Dos definiciones equivalentes de continuidad: espacios métricos y espacios topológicos

He procurado leer este mini-curso de cuerdas topológicas. En las primeras páginas (7 y 8) se resaltan dos definiciones equivalentes de una función continua $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, vista como una función entre espacios métricos y luego como una función entre espacios topológicos (en general un conjunto $C$ equipado con una colección adecuada de conjuntos abiertos es un espacio topológico); naturalmente un espacio métrico $M$, como es $\mathbb{R}$, es un espacio topológico al poder dotarlo de bolas abiertas $B_r(x)\equiv\left\{y\in{M}:d_M(x,y)\lt{r}\right\}$ de radio $r>0$ centradas en $x\in{M}$. Vonk hace esta discusión para introducir los espacios topológicos y -supongo- para motivar un interés general en la topología. Como ejercicio, sugiere mostrar que ambas definiciones son equivalentes, es decir, que

$(i)$

Una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua en $x\in\mathbb{R}$ si $\forall\epsilon>0$, $\exists\delta>0$ tal que $\forall{y}\in\mathbb{R}$ con $|x-y|<\delta$ se tiene que $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. La función completa se dice continua si es continua en cada $x$.

y $(ii)$

Una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua si todos los conjuntos abiertos $S\subset\mathbb{R}$ tienen una imagen inversa $f^{-1}(S)$ que también es un conjunto abierto.

son equivalentes. La segunda definición se motiva de manera intuitiva y se muestra la siguiente ilustración:

Una función discontinua con tres intervalos abiertos A, B y C y sus imágenes inversas.
Tomada directamente de: arXiv:hep-th/0504147

que de hecho me ayudó para demostrar que una definición lleva a la otra empleando cualesquiera espacios métricos.

Si no hay metida de pata, una demostración puede ir como sigue. Emplee las definiciones generales para dos espacios métricos $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$:

$(i)$. Sea $f:X\to{Y}$ tal que $\forall{x}\in{X}$ y $\forall\epsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que $\forall\tilde{x}\in{X}$ con $d_X(x,\tilde{x})<\delta$ se tiene que $d_Y\left(f(x),f(\tilde{x})\right)<\epsilon$.

y

$(ii)$. Sea $f:X\to{Y}$ tal que $\forall{S}\subset{Y}$, el conjunto $f^{-1}(S)$ es abierto.

$$\boxed{(i)\,\Longrightarrow\,(ii)}$$ Sea $S\subset{Y}$ tal que $x\in{f}^{-1}(S)$.

Al ser $S$ un conjunto abierto, $\forall{f(x)\in{S}}$ existe $\epsilon>0$ tal que $f(\tilde{x})\in{S}$ siempre que $d_Y(f(x),f(\tilde{x}))<\epsilon$. Por $(i)$, existe $\delta>0$ tal que $d_Y(f(x),f(\tilde{x}))<\epsilon$ siempre que $d_X(x,\tilde{x})<\delta$, de modo que también $f(\tilde{x})\in{S}$ siempre que $d_X(x,\tilde{x})<\delta$ y por tanto $\tilde{x}\in{f}^{-1}(S)$ siempre que $d_X(x,\tilde{x})<\delta$, i.e. el conjunto $f^{-1}(S)\subset{X}$ es abierto. $\square$ $$\boxed{(i)\,\Longleftarrow\,(ii)}$$ Sean $x\in{X}$ y $\epsilon>0$.

Al ser $S$ un conjunto abierto, $\forall{f(x)\in{S}}$ existe una bola abierta $B_\epsilon\left(f(x)\right)$.


Por $(ii)$, ${f}^{-1}\left[B_\epsilon\left(f(x)\right)\right]$ es abierto y $x\in{f}^{-1}\left[B_\epsilon\left(f(x)\right)\right]$, de modo que existe $\delta>0$ tal que $\tilde{x}\in{f}^{-1}\left[B_\epsilon\left(f(x)\right)\right]$ siempre que $d_Y(x,\tilde{x})<\delta$, es decir, tal que $f(\tilde{x})\in{B}_\epsilon\left(f(x)\right)$ siempre que $d_Y(x,\tilde{x})<\delta$ o bien, tal que $d_X(f(x),f(\tilde{x}))<\epsilon$ siempre que $d_Y(x,\tilde{x})<\delta$. $\square$ Vonk concluye con que la moraleja es que en topología se pueden realizar mapeos continuos sin necesidad de involucrar la noción de distancia en los espacios en cuestión. Algo un tanto incómodo con esto, y con todo lo anterior sobre continuidad, es que se emplean espacios métricos y la noción de distancia va implícita en la definición de las bolas abiertas. De cualquier modo, esto más que desmotivar, seguramente resultará en un aliciente para buscar más allá en el mundo de los espacios topológicos, i.e. no necesariamente métricos, y la topología en general.