El tiempo mínimo de evolución de un estado cuántico arbitrario a un estado ortogonal

Considera un sistema cuántico arbitrario en un estado puro arbitrario en $t=0$. Obtén una cota inferior para la cantidad de tiempo que le toma al sistema el evolucionar del estado original a un estado ortogonal como función del valor de expectación de la energía.

Parece bastante inocente y de hecho desde que uno aprende mecánica clásica naturalmente son la regla este tipo de problemas sobre encontrar el tiempo al que sucede tal o cual cosa. Como sea, al menos para la edad de la mecánica cuántica, la respuesta a este problema parece ser bastante reciente.

L. Vaidman, "Minimum time for the evolution to an orthogonal quantum state", Am. J. Phys. 60, 182-183 (1992)

J. Uffink, "The rate of evolution of a quantum state", Am. J. Phys. 61, 935 (1993)

N. Margolus, L. Levitin, "The maximum speed of dynamical evolution", arXiv:quant-ph/9710043, (1998)

El primero y el tercer artículo, en conjunto, responden con la expresión (aquí en unidades $\hbar=1$)
$$t\geq\max\left(\frac{\pi}{2\langle{H}\rangle},\frac{\pi}{2\sigma_H}\right)$$ donde $\sigma_H$ es la desviación estándar de la energía (el hamiltoniano) y $\langle{H}\rangle$ su valor de expectación. El último artículo (hasta donde sé) es la publicación del que se conoce como Teorema de Margolus-Levitin.

Del principio de incertidumbre de Heisenberg,
$$\sigma_H\sigma_\mathcal{A}\geq\frac{1}{2}\left|\langle\psi_t|[H,\mathcal{A}]|\psi_t\rangle\right|$$ y la ecuación de movimiento de Heisenberg para una observable $A(t)=e^{itH}\mathcal{A}e^{-itH}$ con $\partial_t\mathcal{A}=0$,
$$\frac{dA}{dt}=i[H,A]$$ Podemos emplear $|\psi_t\rangle=e^{-iHt}|\psi_0\rangle$ de modo que
$$\langle\psi_t|[H,\mathcal{A}]|\psi_t\rangle=\langle\psi_0|e^{iHt}[H,\mathcal{A}]e^{-iHt}|\psi_0\rangle
=\langle\psi_0|[H,A]|\psi_0\rangle
=\frac{1}{i}\frac{d\langle{A}\rangle_\mathcal{H}}{dt}$$ donde el subíndice $\mathcal{H}$ sólo pretende resaltar que el promedio está en la imagen de Heisenberg, i.e. $\langle{A}\rangle_\mathcal{H}\equiv\langle\psi_0|A|\psi_0\rangle$, el principio de incertidumbre entonces se puede escribir
$$\sigma_H\sigma_A\geq\frac{1}{2}\left|\frac{d\langle{A}\rangle_\mathcal{H}}{dt}\right|$$
Consideremos $A=|\psi_t\rangle\langle\psi_t|$ y sea $f(t)\equiv|\langle\psi_t|\psi_0\rangle|$, de modo que
$$\langle{A}\rangle_\mathcal{H}=f^2\hspace{0.5in}\text{y}\hspace{0.5in}
\sigma_A=\sqrt{\langle{A}^2\rangle_\mathcal{H}-\langle{A}\rangle_\mathcal{H}^2}=
f\sqrt{1-f^2}$$ ya que $A^2=A$, y así $\sigma_H\sqrt{1-f^2}\geq\left|\frac{df}{dt}\right|$. Por condición de normalización, $f(0)=1$, entonces podemos cambiar variables nuevamente con $f(t)=\cos\theta(t)$ y así entonces $\left|\frac{d\theta}{dt}\right|\geq\sigma_H$, que integrando de $t=0$ a $t=\tau$ se convierte en $\left|\theta(\tau)\right|\geq\sigma_H\tau$ y finalmente
$$|\langle\psi_\tau|\psi_0\rangle|\geq\cos\sigma_H\tau,\hspace{0.25in}0<\tau\leq\frac{\pi}{2\sigma_H}$$ de modo que se requiere un tiempo \begin{equation}t\geq\frac{\pi}{2\sigma_H}\label{bound1}\end{equation} para que el sistema alcance un estado ortogonal.

