Las ternas pitagóricas son soluciones enteras de la ecuación ${x^2+y^2=z^2}$. Invito a todo lector con conocimientos básicos de álgebra a seguir esta entrada, más que conocimientos previos se requiere voluntad para entender el cómo se obtienen todas las ternas. Extiendo la explicación de Carlos Ivorra Castillo y como segunda referencia, en el blog de Larry Freeman puede leerse un razonamiento análogo al aquí mostrado que no emplea aritmética modular.Lo que se quiere es encontrar las ternas pitagóricas no triviales o primitivas ${(a,b,c)}$, esto es, a partir de las cuales pueda generarse cualquier terna, ya que si ${(a,b,c)}$ es una terna, entonces ${(na,nb,nc)}$ también lo es para cualquier n entero. La solución primitiva entonces requiere que el máximo común divisor de la terna sea 1, esto suele escribirse como ${\mathrm{mcd}(a,b,c)=1}$.
Lo primero a notar es que no pueden ser pares los tres elementos de cualquier terna, ya que tendrían un divisor en común. De aquí, sabemos que la suma y diferencia tanto de pares como de impares es un número par, y un número es par o impar si y sólo si lo es su cuadrado, por lo que sólo puede haber un término par en una terna.Ahora bien, en $\mathbb{Z}$, que un número $\alpha$ divida a un número $\beta$ significa que existe un número $\gamma$ tal que ${\beta=\gamma\alpha}$ y se escribe ${\alpha|\beta}$ (léase $\alpha$ divide a $\beta$). Las siguientes propiedades son claves:
intenta demostrarlas utilizando la definición de ${\alpha|\beta}$. Esto nos es de utilidad pues, regresando a la ecuación ${x^2+y^2=z^2}$, nota que si ${p|x}$ y ${p|y}$, entonces ${p|(x^2+y^2)}$, y así ${p|z^2}$, con lo que ${p|z}$. Se sigue entonces que los elementos de una terna pitagórica son coprimos o primos entre sí dos a dos, es decir, ningún elemento tiene algún factor en común con algún otro elemento y así ${\mathrm{mcd}(x,y,z)=1}$.
Ahora bien, se llama clase de congruencia de $\alpha$ módulo n al conjunto
$$[\alpha]_n=\left\{\alpha^\prime\in\mathbb{Z}\mid\alpha^\prime\equiv\alpha\pmod{n}\right\}$$ para los ajenos al aritmética modular, ${\alpha^\prime\equiv\alpha\pmod{n}}$ es una relación de congruencia, se lee ${\alpha^\prime}$ es congruente con $\alpha$ módulo n, y significa simplemente que ${\exists\,\omega\in\mathbb{Z}}$ tal que ${\alpha^\prime-\alpha=\omega{n}}$, de donde se sigue que podemos escribir
$$[\alpha]_n=\left\{\alpha+\omega{n}\mid\omega\in\mathbb{Z}\right\}$$ así entonces, las clases de congruencia de ${\alpha=0,1,2,3,\ldots}$ módulo 3 son
\begin{align*}[0]_3&=\{0+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots-6,-3,0,3,6,\ldots\}\\{[1]_3}&=\{1+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7,\ldots\}\\{[2]_3}&=\{2+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8,\ldots\}\\{[3]_3}&=\{3+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,-3,0,3,6,9,\ldots\}\\&\vdots\end{align*} nota entonces que, por ejemplo, ${[0]_3=[3]_3}$, esto será importante más adelante. Podemos operar fácilmente con las clases de congruencia al obtener consecuencias para las relaciones de congruencia. Considera las siguientes propiedades:
Bien, pues todo esto nos sirve simplemente para saber qué término es par en una terna pitagórica. Supongamos que z es el término par, entonces ${x,y}$ son de la forma ${2\mu+1,\;2\eta+1}$, respectivamente, lo que significa que ${x^2=4\mu^2+4\mu+1}$ y ${y^2=4\eta^2+4\eta+1}$ y de este modo, podemos obtener consecuencias de la ecuación ${x^2+y^2=z^4}$ tomando clases módulo 4, esto es
$$[z]^2_4=[x]^2_4+[y]^2_4=[1]_4+[1]_4=[2]_4$$ sin embargo, nota que ninguna clase módulo 4 al cuadrado resulta en la clase ${[2]_4}$:
$$[z]^2_4=\left\{\begin{array}{ll}[2\chi+1]^2_4=[1]_4,&z\text{ es impar}\\[0.1in]{[2\chi]^2_4}=[0]_4,&z\text{ es par}\end{array}\right.$$ por tanto z no puede ser par.
