La caída de un gato

Un gato colgado patas arriba de un árbol puede dejarse caer (sin impulso alguno) y aún así aterrizar sobre sus patas. ¿Cómo es posible esto?, ¿cómo es que los gatos logran enderezarse de ese modo y caer sobre sus patas? Esto es algo bien conocido pero seguido con explicaciones incorrectas. Quizá la más famosa es la que involucra un movimiento de la cola y así permite al gato enderezarse. Sin embargo, por ejemplo, los gatos Manx no tienen cola y aun pueden caer sobre sus patas en esta situación.

Un gato efectivamente logra retorcer su cuerpo para cambiar su orientación, cambiando su forma o configuración interna. ¿Cómo logra esto? Desde el bachillerato se habla del teorema de conservación del momento angular, que puede leerse: En ausencia de torcas externas, el momento angular total del sistema permanece constante. Una torca o momento de fuerza, hace que un cuerpo gire alrededor de un eje de rotación. Es decir, si nada perturba el movimiento del gato durante la caída, éste no debería poder cambiar su orientación espontáneamente o violaría la ley de conservación del momento angular. O bien, si comenzara la caída rotando sobre sí mismo, no debería poder detener esta rotación.

Lo que hace el director Skinner es precisamente mantener constante el momento angular corriendo sobre la caja, es decir, hace que cambie el momento angular de la caja, pero lo contrarresta con su propio momento angular al correr sobre ella. Matemáticamente simplemente escribimos ${L_i=L_f=L_{Sf}+L_{cf}}$ donde L se utiliza para momento angular y los subíndices se refieren a inicial, final, Skinner final y caja final. Esto de contrarrestar cambios en el momento angular de un sistema es de utilidad para entender la caída de los gatos.

En el caso de los gatos, el cambio de orientación lo logran por sí mismos cambiando de forma. Esto ocurre porque para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría, el momento angular depende de la forma del cuerpo y la velocidad angular con la que gira. Matemáticamente escribimos ${L=I\omega}$, donde I depende de la forma del cuerpo, llamado momento de inercia (mide qué tan difícil es cambiar la rotación del cuerpo), y $\omega$ es la velocidad angular. De aquí se sigue que si tenemos ${I_i\omega_i=I_f\omega_f}$, para los valores iniciales y finales, puedes, por ejemplo hacer más grande ${I_f}$ que ${I_i}$ siempre y cuando ${\omega_i}$ sea más grande que ${\omega_f}$. Un cambio de momento de inercia se compensa con un cambio contrario de velocidad angular, pues. Esto es particularmente evidente con una patinadora de hielo o una bailarina, que de hecho son ya ejemplos clásicos, pero sumamente enriquecedores. Este es el principio básico para entender lo que está sucediendo en la caída de un gato. Un ejemplo más próximo es el de un astronauta que cambia de orientación por sí mismo al mover los brazos como si removiera una poción de un caldero con una pala. Hasta aquí debe ser fácil imaginarlo.

En general los físicos y matemáticos estudian este tipo de cosas con la llamada geometría diferencial, que básicamente estudia la geometría de superficies (en general de variedades) y de donde aparecen nociones bastante divertidas como la curvatura, la torsión e incluso algo de lo que he estado hablando tan a la ligera: la orientabilidad. En palabras llanas "orientación" es definir "hacia" algún lado, pero todo esto está bien formalizado en las matemáticas, de donde surgen las tan extrañas superficies no orientables. La banda de Moebius, por supuesto, es la más famosa y puedes hacerte una con sólo un trozo de papel.

Finalmente para la curvatura, se tiene la llamada holonomía, que se relaciona con qué tanta información geométrica se conserva al moverse sobre una superficie. La palabra moverse se conoce como transporte paralelo y se ilustra en la imagen en un recorrido cíclico sobre una esfera. Haz un puño, levanta el dedo pulgar y sigue las flechas en el recorrido sobre la esfera (es decir, mantén el pulgar formando un ángulo fijo respecto al cambio en cada arco y no lo gires al pasar de un arco a otro). El ángulo $\alpha$ entre tu pulgar inicial y tu pulgar final es análogo al cambio de orientación del gato y el recorrido cíclico es análogo a la deformación del gato. En trigonometría esférica, los ángulos del triángulo formado por el recorrido no suman $\pi$ como en el plano, si no más. Observa que si la esfera se hace enorme (decimos que el radio ${r\to\infty}$), el espacio se vuelve prácticamente plano, y así, podemos decir que y ${\alpha=\Delta-\pi}$, donde $\Delta$ es la suma de ángulos del triángulo, es decir, la curvatura es crucial en el llamado cambio de fase $\alpha$. La conexión es prácticamente evidente entre el gato y este ejemplo sencillo: el recorrido por el triángulo esférico es análogo al movimiento del gato y el cambio de fase es análogo a la reorientación del gato. Aunque es un ejemplo muy mono, es sorprendente la conexión tan íntima entre la caída de un gato y temas, que aunque presentados aquí de manera terrenal, son sumamente abstractos e intrínsecamente exactos. En fin, esto no es más que una invitación por adentrarse -al nivel propio- a las matemáticas tan exquisitas que permean la naturaleza.