Una pelota de tenis mojada que rota

Hace poco me encontré esta imagen de una pelota de tennis mojada rotando sobre su propio eje (fuente):


La imagen me pareció interesante, más que por el sentido estético, porque como físico sé que las gotas deben salir por la tangente a cada punto de la superficie de la pelota y describir líneas rectas. Como sea, en la imagen los chorros de agua prácticamente parecen salen por la normal a cada punto y en realidad forman espirales.

¿Qué curva describen realmente las gotas de agua y cómo es compatible con la noción física usual?
Responderlo es relativamente sencillo utilizando únicamente mecánica clásica (matemáticamente no más que cálculo vectorial).

Para empezar podemos reducir la situación a una dos dimensional, y con la pelota siendo un disco (del cual sólo importa la superficie) y las gotas partículas puntuales. Por simplicidad, consideremos una pelota de radio unitario y que rota con una velocidad angular constante $\omega$, de modo que la posición $\vec{r}$ de una gota descrita en la superficie de la pelota, que idealizamos como circular, a cada tiempo $t\geq0$, está dada por
\begin{equation}\vec{r}(t)\equiv(\cos\omega{t},\sin\omega{t})\end{equation} y entonces, su velocidad tangencial es
\begin{equation}\vec{v}(t)\equiv\frac{d\vec{r}}{dt}=\omega(-\sin\omega{t},\cos\omega{t})\end{equation} Así entonces, una gota que a un momento $t_0\in[0,t]$ sale de la superficie de la pelota describe una recta dada por
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{t_0}(t)&=\vec{r}(t_0)+\vec{v}(t_0)(t-t_0)\nonumber\\
&=(\cos\omega{t_0}-\omega(t-t_0)\sin\omega{t_0},\sin\omega{t_0}+\omega(t-t_0)\cos\omega{t_0})\end{align}

Rotación sentido antihorario
Vale, el problema realmente está resuelto, sólo queda considerar una familia de gotas e intentar visualizar y comprobar si podemos reproducir el fenómeno que se observa en la imagen. Consideremos primero rotaciones en sentido antihorario, i.e. $\omega>0$. Por simplicidad hagamos $\omega=1$.

El caso más simple es el de $t_0=0$,
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_0(t)&=(1,t)\end{align}

que es bastante aburrido ;-) Consideremos entonces una colección de gotas, donde la $n$-ésima gota está dada por
\begin{equation}\vec{r}_n(t)=\left(\cos(t+\theta_n),\sin(t+\theta_n)\right)\end{equation} cuya velocidad tangencial es
\begin{equation}\vec{v}_n(t)\equiv\frac{d\vec{r}_n}{dt}=\left(-\sin(t+\theta_n),\cos(t+\theta_n)\right)\end{equation} y de manera análoga, ahora
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{t_0,\theta_n}(t)&=\vec{r}_n(t_0)+\vec{v}_n(t_0)(t-t_0)\end{align} y para $t_0=0$,
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{0,\theta_n}(t)&=(\cos\theta_n-t\sin\theta_n,\sin\theta_n+t\cos\theta_n)\end{align}

Aquí he tomado los $\theta_n$'s igualmente espaciados por facilidad en Mathematica, pero en general las gotas podrían desprenderse en cualquier punto.

Viene entonces el caso que nos interesa, que es que se desprendan gotas casi continuamente de la pelota, es decir, considerar diversos valores $t_0$ en el intervalo $[0,t]$ muy ligeramente espaciados. Las ecuaciones para la gota en $\theta_n$ que se desprende al tiempo $t_0$ es
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{t_0,\theta_n}(t)&=\left(\cos(t_0+\theta_n)-(t-t_0)\sin(t_0+\theta_n),\sin(t_0+\theta_n)+(t-t_0)\cos(t_0+\theta_n)\right)\label{dranticlock}\end{align} Graficando y visualizando en el tiempo varias de ellas se obtiene algo así


y prácticamente hemos reproducido el fenómeno de la fotografía. Vemos entonces que la pregunta que realmente queríamos responder es: ¿qué curva describen los 'chorros' de agua? Y eso es sencillo, ¡sólo hay que tomarle una foto a la ecuación (\ref{dranticlock})! Una forma de hacer esto es tomar un $t>0$ dado y graficar en $0\leq{t}_0\leq{t}$ para los diversos $\theta_n$, a modo de 'regresar la película' para cada $t_0$ ;-) El caso más sencillo es tomar $t=2\pi$; considera además por ahora $\theta_n=0$,
\begin{equation}\mathcal{C}_{\theta_n=0}(t_0)\equiv\vec{\mathcal{D}}_{t_0,0}(2\pi)=\left(\cos{t}_0-(2\pi-t_0)\sin{t}_0,\sin{t}_0+(2\pi-t_0)\cos{t}_0\right)\end{equation} que podemos escribir como
\begin{equation}\vec{\mathcal{C}}_{0}(t_0)=\left(\cos(2\pi-t_0)-(2\pi-t_0)\sin(t_0-2\pi),\sin(t_0-2\pi)+(2\pi-t_0)\cos(2\pi-t_0)\right)\end{equation} ya que $\cos(2\pi-x)=\cos{x}$ y $\sin(x-2\pi)=\sin{x}$, entonces haciendo $\tau\equiv{2\pi-t_0}$,
\begin{align}\vec{\mathcal{C}}_{0}(\tau)&=\left(\cos\tau-\tau\sin(-\tau),\sin(-\tau)+\tau\cos\tau\right)\nonumber\\
&=\left(\cos\tau+\tau\sin\tau,-\sin\tau+\tau\cos\tau\right)\end{align} que es la ecuación paramétrica de la curva llamada evolvente. Si consideramos el caso general para cualquier $\theta_n$, llegamos a
\begin{align}\vec{\mathcal{C}}_{\theta_n}(\tau)&=\left(\cos(\tau-\theta_n)+\tau\sin(\tau-\theta_n),-\sin(\tau-\theta_n)+\tau\cos(\tau-\theta_n)\right)\end{align}

y en efecto puede comprobarse que los chorros, i.e. la evolvente del círculo, es normal a cada punto de la superficie (e.g con $\vec{v}_n(0)\cdot\vec{\mathcal{C}}_{\theta_n}(0)=0$).

Rotación sentido horario
La única razón de haber tomado la rotación en sentido antihorario (además de la sospecha de que así se reproduciría la foto), es que no quería estar rastreando un signo negativo en las ecuaciones. Pero Mathematica no tiene ese problema, así que sólo hay que tomar $\omega<0$ y ya está.

Finalmente, cuando buscaba más imágenes e información sobre los chorros de agua, seguido me encontré con que se asume que los chorros describen o una espiral logarítmica o una espiral de Fibonacci, sobre todo -supongo- porque estas espirales son populares con otros fenómenos de la naturaleza. Como sea, acá estoy sobre-simplificando la cuestión y no descarto la posibilidad de que así sea (aunque no he encontrado ningún recurso que lo pruebe): el tratamiento de los chorros de agua de la pelota seguramente se puede complicar tanto como se quiera, permitiendo velocidades angulares grandes, incluyendo efectos como la interacción entre gotas, la fricción del aire, presencia de un campo gravitacional, etc...

Acá dejo el código que utilicé para hacer los GIF's en Mathematica:

A cien años del nacimiento del teorema de Noether: su relación con la Relatividad General

Para noviembre de 1915, Albert Einstein había dado a la relatividad general su forma final a través de las ecuaciones que llevan su nombre. Unos días después, el poco menos conocido para la población general pero también brillantísimo David Hilbert, enviaría para publicación las mismas ecuaciones de campo obtenidas independientemente (aunque ya con la mesa conceptual puesta por Einstein) a través del irrazonablemente efectivo principio de mínima acción. Tanto menos conocida todavía es Amalie Emmy Noether, que por el mismo tiempo, e influenciada/motivada por Hilbert y el desarrollo de la relatividad general, tenía listo ya (aunque se publicaría en 1918) el bellísimo teorema que hoy en física se conoce por su nombre.

Imagen sobre Emmy Noether creada por el Perimeter Institute (publicada en su cuenta de Twitter)

Aunque desconozco su nivel de popularidad entre los matemáticos, Emmy Noether ciertamente es una rockstar entre los físicos y aún más entre los teóricos. Su vida es en sí misma bastante interesante, siendo desfavorables gran parte de las circunstancias de la época para una mujer que extrañamente estaba interesada en las matemáticas (concretamente se dice que la segunda mujer en dedicarse a las matemáticas en la historia reciente). Irónicamente, aunque Noether es ampliamente celebrada en la física, su teorema no fue más que un pequeño paseíllo en su interés por la teoría de grupos y el resto de su trabajo se restringió únicamente a las matemáticas.


Aunque el teorema de Noether no es del mismo calibre que el de una teoría (como la propia relatividad general), es un ingrediente esencial en el entendimiento de la realidad física. Aunque a muchas personas la palabra teorema les invoque algo escalofriante, la idea central del teorema de Noether es realmente simple: A cada simetría continua de las leyes de la física corresponde una cantidad conservada.

Symmetry <-> Conservation law Emmy Noether

— Analysis Fact (@AnalysisFact) April 21, 2015

Usualmente se parafrasea de este modo para no meter la pata en algo esencial (como la palabra continua). Para los dummies como yo, básicamente se trata de que cuando un sistema físico permanece inalterado ante una alteración pequeñita dada, existirá una cantidad que no cambiará con el tiempo. El ejemplo más común es el que se enseña en la secundaria sobre la conservación de la energía (la energía no se crea ni se destruye) que corresponde a que las leyes de la física son las mismas sin importar el paso del tiempo (hay una simetría temporal continua: traslaciones temporales). De manera análoga, la conservación de momento (o cantidad de movimiento) corresponde a una simetría ante traslaciones espaciales y la conservación de momento angular corresponde a una simetría ante rotaciones espaciales. Estos son los casos más sencillos en la mecánica clásica, pero seguido las teorías físicas contienen otros tipos de simetría (a veces más evidentes, a veces menos evidentes) y aparecen nuevas cantidades conservadas: el mejor ejemplo es el de la carga eléctrica, que surge de la simetría de la propia teoría electromagnética. Así pues, el teorema de Noether es de una importancia crucial en la física aunque no se trate de una teoría en particular.

Vale, ya entrando en materia, aunque normalmente el teorema de Noether se introduce en mecánica clásica a los estudiantes de licenciatura, el teorema realmente germinó en Emmy Noether a través de la relatividad general cuando en 1915 fue invitada por David Hilbert y Felix Klein a trabajar a la Universidad de Gotinga. Una famosa anécdota*, que refleja claramente las ideas de género de la época, es la de algunos profesores de humanidades reclamando a la llegada de Noether

¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la Universidad y encuentren que deben aprender a los pies de una mujer?

y Hilbert contestando

No veo que el género del candidato sea un argumento contra su admisión como Privatdozent. Después de todo, somos una Universidad, no un baño público.