Asumamos entonces sin pérdida de generalidad que x es par y y es impar. Hemos concluido además que z es impar, entonces sean ${x=2u,\;z+y=2v,\;z-y=2w}$, de modo que a partir de ${x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y)}$ se sigue que ${u^2=vw}$. Ahora bien, nota que ${v,w}$ son coprimos, i.e. ${\mathrm{mcd}(v,w)=1}$, ya que si existiera algún primo $\delta$ tal que ${\delta|v}$ y también ${\delta|w}$, entonces ${\delta|(v+w)=z}$ y también ${\delta|(v-w)=y}$, lo que contradiría que ${y,z}$ son coprimos, como se concluyó antes.
Ahora bien, por el teorema fundamental de la aritmética (o teorema de factorización única), en la expresión ${u^2=vw;\;v,w>0,\;\exists\,{p,q}}$ números primos tales que ${v=p^2,\;w=q^2}$. Aún más, en general si ${u,v,w\in\mathbb{Z}^+}$ con ${u^n=vw}$ y ${\mathrm{mcd}(v,w)=1}$, entonces existen ${p,q}$ tales que ${v=p^n,\;w=q^n}$. Es sencillo ver que ${u^2=p^2q^2}$ empleando máximo común divisor; aquí se muestran algunas propiedades, sólo verifica tú mismo que para ${a,b,c}$ enteros, ${\mathrm{mcd}(a,b)\mathrm{mcd}(a,c)=\mathrm{mcd}\left(a\;\mathrm{mcd}(a,b,c),bc\right)}$. Entonces se sabe que ${\mathrm{mcd}(u,v,w)=1}$ y ${vw=u^2}$, y así:
\begin{align*}vw&=\mathrm{mcd}(vw,u)^n\\[0.1in]&=\mathrm{mcd}(vw,u\;\mathrm{mcd}(u,v,w))^n\\[0.1in]&=\left(\mathrm{mcd}(v,u)\mathrm{mcd}(w,u)\right)^n\\[0.1in]&=\mathrm{mcd}(v,u)^n\mathrm{mcd}(w,u)^n\\[0.1in]&=u^n\mathrm{mcd}(v,w)^n=u^n\end{align*} esto es ${vw=\mathrm{mcd}(v,u)^n\mathrm{mcd}(w,u)^n=p^nq^n}$ de donde se sigue ${v=p^n,\;w=q^n}$. Aún más, sólo se pide que ${p,q}$ sean coprimos, ya que ${\mathrm{mcd}(v,w)=1\;\Longrightarrow{\mathrm{mcd}(p,q)=1}}$.
Y está resuelto el problema, tenemos entonces que
\begin{align*}z&=v+w=p^2+q^2\\[0.1in]y&=v-w=p^2-q^2\\[0.1in]x&=2u=2pq\end{align*} esto es, las ternas pitagóricas (para ${x^2+y^2=z^2}$ ) están dadas por
$$(x,y,z)=(2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)$$ donde ${p,q}$ son coprimos y de paridad contraria. Algunos ejemplos son
$$\begin{array}{llc}p&\hspace{0.25in}q&\hspace{0.25in}x^2+y^2=z^2\\[0.15in]2&\hspace{0.25in}1&\hspace{0.25in}4^2+3^2=5^2\\3&\hspace{0.25in}2&\hspace{0.25in}12^2+5^2=13^2\\4&\hspace{0.25in}3&\hspace{0.25in}24^2+7^2=25^2\\5&\hspace{0.25in}3&\hspace{0.25in}30^2+16^2=34^2\end{array}$$ De aquí puede generarse cualquier terna muy mona que sea múltiplo del caso ${p=2,\;q=1}$, como por ejemplo ${6^2+8^2=10^2}$, ${9^2+12^2=15^2}$, ${12^2+16^2=20^2}$, etc... Lo importante es que ya conocemos TODAS las soluciones a la ecuación ${x^2+y^2=z^2}$. Te felicito si has seguido la entrada hasta aquí, yo he disfrutado mucho aprendiendo y luego compartiendo. En teoría de números éste es un resultado básico.
