al teorema de Green. El argumento de la profesora, era que el teorema de Green pide funciones ${f_1,f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}}$ (estrictamente de regiones simples a $\mathbb{R}$), es decir, involucrar un campo ${\mathbf{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2}$, y así de fácil se estaba tomando la libertad de trasgredir la nota del compañero. Pues sí, estrictamente el teorema de Green así lo pide, sin embargo he ahí el problema con las etiquetas empleadas en la literatura que luego simplemente decidimos a memorizar cual pericos sin entender realmente cómo se están empleando y de dónde han surgido, pues el fallo no fue del alumno, sino de la profesora al penalizar algo que en esencia es correcto y no muestra ningún fallo en absoluto y que más bien muestra el poco entendimiento o cuidado que se tuvo desde un principio al redactar el problema.
Y pues sí, la discusión se tornó un poco intensa. En realidad la situación -en mi experiencia- es rara, pues casi siempre se antepone -y sobre todo al hacer matemáticas- la verdad antes que el orgullo de uno estar en lo correcto. Pero siempre hay personalidades peculiares o malos días o exceso de trabajo o demás estados extraños que no suelen favorecer. En fin.
Bueno, esta es una identidad que se demuestra empleando otra identidad, sólo requiere un buen manejo de los operadores (en particular de la divergencia). No la he visto citada en los diversos formularios de identidades vectoriales, así que aquí la comparto.Si f y g son dos funciones ${\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}}$ cuando menos de clase ${C^2}$, entonces \begin{equation}\nabla^2(fg)=f{\nabla^2{g}}+g{\nabla^2{f}}+2{\nabla{f}\cdot\nabla{g}}\end{equation} Bien, se tiene, partiendo de la definición del operador laplaciano \begin{align}\nabla^2(fg)&=\nabla\cdot\nabla(fg)\nonumber\\[0.1in]&=\nabla\cdot\left[f\nabla{g}+g\nabla{f}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\nabla\cdot{f\nabla{g}}+\nabla\cdot{g\nabla{f}}\end{align} De aquí entonces hay que obtener consecuencias de la forma ${\nabla\cdot{\psi\mathbf{A}}}$, se tiene \begin{align}\nabla\cdot{\psi\mathbf{A}}&=\sum_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}\hat{\imath}\cdot\psi\sum_iA_i\hat{\imath}\nonumber\\[0.1in]&=\sum_i\left[\psi\frac{\partial{A_i}}{\partial{x_i}}+A_i\frac{\partial\psi}{\partial{x_i}}\right]\nonumber\\[0.1in]&=\psi\sum_i\frac{\partial{A_i}}{\partial{x_i}}+\sum_iA_i\frac{\partial\psi}{\partial{x_i}}\nonumber\\[0.1in]&=\psi\left(\sum_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}\hat{\imath}\cdot\sum_iA_i\hat{\imath}\right)+\sum_iA_i\hat{\imath}\cdot\sum_i\frac{\partial\psi}{\partial{x_i}}\hat{\imath}\nonumber\\[0.1in]&=\psi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla\psi\end{align} que es la identidad que se encuentra comúnmente en formularios, de ahí entonces \begin{align}\nabla^2(fg)&=\nabla\cdot{f\nabla{g}}+\nabla\cdot{g\nabla{f}}\nonumber\\[0.1in]&=f\nabla\cdot\nabla{g}+\nabla{g}\cdot\nabla{f}+g\nabla\cdot\nabla{f}+\nabla{f}\cdot\nabla{g}\nonumber\\[0.1in]&=f\nabla^2g+g\nabla^2f+2\nabla{f}\cdot\nabla{g}\hspace{0.5in}\blacksquare\end{align}
Hace poco me encontré con la igualdad $$\pi=\lim_{z\to\infty}f(z)=\lim_{z\to\infty}i\,z\,\left[1-(-1)^{z^{-1}}\right]$$ que es muy fácil demostrar; simplemente, ya que la variable z aparece dos veces y una de ellas en un recíproco, considera un cambio de variable que involucre esto, digamos $$\omega=\frac{1}{z}$$ y listo, es evidente (quizá tomando papel y lápiz) que $$\lim_{z\to\infty}f(z)=\lim_{\omega\to{0}}f(\omega)=\pi$$ la única dificultad que tal vez encuentres, si no conoces suficientemente los números complejos, es que al aplicar L'Hôpital, $$\lim_{\omega\to{0}}\frac{i\left(1-(-1)^\omega\right)}{\omega}=\lim_{\omega\to{0}}-i\left[(-1)^\omega\,\ln(-1)\right]$$ aparece ese desgraciado $\displaystyle{\ln(-1)}$ que toda la vida te han dicho lleva directo al infierno. Bueno, en realidad te lleva al paraíso de los complejos, ya que $\displaystyle{\ln{z}=\ln|z|+i\arg{(z)}}$, por ello es que $\displaystyle{\ln(-1)=i\pi}$. Pero bueno, supuse que debía ser fácil construir representaciones como esta y que de hecho debían abundar. Pues así es, y de cualquier constante, no sólo Pi. En Wolfram Research puedes ver algunas representaciones. Las hay desde muy simples hasta monstruosamente horribles. La primera salta a la vista, y es la que aquí demuestro. Me pareció bastante interesante ya que incluye un combinatorio (o coeficiente binomial) que puede traducirse en factoriales, un doblefactorial o en funciones Gamma.