A pesar de las objeciones, Emmy llegó a Gotinga, aunque sin recibir un salario (siendo mantenida por su familia, misma situación que tuvo, ya como profesora, desde hacía casi 7 años en su ciudad natal) por algún tiempo y tratada como mera ayudante de Hilbert, justo prácticamente al mismo tiempo en que Einstein fue invitado a dar una serie de charlas sobre sus ideas en relatividad general. Hilbert estaba ampliamente interesado en la teoría de Einstein y en la física en general, por lo que obtuvo por su cuenta (quizá poco antes o poco después de Einstein) las ecuaciones de campo de la teoría y las publicó apenas unos días después de que lo hiciera Einstein. Como sea, aunque como menciona Einstein en su artículo, la relatividad general estaba completa como construcción lógica, aún había un detalle que era desconcertante: la hasta entonces bien establecida conservación de la energía, que deja de ser cierta en esta teoría.

Desde Galileo (básicamente desde el inicio de la ciencia moderna), el concepto de simetría en física ha sido vital. Un grupo de simetría es una colección de un tipo particular de funciones matemáticas (como las traslaciones o las rotaciones) llamadas transformaciones, que al aplicarse a un objeto dado, lo dejan inalterado. Se dice entonces que un grupo de simetría X corresponde a una teoría física cuando las ecuaciones de la teoría no cambian al aplicarles las transformaciones de X. En particular, el grupo de simetría de la mecánica clásica es llamado grupo de Galileo y contiene las transformaciones de traslación, rotación y desplazamientos a velocidad constante. De manera análoga, el grupo de simetría de la relatividad especial es el llamado grupo de Poincaré, que contiene traslaciones, rotaciones y un tipo especial de rotaciones llamados boosts. En el caso de la relatividad general, el grupo de simetría es el de los 'cambios de coordenadas', de modo que la teoría es exactamente la misma sin importar con qué coordenadas se le vea (lo que los físicos llaman covariancia general y que hace a la teoría naturalmente formulable en términos tensoriales, lo que seguido es atemorizante cuando uno como estudiante la quiere aprender).

Una diferencia crucial entre los cambios de coordenadas y las traslaciones, las rotaciones o los 'boosts', es que de los primeros existe una infinidad, mientras que de los otros existe solamente una cantidad finita con la que se puede generar cualquier otro. Este detalle es básicamente el que hace que la conservación de energía no se cumpla en la relatividad general, pues la 'energía', o más precisamente el tensor de energía-momento, termina dependiendo de las coordenadas que se usan para calcularlo. Emmy Noether, pues, entendió esta diferencia esencial en lo que Hilbert llamaba 'teoremas de energía propios e impropios' y lo empleó para formular su teorema, que en realidad son dos, uno para cada caso.

Para entender con mayor profundidad la historia del desarrollo del teorema ciertamente se requiere al menos cierta familiaridad con la relatividad general; un recuento bastante interesante y que vale la pena leer es el siguiente:

E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws
Nina Byers
arXiv:physics/9807044 [physics.hist-ph]

Emmy Noether proved two deep theorems, and their converses, on the connection between symmetries and conservation laws. Because these theorems are not in the mainstream of her scholarly work, which was the development of modern abstract algebra, it is of some historical interest to examine how she came to make these discoveries. The present paper is an historical account of the circumstances in which she discovered and proved these theorems which physicists refer to collectively as Noether's Theorem. The work was done soon after Hilbert's discovery of the variational principle which gives the field equations of general relativity. The failure of local energy conservation in the general theory was a problem that concerned people at that time, among them David Hilbert, Felix Klein, and Albert Einstein. Noether's theorems solved this problem. With her characteristically deep insight and thorough analysis, in solving that problem she discovered very general theorems that have profoundly influenced modern physics.

Asimismo en el arXiv se encuentra una traducción al inglés del artículo original de Noether:

Invariant Variation Problems
Emmy Noether, M. A. Tavel

The problems in variation here concerned are such as to admit a continuous group (in Lie's sense); the conclusions that emerge from the corresponding differential equations find their most general expression in the theorems formulated in Section 1 and proved in following sections. Concerning these differential equations that arise from problems of variation, far more precise statements can be made than about arbitrary differential equations admitting of a group, which are the subject of Lie's researches. What is to follow, therefore, represents a combination of the methods of the formal calculus of variations with those of Lie's group theory. For special groups and problems in variation, this combination of methods is not new; I may cite Hamel and Herglotz for special finite groups, Lorentz and his pupils (for instance Fokker), Weyl and Klein for special infinite groups. Especially Klein's second Note and the present developments have been mutually influenced by each other, in which regard I may refer to the concluding remarks of Klein's Note.

Un Hamiltoniano igual a cero

Hoy recordé esta cuestión de que en Relatividad Especial uno siempre puede parametrizar una línea de mundo casi con el parámetro que se le dé la gana. Lo siguiente casi seguramente nunca se hace en la licenciatura porque lo que hay detrás es un mundo bastante grande, explorado por vez primera (hasta donde sé) por Dirac, sin embargo es un cálculo que si bien es desconcertante, puede abrir el apetito bastante para comenzar a explorar este mundo por cuenta propia. Únicamente se requiere saber Mecánica Clásica en formalismos de Lagrange y Hamilton.

Comparto lo siguiente a manera de puzzle:

1. Recuerda el Lagrangiano para una partícula de masa $m=1$ de posición $q$, sujeto a un potencial $V=V(q)$,
   \begin{equation}L=L(q,\dot{q})=\frac{1}{2}\dot{q}^2-V(q)\end{equation} de modo que la acción $S$ está dada por
   \begin{equation}S=\int_{t_1}^{t_2}{dt}\left[\frac{1}{2}\dot{q}^2-V(q)\right]\end{equation}
2. Introduce un nuevo parámetro $\lambda$ tal que $t=t(\lambda)$, de modo que obtengas que
   \begin{equation}S=\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}d\lambda\left[\frac{1}{2}\frac{\tilde{q}^2}{\tilde{t}}-V(q)\tilde{t}\right]\end{equation} donde ahora $\tilde{q}\equiv\frac{dq}{d\lambda}$.
3. Identifica el nuevo Lagrangiano
   \begin{equation}\mathcal{L}=\mathcal{L}(q,\tilde{q},\tilde{t})\equiv\frac{1}{2}\frac{\tilde{q}^2}{\tilde{t}}-V(q)\tilde{t}\end{equation}
   
4. Calcula el Hamiltoniano
   \begin{equation}\mathcal{H}\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\tilde{q}}\tilde{q}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\tilde{t}}\tilde{t}-\mathcal{L}\end{equation} y encuentra
   \begin{equation}\mathcal{H}=0\end{equation}
5. Si es la primera vez que obtienes un Hamiltoniano igual a cero de una teoría (Lagrangiano) que obviamente es dinámica, éste eres tú:
   
   

Los que ya saben qué ocurre seguramente se siguen deleitando con este resultado; de cualquier modo si no sabes por qué $\mathcal{H}=0$ puedes leer esta entrada: Cuantización de sistemas singulares e invariancia ante reparametrizaciones (que sobre cuantización de sistemas singulares tiene poco) que escribí cuando investigaba sobre el tema en un Proyecto Terminal de la Licenciatura y que muestra además cómo recuperar las ecuaciones de Schrödinger y de Klein-Gordon (en el caso relativista) al cuantizar. Como dije, el tema es bastante extenso y se conecta directamente, entre otras, a las teorías de norma (o gauge), así que puede ser un buen paso en una interesante dirección ;-)

Cuantización de sistemas singulares e invariancia ante reparametrizaciones

Los conceptos necesarios para seguir esta entrada están discutidos con detalle aquí: Sistemas Hamiltonianos Singulares.

Partícula unidimensional parametrizada
El Lagrangiano de la partícula unidimensional de masa unitaria y de coordenada ${x=x(t)}$ sujeta a un potencial ${V=V(x)}$ es de la forma
\begin{equation}L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}\dot{x}^2-V(x)\end{equation} que evidentemente no es singular, y la correspondiente acción está dada por
\begin{equation}S\equiv\int_{A}^{B}L\,dt=\int_A^B\left(\frac{1}{2}\dot{x}^2-V(x)\right)\,dt\end{equation} para la partícula fija en los extremos temporales ${A,B}$. Ahora considérese introducir un parámetro $\tau$ tal que ${x=x(\tau)}$ y ${t=t(\tau)}$ con ${\tau\in[\alpha,\beta]}$, entonces puede escribirse
\begin{align}S&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2}{\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2}-V(x)\right]\frac{dt}{d\tau}\,d\tau\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}-t^\prime\,V(x)\right]\,d\tau\label{dagger}\end{align} donde ${x^\prime\equiv{dx}/d\tau}$ y de manera análoga para ${t^\prime}$. Sin embargo parece que esta elección fue bastante particular, mejor considérese una reparametrización general ${\tau\to{f}={f}(\tau)}$ que solo por consistencia mantenga ${f(\alpha)=\alpha}$, ${f(\beta)=\beta}$ y ${f^\prime>0}$, de modo que (\ref{dagger}) se escribe
\begin{align}S&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{df}\right)^2}{\left(\frac{dt}{df}\right)}-\frac{dt}{df}\,V(x)\right]df\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{d\tau}\frac{d\tau}{df}\right)^2}{\left(\frac{dt}{d\tau}\frac{d\tau}{df}\right)^2}-\frac{dt}{d\tau}\frac{d\tau}{df}\,V(x)\right]\frac{df}{d\tau}d\tau\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2}{\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2}-\frac{dt}{d\tau}\,V(x)\right]\left(\frac{d\tau}{df}\right)\left(\frac{d\tau}{df}\right)^{-1}d\tau\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}-t^\prime\,V(x)\right]\,d\tau\end{align} y entonces esta acción es invariante ante reparametrizaciones.

Ahora bien, con el nuevo Lagrangiano en el parámetro $\tau$, se tiene que
\begin{equation}L=\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}-t^\prime{V}(x)\end{equation} y así, la matriz Hessiana
\begin{align}W\equiv\left(\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^j}\right)=\begin{pmatrix}\frac{1}{t^\prime}&-\frac{x^\prime}{t^{\prime\,2}}\\
-\frac{x^\prime}{t^{\prime\,2}}&\frac{x^{\prime\,2}}{t^{\prime\,3}}\end{pmatrix}\end{align} cuyo determinante evidentemente es nulo. Aquí se tiene entonces que la invariancia ante reparametrizaciones es una simetría local que introducirá nuevas restricciones en el sistema que originalmente no habían. Ésta es precisamente una característica de las teorías covariantes generales (o con covariancia general), en donde la idea es que las coordenadas son meros artificios para describir la teoría y no juegan un papel fundamental en la naturaleza.

Véase que se ha llegado aquí con el solo hecho de volver a $t$ una coordenada más y dejar al simple parámetro $\tau$ jugar el papel de $t$. Para pasar a la descripción Hamiltoniana, se tiene que
\begin{align}p_x&=\frac{\partial{L}}{\partial{x}^\prime}=\frac{x^\prime}{t^\prime}\\
p_t&=\frac{\partial{L}}{\partial{t}^\prime}=-\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^{\prime\,2}}-V(x)\end{align} y la restricción primaria es
\begin{equation}\phi_1=\frac{1}{2}p_x^2+p_t+V(x)\approx0\end{equation} de modo que para el Hamiltoniano Total,
\begin{align}\mc{H}_T&=q^{\prime\,i}p_i-L+u^1\phi_1\nonumber\\
&=x^{\prime}p_x+t^{\prime}p_t-\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}+t^\prime{V}(x)+u^1\phi_1\nonumber\\
&=u^1\phi_1\end{align} de donde se sigue que el Hamiltoniano Canónico es nulo, ${\mc{H}=0}$ (!).