Vale, esto es básicamente una paráfrasis de parte del contenido del artículo de Uffink y no hay mucho problema en seguirlo sabiendo lo básico de mecánica cuántica. Como sea, no responde la pregunta original tal como está planteada i.e. obtener el resultado en términos del promedio de la energía. Precisamente, uno de los problemas que resaltan Levitin y Margolus en su artículo es que hay casos en que uno puede construir un estado con una incertidumbre muy alta pretendiendo reducir el tiempo de evolución a un estado ortogonal, como parece sugerir la derivación del intervalo para $\tau$.

Thou shalt not attempt to trick the speed limit of dynamical evolution

Lo que hacen entonces -Margolus y Levitin- es considerar en general un sistema con $H=\sum_{j\geq0}E_j|E_j\rangle\langle{E}_j|$ en la base (de estados de energía) $\{|E_n\rangle\}$ y un estado arbitrario en esta base $|\psi_t\rangle=e^{-iHt}|\psi_0\rangle=\sum_{j\geq0}\alpha_je^{-iE_jt}|E_j\rangle$. Se quiere determinar una cota inferior para el tiempo $t$ tal que
\begin{equation}\langle\psi_0|\psi_t\rangle=\sum_{j\geq0}|\alpha_j|^2e^{-iE_jt}=0\label{ine1}\end{equation} Dado que $\mathrm{Re}\langle\psi_0|\psi_t\rangle\sim\cos{E}_jt$ e $\mathrm{Im}\langle\psi_0|\psi_t\rangle\sim\sin{E}_jt$, se puede emplear una desigualdad que relacione ambas partes con un término lineal en $t$ y luego usar (\ref{ine1}). En particular, se puede usar la desigualdad $\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}\geq1-\frac{2}{\pi}x$ para $x\geq0$, con lo que se obtiene
$$\mathrm{Re}\langle\psi_0|\psi_t\rangle-\frac{2}{\pi}\mathrm{Im}\langle\psi_0|\psi_t\rangle\geq\sum_{j\geq0}|\alpha_n|^2\left(1-\frac{2}{\pi}E_jt\right)=1-\frac{2}{\pi}\langle{H}\rangle{t}$$ y entonces para $t$ tal que $\langle\psi_0|\psi_t\rangle=0$,
$$0\geq1-\frac{2}{\pi}\langle{H}\rangle{t}\,\Longrightarrow\,t\geq\frac{\pi}{2\langle{H}\rangle}$$ que puede proveer una mejor cota que (\ref{bound1}).

Vale, el argumento es excepcionalmente sencillo, pero el detalle fino está en la desigualdad empleada "$\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}\geq1-\frac{2}{\pi}x$ para $x\geq0$". Resulta un tanto irritante que los autores no lo justifiquen y hace sentir que uno no está viendo algo que debería resultarle obvio. Y pues... puede ser, pero al menos en este caso, módulo mi estupidez, parece no serlo del todo.

La razón de la elección de esta desigualdad es la siguiente: Primero, debe (en el sentido de ser computacionalmente económico) involucrar ambas la parte real y la parte imaginaria del bra-ket $\langle\psi_0|\psi_t\rangle$ y un término lineal en $t$ (i.e. en su argumento), luego, sin pérdida de generalidad, uno puede tomar una desigualdad de la forma $\cos{x}+\alpha\sin{x}\geq\beta-\gamma{x}$ para $x\geq0$ y notar que $\beta=1$ y $\alpha=\gamma=2/\pi$, es la única que minimiza simultáneamente la separación en la desigualdad para $x$ pequeño y la pendiente de la recta en el lado derecho de la desigualdad (lo que implicará el tiempo mínimo más grande, i.e. la mejor cota inferior en este caso).