La igualdad es $$\pi=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n}}{n\,\binom{2n}{n}^2}$$ La siguiente es quizá la forma más sencilla de probarlo, aunque digamos es un tanto indirecta, ya que usa la fórmula de Stirling. Esta fórmula funciona muy bien para factoriales grandes, y se lee $\displaystyle{n!\approx{\sqrt{2\pi{n}}}\left(\frac{n}{e}\right)^n}$ entonces se tiene $$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n}}{n\,\binom{2n}{n}^2}\approx{\lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n}}{n\left(\frac{\sqrt{4\pi{n}}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2\pi{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}}\right)^2}}$$ que claro, es horrible, sin embargo haciendo un poco de álgebra vulgar y silvestre, se torna $$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n}}{n\left(\frac{\sqrt{4\pi{n}}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2\pi{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}}\right)^2}=\lim_{n\to\infty}\pi=\pi$$ como se quería mostrar, sin embargo, ¿por qué sucede esto?, ¿por qué se vuelve constante la función? Véase que para $$\binom{2n}{n}^2\approx{\left(\frac{\sqrt{4\pi{n}}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2\pi{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}}\right)^2}$$ la aproximación es muy buena, incluso con valores de n pequeños.
Digamos ahora que: $$x=\frac{1}{n\,\binom{2n}{n}^2}\approx\frac{1}{n\,{\left(\frac{\sqrt{4\pi{n}}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2\pi{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}}\right)^2}}\equiv{x}^\prime$$ Nótese entonces que para $\displaystyle{2^{3n}x\approx{2^{3n}x^\prime}}$,
Mientras que para $\displaystyle{2^{5n}x\approx{2^{5n}x^\prime}}$,
Así es fácil ver cómo cambia la monotonía de la función cuando se toma en cuenta el factor $\displaystyle{2^{kn},\,k\in\mathbb{N}}$, así como la validez de la fórmula de Stirling para factoriales grandes. Otras formas de presentar la igualdad anterior (con las que intenté demostrarla, sin resultados) son $$pi=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{2n}}{n}\left(\frac{n!}{(2n-1)!!}\right)^2$$ o bien $$\pi=\lim_{n\to\infty}\,\pi\,{n}\,\left(\frac{\Gamma(n)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\right)^2$$ deduce ambas a partir de la igualdad original e intenta demostrarlas sin recurrir a la fórmula de Stirling.