Lo primero a notar es que no pueden ser pares los tres elementos de cualquier terna, ya que tendrían un divisor en común. De aquí, sabemos que la suma y diferencia tanto de pares como de impares es un número par, y un número es par o impar si y sólo si lo es su cuadrado, por lo que sólo puede haber un término par en una terna.Ahora bien, en $\mathbb{Z}$, que un número $\alpha$ divida a un número $\beta$ significa que existe un número $\gamma$ tal que ${\beta=\gamma\alpha}$ y se escribe ${\alpha|\beta}$ (léase $\alpha$ divide a $\beta$). Las siguientes propiedades son claves:
Si $\displaystyle{\alpha|\beta}$ y $\displaystyle{\beta|\gamma}$, entonces $\displaystyle{\alpha|\gamma}$.
Si ${\alpha|\beta}$ y ${\alpha|\gamma}$ entonces ${\alpha|(\beta{x}+\gamma{y}),\;\forall{\;(x,y)\in\mathbb{Z}}}$.
intenta demostrarlas utilizando la definición de ${\alpha|\beta}$. Esto nos es de utilidad pues, regresando a la ecuación ${x^2+y^2=z^2}$, nota que si ${p|x}$ y ${p|y}$, entonces ${p|(x^2+y^2)}$, y así ${p|z^2}$, con lo que ${p|z}$. Se sigue entonces que los elementos de una terna pitagórica son coprimos o primos entre sí dos a dos, es decir, ningún elemento tiene algún factor en común con algún otro elemento y así ${\mathrm{mcd}(x,y,z)=1}$.
Ahora bien, se llama clase de congruencia de $\alpha$ módulo n al conjunto
$$[\alpha]_n=\left\{\alpha^\prime\in\mathbb{Z}\mid\alpha^\prime\equiv\alpha\pmod{n}\right\}$$ para los ajenos al aritmética modular, ${\alpha^\prime\equiv\alpha\pmod{n}}$ es una relación de congruencia, se lee ${\alpha^\prime}$ es congruente con $\alpha$ módulo n, y significa simplemente que ${\exists\,\omega\in\mathbb{Z}}$ tal que ${\alpha^\prime-\alpha=\omega{n}}$, de donde se sigue que podemos escribir
$$[\alpha]_n=\left\{\alpha+\omega{n}\mid\omega\in\mathbb{Z}\right\}$$ así entonces, las clases de congruencia de ${\alpha=0,1,2,3,\ldots}$ módulo 3 son
\begin{align*}[0]_3&=\{0+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots-6,-3,0,3,6,\ldots\}\\{[1]_3}&=\{1+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7,\ldots\}\\{[2]_3}&=\{2+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8,\ldots\}\\{[3]_3}&=\{3+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,-3,0,3,6,9,\ldots\}\\&\vdots\end{align*} nota entonces que, por ejemplo, ${[0]_3=[3]_3}$, esto será importante más adelante. Podemos operar fácilmente con las clases de congruencia al obtener consecuencias para las relaciones de congruencia. Considera las siguientes propiedades:
Si ${\alpha_1\equiv\beta_1\pmod{n}}$ y ${\alpha_2\equiv\beta_2\pmod{n}}$, entonces:
$$\alpha_1+\alpha_2\equiv\beta_1+\beta_2\pmod{n}$$ y también
$$\alpha_1\alpha_2\equiv\beta_1\beta_2\pmod{n}$$
de este modo que se tiene simplemente que ${[\alpha]_n+[\beta]_n=[\alpha+\beta]_n}$ y también ${[\alpha]_n\cdot[\beta_n]=[\alpha\cdot\beta]_n}$. Puedes leer la demostración y más acerca de congruencias en este documento.$$\alpha_1+\alpha_2\equiv\beta_1+\beta_2\pmod{n}$$ y también
$$\alpha_1\alpha_2\equiv\beta_1\beta_2\pmod{n}$$
Bien, pues todo esto nos sirve simplemente para saber qué término es par en una terna pitagórica. Supongamos que z es el término par, entonces ${x,y}$ son de la forma ${2\mu+1,\;2\eta+1}$, respectivamente, lo que significa que ${x^2=4\mu^2+4\mu+1}$ y ${y^2=4\eta^2+4\eta+1}$ y de este modo, podemos obtener consecuencias de la ecuación ${x^2+y^2=z^4}$ tomando clases módulo 4, esto es
$$[z]^2_4=[x]^2_4+[y]^2_4=[1]_4+[1]_4=[2]_4$$ sin embargo, nota que ninguna clase módulo 4 al cuadrado resulta en la clase ${[2]_4}$:
$$[z]^2_4=\left\{\begin{array}{ll}[2\chi+1]^2_4=[1]_4,&z\text{ es impar}\\[0.1in]{[2\chi]^2_4}=[0]_4,&z\text{ es par}\end{array}\right.$$ por tanto z no puede ser par.