Esto resultaría desconcertante si se desconociera el trabajo de Dirac. Aquí se tiene idénticamente ${\{\phi_1,\mc{H}_T\}=0}$ con la conservación de la restricción primaria, que además es de primera clase y por lo que no hay más restricciones y ${u^1}$ queda indeterminado. En este caso el generador de la transformación de norma para algún ${\epsilon=\epsilon(t)}$ arbitrario es
\begin{equation}G=\epsilon\phi_1\end{equation} de modo que las transformaciones de norma infinitesimales son
\begin{align}
\delta{x}&\approx\{x,G\}=\frac{\partial{G}}{p_x}=\epsilon{p}_x\\
\delta{t}&\approx\{t,G\}=\frac{\partial{G}}{\partial{p}_t}=\epsilon\\
\delta{p}_x&\approx\{p_x,G\}=-\frac{\partial{G}}{\partial{x}}=-\frac{dV}{dx}\\
\delta{p}_t&\approx\{p_t,G\}=-\frac{\partial{G}}{\partial{t}}=0
\end{align} Finalmente véase que al cuantizar, ya que
\begin{equation}\hat{\phi}_1\psi=0\end{equation} se sigue que
\begin{align}\hat{p}_t\psi=\left[-\frac{1}{2}\hat{p}_x^2-\hat{V}(x)\right]\psi\end{align} es decir,
\begin{align}i\hbar\frac{\p\psi}{\p{t}}=\left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\p^2}{\p{x}^2}+\hat{V}(x)\right]\psi\end{align} que es la ecuación de Schrödinger unidimensional para una partícula de masa unitaria sujeta a un potencial ${V(x)}$.

Partícula libre unidimensional relativista
En este caso se considera de manera análoga en un parámetro $\tau$ el Lagrangiano
\begin{equation}L(t,t^\prime,x,x^\prime)=-\sqrt{t^{\prime\,2}-x^{\prime\,2}}\end{equation} que básicamente surge de que la acción de una partícula relativista viajando en una línea de mundo $\mc{C}$ es $S=-\int_\mc{C}ds$ (el signo negativo simplemente hace que la aproximación Newtoniana se recupere eligiendo a $t$ como parámetro) y que puede verificarse es singular mediante el determinante de la matriz Hessiana, además de mantener invariante la acción ante reparametrizaciones. Los momentos conjugados son
\begin{align}p_t&=\frac{\p{L}}{\p{t}^\prime}=-\frac{t^\prime}{\sqrt{t^{\prime\,2}-x^{\prime\,2}}}\\
p_x&=\frac{\p{L}}{\p{x}^\prime}=\frac{x^\prime}{\sqrt{t^{\prime\,2}-x^{\prime\,2}}}\end{align} y la restricción primaria puede proponerse como
\begin{equation}\phi\equiv\frac{1}{2}\left({p}_x^2-p_t^2+1\right)\approx0\end{equation} además, construyendo el Hamiltoniano Total es evidente que éste es proporcional a la restricción, de modo que el Hamiltoniano Canónico nuevamente es nulo y se sigue que la restricción primaria es de primera clase. Para algún ${\epsilon=\epsilon(t)}$ arbitrario, la función generadora es ${G=\epsilon\phi}$, de modo que las transformaciones de norma infinitesimales son
\begin{align}
\delta{t}&=-p_t\\
\delta{x}&=p_x\\
\delta{p_t}&=\delta{p}_x=0
\end{align} Finalmente de manera análoga al ejemplo anterior, al cuantizar, ${\hat{\phi}\psi=0}$ se traduce en
\begin{equation}\left(1+\hat{p}_x^2-\hat{p}_t^2\right)\psi=0\end{equation} es decir
\begin{equation}\left(\frac{\p^2}{\p{t}^2}-\frac{\p^2}{\p{x}^2}+\frac{1}{\hbar^2}\right)\psi=0\end{equation} o bien
\begin{equation}\left(\square+\frac{1}{\hbar^2}\right)\psi=0\end{equation} que es la ecuación de Klein-Gordon en unidades naturales (${c=1}$) para una partícula libre unidimensional y de masa unitaria. En [1] se discute a detalle el proceso de cuantización y cómo la recuperación de estas ecuaciones al cuantizar, junto con otras características, constituyen ejemplos de la consistencia del método de Dirac.

[1] Luis F. Urrutia, Introducción a la cuantización de sistemas singulares, Curso presentado en la VII Escuela de Verano en Física: La visión molecular de la materia.

Sistemas Hamiltonianos Singulares

Las teorías de norma (empleo norma como traducción de gauge) son sistemas con constricciones cuya dinámica se deriva de los llamados Lagrangianos singulares. En general un Lagrangiano singular posee simetrías locales de gran relevancia para la teoría de norma en cuestión; para esto se puede emplear tanto una formulación Lagrangiana como una formulación Hamiltoniana. La discusión sistemática de la formulación Hamiltoniana de teorías de norma se debe a Paul Dirac en los primeros dos capítulos de [2]. Tales teorías son de particular relevancia, dado que todas las interacciones de la naturaleza presuntamente son teorías de norma.

Una teoría de norma puede pensarse como aquella en que las variables dinámicas están especificadas con respecto a un marco de referencia cuya elección es arbitraria para todo tiempo, y tienen como propiedad característica que la solución general de las ecuaciones de movimiento contienen funciones arbitrarias dependientes del tiempo, i.e. variables no observables o variables físicamente irrelevantes, llamadas variables (grados de libertad) gauge o de norma.

En [1] se muestra que aunque la medida de Liouville (localmente una medida ${6n}$-dimensional de Lebesgue) se conserva, el volumen en el espacio fase es puramente un término de norma, por lo que resulta de importancia dedicar una sección al estudio de los sistemas dinámicos singulares e introducir algunos conceptos de las teorías de norma.

Formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana
Comenzando por la formulación Lagrangiana, las condiciones para que la acción de un sistema clásico sea estacionaria son las ecuaciones de Euler-Lagrange
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}^i}=0\label{1}\end{equation} para las coordenadas generalizadas ${q^i(i=1,\ldots,N)}$ y la Lagrangiana ${L=L(q,\dot{q})}$, de modo entonces que también se tiene ${\partial_{\dot{q}}L=\partial_{\dot{q}}L(q,\dot{q})}$, y así, por regla de la cadena, la ec. (\ref{1}) se escribe como
\begin{equation}\ddot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}\dot{q}^i}=\frac{\p{L}}{\partial{q}^i}-\dot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial{q}^{\tilde{\imath}}\partial\dot{q}^i}\end{equation} de donde se tiene que si la matriz Hessiana
\begin{equation}W\equiv\left(\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}}\right)\end{equation} es invertible, entonces las aceleraciones ${\ddot{q}^{\tilde{\imath}}}$ están unívocamente determinadas por las posiciones y las velocidades en todo tiempo $t$, lo que se reduce a pedir que $\det(W)\neq0$.

Restricciones Primarias
El caso de interés en una teoría de norma es precisamente en el que $\det(W)=0$, y en ese caso se habla de un Lagrangiano $L$ singular. Esto es equivalente a que por definición del momento conjugado a ${q^i}$,
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}\label{2}\end{equation} no habrá invertibilidad en general de ${\dot{q}^i}$ en términos de ${q^i,\,p_i}$, de modo que existen ciertas restricciones o constricciones
\begin{equation}\phi_j(q,p)=0,\hspace{0.5in}j=1,\ldots,M\end{equation} para los momentos conjugados llamadas primarias (primary constraints en la terminología de Dirac) dado que no implican restricción en las coordenadas ni en las velocidades y que no se emplearon directamente las ecuaciones (\ref{1}) ni de Hamilton para obtenerlas, sino únicamente la definición del momento conjugado. Aquí ${M=N-R}$ con $R$ el rango de $W$.

Estas restricciones primarias definen una subvariedad ${\Gamma_P\subset\Gamma}$ suavemente encajada en el espacio fase $\Gamma$ naturalmente llamada la superficie de constricción primaria. Sobre las restricciones primarias deben establecerse ciertos criterios de regularidad; para el detalle sobre estas condiciones véase la §1.1.2 de [3].

Ecuaciones de Hamilton
Luego para pasar a la descripción Hamiltoniana a partir de la Lagrangiana, se introduce el Hamiltoniano canónico $\mathcal{H}$ como
\begin{equation}\mathcal{H}\equiv\dot{q}^ip_i-L\end{equation} que en los cursos básicos de mecánica suele hacerse énfasis en que éste es dependiente de coordenadas y momentos, no velocidades. Esto puede verse evaluando el cambio $\delta\mc{H}$ frente a variaciones arbitrarias e independientes de coordenadas y velocidades, i.e.
\begin{align}\delta\mc{H}&=\dot{q}^i\delta{p}_i+p_i\delta\dot{q}^i-\underbrace{\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}}_{\equiv{p}_i}\delta\dot{q}^i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\nonumber\\
&=\dot{q}^i\delta{p}_i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\label{3}\end{align} donde $\delta{p}_i$ no es una variación independiente sino una combinación lineal de ${\delta{q}^i}$ y ${\delta\dot{q}^i}$ dado que $p=p(q,\dot{q})$. Esto significa entonces que ${\mc{H}=\mc{H}(p,q)}$, de modo que también se satisface
\begin{equation}\delta\mc{H}=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}\delta{p}_i+\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\end{equation} entonces igualando con (\ref{3}),
\begin{equation}\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}-\dot{q}^i\right)\delta{p}_i+\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\right)\delta{q}^i=0\end{equation} donde evidentemente a partir de la definición (\ref{2}), ${\dot{p}=\p_{q}L}$, sin embargo recuérdese que para el caso de interés, $\delta{p}$ debe mantener las restricciones primarias.

En [3] (Teorema 1.2) o en [4] (Proposición 2, §3.3), de distinta forma, puede verificarse que entonces existen ciertos parámetros ${u^j}$ tales que
\begin{align}\dot{q}^i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{p}_i}\\
\dot{p}_i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{q}^i}\\
\phi_j&(q,p)=0\label{4}\end{align} que generaliza las ecuaciones de Hamilton cuando $\mc{H}$ está bien definido sobre ${\Gamma_P}$. Es relevante incluir la última ecuación y hacer énfasis en que se satisface luego de realizar las derivadas parciales en las ecuaciones anteriores. Los $M$ parámetros ${u^j}$ pueden interpretarse en general como parámetros indeterminados de Lagrange ([3]) o bien en [4] se emplean directamente como velocidades ${\dot{q}^j}$ indeterminadas.