Y pues sí, seguramente la forma más fácil de notarlo es graficar usando algún software, en mi caso Mathematica. Lo que muestra el GIF es: en azul y rojo, las funciones $\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}$ y $1-\frac{2}{\pi}x$, respectivamente, mientras que en morado y naranja muestra $\cos{x}+\alpha\sin{x}$ y $1-\gamma{x}$ con $\gamma$ tal que la separación en la desigualdad es mínima (i.e. que las dos curvas se igualan en un punto para el menor $x>0$ posible), además de la leyenda $\cos{x}+\alpha\sin{x}$. La parte complicada de esta visualización animada es la recta, i.e. determinar $\gamma$ dada $\alpha$ de modo que se sostenga la desigualdad y que la separación sea mínima para $x$ positivo y "pequeño". Básicamente lo que hice fue pedirle a Mathematica encontrar numéricamente varios ceros (numéricamente porque ni Mathematica ni yo lo logramos hacer analíticamente y suficientes para que la animación parezca ser continua) de $\cos{x}+\alpha\sin{x}=1+(\alpha\cos{x}-\sin{x})x$ y graficar usando las soluciones en $\gamma=\alpha\cos{x_0}-\sin{x_0}$ con $x_0$ dichas soluciones.

Ignoro la forma de mostrar rigurosamente que ésta elección de las constantes es la única que minimiza simultáneamente la separación en la desigualdad y la pendiente de la recta, aunque este argumento parece ser suficiente para justificar la elección de la desigualdad, finalmente cuando el parámetro $\alpha$ se vuelve muy grande la función $\cos{x}+\alpha\sin{x}$ degenera en rectas $x=n\pi$, así que no le queda más a la pendiente que vivir en el intervalo $(-\infty,-2/\pi]$.

Este resultado parece ser bien conocido en información cuántica y seguramente hay muchos trabajos más recientes en la frontera del tema. Uno directamente relacionado y que me ha parecido interesante, al menos por encima, es "The role of entanglement in dynamical evolution" de V. Giovannetti, S. Lloyd y L. Maccone.

Localidad, no-localidad y fanáticos anti-cuántica

* Antes, en otro tema: las charlas del Strings 2015 han sido subidas directamente a YouTube! ;-)

La cuestión del entrelazamiento cuántico y la "espeluznante" acción a distancia, como la llamó Einstein, es seguramente una de las más abusadas para hacer periodismo científico (incluso seguido por los mismos equipos de comunicación de las revistas científicas), pero de popularidad prácticamente asegurada. Si bien es cierto que la discusión de interpretación sobre las características fundamentales de la mecánica cuántica continúa con cierta validez, ésta seguido termina retorciéndose cuando la gente quiere aterrizar todo, con su intuición proveniente de la mecánica clásica, a peras y manzanas.


En el blog The Reference Frame, Luboš Motl escribió sobre este tema: Locality, nonlocality and anti-quantum zealots. Acá comparto parte de la entrada, que me pareció bastante clara y a un nivel relativamente accesible, traducida al español. Sobre Motl, se puede consultar su página de Wikipedia, su perfil en Stack Exchange o esta entrada sobre la finísima persona que es. No estaba muy seguro sobre si escribir esto, en parte por la imagen misma en el internet que representa Motl (básicamente un a**hole que se dedica a trollear a todo mundo desde su blog, entre otras cosas), pero ciertamente la discusión sobre los fundamentos de la mecánica cuántica seguido se torna en algo grotesco, y la explicación de Motl, aunque con su tono ofensivo particular, funciona bastante bien aclarando varios puntos:

Las teorías cuánticas de campo y la teoría de cuerdas, los dos tipos de teorías cuántico mecánicas más viables, respetan la invariancia de Lorentz, la simetría básica que define la teoría de la relatividad especial de Einstein. Esta simetría garantiza que no puede enviarse información superlumínicamente o instantáneamente: no puede haber acción a distancia. La localidad relativista termina siendo equivalente a la causalidad relativista: la causa debe preceder sus efectos, $t<t^\prime$, en todos los sistemas inerciales.

En teoría cuántica de campos (definida por cuantización canónica), podemos derivar las coordenadas canónicas $\phi(x,y,z)$ y los momentos canónicos $\p_0\phi(x,y,z)$ del hamiltoniano. Los procedimientos usuales garantizan que el conmutador en $t=0$ a tiempos iguales dice que
$$[\phi(x,y,z),\p_0\phi(x^\prime,y^\prime,z^\prime)]=0$$ para $(x,y,z)\neq(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$. La invariancia de Lorentz de las ecuaciones de movimiento de Heisenberg subsecuentemente garantiza que el conmutador también es nulo en tiempos posteriores. El (super)conmutador de dos campos siempre se anula para todas las separaciones de tipo espacio [véase cono de luz].

