Hace un tiempo ya, leía la página de John Baez llamada Symmetries, Groups, and Categories en donde se cita este artículo:
El número de enlace de Gauss
Consideremos un aro delgado por el que circula una corriente estacionaria $i$ (i.e. el caso estático) representado por una curva $\mc{C}^\prime$.
En este caso entonces en todos los puntos fuera de $\mc{C}^\prime$, la ley de Ampère-Maxwell se reduce a
\begin{equation}\nabla\times\vec{B}=0\end{equation} por lo que en esta región existe alguna $\psi$ tal que
\begin{equation}\vec{B}=-\nabla\psi\end{equation} En los cursos de electromagnetismo de licenciatura seguido se discute (o los alumnos deben investigar por su cuenta) las razones por las cuales este potencial escalar magnético $\psi$ es relativamente inútil; de cualquier modo aquí resultará en cierto modo relevante. Vale, en general, en magnetostática la forma más sencilla para determinar un campo $\vec{B}$ es la ley de Ampère "original" en forma integral,
\begin{equation}\oint\vec{B}\cdot{d}\vec{\ell}=\mu_0{i}\end{equation} de cualquier modo, si consideramos un circuito amperiano $\mc{C}$,
parametrizado por alguna función $\vec{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3$ con parámetro $\tau$ y tal que $\vec{r}(a)=\vec{r}(b)$, tenemos que
\begin{align}\mu_0{i}&=\oint\limits_\mc{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}=-\oint\limits_\mc{C}\nabla{\psi}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}\nonumber\\
&=-\int_a^b\nabla\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\cdot\dot{\vec{r}}(\tau)\,d\tau\nonumber\\
&=-\int_a^b\frac{d}{d\tau}\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\,d\tau\nonumber\\
&=\psi\left(\vec{r}(a)\right)-\psi\left(\vec{r}(b)\right)\end{align} y entonces el potencial $\psi$ es multivaluado, tomando múltiplos enteros de $\mu_0{i}$ por cada vuelta al circuito. Como se cita en el artículo de Ashtekar y Corichi, podemos interpretar este incremento del potencial como el trabajo $W$ hecho al mover un monopolo magnético a lo largo de $\mc{C}$ (aparentemente este argumento fue debido a Maxwell y no a Gauss como se señala). En general, podemos considerar deformar el aro $\mc{C}^\prime$ de forma que se enlace $n$ veces con el circuito amperiano $\mc{C}$. Estrictamente, para definir los enlaces o entrelazamientos entre ambas curvas, hay que considerar una superficie conexa cualquiera (a pesar de la ilustración) $\Sigma$ tal que $\p\Sigma=\mc{C}^\prime$ (o en su defecto $\p\Sigma=\mc{C}$) y contar las veces que $\mc{C}$ la intersecta (o $\mc{C}^\prime$ en el otro caso),
de modo que el trabajo o el incremento del potencial alrededor del circuito amperiano será
\begin{equation}W=n\mu_0{i}\label{potmulti1}\end{equation} Ahora bien, usualmente en los primeros cursos de electromagnetismo se tortura a los estudiantes con calcular a fuerza bruta el campo $\vec{B}$ en un punto $\vec{\mc{R}}$ cualquiera usando la ley de Biot-Savart, en este caso como
\begin{equation}\vec{B}(\vec{\mc{R}})=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime)}{|\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} donde $\vec{r}^\prime$ son puntos en $\mc{C}^\prime$. Usando este resultado entonces se sigue también que
\begin{equation}W=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} Se define entonces
\begin{equation}\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)\equiv\frac{1}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\label{gausslink2}\end{equation} como el llamado enlace de Gauss, que sabemos además, casi de manera gratuita por (\ref{potmulti1}), que es un entero positivo o nulo $n$ (siempre que $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$ no se intersecten; no lo justifico, pero la cuestión seguramente es más sutil). Éstas dos últimas son, escritas ligeramente distinto, las dos primeras ecuaciones del artículo de Ashtekar y Corichi.