De manera análoga al caso no singular, en términos de sistemas singulares la derivada temporal de cualquier función arbitraria ${f=f(q,p)}$ puede escribirse en términos del conocido paréntesis de Poisson
\begin{equation}\{A,B\}\equiv\frac{\p{A}}{\p{q}^i}\frac{\p{B}}{\p{p}_i}-\frac{\p{A}}{\p{p}_i}\frac{\p{B}}{\p{q}^i}\end{equation} como
\begin{equation}\dot{f}=\{f,\mc{H}\}+u^j\{f,\phi_j\}\label{5}\end{equation}

Restricciones Secundarias
Una de las consecuencias de las ecuaciones (\ref{4}), en términos de Dirac, son las llamadas restricciones secundarias, llamadas así precisamente por obtenerse de las ecuaciones de Hamilton, opuesto a las restricciones primarias. Evidentemente las restricciones primarias deben conservarse, por lo que
\begin{equation}\dot{\phi}_j=\{\phi_j,\mc{H}\}+u^{\tilde{\jmath}}\{\phi_j,\phi_{\tilde{\jmath}}\}=0\label{6}\end{equation} que en caso de no imponer restricciones en las ${u^j}$ y de que la relación de coordenadas y momentos sea independiente de las restricciones primarias ([3]), las relaciones (\ref{6}) se llamarán restricciones secundarias. Análogamente las condiciones secundarias al conservarse pueden implicar nuevas condiciones secundarias y así nuevamente.

Ecuaciones Débiles: Restricciones de Primera y Segunda Clase
Luego de las ecuaciones (\ref{4}) deben asumirse las restricciones primarias a las que está sujeto el sistema singular. Como definición, Dirac introduce el concepto de ecuación débil como sigue: ${f\approx{g}}$ significa que $f$ es débilmente igual a $g$ siempre que $f$ es igual a $g$ en ${\Gamma_P\subset\Gamma}$. En contraste, la ecuación ${f=g}$ puede ser referida como fuerte en tanto es cierta en todo $\Gamma$. La ecuación débil ${f\approx{g}}$ entonces es una notación pŕactica equivalente a escribir ([3])
\begin{equation}f\approx{g}\,\Longleftrightarrow\,f-g=c^j\phi_j\end{equation} para algún ${c^j=c^j(q,p)}$, o bien, aún más explícitamente, como el conjunto de ecuaciones ([4])
\begin{align}f&=g\\
\phi_j&=0\end{align} Una vez que se han extraido todas las constricciones independientes del sistema $\varphi_\ell\,(\ell=1,\ldots,M,\ldots,\tilde{M})$, primarias y secundarias, éstas pueden clasificarse en constricciones de primera clase y de segunda clase.

Las constricciones $\gamma_{c_1}$ serán llamadas de primera clase, si su paréntesis de Poisson con todas las constricciones se anula débilmente,
\begin{equation}\{\gamma_{c_1},\varphi_\ell\}\approx0,\hspace{0.2in}\forall\ell,\,c_1=1,\ldots,N_1\end{equation} al resto de constricciones se les llama de segunda clase y les denotaré con ${\chi_{c_2}\,(c_2=1,\ldots,N_2)}$, con ${\tilde{M}=N_1+N_2}$, que se asume son tales que no existe combinación lineal que sea de primera clase.

En general cualquier función ${f=f(q,p)}$ que satisfaga
\begin{equation}\{f,\varphi_\ell\}\approx0,\,\forall\ell\end{equation} se dirá de primera clase y la que no lo satisfaga, se dirá de segunda clase.

El Hamiltoniano Total
Ya que se han extraido todas las constricciones ${\varphi_\ell}$, entonces ya se pueden estudiar las restricciones sobre las ${u^j}$ que imponen las ecuaciones
\begin{equation}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}\approx0\label{8}\end{equation} En [3] se encuentra que la solución general es de la forma
\begin{equation}u^j\approx{U}^j+v^a{V_a}^j\end{equation} donde $U^j$ es una solución particular de la ecuación inhomogénea, i.e.
\begin{equation}U^j\approx-\{\phi_j,\,\varphi_\ell\}^{-1}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}\end{equation} y ${v^a{V_a}^j}$ es la solución más general (una combinación lineal con ${a=1,\ldots,A}$) de la ecuación homogénea asociada con coeficientes ${v^a}$ arbitrarios, i.e.
\begin{equation}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}\approx0\label{9}\end{equation} Así entonces, las ecuaciones (\ref{5}) pueden escribirse simplemente como
\begin{equation}\dot{f}\approx\{f,\mc{H}_T\}\label{10}\end{equation} donde se define el llamado Hamiltoniano Total ${\mc{H}_T}$ como
\begin{equation}\mc{H}_T\equiv\mc{H}+(U^j+v^a{V_a}^j)\phi_j\end{equation} es decir, definiendo
\begin{align}\mc{H}^\prime&\equiv\mc{H}+U^j\phi_j\\
\phi_a&\equiv{V_a}^j\phi_j\end{align} se tiene que
\begin{equation}\mc{H}_T=\mc{H}^\prime+v^a\phi_a\end{equation} que se sabe contiene $A$ funciones arbitrarias ${v^a}$ -que no son funciones a priori de las variables canónicas- y que hace (\ref{10}) equivalente a las ecuaciones de Euler-Lagrange (\ref{1}).

Transformaciones de Norma
Las constricciones de primera clase están íntimamente conectadas con los grados de libertad de norma. La presencia de las funciones arbitrarias ${v^a}$ en ${\mc{H}_T}$ es lo primero que señala que no todas las variables canónicas son observables; esto significa que aunque el estado físico de un sistema está dado una vez conocidas las variables canónicas, habrá más de un conjunto de funciones de las variables canónicas representando el mismo estado. Sin embargo, dado un conjunto inicial de variables canónicas, las ecuaciones de movimiento deben determinar completamente el estado físico del sistema en tiempos posteriores. Así entonces cualquier ambigüedad en el valor de las variables canónicas en un tiempo distinto a un tiempo con condiciones iniciales dadas debe ser una ambigüedad físicamente irrelevante. Una transformación que no altera el estado físico de un sistema se llama entonces transformación de norma.

Considérese una variable dinámica ${f=f(q,p)}$ con un valor inicial ${f_0}$ dado. El valor de $f$ en un tiempo $\delta{t}\ll1$ (conociendo las expresiones dadas por (\ref{10})) es
\begin{equation}f(\delta{t})=f_0+\left(\{f,\mc{H}^\prime\}+v^a\{f,\phi_a\}\right)\delta{t}\end{equation} Ahora bien, ya que los valores ${v^a}$ son arbitrarios, supóngase que para el mismo $f$ con valor inicial ${f_0}$, se elige un valor ${\tilde{v}^a}$; entonces la diferencia ${\Delta{f}}$ entre los valores de $f$ en un tiempo $\delta{t}$ será
\begin{equation}\Delta{f}(\delta{t})=\delta\varepsilon^a\{f,\phi_a\}\label{11}\end{equation} con $\delta\varepsilon^a\equiv(v^a-\tilde{v}^a)\delta{t}$, que precisamente dada la arbitrariedad de los ${v^a}$, debe ser físicamente irrelevante, i.e. $f$ describe el mismo estado al tiempo $\delta{t}$. Éstas son precisamente transformaciones de norma. La función generadora de esta transformación infinitesimal es ${\delta\varepsilon^a}$.

Nótese que de (\ref{8}),
\begin{align}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}&=-\{\mc{H},\varphi_\ell\}-u^j\{\phi_j,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}+u^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime+v^a{V_a}^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime,\,\varphi_\ell\}-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} y por (\ref{9}),
\begin{align}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}=-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} por lo que ${\phi_a}$ y por tanto también ${\mc{H}^\prime}$ y por tanto también ${\mc{H}_T}$ son de primera clase.

Esto significa entonces junto con (\ref{11}), que las restricciones primarias de primera clase generan transformaciones de norma.

En general, en [3] puede verse que el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\phi_{\tilde{a}}\}}$ de cualesquiera dos restricciones primarias de primera clase y el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ de cualquier restricción primaria de primera clase y el Hamiltoniano de primera clase, generan una transformación de norma. Estos paréntesis de Poisson serán a su vez de primera clase. Aunque parece bastante inofensivo, en [5] puede leerse que Dirac fue quien propuso que ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ sería también generador de transformaciones gauge y pasarían alrededor de cuarenta años antes de que esta propuesta se demostrara en [3].

Dirac postularía luego que toda restricción secundaria de primera clase también genera transformaciones gauge (conjetura de Dirac), sin embargo pueden generarse contraejemplos, y aunque nada impide que aparezcan restricciones secundarias de primera clase, típicamente únicamente se asume que todas las restricciones de primera clase generan transformaciones de norma ([3]).

El Hamiltoniano Extendido
En la sección del Hamiltoniano Total se consideran únicamente las restricciones primarias de primera clase al llegar al Hamiltoniano Total. Al considerar de manera análoga también las restricciones secundarias de primera clase, se obtiene el llamado Hamiltoniano Extendido ${\mc{H}_E}$, de modo que éste podrá contener tantas transformaciones de norma arbitrarias como restricciones de primera clase. De este modo entonces,
\begin{equation}\mc{H}_E\equiv\mc{H}^\prime+v^a\gamma_a\end{equation} es la forma del Hamiltoniano Extendido, que es una función de primera clase. La etiqueta de extendido se refiere al hecho de que ${\mc{H}_E}$ extiende --y no solo recupera, como ${\mc{H}_T}$-- el formalismo Lagrangiano al considerar todos los grados de libertad de norma posibles. Así entonces Hamiltoniano Extendido da la evolución temporal más general posible para cualquier sistema singular o con libertad de norma.

Paréntesis de Dirac
Considérense todas las restricciones de segunda clase $\chi_{\mc{C}_1}$ tales que no existe combinación lineal de ellas que sea de primer clase. Tomemos dos restricciones $\varphi_{_{1,2}}$ tales que
\begin{equation}\{\chi_{_1},\chi_{_2}\}=\mc{C}\end{equation} para alguna constante $\mc{C}$ y ahora supóngase que se emplea cuantización canónica de modo que
\begin{equation}[\hat{\chi}_{_1},\,\hat{\chi}_{_2}]=i\hbar\mc{C}\label{7}\end{equation} con el conmutador ${[\hat{A},\hat{B}]\equiv\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}}$. Clásicamente debe satisfacerse
\begin{equation}\chi_{_{1,2}}\approx0\end{equation} lo que no puede llevarse a ${\hat{\chi}_{_{1,2}}\psi=0}$, pues se tendría una contradicción con (\ref{7}).

El argumento de Dirac ([2]) es entonces simplemente ignorar estos grados de libertad y trabajar únicamente con los grados de libertad restantes con un paréntesis de Poisson modificado que respete las restricciones del sistema y lleve a una cuantización consistente.

Las restricciones de segunda clase no son generadores de transformaciones de norma; su existencia únicamente significa que que hay grados de libertad irrelevantes físicamente. Lo que se hace entonces es generalizar el paréntesis de Poisson al llamado paréntesis de Dirac, que contiene únicamente grados de libertad con relevancia física y con el que se puede llevar a cabo una cuantización consistente.

Considérense todas las constricciones de segunda clase $\chi$ (tales que no puede construirse una combinación lineal de éstas que sea de primer clase). Dirac demuestra ([2]) que la matriz de coeficientes
\begin{equation}C_{ab}\equiv\{\chi_a,\,\chi_b\}\end{equation} tiene determinante no nulo de modo que (en este caso) la inversa ${C^{ab}}$ existe ([2]), satisfaciendo
\begin{equation}C^{ab}C_{bc}={\delta^a}_b\end{equation} El paréntesis de Dirac entre dos funciones del espacio fase ${f,g}$ entonces se define como
\begin{equation}\{f,g\}^*\equiv\{f,g\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,g\}\end{equation} Este nuevo paréntesis por supuesto debe satisfacer bilinealidad, antisimetría, ley del producto y la identidad de Jacobi justo como lo hace el paréntesis de Poisson; además obviamente debe reducirse al paréntesis de Poisson para sistemas no singulares.

