En muchas ocasiones (no sé si ocurra en todos lados), en física, los primeros cursos que se dan prescinden de herramientas matemáticas necesarias para un entendimiento suficiente de la materia que se trata, por ejemplo un primer curso de mecánica clásica normalmente prescinde de la geometría diferencial de curvas, un primer curso de hidrodinámica o un primer curso de electromagnetismo prescinden del análisis vectorial, etc... Siempre me ha sido molesto el que se haga de ese modo, y en lo personal he pasado bastantes horas infernales luchando por entender situaciones que luego me resultarían tan inocentes (como la que expongo en esta entrada). Entiendo que seguido el prescindir del formalismo matemático ayuda a la intuición física, sin embargo cuando la situación se vuelve más abstracta y más general, el no usar correcta y hábilmente (si bien no necesariamente también formalmente) las herramientas matemáticas necesarias, se vuelve un dolor de cabeza innecesario y un impedimento que obliga a memorizar y a escribir símbolos simplemente por hacerlo (léase: aprobar cursos).
Un ejemplo claro es este vídeo, cuando se dicen cosas como "I did decently in physics and I remember (the balls fall at a constant speed)" o "Like... in real life?" ("He salido decentemente en física y recuerdo (que los balones caen con velocidad constante)" o "Como... ¿en la vida real?")
La gente suele aprehender más por memoria que por entendimiento, y aunque no digo que lo sea todo, poder argumentar lógicamente, por ejemplo, por qué la aceleración de los balones (caída libre) es independiente de su masa, es clave para lograr un entendimiento amplio de la situación. A pesar de mi patológico rechazo a la multitud, sé que las personas no son estúpidas y sé que disfrutan entender las cosas al igual que yo lo hago.
Partiendo de la ecuación de Maxwell, $$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ donde $\rho$ es una densidad de carga (distribuida) sobre un volumen $V$; aplicando el teorema de la divergencia obtenemos $$\int\limits_V\nabla\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}V=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\int\limits_V\mathrm{d}V=\frac{\rho\,V}{\varepsilon_0}\,\Longrightarrow\,\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{\rho\,V}{\varepsilon_0}$$ donde $S\equiv\p{V}$ es la superficie frontera (cerrada) de $V$ y ya que ${\rho=\frac{q}{V}}$ $$\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}$$
Ahora supóngase que el campo eléctrico que produce $q$ es esféricamente simétrico, i.e. ${\mathbf{E}=E(r)\,\mathbf{\hat{r}}}$ y la carga es estacionaria, en ese caso, tomando la superficie $S$ como una esfera de radio $r$ que encierra a $q$, $$\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\oint\limits_S\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{\hat{r}}\right)\mathrm{d}S=r^2E(r)\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta=4\pi{r}^2\,E(r)$$ es decir $$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hspace{0.25in}\Longleftrightarrow\hspace{0.25in}\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\mathbf{\hat{r}}$$ que es (en términos de $E$) la famosísima Ley de Coulomb.
Fuente de imágenes: Wikipedia
Un ejemplo claro es este vídeo, cuando se dicen cosas como "I did decently in physics and I remember (the balls fall at a constant speed)" o "Like... in real life?" ("He salido decentemente en física y recuerdo (que los balones caen con velocidad constante)" o "Como... ¿en la vida real?")
La gente suele aprehender más por memoria que por entendimiento, y aunque no digo que lo sea todo, poder argumentar lógicamente, por ejemplo, por qué la aceleración de los balones (caída libre) es independiente de su masa, es clave para lograr un entendimiento amplio de la situación. A pesar de mi patológico rechazo a la multitud, sé que las personas no son estúpidas y sé que disfrutan entender las cosas al igual que yo lo hago.
Ach, die Physik! Die ist ja für die Physiker viel zu schwer! (David Hilbert)Como sea, aquí muestro la relación entre la ley de Coulomb del inverso del cuadrado de la distancia, la ley de Gauss, la correspondiente ecuación de Maxwell y el teorema de la divergencia, comenzando por los dos últimos; la razón de todo el preámbulo fue que en un curso introductorio de electrostática y magnetostática en que se trataba la ley de Gauss y la ley de Coulomb, siempre me resultó oscura y diarreicamente infernal la ley de Gauss y las misteriosas integrales con el maldito circulito en medio y cómo demonios las calculaba el profesor ¡¡¡!!!; el consejo que daría para leer esto entonces sin sentir náuseas, como yo, se sigue por obviedad.
Partiendo de la ecuación de Maxwell, $$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ donde $\rho$ es una densidad de carga (distribuida) sobre un volumen $V$; aplicando el teorema de la divergencia obtenemos $$\int\limits_V\nabla\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}V=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\int\limits_V\mathrm{d}V=\frac{\rho\,V}{\varepsilon_0}\,\Longrightarrow\,\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{\rho\,V}{\varepsilon_0}$$ donde $S\equiv\p{V}$ es la superficie frontera (cerrada) de $V$ y ya que ${\rho=\frac{q}{V}}$ $$\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}$$
Ahora supóngase que el campo eléctrico que produce $q$ es esféricamente simétrico, i.e. ${\mathbf{E}=E(r)\,\mathbf{\hat{r}}}$ y la carga es estacionaria, en ese caso, tomando la superficie $S$ como una esfera de radio $r$ que encierra a $q$, $$\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\oint\limits_S\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{\hat{r}}\right)\mathrm{d}S=r^2E(r)\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta=4\pi{r}^2\,E(r)$$ es decir $$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hspace{0.25in}\Longleftrightarrow\hspace{0.25in}\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\mathbf{\hat{r}}$$ que es (en términos de $E$) la famosísima Ley de Coulomb.
Fuente de imágenes: Wikipedia
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