El número de enlace es relevante porque al ser un número entero, es también un invariante topológico al no depender de la forma de las curvas $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$. Además, parece no tener relación alguna con la física que se usó para obtenerlo; de hecho se dice que Gauss simplemente lo introdujo para contar el número de veces que una curva cerrada circunda a otra curva cerrada en el espacio (aunque estaba motivado también por el magnetismo terrestre):
De cualquier modo, de 1830 o 1860 a nuestra época hay una cantidad impresionante de matemáticas de por medio, por lo que es de esperar que existan numerosas generalizaciones y extensiones de este bello resultado. Sinceramente ignoro la gran mayoría; de cualquier modo algunos enlaces (en el espíritu de la física-matemática) que he encontrado relevantes son:
El principio de incertidumbre electro-magnético
Quizá en los cursos de E&M de licenciatura no se habla del número de enlace (o quizá dependa del profe) porque éste parece no tener importancia física alguna: al final se reduce al numerillo que le dice al alumno qué tantas vueltas está encerrando con su circuito amperiano cuando resuelve con ley de Ampère el problemita del campo $\vec{B}$ en las distintas regiones de un embobinado.
\begin{equation}\{B[\alpha],E[\beta]\}=\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} (entre otras cosas, la ec. (1.4) es básicamente el teorema de Stokes usando $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$) y luego entonces proponen la segunda cuantización como
\begin{equation}\left[\hat{B}[\alpha],\hat{E}[\beta]\right]=i\hbar\,\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} de modo que también que hay una incertidumbre de Heisenberg intrínseca en mediciones simultáneas de los campos eléctrico y magnético a través de superficies finitas que además depende del número de enlace de las fronteras de ambas superficies.
En el resto del artículo, los autores obtienen rigurosamente este resultado (que señalan es más bien al nivel del usual en física teórica que el de física matemática). No me puedo decir experto ni mucho menos, pero la cuestión parece ir algo así:
En general en una QFT los campos satisfacen un principio de incertidumbre con su momento conjugado en términos de promedios de ambos en distintas regiones espaciales (asumiendo tiempos iguales o al menos separación temporal). Básicamente los autores construyen un operador $\hat{E}[\beta]$ (e implícitamente también $\hat{B}[\alpha]$) bien definido en el espacio de Fock (la suma de espacios de Hilbert de los fotones) desplegando el campo (intento de traducción de smear; esto se hace en general en QFT, véase e.g. aquí la página 31 o más ampliamente aquí) con una distribución $f^{(\beta)}$ que luego determinan introduciendo reguladores como extender el circuito $\beta$ a un listón e introducir un corte ultravioleta para lidiar con una divergencia. Finalmente calculan el conmutador entre los operadores regulados y toman el límite para quitar los objetos reguladores (el listón, $\epsilon\to0$ y el corte ultravioleta, $\Lambda\to\infty$); extienden además el resultado a circuitos que se intersectan e incluso a cuando se trata del mismo circuito. En el caso más simple sin intersecciones, concluyen:
«La relación de incertidumbre $\displaystyle{\left(\Delta\hat{B}[\alpha]\right)\left(\Delta\hat{E}[\beta]\right)\geq\frac{\hbar}{2}\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)}$ se afirma en el sentido de $\displaystyle{\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon^2}\left(\lim_{\Lambda\to\infty}\left[\hat{B}[f^{(P_\alpha,\Lambda)}],\hat{E}[f^{(P_\beta,\Lambda)}]\right]\right)=i\hbar\,\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)}$»
i.e. la incertidumbre electro-magnética proporcional al número de enlace está bien definida en los límites en que los operadores de ambos campos están bien definidos.
