Un Hamiltoniano igual a cero

Hoy recordé esta cuestión de que en Relatividad Especial uno siempre puede parametrizar una línea de mundo casi con el parámetro que se le dé la gana. Lo siguiente casi seguramente nunca se hace en la licenciatura porque lo que hay detrás es un mundo bastante grande, explorado por vez primera (hasta donde sé) por Dirac, sin embargo es un cálculo que si bien es desconcertante, puede abrir el apetito bastante para comenzar a explorar este mundo por cuenta propia. Únicamente se requiere saber Mecánica Clásica en formalismos de Lagrange y Hamilton.

Comparto lo siguiente a manera de puzzle:

1. Recuerda el Lagrangiano para una partícula de masa $m=1$ de posición $q$, sujeto a un potencial $V=V(q)$,
   \begin{equation}L=L(q,\dot{q})=\frac{1}{2}\dot{q}^2-V(q)\end{equation} de modo que la acción $S$ está dada por
   \begin{equation}S=\int_{t_1}^{t_2}{dt}\left[\frac{1}{2}\dot{q}^2-V(q)\right]\end{equation}
2. Introduce un nuevo parámetro $\lambda$ tal que $t=t(\lambda)$, de modo que obtengas que
   \begin{equation}S=\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}d\lambda\left[\frac{1}{2}\frac{\tilde{q}^2}{\tilde{t}}-V(q)\tilde{t}\right]\end{equation} donde ahora $\tilde{q}\equiv\frac{dq}{d\lambda}$.
3. Identifica el nuevo Lagrangiano
   \begin{equation}\mathcal{L}=\mathcal{L}(q,\tilde{q},\tilde{t})\equiv\frac{1}{2}\frac{\tilde{q}^2}{\tilde{t}}-V(q)\tilde{t}\end{equation}
   
4. Calcula el Hamiltoniano
   \begin{equation}\mathcal{H}\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\tilde{q}}\tilde{q}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\tilde{t}}\tilde{t}-\mathcal{L}\end{equation} y encuentra
   \begin{equation}\mathcal{H}=0\end{equation}
5. Si es la primera vez que obtienes un Hamiltoniano igual a cero de una teoría (Lagrangiano) que obviamente es dinámica, éste eres tú:
   
   

Los que ya saben qué ocurre seguramente se siguen deleitando con este resultado; de cualquier modo si no sabes por qué $\mathcal{H}=0$ puedes leer esta entrada: Cuantización de sistemas singulares e invariancia ante reparametrizaciones (que sobre cuantización de sistemas singulares tiene poco) que escribí cuando investigaba sobre el tema en un Proyecto Terminal de la Licenciatura y que muestra además cómo recuperar las ecuaciones de Schrödinger y de Klein-Gordon (en el caso relativista) al cuantizar. Como dije, el tema es bastante extenso y se conecta directamente, entre otras, a las teorías de norma (o gauge), así que puede ser un buen paso en una interesante dirección ;-)