Dos consecuencias importantes de el paréntesis de Dirac son las siguientes. Primero, las ecuaciones de movimiento (\ref{10}) pueden escribirse en términos del paréntesis de Dirac de manera equivalente,
\begin{equation}\{f,\mc{H}_T\}^*\approx\{f,\mc{H}_T\}\end{equation} ya que se sabe que ${\mc{H}_T}$ es de primera clase. Además el paréntesis de Dirac de cualquier variable dinámica $f$ con cualquier variable $\chi_{_\zeta}$ se anulará,
\begin{align}\{f,\chi\}^*&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,\chi_\zeta\}\nonumber\\
&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}{\delta^a}_\zeta\nonumber\\
&=0\end{align} esto significa entonces que puede tomarse ${\chi=0}$ en sentido fuerte. De este modo uno puede deshacerse de las restricciones de segunda clase y entonces proceder a una cuantización canónica de forma consistente únicamente con restricciones de primera clase.

Al emplear los paréntesis de Dirac e imponer fuertemente las constricciones de segunda clase sugiere emplear el proceso conocido como \emph{fijar la norma}, que consiste básicamente en escoger un punto representativo del sistema en cada órbita generada por las restricciones de primera clase ([6]).

Cuantización Estándar
En [6] se muestra de manera condensada el proceso de cuantización estándar, mismo que por completitud se presenta en este trabajo. Para cuantizar se considera el siguiente procedimiento:
i) Se introducen los paréntesis de Dirac, imponiendo fuertemente las constricciones de segunda clase.
ii) Se cuantiza con el principio de correspondencia
\begin{equation}[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar\{A,B\}^*\end{equation} iii) Las restricciones de primera clase se promueven a operadores, pidiendo que aniquilen el estado cuántico del sistema ${|\psi\rangle}$, i.e.
\begin{equation}\hat\gamma|\psi\rangle=0\end{equation} de modo que el estado cuántico del sistema sea invariante de norma.
iv) Se construye el Hamiltoniano Total y la evolución del sistema cuántico está dada por
\begin{equation}i\hbar\frac{d|\psi\rangle}{dt}=\hat{\mc{H}}_T|\psi\rangle\end{equation}

[1] Alejandro Corichi & David Sloan, Inflationary Attractors and their Measures, arXiv: 1310.6399 (2013).
[2] Paul A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Dover Publications, 2001.
[3] Marc Henneaux & Claudio Teitelbom, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, 1994.
[4] Heinz Rothe & Klaus Rothe, Classical and Quantum Dynamics of Constrained Hamiltonian Systems, World Scientific Publishing, 2010.
[5] Yong-Long Wang et al., The Dirac Conjecture and the Non-uniqueness of Lagrangian, arXiv: 1306.3580v5 (2013).
[6] Luis F. Urrutia, Introducción a la cuantización de sistemas singulares, Curso presentado en la VII Escuela de Verano en Física: La visión molecular de la materia.

Toros Invariantes KAM y Huecos Resonantes

Hace unos días presenté junto con una compañera este tema, al que sólo agregaría en el título, "en el Sistema Solar", ya que expusimos en específico el caso del cinturón de asteroides y de los anillos de Saturno. El tema es de lo más divertido; es como si uno adquiriese algo así como un elemento de entendimiento riquísimo acerca de la belleza del Sistema Solar, y en general, del universo.

Acá dejo pues, la presentación: Toros Invariantes KAM y Huecos Resonantes.
** Actualización: En mayo de 2014 presentamos este tema en el Seminario de Alumnos de la UAM-I; tiene casi el doble de diapositivas aunque éstas son más conceptuales y mucho más visuales: Toros Invariantes KAM y Huecos Resonantes en el Sistema Solar (Seminario)

Aunque para entender propiamente el tema se requiere conocer la teoría de Hamilton-Jacobi y por supuesto el Teorema KAM, ambas presentaciones son más bien cualitativas; a lo mucho se muestran las variables acción y de ahí las frecuencias para el problema de tres cuerpos restringido circular. En Mathematica ilustramos, con ayuda de Wolfram Demonstrations, los puntos de Lagrange y un mapeo desarrollado por Jan Frøyland para los anillos de Saturno.


Para los puntos de Lagrange, se considera el potencial efectivo para el problema de tres cuerpos restringido circular
\begin{equation}\Omega\equiv\frac{1}{2}(x^2+y^2)+\frac{1-\mu}{r_1}+\frac{\mu}{r_2}\end{equation} y de ahí se encuentran las raíces para la fuerza. En este documento que escribí hace un tiempo puedes encontrar más detalles: El problema de $n$-cuerpos en la entrada del mismo nombre.

(*** DEFINICION DEL POTENCIAL EFECTIVO ***)
V[x_,y_,M_]:=1/2 (x^2+y^2)+(1-M)/Sqrt[(x+M)^2+y^2]+M/Sqrt[(x+M-1)^2+y^2]
M=1/12;

(*** ENCUENTRA PUNTOS DE LAGRANGE Y GRAFICA CON EL MAPA DE CONTORNO DE V ***)
Module[{sols, deriv, L1, L2, L3, L4, L5},
deriv = D[V[x, 0,M], x];
L1 = FindRoot[deriv == 0, {x, 0}];
L2 = FindRoot[deriv == 0, {x, 1.5}];
L3 = FindRoot[deriv == 0, {x, -1}];
L4 = FindRoot[{D[V[x,y,M] ,x]== 0, D[V[x,y,M],y] == 0}, {{x, 0}, {y, 1}}];
L5 = FindRoot[{D[V[x,y,M],x] == 0, D[V[x,y,M],y] == 0}, {{x, 0}, {y, -1}}];
sols = {{x /. L1, 0,V[x /.L1, 0,M]},
{x /. L2, 0, V[x /.L2, 0,M]},
{x /. L3, 0, V[x /.L3, 0,M]},
{x /. L4, y /.L4,V[x /.L4, y /.L4,M]},
{x /.L5, y /.L5, V[x /.L5, y /.L5,M]}};

ContourPlot[
V[x, y,M], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, MaxRecursion -> Automatic, 
Frame -> False, PerformanceGoal->"Quality", ImageSize->500,
ContourShading->None, ContourStyle->Black, Contours->20,
Epilog -> {PointSize[.025], Red, Point[Most[#] & /@ sols]}]]

Para el modelo de Frøyland, se describe la distribución de partículas entre los radios ${r_0\approx185.5\times10^3\,\mathrm{km}}$ (distancia del centro de Saturno a Mimas, el satélite perturbativo) y ${r_s\approx60.5\times10^3\,\mathrm{km}}$ (radio de la superficie de Saturno). De la tercera ley de Kepler, se sabe que una partícula de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor de Saturno tendrá un periodo $\tau$ tal que ${\tau^2=\frac{4\pi^2}{Gm}r^3}$. Como radio de referencia se considera ${r_0}$, de modo que cada vez que Mimas completa una órbita alrededor de Saturno, su posición angular cambia en ${2\pi}$, mientras que para una partícula en ${r_0<{r}_n<{r}}$ tras la $n$-ésima órbita, con periodo ${\tau_n}$, su posición angular $\theta_n$ variará ligeramente de la de Mimas. Frøyland entonces describe el ángulo ${\theta_{n+1}}$ módulo ${2\pi}$ para la ${(n+1)}$-órbita vía \begin{equation}\theta_{n+1}=\theta_n+2\pi\left(\frac{\tau_0}{\tau_n}\right)=\theta_n+2\pi\left(\frac{r_0}{r_n}\right)^{3/2}\end{equation} Ésta es la mitad del mapeo, pues la posición radial también debería cambiar debido al efecto perturbativo de Mimas. Frøyland considera la solución de la ecuación ${\ddot{r}=\mc{F}_n}$ con $\mc{F}_n$ fuerza radial por unidad de masa (segunda ley de Newton) por diferencias finitas, promediando la aceleración en un periodo completo de Mimas (${\Delta{t}=\tau_0}$)
\begin{equation}\mc{F}_n=\frac{r_{n+1}-2r_n+r_{n-1}}{\tau_0^2}\end{equation} también, por método de Euler, ${\mc{F}_n(r_n,\theta_n)=f_n(r_n,\theta_n)/\tau_0^2}$, de donde propone
\begin{equation}f_n=-A\frac{\cos\theta_n}{(r_0-r_n)^2}\end{equation} con $A$ una constante positiva. Presuntamente la forma de ${f_n}$ es mucho más complicada si se consideran los efectos de otras lunas además de Mimas, por ello se permite un rango bastante amplio para $A$. De aquí se sigue finalmente que
\begin{equation}r_{n+1}=2r_n-r_{n-1}-A\frac{\cos\theta_n}{(r_0-r_n)^2}\end{equation} Nos hemos enterado primero de este trabajo en Orden y caos en sistemas complejos, que desafortunadamente no obtiene el mapa de Frøyland, sino que únicamente lo presenta. No he logrado encontrar el trabajo original de Frøyland, ni trabajos posteriores al respecto, e. g. de Gould y Tobochnik, sin embargo la referencia en donde encontré básicamente el razonamiento (un tanto de handwaving, como se dice en inglés) que aquí muestro es It's a nonlinear world de Richard Enns, que me parece suficiente para saber cómo funciona la cosa, a menos que uno decida aventarse un clavado más profundo en el tema.

El mapeo de Frøyland puede visualizarse como sigue en Mathematica.

(*** NUMERO DE ITERACIONES Y VALOR ARBITRARIO DE LA CONSTANTE A ***)
nit=4000;
A=180;

(* MAPEO EN COORDENADAS POLARES. j->Condiciones iniciales *)
Quiet[With[{Puntos=Map[#1[[1]] {Cos[#1[[2]]],Sin[#1[[2]]]}&,
Table[
RecurrenceTable[
{r[n+1]==2 r[n]-r[n-1]-(A Cos[T[n]])/(r[n]-185.7)^2,
T[n+1]==T[n]+2Pi (185.7/r[n])^(3/2),
r[0]==66+3 j, r[1]==r[0], T[0]==0}, {r,T}, {n,1,nit}],
{j,40}],
{2}]},
(* DIBUJA LOS PUNTOS DEL MAPEO *)
ListPlot[Puntos, AspectRatio->1, Axes->False,
PlotStyle->{PointSize[.001]}, PlotRange->180{{-1,1},{-1,1}},
ImageSize->500 ,
(* PLANETA *)
Epilog->{RGBColor[0,0,0], Disk[{0,0},60]}]]]

Interferencia en Rendijas Múltiples

Considérese una fuente de luz monocromática que pasa a través de tres rendijas paralelas separadas entre sí por una distancia $d$. Por simplicidad además, considérese que las ondas tienen la misma amplitud $\mathcal{E}$, la misma longitud de onda $\lambda$, y así la misma frecuencia angular $\omega$ y una diferencia de fase constante ${\phi=\frac{d\sin\theta}{\lambda}}$ donde ${\theta\ll1}$ es el ángulo entre la normal a las rendijas y el vector al punto de incidencia.