Finalmente, de nuevo, en esta nota de justo poco después de la fecha del artículo, John Baez escribe:
Gauss Linking Number and Electro-magnetic Uncertainty PrincipleAdmito que desconocía este resultado, que Baez atribuye a Ashtekar y a Corichi, aunque es un tanto viejo (1997). Incluso tampoco había visto de cerca el número de enlace de Gauss, que es el invariante topológico de enlace de nudos más simple y cuyo alcance se dice es mucho mayor que sólo el de la física o las matemáticas, así que hace poco decidí leer acerca del tema y acá comparto un poquitín sobre ello (para el número de enlace sólo se requiere saber una pizquilla de electromagnetismo y/o cálculo vectorial, el resto lo tocaré de manera más superficial).
Abhay Ashtekar, Alejandro Corichi
It is shown that there is a precise sense in which the Heisenberg uncertainty between fluxes of electric and magnetic fields through finite surfaces is given by (one-half $\hbar$ times) the Gauss linking number of the loops that bound these surfaces. To regularize the relevant operators, one is naturally led to assign a framing to each loop. The uncertainty between the fluxes of electric and magnetic fields through a single surface is then given by the self-linking number of the framed loop which bounds the surface.
El número de enlace de Gauss
Consideremos un aro delgado por el que circula una corriente estacionaria $i$ (i.e. el caso estático) representado por una curva $\mc{C}^\prime$.
En este caso entonces en todos los puntos fuera de $\mc{C}^\prime$, la ley de Ampère-Maxwell se reduce a
\begin{equation}\nabla\times\vec{B}=0\end{equation} por lo que en esta región existe alguna $\psi$ tal que
\begin{equation}\vec{B}=-\nabla\psi\end{equation} En los cursos de electromagnetismo de licenciatura seguido se discute (o los alumnos deben investigar por su cuenta) las razones por las cuales este potencial escalar magnético $\psi$ es relativamente inútil; de cualquier modo aquí resultará en cierto modo relevante. Vale, en general, en magnetostática la forma más sencilla para determinar un campo $\vec{B}$ es la ley de Ampère "original" en forma integral,
\begin{equation}\oint\vec{B}\cdot{d}\vec{\ell}=\mu_0{i}\end{equation} de cualquier modo, si consideramos un circuito amperiano $\mc{C}$,
parametrizado por alguna función $\vec{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3$ con parámetro $\tau$ y tal que $\vec{r}(a)=\vec{r}(b)$, tenemos que
\begin{align}\mu_0{i}&=\oint\limits_\mc{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}=-\oint\limits_\mc{C}\nabla{\psi}(\vec{r})\cdot{d}\vec{r}\nonumber\\
&=-\int_a^b\nabla\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\cdot\dot{\vec{r}}(\tau)\,d\tau\nonumber\\
&=-\int_a^b\frac{d}{d\tau}\psi\left(\vec{r}(\tau)\right)\,d\tau\nonumber\\
&=\psi\left(\vec{r}(a)\right)-\psi\left(\vec{r}(b)\right)\end{align} y entonces el potencial $\psi$ es multivaluado, tomando múltiplos enteros de $\mu_0{i}$ por cada vuelta al circuito. Como se cita en el artículo de Ashtekar y Corichi, podemos interpretar este incremento del potencial como el trabajo $W$ hecho al mover un monopolo magnético a lo largo de $\mc{C}$ (aparentemente este argumento fue debido a Maxwell y no a Gauss como se señala). En general, podemos considerar deformar el aro $\mc{C}^\prime$ de forma que se enlace $n$ veces con el circuito amperiano $\mc{C}$. Estrictamente, para definir los enlaces o entrelazamientos entre ambas curvas, hay que considerar una superficie conexa cualquiera (a pesar de la ilustración) $\Sigma$ tal que $\p\Sigma=\mc{C}^\prime$ (o en su defecto $\p\Sigma=\mc{C}$) y contar las veces que $\mc{C}$ la intersecta (o $\mc{C}^\prime$ en el otro caso),