En muchas ocasiones (no sé si ocurra en todos lados), en física, los primeros cursos que se dan prescinden de herramientas matemáticas necesarias para un entendimiento suficiente de la materia que se trata, por ejemplo un primer curso de mecánica clásica normalmente prescinde de la geometría diferencial de curvas, un primer curso de hidrodinámica o un primer curso de electromagnetismo prescinden del análisis vectorial, etc... Siempre me ha sido molesto el que se haga de ese modo, y en lo personal he pasado bastantes horas infernales luchando por entender situaciones que luego me resultarían tan inocentes (como la que expongo en esta entrada). Entiendo que seguido el prescindir del formalismo matemático ayuda a la intuición física, sin embargo cuando la situación se vuelve más abstracta y más general, el no usar correcta y hábilmente (si bien no necesariamente también formalmente) las herramientas matemáticas necesarias, se vuelve un dolor de cabeza innecesario y un impedimento que obliga a memorizar y a escribir símbolos simplemente por hacerlo (léase: aprobar cursos). Un ejemplo claro es este vídeo, cuando se dicen cosas como "I did decently in physics and I remember (the balls fall at a constant speed)" o "Like... in real life?" ("He salido decentemente en física y recuerdo (que los balones caen con velocidad constante)" o "Como... ¿en la vida real?") La gente suele aprehender más por memoria que por entendimiento, y aunque no digo que lo sea todo, poder argumentar lógicamente, por ejemplo, por qué la aceleración de los balones (caída libre) es independiente de su masa, es clave para lograr un entendimiento amplio de la situación. A pesar de mi patológico rechazo a la multitud, sé que las personas no son estúpidas y sé que disfrutan entender las cosas al igual que yo lo hago.
Ach, die Physik! Die ist ja für die Physiker viel zu schwer! (David Hilbert)
Como sea, aquí muestro la relación entre la ley de Coulomb del inverso del cuadrado de la distancia, la ley de Gauss, la correspondiente ecuación de Maxwell y el teorema de la divergencia, comenzando por los dos últimos; la razón de todo el preámbulo fue que en un curso introductorio de electrostática y magnetostática en que se trataba la ley de Gauss y la ley de Coulomb, siempre me resultó oscura y diarreicamente infernal la ley de Gauss y las misteriosas integrales con el maldito circulito en medio y cómo demonios las calculaba el profesor ¡¡¡!!!; el consejo que daría para leer esto entonces sin sentir náuseas, como yo, se sigue por obviedad.
Partiendo de la ecuación de Maxwell, $$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ donde $\rho$ es una densidad de carga (distribuida) sobre un volumen $V$; aplicando el teorema de la divergencia obtenemos $$\int\limits_V\nabla\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}V=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\int\limits_V\mathrm{d}V=\frac{\rho\,V}{\varepsilon_0}\,\Longrightarrow\,\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{\rho\,V}{\varepsilon_0}$$ donde $S\equiv\p{V}$ es la superficie frontera (cerrada) de $V$ y ya que ${\rho=\frac{q}{V}}$ $$\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}$$
i.e. la Ley de Gauss con $q$ encerrada por la superficie $S$.
Ahora supóngase que el campo eléctrico que produce $q$ es esféricamente simétrico, i.e. ${\mathbf{E}=E(r)\,\mathbf{\hat{r}}}$ y la carga es estacionaria, en ese caso, tomando la superficie $S$ como una esfera de radio $r$ que encierra a $q$, $$\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\oint\limits_S\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{\hat{r}}\right)\mathrm{d}S=r^2E(r)\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta=4\pi{r}^2\,E(r)$$ es decir $$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hspace{0.25in}\Longleftrightarrow\hspace{0.25in}\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\mathbf{\hat{r}}$$ que es (en términos de $E$) la famosísima Ley de Coulomb.
Calcular lo anterior me ha servido mucho más que haber hecho X (MUCHOS) ejercicios y cálculos sin entender qué jodidos estaba haciendo y simplemente repitiéndome "El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga que encierra dicha superficie". Al menos en mi persona perdura mucho más la impresión que causa una demostración matemática (para descubrir la ley de Gauss y su forma diferencial, es decir, la ecuación de Maxwell, se hace en sentido opuesto por obviedad). Ignoro si Gauss formuló el teorema de la divergencia con física en su mente, aunque lo más probable sea que no, ya que toma en cuenta cualquier campo en ${\mathbb{R}^3}$. Fundamentalmente las matemáticas y la física son lo mismo; pero creo que se requiere tanta intuición e imaginación para descubrir nueva matemática, como método, razón y rigor para entender a la naturaleza.
Fourier came upon his idea in connection with the problem of the flow of heat in solid bodies, including the earth. The formula $$\frac{1}{2}\,x=\sin{(x)}-\frac{1}{2}\sin{(2x)}+\frac{1}{3}\sin{(3x)}+\ldots$$ was published by Leonhard Euler (1707-1783) before Fourier’s work began, so you might like to ponder the question why Euler did not receive the credit for Fourier’s series
Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional...
Además de Gauss, Euler no la haría mal de Chuck Norris de las matemáticas.