Se tiene entonces que las tres ondas que emergen de las rendijas son de la forma
\begin{align}\mathbf{E}_1&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\omega{t}\\
\mathbf{E}_2&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+\phi)\\
\mathbf{E}_3&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin(\omega{t}+2\phi)\end{align} Para conocer la intensidad, se necesita calcular el promedio temporal
\begin{equation}\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{1}{\tau}\int_{t}^{t+\tau}|\mathbf{E}(t^\prime)|^2\,dt^\prime\end{equation} donde ${\mathbf{E}=\sum_i\mathbf{E}_i}$ y el periodo $\tau$, en general para funciones armónicas es ${2\pi/\omega}$.

Para lograrlo entonces, hay que calcular la norma de la resultante del campo eléctrico al cuadrado. Se tiene que
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin\omega{t}+\sin(\omega{t}+\phi)+\sin(\omega{t}+2\phi)\right]\end{equation} y empleando la identidad
\begin{equation}\sin{A}+\sin{B}=2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\end{equation} puede verse que es conveniente realizar la suma
\begin{equation}\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_3=2\boldsymbol{\mathcal{E}}\cos\left(\phi\right)\sin(\omega{t}+\phi)\end{equation} de modo que
\begin{align}\mathbf{E}&=\boldsymbol{\mathcal{E}}\left[\sin(\omega{t}+\phi)+2\cos(\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\right]\nonumber\\&=\boldsymbol{\mathcal{E}}(1+2\cos\phi)\sin(\omega{t}+\phi)\end{align} donde es inmediato realizar el promedio,
\begin{align}I&\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega{t}+\phi)\,dt\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2\omega}{4\pi}\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)\nonumber\\&=\mathcal{E}^2\frac{(1+2\cos\phi)^2}{2}\end{align} i.e. simplemente
\begin{equation}\left\langle\sin^2(\omega{t}+\phi)\right\rangle=\frac{1}{2}\label{ast}\end{equation} De aquí entonces puede verse que la intensidad máxima ${I_m}$ ocurre cuando ${\cos\phi=1}$, i.e.
\begin{equation}I_m\propto\frac{9}{2}\mathcal{E}^2\end{equation} entonces puede escribirse
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{(1+2\cos\phi)^2}{9}\end{equation} es decir, explícitamente
\begin{equation}\frac{I}{I_m}=\frac{1}{9}\left[1+2\cos\left(\frac{d\sin\theta}{\lambda}\right)\right]^2\end{equation} con esto entonces uno puede graficar el comportamiento de la intensidad respecto a la fase $\phi$, e.g. en Mathematica:

Plot[(1 + 2 Cos[2Pi F])^2/9, {F, -Pi, Pi},
 Axes -> None, Frame -> True, FrameLabel -> {"2Pi F", "I/Im"},
 FrameTicks -> {{{0, 1/2, 1}, None}, {{-Pi, -Pi/2, 0, Pi/2, Pi}, None}},
 GridLines -> Automatic, GridLinesStyle -> Directive[Gray, Dashed]]

La generalización natural de la triple rendija es considerar el caso de n rendijas. Considérense entonces ahora, de manera análoga, las n ondas
\begin{equation}\mathbf{E}_\alpha=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sin\left(\omega{t}+\alpha\phi\right),\hspace{0.25in}\alpha=0,1,\ldots,n-1\end{equation} en cuyo caso entonces, debe calcularse el promedio ${\langle\mathbf{E}^2\rangle}$ con
\begin{equation}\mathbf{E}=\boldsymbol{\mathcal{E}}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)\end{equation} entonces recordando de la serie geométrica que $\displaystyle{\sum_{a=0}^{b-1}r^a=\frac{1-r^b}{1-r}}$, se tiene,
\begin{align}\sum_{\alpha=0}^{n-1}\sin(\omega{t}+\alpha\phi)&=\sum_{\alpha=0}^{n-1}\left(\sin{\omega{t}}\cos\alpha\phi+\sin\alpha\phi\cos{\omega{t}}\right)\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\sum_{\alpha=0}^{n-1}\mathrm{e}^{i\alpha\phi}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{1-\mathrm{e}^{in\phi}}{1-\mathrm{e}^{i\phi}}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\frac{\mathrm{e}^{in\phi/2}\left(\mathrm{e}^{-in\phi/2}-\mathrm{e}^{in\phi/2}\right)}{\mathrm{e}^{i\phi/2}(\mathrm{e}^{-i\phi/2}-\mathrm{e}^{i\phi/2})}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\,\Re\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]+\cos{\omega{t}}\,\Im\left[\mathrm{e}^{i(n-1)\phi/2}\frac{\sin\left(n\frac{\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\right]\nonumber\\[0.1in]
&=\sin{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}+\cos{\omega{t}}\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\nonumber\\[0.1in]
&=\frac{\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)}\left\{\sin{\omega{t}}\cos\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]+\cos{\omega{t}}\sin\left[\frac{(n-1)\phi}{2}\right]\right\}\nonumber\\[0.1in]
&=\csc\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{n\phi}{2}\right)\sin\left[\omega{t}+\frac{n-1}{2}\phi\right]\end{align} y por tanto, empleando el resultado (\ref{ast}), se tiene simplemente que
\begin{equation}I\propto\left\langle\mathbf{E}^2\right\rangle=\frac{\mathcal{E}^2}{2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} donde la amplitud máxima ahora depende del valor de n. Uno puede investigar fácilmente cómo se relaciona la amplitud máxima graficando la función ${\csc{x}\sin{nx}}$,

donde se hace evidente que la amplitud máxima será
\begin{equation}I_m\propto\frac{\mathcal{E}^2}{2}n^2\end{equation} lo que concuerda con lo hallado para 3 rendijas. Así entonces
\begin{equation}\frac{I}{I_0}=\frac{1}{n^2}\csc^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin^2\left(\frac{n\phi}{2}\right)\end{equation} y nuevamente uno puede visualizar los resultados para un distinto número de rendijas, e.g. con Mathematica,

Trazando las curvas de nivel de los campos de radiación

Apenas va terminando mi malísimo curso de Radiación y Óptica, y sin embargo he rescatado algunas cosas al trabajar por mi cuenta. Lo primero fue graficar el mapa de contorno de la componente de los campos eléctrico $\B{E}$ y/o magnético $\B{B}$ para un dipolo eléctrico oscilante. Lograrlo de hecho fue sencillísimo, ya que uno llega a las expresiones del tipo
\begin{equation}\B{E}=-\alpha\frac{\sin\theta}{r}\cos\omega\tau\,\boldsymbol{\hat{\theta}},\hspace{0.75in}\B{B}=-\frac{\alpha}{c}\frac{\sin\theta}{r}\cos\omega\tau\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}\end{equation} con $\alpha$ constante, $\theta$ el ángulo polar, $\varphi$ el ángulo azimutal y ${\tau=t-r/c}$ el tiempo de retardo, entonces uno puede simplemente graficar curvas de nivel para la correspondiente componente angular manteniendo algún parámetro dado fijo, e.g. $t$, y haciendo ${\alpha=1}$ por simplicidad,

Table[ContourPlot[-(Sin[ArcCos[z/Norm[{x, y, z}]]]/Norm[{x, y, z}])
 Cos[t - Norm[{x, y, z}]] /. {t -> Pi}, {x, -25, 25}, {z, -25, 25},
  MaxRecursion -> 5, ContourShading -> None, FrameLabel -> {x, z}, ContourStyle -> Black, 
   PlotLabel -> "y=" ~~ ToString[y]], {y, 0, 9, 1}]

o bien, para $y$ fijo y variando $t$,

GIF = Table[
   Manipulate[
    ContourPlot[-(Sin[ArcCos[z/Norm[{x, y, z}]]]/Norm[{x, y, z}]) Cos[
        t - Norm[{x, y, z}]] /. {y -> 0}, {x, -10, 10}, {z, -10, 10}, 
     Contours -> 10, ContourShading -> None, ContourStyle -> Black, 
     Exclusions -> {x == 0}, FrameTicks -> None, MaxRecursion -> 4],
     {t, k, Pi, ControlType -> None}], {k, 0, 9Pi/10, Pi/10}];

Export["Campo.gif", GIF, "DisplayDurations" -> 0.2]

Sin embargo, uno bien pudo haber decidido pasar el campo (ya sea $\B{E}$ o $\B{B}$) a coordenadas cartesianas y graficar en dichas coordenadas alguna componente arbitraria, esto es, por ejemplo para el campo $\B{E}$, sabiendo que
\begin{equation}\boldsymbol{\hat{\theta}}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\theta\\\sin\varphi\cos\theta\\-\sin\theta\end{pmatrix}\end{equation} además, en los anteriores gráficos he hecho explícitamente ${\theta=\arccos\frac{z}{r}}$, por lo que de manera análoga ahora se sustituye explícitamente ${\varphi}$ en términos de ${x,y}$ (véase atan2); y uno puede llevarse una sorpresa al querer graficar las 3 componentes del campo como se hizo con la componente angular, por ejemplo con la componente $x$, uno obtiene

aunque en cierto modo era de esperarse, pues se trata de la componente $x$ de un campo que sólo cambia en la dirección polar graficada en el plano ${\{x,z\}}$; de hecho la componente cartesiana más parecida a la componente polar es la componente $z$, como también es de esperar, por ello resulta difícil interpretar cualitativamente el gráfico en este modo, mientras que es muy sencillo hacerlo con el gráfico de la componente polar.

Esto lo digo porque después de estudiar el caso del dipolo, estudié el caso de una carga en movimiento circular uniforme (clásico), y la visualización a primeras no arrojó nada cualitativamente bueno, presuntamente por el detalle de las coordenadas que menciono aquí. Uno puede ir y encontrar los potenciales explícitos de Liénard–Wiechert para el problema, que son de la forma
\begin{align}V(\B{r},\tau)&=\frac{1}{\sqrt{r^2+\rho^2-2\rho\left(x\cos\tau+
y\sin\tau\right)}-\rho\left(y\cos\tau-x\sin\tau\right)}\\
\B{A}(\B{r},\tau)&=\rho\,V(\B{r},\tau)\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}\end{align} donde simplemente tomé todas las constantes como la unidad, excepto el radio de la órbita clásica ${|\boldsymbol{\rho}|=\rho}$, que puse en el plano ${\{x,y\}}$ y donde ${\tau=t-\frac{|\B{r}-\boldsymbol{\rho}|}{c}}$ con ${\B{r}=(x,y,z)}$. De aquí uno entonces puede obtener los campos vía
\begin{equation}\B{E}=-\nabla{V}-\p_t\B{A},\hspace{0.75in}\B{B}=\nabla\times\B{A}\end{equation} tomando antes, por supuesto, el tiempo de retardo $\tau$ explícitamente en función de $t$, y haciendo todo de una buena vez en coordenadas esféricas, i.e. con ${x=r\cos\varphi\sin\theta}$, ${y=r\sin\varphi\sin\theta}$ y el gradiente y el rotacional en esféricas. Finalmente al graficar, debe regresarse a las variables cartesianas, aunque ya se podrá graficar cualquier componente esférica. De manera análoga uno puede partir directamente de los campos de radiación sin pasar por los potenciales, si uno cuenta con las expresiones explícitas.