de modo que el trabajo o el incremento del potencial alrededor del circuito amperiano será
\begin{equation}W=n\mu_0{i}\label{potmulti1}\end{equation} Ahora bien, usualmente en los primeros cursos de electromagnetismo se tortura a los estudiantes con calcular a fuerza bruta el campo $\vec{B}$ en un punto $\vec{\mc{R}}$ cualquiera usando la ley de Biot-Savart, en este caso como
\begin{equation}\vec{B}(\vec{\mc{R}})=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime)}{|\vec{\mc{R}}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} donde $\vec{r}^\prime$ son puntos en $\mc{C}^\prime$. Usando este resultado entonces se sigue también que
\begin{equation}W=\frac{\mu_0i}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\end{equation} Se define entonces
\begin{equation}\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)\equiv\frac{1}{4\pi}\oint\limits_\mc{C}\oint\limits_{\mc{C}^\prime}\frac{\left[d\vec{r}^{\prime}\times(\vec{r}-\vec{r}^\prime)\right]\cdot{d}\vec{r}}{|\vec{r}-\vec{r}^\prime|^3}\label{gausslink2}\end{equation} como el llamado enlace de Gauss, que sabemos además, casi de manera gratuita por (\ref{potmulti1}), que es un entero positivo o nulo $n$ (siempre que $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$ no se intersecten; no lo justifico, pero la cuestión seguramente es más sutil). Éstas dos últimas son, escritas ligeramente distinto, las dos primeras ecuaciones del artículo de Ashtekar y Corichi.
El número de enlace es relevante porque al ser un número entero, es también un invariante topológico al no depender de la forma de las curvas $\mc{C}$ y $\mc{C}^\prime$. Además, parece no tener relación alguna con la física que se usó para obtenerlo; de hecho se dice que Gauss simplemente lo introdujo para contar el número de veces que una curva cerrada circunda a otra curva cerrada en el espacio (aunque estaba motivado también por el magnetismo terrestre):
Una cuestión primordial en la interfase de la geometria situs y la geometria magnitudinis será la de contar los entrelazamientos de dos curvas cerradas o interminables.Y en efecto, tomando $\vec{r}=(x,y,z)$ y $\vec{r}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$ en (\ref{gausslink2}) se tiene $4\pi\,\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)=V$; además se puede comprobar que $\mc{G}\mc{L}(\mc{C},\mc{C}^\prime)=\mc{G}\mc{L}(\mc{C}^\prime,\mc{C})$. Al derivar este resultado, Gauss estaba pensando en ángulos sólidos, como se puede leer más en el artículo que cité de Ricca y Nipoti, sólo luego Maxwell elaboraría sobre esto con el argumento físico en base al trabajo que realiza el monopolo magnético.
Sean $x,y,z$ las coordenadas de un punto indeterminado en la primera curva; $x^\prime,y^\prime,z^\prime$ las de un punto en la segunda y sea
$$\iint\frac{(x^\prime-x)(dydz^\prime-dzdy^\prime)+(y^\prime-y)(dzdx^\prime-dxdz^\prime)+(z^\prime-z)(dxdy^\prime-dydx^\prime)}{\left[(x^\prime-x)+(y^\prime-y)^2+(z^\prime-z)^2\right]^\frac{3}{2}}=V$$ entonces esta integral tomada a lo largo de ambas curvas es
$$=4m\pi$$ siendo $m$ el número de entrelazamientos.