Asumamos entonces sin pérdida de generalidad que x es par y y es impar. Hemos concluido además que z es impar, entonces sean ${x=2u,\;z+y=2v,\;z-y=2w}$, de modo que a partir de ${x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y)}$ se sigue que ${u^2=vw}$. Ahora bien, nota que ${v,w}$ son coprimos, i.e. ${\mathrm{mcd}(v,w)=1}$, ya que si existiera algún primo $\delta$ tal que ${\delta|v}$ y también ${\delta|w}$, entonces ${\delta|(v+w)=z}$ y también ${\delta|(v-w)=y}$, lo que contradiría que ${y,z}$ son coprimos, como se concluyó antes.
Ahora bien, por el teorema fundamental de la aritmética (o teorema de factorización única), en la expresión ${u^2=vw;\;v,w>0,\;\exists\,{p,q}}$ números primos tales que ${v=p^2,\;w=q^2}$. Aún más, en general si ${u,v,w\in\mathbb{Z}^+}$ con ${u^n=vw}$ y ${\mathrm{mcd}(v,w)=1}$, entonces existen ${p,q}$ tales que ${v=p^n,\;w=q^n}$. Es sencillo ver que ${u^2=p^2q^2}$ empleando máximo común divisor; aquí se muestran algunas propiedades, sólo verifica tú mismo que para ${a,b,c}$ enteros, ${\mathrm{mcd}(a,b)\mathrm{mcd}(a,c)=\mathrm{mcd}\left(a\;\mathrm{mcd}(a,b,c),bc\right)}$. Entonces se sabe que ${\mathrm{mcd}(u,v,w)=1}$ y ${vw=u^2}$, y así:
\begin{align*}vw&=\mathrm{mcd}(vw,u)^n\\[0.1in]&=\mathrm{mcd}(vw,u\;\mathrm{mcd}(u,v,w))^n\\[0.1in]&=\left(\mathrm{mcd}(v,u)\mathrm{mcd}(w,u)\right)^n\\[0.1in]&=\mathrm{mcd}(v,u)^n\mathrm{mcd}(w,u)^n\\[0.1in]&=u^n\mathrm{mcd}(v,w)^n=u^n\end{align*} esto es ${vw=\mathrm{mcd}(v,u)^n\mathrm{mcd}(w,u)^n=p^nq^n}$ de donde se sigue ${v=p^n,\;w=q^n}$. Aún más, sólo se pide que ${p,q}$ sean coprimos, ya que ${\mathrm{mcd}(v,w)=1\;\Longrightarrow{\mathrm{mcd}(p,q)=1}}$.
Y está resuelto el problema, tenemos entonces que
\begin{align*}z&=v+w=p^2+q^2\\[0.1in]y&=v-w=p^2-q^2\\[0.1in]x&=2u=2pq\end{align*} esto es, las ternas pitagóricas (para ${x^2+y^2=z^2}$ ) están dadas por
$$(x,y,z)=(2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)$$ donde ${p,q}$ son coprimos y de paridad contraria. Algunos ejemplos son
$$\begin{array}{llc}p&\hspace{0.25in}q&\hspace{0.25in}x^2+y^2=z^2\\[0.15in]2&\hspace{0.25in}1&\hspace{0.25in}4^2+3^2=5^2\\3&\hspace{0.25in}2&\hspace{0.25in}12^2+5^2=13^2\\4&\hspace{0.25in}3&\hspace{0.25in}24^2+7^2=25^2\\5&\hspace{0.25in}3&\hspace{0.25in}30^2+16^2=34^2\end{array}$$ De aquí puede generarse cualquier terna muy mona que sea múltiplo del caso ${p=2,\;q=1}$, como por ejemplo ${6^2+8^2=10^2}$, ${9^2+12^2=15^2}$, ${12^2+16^2=20^2}$, etc... Lo importante es que ya conocemos TODAS las soluciones a la ecuación ${x^2+y^2=z^2}$. Te felicito si has seguido la entrada hasta aquí, yo he disfrutado mucho aprendiendo y luego compartiendo. En teoría de números éste es un resultado básico.
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