Considera por ejemplo la serie de Fourier de ${f(t)=t^2}$, donde ${0<t<2}$ con periodo ${T=2}$, que es $$f(t)=\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{1}{\pi{n}^2}\cos(n\pi{t})-\frac{1}{{n}}\sin{(n\pi{t})}\right\}$$ Por el teorema de convergencia de Dirichlet se sabe que en cada punto de discontinuidad la serie converge a $$f(t)=\frac{1}{2}\left(\,\lim_{t\to{t^+}}f(t)+\lim_{t\to{t^-}}f(t)\right)$$ así entonces ${f(0)=2}$ y por tanto $$2=\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ es decir $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$ que es la respuesta precisamente al problema de Basilea, que Euler ya había resuelto antes. De igual forma la famosa fórmula (como la identidad) de Euler hace que la serie y los coeficientes de Fourier se reduzcan a $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega{t}}$$ donde $\displaystyle{c_n=\frac{\omega}{2\pi}\int_{-\pi/\omega}^{\pi/\omega}f(t)\,\mathrm{e}^{-in\omega{t}}\,dt}$, con $\displaystyle{\omega=\frac{2\pi}{T}}$ donde T es el periodo, y finalmente la unidad imaginaria $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$.
La demostración es sencilla y muy atractiva, ya sea que se consulte o se intente demostrar por cuenta propia. No hace falta decir que las implicaciones del genio de Euler y ese "don" de ver relaciones donde parece que no hay nada resultan de gran importancia tanto para el análisis de Fourier como para cualquier otra rama de las matemáticas.
Probablemente algunos Euler facts harían buena competencia a los Gauss facts.
Hoy tuve una duda que en realidad no es difícil de esclarecer mas sí tal vez de demostrar. Sean $\mathcal{S}$ y ${\mathcal{S}^*}$ regiones en el espacio ${\{x,y,z\}\subseteq\mathbb{R}^3}$ y ${\{u,v,w\}\subseteq\mathbb{R}^3}$ respectivamente, en correspondencia mediante ${T:\mathcal{S}^*\rightarrow\mathcal{S}}$, con T de clase ${C^1}$ e inyectiva y ${\mathcal{S}=T\left(\mathcal{S}^*\right)}$, entonces para ${f:\mathcal{S}\rightarrow\mathbb{R}}$, $$\iiint\limits_{\mathcal{S}}f\,\left(x,\,y,\,z\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint\limits_{\mathcal{S}^*}f\,\left[x(u,\,v,\,w),\,y(u,\,v,\,w),\,z(u,\,v,\,w)\right]\left|\frac{\partial{\left(x,\,y,\,z\right)}}{\partial{\left(u,\,v,\,w\right)}}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$$ Claro que -al menos en mi experiencia- suelen ahorrarse los detalles de lo anterior o el origen del mismo y uno le debe creer religiosamente a los matemáticos.
Una pregunta natural es, ¿por qué es necesario el término ${\left|\frac{\partial{\left(x,\,y,\,z\right)}}{\partial{\left(u,\,v,\,w\right)}}\right|}$, es decir el Jacobiano de T? En dos variables, para regiones elementales $\mathcal{D}$ y ${\mathcal{D}^*}$ del plano, con ${T:\mathcal{D}^*\rightarrow\mathcal{D}}$ de clase ${C^1}$ e inyectiva y para ${f:\mathcal{D}\rightarrow\mathbb{R}}$, uno inocentemente supondría que $$\iint\limits_{\mathcal{D}}f\,(x,\,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\overset{?}{=}\iint\limits_{\mathcal{D}^*}f\,\left[x(u,\,v),\,y(u,\,v)\right]\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$ pero T transforma regiones de un espacio a otro y el determinante que falta en el lado derecho de la ecuación es precisamente la medida de distorsión de esa transformación. Para aplicaciones ${T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2}$ el jacobiano medirá la distorsión de un área y de manera análoga para ${T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3}$ de un volumen. También la integral del valor absoluto del jacobiano será ya sea área, volumen o lo que le siga de las respectivas regiones en los respectivos espacios.