El valor es recíproco, i.e. se mantiene igual si las curvas se intercambian.- traducción de la cita en Ricca & Nipoti, "Gauss Linking Number Revisited"
 |
| Aunque no encontré la correspondencia entre Maxwell y Tait, esto es del Vol. II de A Treatise on Electricity and Magnetism. La Fig. 4 muestra que también existe el caso en que $\mc{G}\mc{L}=0$ para dos curvas inseparables; el eslabón de Whitehead es otro ejemplo famoso. Geometry of Position o Geometria Situs es el nombre vintage de la Topología. |
De cualquier modo, de 1830 o 1860 a nuestra época hay una cantidad impresionante de matemáticas de por medio, por lo que es de esperar que existan numerosas generalizaciones y extensiones de este bello resultado. Sinceramente ignoro la gran mayoría; de cualquier modo algunos enlaces (en el espíritu de la física-matemática) que he encontrado relevantes son:
- Knots and Quantum Theory de Edward Witten
- Knots and Quantum Theory versión vídeo de Edward Witten
- The geometry and physics of knots de Michael Atiyah
El principio de incertidumbre electro-magnético
Quizá en los cursos de E&M de licenciatura no se habla del número de enlace (o quizá dependa del profe) porque éste parece no tener importancia física alguna: al final se reduce al numerillo que le dice al alumno qué tantas vueltas está encerrando con su circuito amperiano cuando resuelve con ley de Ampère el problemita del campo $\vec{B}$ en las distintas regiones de un embobinado.
It turns out that the double integral $\mc{G}\mc{L}(L_1,L_2)$ does have a fundamental significance in electro-magnetism, which however, could not have been guessed before the advent of quantum field theory.«Resulta que la integral doble $\mc{G}\mc{L}(L_1,L_2)$ sí tiene un papel fundamental en el electromagnetismo que, de cualquier modo, no hubiera podido ser descubierto antes de la aparición de la teoría cuántica de campo», dicen Ashtekar y Corichi en el artículo, que básicamente comienza con el paréntesis de Poisson
\begin{equation}\{B[\alpha],E[\beta]\}=\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} (entre otras cosas, la ec. (1.4) es básicamente el teorema de Stokes usando $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$) y luego entonces proponen la segunda cuantización como
\begin{equation}\left[\hat{B}[\alpha],\hat{E}[\beta]\right]=i\hbar\,\mc{G}\mc{L}(\alpha,\beta)\end{equation} de modo que también que hay una incertidumbre de Heisenberg intrínseca en mediciones simultáneas de los campos eléctrico y magnético a través de superficies finitas que además depende del número de enlace de las fronteras de ambas superficies.
En el resto del artículo, los autores obtienen rigurosamente este resultado (que señalan es más bien al nivel del usual en física teórica que el de física matemática). No me puedo decir experto ni mucho menos, pero la cuestión parece ir algo así:
En general en una QFT los campos satisfacen un principio de incertidumbre con su momento conjugado en términos de promedios de ambos en distintas regiones espaciales (asumiendo tiempos iguales o al menos separación temporal). Básicamente los autores construyen un operador $\hat{E}[\beta]$ (e implícitamente también $\hat{B}[\alpha]$) bien definido en el espacio de Fock (la suma de espacios de Hilbert de los fotones) desplegando el campo (intento de traducción de smear; esto se hace en general en QFT, véase e.g. aquí la página 31 o más ampliamente aquí) con una distribución $f^{(\beta)}$ que luego determinan introduciendo reguladores como extender el circuito $\beta$ a un listón e introducir un corte ultravioleta para lidiar con una divergencia. Finalmente calculan el conmutador entre los operadores regulados y toman el límite para quitar los objetos reguladores (el listón, $\epsilon\to0$ y el corte ultravioleta, $\Lambda\to\infty$); extienden además el resultado a circuitos que se intersectan e incluso a cuando se trata del mismo circuito. En el caso más simple sin intersecciones, concluyen:
i.e. la incertidumbre electro-magnética proporcional al número de enlace está bien definida en los límites en que los operadores de ambos campos están bien definidos.
Finalmente, de nuevo, en esta nota de justo poco después de la fecha del artículo, John Baez escribe:
Quantum mechanics, electromagnetism, and knot theory are clearly quite tangled up here. Since the linking number was first discovered by Gauss in his work on magnetism, it's all quite fitting.