Este conmutador nulo tiene una consecuencia clara y de gran importancia. Si hacemos una decisión alrededor del punto $(x,y,z)$, la decisión puede interpretarse como parte de la medición de alguna observable $F(x,y,z)$. Alrededor del punto $(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$, podemos medir operadores como $G(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$. Porque $F$ y $G$ (super)conmutan entre sí, se sigue que la decisión asociada a $F$ no puede influenciar el resultado de las mediciones de $G$. Hagamos la decisión $F$ o no, la teoría hará las mismas predicciones para todas las mediciones del tipo $G$. Y dado que los resultados de todas las mediciones posibles en principio codifican todo lo que es físicamente significativo, vemos que no hay acción a distancia. La invariancia de Lorentz garantiza que ninguna $F$-decisión puede influenciar una $G$-medición hecha en un punto con separación tipo espacio.

No hay no-localidad. No hay acción a distancia. No hay duda acerca de este enunciado.

El término "no-localidad" tiene que definirse cuidadosa y operacionalmente. Generalizamos una definición empírica que pudo haber existido en la física clásica también. ¿Puede una decisión en un punto influenciar las predicciones de las mediciones en una región con separación tipo espacio? La respuesta es no. Se sigue de manera precisa de las teorías cuántico mecánico relativistas. Si quisieras defender una conclusión distinta, deberías comenzar a describir billones de fenómenos físicos desde cero -usando una teoría completamente distinta. Casi seguramente fallarías porque tu teoría tendría que ser profunda y fuertemente distinta de las cuántico mecánico relativistas -pero tendría que "verse" equivalente en todas las pruebas que se han realizado porque en esas pruebas, la teoría cuántica de campos, etc, ha tenido éxito.

Uno pudo haber tratado de definir "no-localidad" de otro modo. Pero ninguna definición distinta -ninguna definición desconectada de "la influencia de algunas decisiones en algunas mediciones"- haría realmente algún sentido desde el punto de vista de un físico. Todos los físicos competentes -como todos los físicos de partículas competentes y físicos de disciplinas suficientemente relacionadas que de hecho hacen investigación "robusta" (?)- están de acuerdo en que las teorías cuánticas de campo son locales. Seguido se les llama teorías de campo locales por esa misma razón.

Como sea, los fanáticos anti-cuántica aman decir que la mecánica cuántica "es" o "debe ser" no-local para que haga las predicciones correctas en los experimentos de entrelazamiento. En particular, podemos preparar dos electrones en el estado singlete máximamente entrelazado -algo que ambos, fanáticos anti-cuántica y algunos practicantes de información cuántica llaman el "estado de Bell":
$$|j=0\rangle=\frac{|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt{2}}$$ En los vectores ket, la primera flecha representa el estado del "primer electrón" (el espín es o bien "arriba" o "abajo"); y de manera análoga, la segunda flecha representa el segundo electrón.

Si mides la componente $j_z$ del espín del "primer electrón" y obtienes arriba, entonces sabes que el otro electrón tiene espín abajo, y viceversa. El estado cuántico anterior hace la misma predicción para $j_x$ y $j_y$ y cualquier $\vec{\jmath}\cdot\vec{n}$ para un 3-vector unitario $\vec{n}$. El resultado de las dos mediciones, si hacemos la misma medición (respecto al mismo eje) para ambos electrones, estará siempre perfectamente anticorrelacionada. Es inevitable porque el estado $|j=0\rangle$ es el eigenestado del operador
$$\vec{\jmath}=\vec{\jmath}_1+\vec{\jmath}_2$$ con eigenvalor cero. Esto significa que si mides $\vec{\jmath}\cdot\vec{n}$ para cualesquier eje $\vec{n}$, debes obtener eigenvalores que sumen a cero.