Esta es la parte difícil de demostrar, de cualquier modo se puede seguir la generalización desde el silvestre cálculo de una variable, donde se tiene para ${f:u\mapsto{x(u)}}$ de clase ${C^1}$ en ${[a,b]}$. $$\int_{x(a)}^{x(b)}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^{b}f\left[x(u)\right]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}\,\mathrm{d}u$$ Sean ${\mathcal{I}^*=[a,b]}$, ${\mathcal{I}=[x(a),x(b)]}$ para f creciente e ${\mathcal{I}=[x(b),x(a)]}$ para f decreciente, entonces $$\int\limits_{\mathcal{I}}f(x)\,\mathrm{d}x=\int\limits_{\mathcal{I}^*}f\left[x(u)\right]\left|\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}\right|\,\mathrm{d}u$$ de ahí se sigue fácilmente la generalización para cualquier espacio.
En el cálculo de varias variables, la igualdad de las derivadas parciales cruzadas, relacionado con el llamado teorema de Clairaut o de Schwartz, es un resultado que se atribuye principalmente a Leonhard Euler, de cuando trabajaba con las llamadas ecuaciones de Euler de mecánica de fluidos aproximadamente a sus 25 años.
Sea ${f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}}$ de clase ${C^\infty}$, entonces ${\forall\;i,j}$ tal que ${1\leq{i}<j\leq{n}}$, se cumple $$\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}}=\frac{\partial^2{f}}{\partial{x_j}\partial{x_i}}$$ Este resultado, en general, aplica para derivadas parciales iteradas de cualquier orden, por ejemplo con ${1\leq{i}<{j}<{k}\leq{n}}$ se tiene $$\frac{\partial^3{f}}{\partial{x_i}\partial{x_j}\partial{x_k}}=\frac{\partial^3{f}}{\partial{x_j}\partial{x_k}\partial{x_i}}=\ldots$$ con lo que se podría simplemente decir que las derivadas parciales cruzadas de $f$ son conmutativas o que la matriz hessiana de $f$ es simétrica.
De cualquier modo pueden considerarse ejemplos en los que las derivadas parciales cruzadas no son conmutativas y sin violar el teorema de Clairaut. Lo más común en esos casos es que falle la continuidad de las derivadas parciales en un punto; en general, que las derivadas parciales existan y sean continuas es una condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.
Considera los siguientes usos del teorema:
• Una identidad frecuente en el análisis vectorial es $$\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf{0}$$ para ${\varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}}$. Desarrollando, se tiene \begin{align*}\mathbf{\nabla\times(\nabla}\varphi)&=\nabla\times\left(\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}},\,\frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}},\,\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}\right)\\[0.1in]&=\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial{y}\partial{z}}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial{z}\partial{y}}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}\,+\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial{x}\partial{z}}\right)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,+\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial{y}\partial{x}}\right)\,\hat{\boldsymbol{k}}\end{align*} y para que la proposición sea cierta, es suficiente que $\varphi$ sea ${C^2}$ de modo que las parciales cruzadas se anulen.
La identidad anterior significa que cualquier campo gradiente ${\nabla\varphi}$ es irrotacional. Ahora entonces supongamos que queremos verificar que el campo vectorial ${\mathbf{F}=y\hat{\imath}-x\hat{\jmath}}$ es un campo gradiente, entonces debe cumplirse $$\mathbf{F}=\nabla{f}$$ donde $$\nabla{f}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\;\hat{\imath}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\;\hat{\jmath}$$ entonces $$y=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\hspace{0.5in}-x=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$$ pero $$\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}\neq\frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}\,\Longleftrightarrow\,1\neq{-1}$$ por tanto $\mathbf{F}$ no es un campo gradiente.
• Probemos ahora alguna función cuyas derivadas no cumplan continuidad en algún punto. Considera ahora la función ${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}}$, definida por $$f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}&(x,y)\neq{(0,0)}\\[0.1in]0&(x,y)=(0,0)\end{array}\right.$$ comprobemos, según Clairaut, que no se cumple el teorema de las derivadas cruzadas: \begin{align*}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}&=\frac{y \left(x^4+4 x^2 y^2-y^4\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\\[0.1in]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}&=\frac{x^5-4 x^3 y^2-x y^4}{\left(x^2+y^2\right)^2}\end{align*} Nótese que $$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0,y)=-y\hspace{0.5in}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,0)=x$$ por tanto sólo basta con derivar de nuevo tomando el límite de la definición de la derivada (sabemos que $\displaystyle{\lim_{y\to{0}}f_x(0,y)=0,\hspace{0.25in}\lim_{x\to{0}}f_y(x,0)=0}$), y encontramos que \begin{align*}\frac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(0,0)&=\lim_{x\to{0}}\frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}{x-0}=1\\[0.1in] \frac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}}(0,0)&=\lim_{y\to{0}}\frac{f_x(0,y)-f_y(0,0)}{y-0}=-1\end{align*} como se esperaba.