El cómputo es notablemente caro con un ordenador promedio, por lo que hay que tener algo de paciencia. Lo ideal sería generar una imagen .gif para cada componente para poder interpretar claramente cada componente, como hice con el dipolo, pero para eso haría falta bastante tiempo o un ordenador más rápido. De cualquier modo no pienso quitarle al lector la diversión de hacerlo por su cuenta, por lo que solo comparto una de las salidas para la componente angular del campo $\B{E}$, la que exhorto a verificar, pues meter la pata puede ser bastante fácil, además aparentemente no gané mucho al pasarme a las componentes del campo en coordenadas esféricas, pues las curvas de nivel son muy parecidas a las de las componentes cartesianas. En color rojo marco la posición de la partícula, que describe una órbita circular de radio 3.

Lagrangiano clásico desde la fuerza de Lorentz

Acá muestro la obtención de la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico externo a partir de la lagrangiana clásica. El siguiente es el proceso inverso, que se puede extender fácilmente en presencia de campo eléctrico vía la relación ${\vec{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial{t}}}$. El detalle está en hallar el potencial V (si existe) tal que la fuerza de Lorentz sea monogénica
\begin{equation}\vec{F}\equiv{e}\,\dot{\vec{r}}\times\left(\nabla\times\vec{A}\right)=-\frac{\partial{V}}{\partial\vec{r}}+\frac{d}{dt}\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\vec{r}}}\end{equation} La i-ésima componente de la fuerza es (empleo la suma sobre índices repetidos)
\begin{align}F_i&=e\,\epsilon_{ijk}\dot{r}_j\left(\epsilon_{k\ell{m}}\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\right)\nonumber\\
&=e\,\dot{r}_j\,\epsilon_{kij}\epsilon_{k\ell{m}}\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\nonumber\\
&=e\dot{r}_j\left(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}\right)\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\nonumber\\
&=e\dot{r}_j\left(\frac{\partial{A}_i}{\partial{r}_j}-\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right)\nonumber\\
&=e\left[\dot{r}_j\frac{\partial{A}_i}{\partial{r}_j}-\dot{r}_j\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right]\end{align} y ya que ${\vec{A}=\vec{A}(\vec{r},t)}$, se tiene ${\dot{A}_i=(\partial_jA_i)\dot{r}_j}$, entonces
\begin{equation}F_i=e\left[\frac{dA_i}{dt}-\dot{r}_j\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right]\end{equation} de modo entonces que por comparación con la primer ecuación, se sigue que
\begin{equation}V=-e\,\dot{r}_iA_i=-e\,\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}\end{equation} por tanto
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^{\,2}+e\,\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}\end{equation} como se esperaba. En la entrada pasada muestro la obtención del hamiltoniano por transformada de Legendre, sin embargo véase que la lagrangiana es de la forma
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^{\,\mathrm{T}}\mathbb{M}\,\dot{\vec{r}}+\vec{a}\cdot\dot{\vec{r}}\end{equation} de modo que $\mathcal{H}$ puede escribirse en la forma
\begin{equation}\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\vec{p}-\vec{a}\right)^\mathrm{T}\mathbb{M}^{-1}\left(\vec{p}-\vec{a}\right)\end{equation} entonces en este caso, ya que ${\mathbb{M}=m\mathbb{I}=m\begin{pmatrix}1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\end{pmatrix}}$ y ${\vec{a}\equiv{e}\vec{A}}$, se sigue inmediatamente que
\begin{equation}\mathcal{H}=\frac{1}{2m}\left(\vec{p}-e\vec{A}\right)^2\end{equation} como se sabe.

Péndulo con soporte en una parábola oscilante

Este es un problema bastante divertido, cuya solución es análoga a la del péndulo doble. El punto de suspensión de masa $M$ de un péndulo simple de longitud $\ell$ y masa $m$ está restringido a moverse sobre una parábola oscilante dada por \begin{equation}y=\alpha{x}^2+\sin\omega{t}\end{equation} en el plano vertical.

Lo que se quiere es

1. Obtener el Lagrangiano y el Hamiltoniano del sistema.
2. Obtener las ecuaciones de movimiento de Lagrange y de Hamilton.
3. Resolver las ecuaciones de movimiento y visualizar las soluciones.

Para la descripción Lagrangiana se tiene

• Posición del soporte: $\vec{R}=\begin{cases}X=X(t)\\Y=\alpha{X}^2+\sin\omega{t}\end{cases}$
• Posición de la masa del péndulo: $\vec{r}=\begin{cases}x=X+\ell\sin\theta\\y=Y-\ell\cos\theta\end{cases}$
• Elección de coordenadas generalizadas: $\{q_1,q_2\}=\{X(t),\theta(t)\}$
• Energía Cinética: $T=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)=T\left(X,\dot{X},\theta,\dot{\theta},t\right)$
• Energía Potencial: $V=g\left(my+MY\right)=V\left(X,\theta,t\right)$
• Lagrangiana: $\mathcal{L}\equiv{T-V}=\mathcal{L}\left(X,\dot{X},\theta,\dot{\theta},t\right)$

Para pasar a la descripción Hamiltoniana

• Las fuerzas en el sistema pueden derivarse de $V$
• $\mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\vec{q},\dot{\vec{q}},t\right)\,\Longrightarrow$ No hay coordenadas cíclicas $\Longrightarrow$ No se conserva cantidad alguna
• $\frac{\partial\vec{R}}{\partial{t}}\neq\vec{0},\,\frac{\partial\vec{r}}{\partial{t}}\neq\vec{0}\;\Longrightarrow\,\mathcal{H}\neq{T+V}=E$
• $\frac{\partial{E}}{\partial{t}}\neq{0}\,\Longrightarrow\,E=E(t)$
• Se puede obtener el Hamiltoniano directamente de la definición por transformada de Legendre:
  \begin{align}\mathcal{H}&\equiv\sum_ip_i\dot{q}_i-\mathcal{L}\nonumber\\
  &=p_{_X}\dot{X}+p_{_\theta}\dot{\theta}-\mathcal{L}\left(X,\dot{X},\theta,\dot{\theta},t\right)\end{align} donde
  \begin{equation}p_{_j}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_{_j}}\;\Longrightarrow\;\dot{q}_{_j}=\dot{q}_{_j}(q_{_j},p_{_j},t)\;\Longrightarrow\;\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(X,p_{_X},\theta,p_{_\theta},t\right)\end{equation}
• O se puede obtener de la forma
  \begin{equation}\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\vec{p}-\vec{b}\right)^\mathrm{T}\mathbb{M}^{-1}\left(\vec{p}-\vec{b}\right)
  -\mathcal{L}_0\end{equation}

Para lograr el punto 3., preferí utilizar Mathematica

Mi archivo en Mathematica se ve como sigue (da clic derecho + Ver Imagen para ver el tamaño completo):

La carta de Max Planck a Robert W. Wood

7 de Octubre de 1931

Mi estimado colega,
Recientemente expresaste el interés, luego de nuestra agradable cena en Trinity Hall, de que debería describir desde un punto de vista psicológico las consideraciones que me llevaron a proponer la hipótesis de los cuantos de energía. Procuraré atender por este medio tu interés.

En resumen, lo que hice puede describirse simplemente como un acto de desesperación. Por naturaleza soy pacífico y rechazo toda aventura dudosa. Pero por entonces había estado luchando sin éxito durante seis años (desde 1894) con el problema del equilibrio entre radiación y materia y sabía que este problema tenía una importancia fundamental para la física; también conocía la fórmula que expresa la distribución de la energía en el espectro continuo. Por consiguiente, había que hallar una interpretación teórica a cualquier precio, sin importar qué tan alto. Era claro para mí que la física clásica podía ofrecer ninguna solución a este problema y hubiera significado que toda la energía eventualmente se transfiriera de la materia a radiación. Para evitar esto, se requiere una nueva constante para asegurar que la energía no se desintegre. Esta estrategia se me tornó evidente al mantener las dos leyes de la termodinámica. Las dos leyes, me parece, deben mantenerse bajo toda circunstancia. Para el resto, estaba listo para sacrificar cada una de mis convicciones previas acerca de las leyes físicas. Boltzmann había explicado cómo se establece el equilibrio termodinámico mediante un equilibrio estadístico, y si se aplica semejante método al equilibrio entre materia y radiación, se encuentra que la continua transformación de energía en radiación se puede evitar asumiendo que la energía está obligada desde el principio a permanecer agrupada en ciertos cuantos. Esta fue una suposición meramente formal y en realidad no pensé mucho en ella con excepción de que sin importar el costo, debía proveer un resultado satisfactorio.

Espero que esta discusión sea una respuesta satisfactoria a tu consulta. Te envío además de forma impresa la versión en inglés de mi discurso Nobel sobre el mismo tema. Estimo los recuerdos de mi agradable estancia en Cambridge y la hermandad con nuestros colegas.

Muy cordialmente.
M. Planck.

Fuente original (inglés): M. S. Longair

Utilizando mecánica clásica en átomos: partículas idénticas y caos cuántico

Específicamente quiero responder por qué es cierto que cuando la longitud de onda de deBroglie en un gas a una temperatura dada es mucho más pequeña que la distancia entre partículas, el gas se comporta clásicamente (cada partícula o átomo puede modelarse con la mecánica de Newton o bien, el gas sigue una distribución de Maxwell-Boltzmann). En general el tema del límite clásico de la mecánica cuántica es uno mucho más amplio, pues ambas teorías son radicalmente distintas.

En este caso, fijémonos en una partícula; por el teorema de Ehrenfest, se tiene que
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\left\langle{\frac{dV(x)}{dx}}\right\rangle$$ desarrollando en serie de potencias el lado derecho de la ecuación alrededor de ${\langle{x}\rangle}$,
$$\frac{dV(x)}{dx}=\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}+\frac{dV(\langle{x}\rangle)^2}{d\langle{x}\rangle^2}(x-\langle{x}\rangle)+\frac{1}{2}\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}(x-\langle{x}\rangle)^2+\mathcal{O}\left(\langle{x}\rangle^4\right)$$ ahora bien, ${\left\langle{x-\langle{x}\rangle}\right\rangle=0}$, y ${\left\langle(x-\langle{x}\rangle)^2\right\rangle=\sigma_x^2}$, de modo que si V varía lentamente en x, pueden considerarse únicamente los primeros términos de la expansión,
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}-\frac{1}{2}\sigma_x^2\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}$$ a continuación al despreciar la varianza ${\sigma_x}$, lo que se está haciendo es precisamente decir que el tamaño de la función de onda es muy pequeña comparada con la variación del potencial V, pues la varianza se interpreta como qué tan extendida o dispersa es la distribución, en este caso espacial, de la partícula. Esto entonces da como resultado
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}$$ precisamente la ecuación para la segunda ley de Newton, lo que es de esperarse, pues significa que la probabilidad de hallar a la partícula en x estará abismalmente concentrada en su valor medio.

Esto entonces se puede interpretar como que en una descripción clásica de cada partícula (átomos si se quiere), la extensión de la función de onda (prácticamente la longitud de onda de deBroglie), es mucho más pequeña que la distancia entre partículas, que son las fuentes de potencial V. Esto es lo que suele decirse en textos básicos de física estadística o de dinámica molecular.

