El teorema de Green y el profesor presuntuoso

Interpretación del teorema de Green.
Imagen:Math Insight

Hace poco tiempo me vi envuelto en una discusión con una profesora acerca del teorema de Green. Y bueno, estas cuestiones ocurren en todos lados, seguido nos topamos con profesores o en general autoridades, que quizá al sentirse comprometidas, no son capaces de aceptar que se equivocan o siquiera de intentar razonar; las cosas son -o no- porque así ellos lo deciden. Y quién sabe, pueden ser sólo malos días o qué sé yo. El meollo del asunto -como menciona el título de esta entrada- es pues, con el teorema de Green y la profesora presuntuosa. La profesora invalidó el resultado de un problema de examen porque mencionaba el uso del teorema de Green.

Bien, ya explico entonces la situación.

El problema pedía calcular $\displaystyle{\oint_{C^+}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}}$, donde ${\mathrm{d}\mathbf{s}}$ es el elemento de línea, ${C:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2}$ es una curva simple cerrada... ¡sí, en ${\mathbb{R}^2}$! y ${\mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3}$. El alumno ha sugerido entonces utilizar el teorema de Green para resolver el problema, lo que casi le cuesta una mala nota, siendo que está en lo correcto.

El detalle es que en la literatura seguido se le llama teorema de Green en forma rotacional, o algo por el estilo, a la "aplicación del teorema de Green" en el espacio ${\mathbb{R}^3}$. A mi parecer es un tratamiento desafortunado, e incluso, en mi opinión, simplemente se debería tratar el tema como teorema de Stokes. Por supuesto me parece plausible el hablar de George Green, y mencionar el caso especial, pero creo que ahí debería quedar. Una situación similar sucede con las series de MacLaurin y las series de Taylor. El dilema es que suelen causar confusión entre alumnos primerizos y ahora hasta entre algunos profesores.

Supongamos para nuestro problema, que se tienen las funciones ${\mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3}$ y ${f_1,f_2,f_3:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}}$ de clase ${C^1}$, de modo que ${\mathbf{F}=(f_1,f_2,f_3)}$. Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes (en cursos básicos normalmente sólo se le llama teorema de Stokes, aunque Lord Kelvin comunicó esta forma del teorema a George Stokes) escribimos
$$\oint_{\partial{S}}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}=\iint\limits_S\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathbf{\hat{n}}\;\mathrm{d}S$$ donde S es alguna superficie en ${\mathbb{R}^3}$ cuya frontera es ${\partial{S}}$ y cuyo vector normal está dado por ${\mathbf{\hat{n}}}$; ${\mathrm{d}S}$ es el elemento de superficie. Para sentar ideas, se trata al espacio ${\mathbb{R}^3}$ como el dotado de ternas ${(x,y,z)}$, cuya base ortonormal se escribe ${\left\{\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\right\}}$ y a ${\mathbb{R}^2}$ como un subespacio para el cual ${z=c}$ (constante). Con esto se tiene ya toda la información para resolver el problema, hagámoslo entonces; se tiene
$$\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial{f_2}}{\partial{z}}-\frac{\partial{f_3}}{\partial{y}}\right)\;\hat{\imath}+\left(\frac{\partial{f_3}}{\partial{x}}-\frac{\partial{f_1}}{\partial{z}}\right)\;\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial{f_1}}{\partial{y}}-\frac{\partial{f_2}}{\partial{x}}\right)\;\hat{k}$$ sin embargo, no era necesario aventurarse a hacer esto, ya que se tiene la valiosa información de que ${z=c}$, por lo que notamos que ${\mathbf{\hat{n}}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial{x}}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial{y}}=\hat{k}}$ donde $\mathbf{r}$ es una parametrización de S en este espacio. De aquí surge la llamada forma rotacional del teorema de Green, que se caracteriza por la identidad
$$\oint_{\partial{S}}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}=\iint\limits_D\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot\hat{k}\;\mathrm{d}A$$ donde D es la región encerrada por ${\partial{S}}$ (es decir, una superficie plana) y ${\mathrm{d}A}$ el elemento de área de dicha región. Esto se considera una generalización en el espacio del teorema de Green, sin embargo sigue siendo simplemente un caso del teorema de Stokes. Regresando al dilema de la profesora, pues, se llega a la identidad
$$\oint_{\partial{S}}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}=\iint\limits_D\left(\frac{\partial{f_1}}{\partial{y}}-\frac{\partial{f_2}}{\partial{x}}\right)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y$$ que es precisamente la que caracteriza al teorema de Green. El argumento de la profesora, era que el teorema de Green pide funciones ${f_1,f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}}$ (estrictamente de regiones simples a $\mathbb{R}$), es decir, involucrar un campo ${\mathbf{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2}$, y así de fácil se estaba tomando la libertad de trasgredir la nota del compañero. Pues sí, estrictamente el teorema de Green así lo pide, sin embargo he ahí el problema con las etiquetas empleadas en la literatura que luego simplemente decidimos a memorizar cual pericos sin entender realmente cómo se están empleando y de dónde han surgido, pues el fallo no fue del alumno, sino de la profesora al penalizar algo que en esencia es correcto y no muestra ningún fallo en absoluto y que más bien muestra el poco entendimiento o cuidado que se tuvo desde un principio al redactar el problema.

Y pues sí, la discusión se tornó un poco intensa. En realidad la situación -en mi experiencia- es rara, pues casi siempre se antepone -y sobre todo al hacer matemáticas- la verdad antes que el orgullo de uno estar en lo correcto. Pero siempre hay personalidades peculiares o malos días o exceso de trabajo o demás estados extraños que no suelen favorecer. En fin.