Comprueba que la igualdad de derivadas cruzadas es cierta para f en cualquier otro punto. ¿Puedes dar otros ejemplos para los que no se cumpla la igualdad?
En estas fechas también se celebra uno de los nacimientos más fructíferos para la humanidad: el de Isaac Newton. Inmediatamente se relaciona a Newton con la mecánica clásica y una manzana, sin embargo, una de sus mayores aportaciones, y tal vez la única perenne, fue el cálculo. Años más tarde, Cantor formalizaría nuestro dominio del infinito, sin embargo lo revolucionario e imperecedero del cálculo está en la noción de lo infinitamente pequeño o infinitesimal.
Fue durante la plaga en 1665 que Newton pasaría alrededor de 2 años en soledad que después se traducirían en su más grande legado, y una de las claves para el desarrollo del cálculo fue la extensión de Newton del teorema binomial.
Sabemos que una forma sencilla de obtener coeficientes binomiales es el triángulo de Pascal:
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
para el cual cada coeficiente se puede escribir como $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\hspace{0.2in}\forall{\;n\;,k\in\mathbb{N}}$$ para la n-ésima columna y la k-ésima fila (el coeficiente binomial también se llama combinatorio y a menudo se escribe ${{}_nC_k}$ ). Por ello la expansión de un binomio con potencias enteras positivas se puede escribir como $$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,x^{n-k}y^{k}$$ Por ejemplo para las siguientes expansiones con sus coeficientes,:
La siguiente imagen está alojada en Wikipedia y muestra gráficamente los casos n=1 ,2 ,3
Sin embargo, ¿cómo hacer uso de esta fórmula para ${n\in\mathbb{R}}$?
El logro de Newton es el llamado teorema binomial o binomio de Newton, cierto ${\forall{n}\in\mathbb{R}}$.
Para demostrarlo y definir el coeficiente binomial para ${n\in\mathbb{R}}$ hagamos, para no confundir notación y por simplicidad, ${\varphi\in\mathbb{R}\;,y=1}$ (ahora se tendrá una serie infinita), de modo que $$f(x)=(x+1)^{\varphi}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\ldots+c_kx^k+\ldots$$ Nos interesa extraer los coeficientes binomiales, de modo que al diferenciar k veces obtenemos $$f^{(k)}(x)=\varphi\,(\varphi-1)\,(\varphi-2)\,\cdots\,(\varphi-k+1)(x+1)^{\varphi-k}=k\,(k-1)\,(k-2)\,\cdots\,{c_k}\,+\cdots$$ por tanto, para x=0 $$c_k=\frac{\varphi\,(\varphi-1)\,(\varphi-2)\,\cdots\,(\varphi-k+1)}{k!}=\prod_{j=1}^{k}\frac{\varphi-j+1}{j}$$ es decir $$c_k=\binom{\varphi}{k}\hspace{0.2in}\forall{\,\varphi}\in\mathbb{R}$$ y por tanto $$(x+y)^{\varphi}=\sum_{k=0}^{\infty}\,\binom{\varphi}{k}\,x^{\varphi-k}y^{k}=x^\varphi+\varphi{x}^{\varphi-1}y+\frac{\varphi(\varphi-1)x^{\varphi-2}y^2}{2!}+\frac{\varphi(\varphi-1)(\varphi-2)x^{\varphi-2}y^2}{3!}+\ldots$$ Este teorema del binomio puede extenderse asimismo para números complejos. Así Newton con el estudio de este tipo de series infinitas y la noción de límite en el teorema binomial iría directo hacia el desarrollo del cálculo.
Véase ahora que si ${\varphi\equiv-\nu}$ : $$(x+y)^{-\nu}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-\nu}{k}\,x^{-(\nu+k)}y^{k}$$ Intenta demostrar que $$(1-y)^{-\nu}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\nu+k-1}{k}\,y^k$$ o bien que $$\binom{-\nu}{k}=(-1)^k\,\binom{\nu-k+1}{k}$$