Hablando en general, en nuestro universo todas las partículas conocidas entran únicamente en dos tipos: bosones y femiones, que se conocen como partículas idénticas. Las partículas idénticas en el mundo cuántico son además indistinguibles. Es interesante entonces que en este límite, si se quiere, en el que partículas idénticas se comportan como partículas clásicas, éstas dejarán de ser indistinguibles. Lo dicho antes entonces puede traducirse en qué tanto interfieren las funciones de onda de las partículas, como en el caso del gas ideal en condiciones estándar, en que las moléculas están suficientemente separadas de modo que pueden considerarse distinguibles, en cambio dos electrones en el mismo nivel energético de un átomo siempre serán indistinguibles. La imagen mostrada a la izquierda pertenece a skeptics play, en donde puede leerse más a nivel divulgación sobre partículas idénticas.

Finalmente, una parte relacionada con este tema y por la que he estado muy interesado últimamente (por supuesto a nivel fanático estudiante de licenciatura en física) es la del caos cuántico, que básicamente busca la relación del caos (que únicamente se concibe como algo clásico) con la mecánica cuántica, es decir, cuando se observa caos clásicamente, ¿qué ocurre en la descripción cuántica?. Lo que he leído hasta ahora ha sido sobre todo acerca de la llamada dinámica de billar, que como el nombre sugiere, básicamente describe el movimiento de una partícula encerrada por una frontera rígida, en la cual se refleja.

Estadio de Bunimovich: descripción clásica

Estadio de Bunimovich: descripción cuántica

Las imágenes muestran el llamado estadio de Bunimovich, un estadio caótico, del cual puedes leer más en esta entrada de Terence Tao. Acá también pongo una animación del estadio de Bunimovich clásico. A la derecha se muestra un llamado corral cuántico. Esta última imagen la puedes encontrar en la página del American Institute of Physics, así como leer más detalle en este artículo. En general creo que esta es un área de investigación muy activa recientemente y hay resultados interesantísimos por parte de muchos investigadores. Si ya eres estudiante de alguna carrera relacionada a la física, o tienes inclinación hacia ella, aquí hay una gran motivación para que te decidas de lleno. Por parte de México también me he encontrado con trabajos interesantísimos, como éste, en que se generalizan los estadios dos dimensionales clásicos. Sea del lado clásico o del cuántico, el estudio de sistemas dinámicos y por supuesto el caos, me parece sumamente atractivo.

Fuerza de Lorentz desde el lagrangiano clásico

Trabajar con índices puede resultar muy fructífero incluso para realizar cálculos que no necesariamente lo exigen, como muestro en este ejemplo, que he resuelto en un curso de electromagnetismo (acá muestro otro ejemplo para con mecánica clásica). Considera la Lagrangiana para una partícula de masa M y carga q dada por
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{\mathbf{r}}^2+q\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}\end{equation} donde $\mathbf{A}$ es el potencial vectorial; ${\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}}$ con $\mathbf{B}$ el campo magnético. Empleando la notación de suma en índices repetidos, la lagrangiana se escribe como
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{x}_i^2+q\,\dot{x}_iA_i\end{equation} se tiene entonces las ecuación de Lagrange para la j-ésima componente
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_j}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{x}_j}\end{equation} esto es, haciendo explícitas las derivadas sabiendo que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$,
\begin{equation}M\ddot{x}_j+q\dot{A}_j=q\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\dot{A}_j\right)\label{florentz1}\end{equation} ahora bien, considerando nuevamente que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$, por regla de la cadena (y notación de suma),
\begin{equation}\dot{A}_j\equiv\frac{dA_j}{dt}=\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\frac{\partial{x}_i}{\partial{t}}=\dot{x}_i\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\end{equation} entonces se reescribe la ec. (\ref{florentz1}) como
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\dot{x}_i\left(\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\right)\end{equation} y véase que (empleando por simplicidad la notación ${\partial_i\equiv\partial/\partial{x}_i}$),
\begin{align}\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j&=\epsilon_{jik}\dot{x}_iB_k\nonumber\\[0.1in]&=\epsilon_{jik}\dot{x}_i\left(\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\right)\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\epsilon_{kji}\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\delta_{j\ell}\delta_{im}-\delta_{jm}\delta_{i\ell}\right)\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\partial_jA_i-\partial_iA_j\right)\end{align} por tanto se concluye que
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{\mathbf{r}}=q\,\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\end{equation} que es precisamente la ecuación en la forma de la segunda ley de Newton para la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico externo. Esta es una muestra de lo sencillo que pueden tornarse cálculos en general utilizando notación de índices. He procurado antes obtener el mismo resultado con notación vectorial y no me parece que sea tan claro, pues en algún punto u otro es necesario recurrir o a coordenadas en particular o a la notación de índices.

Podemos obtener además el hamiltoniano mediante su definición como transformada de Legendre de la lagrangiana, i.e. (usando nuevamente convención de suma),
\begin{equation}\mathcal{H}=\dot{x}_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}-\mathcal{L}\end{equation} donde el i-ésimo momento generalizado está definido por
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}=M\dot{x}_i+qA_i\end{equation} entonces
\begin{equation}\dot{x}_i=\frac{1}{M}\left(p_i-qA_i\right)\end{equation} y así,
\begin{align}\mathcal{L}&=\frac{1}{M}(p_i-qA_i)\left[\frac{1}{2}(p_i-qA_i)+qA_i\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\end{align} por tanto
\begin{align}\mathcal{H}&=\frac{1}{M}\left(p_i^2-qp_iA_i\right)-\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-2qp_iA_i+q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2\end{align} procura comprobar ahora que esto es correcto obteniendo a partir de este hamiltoniano la ecuación de segunda ley para la fuerza de Lorentz.

Inducción electromagnética mediante un péndulo simple

Es un modelo experimental bien interesante, para probar la inducción electromagnética, el de un imán oscilante como un péndulo a través de un campo magnético. Ahora he recordado algunos resultados por de más curiosos, por lo que acá los comparto; si tienes oportunidad de realizar el experimento, lo recomiendo. Cuando hemos realizado el experimento, dispusimos un péndulo, atando el imán al extremo de un hilo y luego colgando el hilo de un soporte universal. Empleamos un sensor de corriente para registrar los datos recopilados por el sensor.

El sensor de corriente registra corriente eléctrica en el tiempo, por lo que lo que nos interesó fue obtener cualitativamente el comportamiento de la corriente que circula a través de la bobina cuando, al hacer oscilar el péndulo, el imán pasa por encima de la bobina, induciendo una tensión en esta. Tuvimos que ser bastante cuidadosos con las oscilaciones que describe el péndulo, pues el extremo de este, es decir, el imán, debe pasar bien centrado y apenas por encima de la bobina, de modo que la inducción sea lo más completa posible. Se realizaron mediciones para longitudes distintas del péndulo, controlando así el periodo y la frecuencia de oscilación. El ángulo inicial se mantuvo fijo y suficientemente pequeño para que el movimiento pudiera ser descrito por el de un oscilador armónico.

Una salida decente del sensor de corriente se ve así


El experimento seguramente puede mejorarse y hacerse mucho más cuantitativo, aquí muestro resultados en mayor grado cualitativos que me parecieron bastante interesantes.

• La amplitud de la corriente inducida aumentará o disminuirá ante una disminución o un aumento, respectivamente, de la frecuencia del péndulo.

En el experimento se verificó que, en relación a la ley de inducción de Faraday, expresada como ${\varepsilon=-d\Phi/dt}$, se induce una corriente a través de un conductor (bobina) ante un cambio del flujo magnético, que ser á proporcional a la velocidad con que se muevan las líneas de campo magnético (imán) a través del conductor. Así, la cantidad que se relacionará con el voltaje inducido, y por tanto con la corriente inducida, es la velocidad tangencial del péndulo.

Intuitivamente parece que la velocidad del péndulo para un ángulo dado es mayor cuanto menor es la longitud de éste, i.e. cuanto mayor es su frecuencia, lo que implicaría entonces que la tensión inducida y por tanto la amplitud de la corriente debería ser mayor, pues el flujo magnético (esto es, las líneas de campo magnético por área) sería mayor.

Para ángulos iniciales ${\theta_0}$ pequeños (donde consideramos pertenece 10°), considerando un amortiguamiento despreciable o un intervalo breve de tiempo, el ángulo del péndulo satisface ${\theta(t)=\theta_0\cos(\omega{t})}$ con ${\dot{\theta}(0)=0}$ y ${\omega^2=g/\ell}$ con g la aceleración de la gravedad y $\ell$ la longitud del péndulo. Entonces tambi en, ${\dot{\theta}(t) =-\theta_0\,\omega\,\sin(\omega{t})}$. Nótese que en efecto la velocidad angular aumenta conforme $\ell$ disminuye, que es lo que nuestros sentidos perciben como que el péndulo se mueve más rápido, sin embargo ya que el arco descrito por el péndulo a un tiempo t es ${\ell\theta(t)}$, para la velocidad tangencial se tiene que
\begin{equation}v_\tau(t)\equiv\ell\dot\theta(t)=-\theta_0\sqrt{\ell\,g}\,\sin(\omega{t})\end{equation} y en efecto, la magnitud de la velocidad tangencial disminuirá o aumentará junto con $\ell$ para una posición dada sin que el seno se anule.

Este es un resultado básico que se estudia en los primeros cursos de mecánica clásica (o en general de física), y por lo mismo es bastante gratificante notar que la intuición puede engañarnos incluso con las cosas más mundanas. Si se busca aún mayor especificidad, puede escribirse la velocidad tangencial máxima en términos del periodo $\mathcal{T}$
\begin{equation}v_{\tau_{max}}=\mathcal{T}\,\frac{\theta_0\,g}{2\pi}\end{equation}

• La corriente inducida en la bobina es nula cuando el péndulo se encuentra ya sea en su amplitud máxima o en su punto de equilibrio (${\theta(t)=0}$).
• La amplitud de la corriente inducida es máxima cuando el péndulo se encuentra en algún punto entre su máxima amplitud y el punto de equilibrio.

Esto es bien interesante porque se esperaba también, de manera intuitiva, que los máximos y mínimos de la corriente se hallaran justo en el instante en que el péndulo se encontraba en la posición de equilibrio, cuando la velocidad tangencial ${v_\tau}$ , es mínima o máxima. Esto se puede explicar pensando en que el flujo magnético a través de la bobina es prácticamente nulo para la máxima amplitud del péndulo y máximo para el punto de equilibrio del péndulo, pero al ocurrir esto, recuérdese que debe haber un cambio de signo o cambio de sentido en la circulación de la corriente en la bobina, por ley de Lenz, por ello es que los picos (máximos o mínimos) se encuentran prácticamente a la mitad de cada posición de equilibrio.

Podemos expresar el cambio de flujo magnético $\Phi$, por regla de la cadena, como ${d\Phi/dt=(d\Phi/d\theta)(d\theta/dt)}$, y vemos precisamente que este cambio ser a nulo tanto cuando ${\dot\theta(t)=0}$, esto es, en la máxima amplitud del péndulo, y cuando ${d\Phi/d\theta=0}$, que ocurre precisamente en la posición de equilibrio del péndulo. Finalmente entonces, como se dijo, por ley de Lenz, necesariamente habrá extremos para la corriente entre la amplitud máxima del péndulo y su punto de equilibrio.

Estos dos (o tres) resultados me parecieron bastante divertidos, y surgen específicamente con este modelo experimental; no ocurre así por ejemplo si se elige un resorte para hacer variar el flujo magnético. De cualquier modo hay interminables formas posibles de probar experimentalmente la inducción electromagnética y seguro pueden surgir otros resultados también interesantes.