Este hecho de la Naturaleza es absolutamente inequívoco y ha sido verificado en todos los experimentos cuánticos que comenzaron hace mucho, mucho tiempo. La predicción de la mecánica cuántica es incuestionable también. Pero incluso hoy, en el siglo XXI, a algunas personas aún les encanta emitir toneladas de humo sobre estos hechos básicos e incuestionables.

Toda esta confusión comenzó con el artículo defectuoso de 1935 por Einstein, Podolsky y Rosen. Einstein y los dos postdocs estaban pensando en el modo clásico y encontraron increíble que pudieran existir correlaciones para todas las componentes $\vec{\jmath}\cdot\vec{n}$ simultáneamente.

Pensaron que si dos electrones tienen garantizado tener valores anticorrelacionados de $j_x$, objetivamente deben existir o bien en el estado $|\uparrow\downarrow\rangle$ o en el estado $|\downarrow\uparrow\rangle$ antes de la medición. Pero dado que ambos $|\uparrow\rangle$ y $|\downarrow\rangle$ predicen 50% de probabilidad para $j_x=+1/2$ y 50% de probabilidad para $j_x=-1/2$ y esta "separación" aplica a cada electrón, EPR y sus seguidores encontraron "necesario" que las probabilidades para $j_{1x}$, $j_{2x}$, con "positivo, positivo", "positivo, negativo", "negativo, positivo" o "negativo, negativo", fueran 25%, 25%, 25%, 25%, respectivamente.

De cualquier modo, eso simplemente no es lo que la mecánica cuántica predice. Todo aquél que entiende la mecánica cuántica está de acuerdo en que la perfecta anticorrelación existirá si medimos $j_{1x}$ y $j_{2x}$ también. La suposición incorrecta de la derivación EPR es la física clásica. Asumen que los dos espines ya tienen estados independientes y bien definidos antes de ser medidos. Pero no es así. Antes de ser medidos, los dos espines están entrelazados -que es nada más que la elaboración cuántica más precisa y general del adjetivo correlacionados.

Las correlaciones entre los resultados de las mediciones es una correlación. La frase anterior es una tautología. Aún hay personas que intentan pretender que la correlación es algo más que una correlación aunque ellos mismos utilicen el término "correlación". Decimos que las mediciones de los dos electrones están correlacionadas porque la distribución de probabilidad $p(j_{1x},j_{2x})$ para las cuatro posibles arreglos de valores de $j_{1x}$ y $j_{2x}$ no se puede factorizar:
$$\nexists\,p_1(j_{1x}),p_2(j_{2x}):\,p(j_{1x},j_{2x})=p_1(j_{1x})p_2(j_{2x})$$ La probabilidad de distribución completa de dos objetos (el espín de los electrones) sencillamente no puede escribirse como un simple producto de dos distribuciones para un objeto (para los objetos por separado).

Asumiendo el estado inicial singlete, la mecánica cuántica predice estas correlaciones para todas las mediciones de espín en las que puedas pensar. Hay nada "paradójico" sobre eso. No hay ninguna teoría clásica (o "modelo clásico") que haga estas predicciones. Este hecho no es un problema con la mecánica cuántica o un misterio sobre la mecánica cuántica; en cambio, este hecho es una prueba de que todas las teorías clásicas están descartadas como teorías de la Naturaleza. Son incorrectas. La gente que continúa defendiéndolas pueden probarse fácilmente como idiotas. Ésa es obviamente la única interpretación correcta.

¿Cuál es la razón de esas correlaciones? De acuerdo con la teoría correcta -mecánica cuántica (e.g. teoría cuántica de campos donde puede encajarse el experimento EPR fácilmente), la razón de las correlaciones no es una acción a distancia. Al principio, te recordé de las pruebas de que no hay acción a distancia en teoría cuántica de campos.

En cambio, la razón de todas estas correlaciones -la razón del entrelazamiento- es que los dos subsistemas están en contacto en el pasado.

Los dos electrones con espínes correlacionados fueron realmente preparados en el mismo lugar -desde un proceso que garantizó $\vec{j}=0$ para el estado final (posiblemente gracias a la conservación de momento angular). Esto significa que la razón es la misma que para cualquier correlación, e.g. la razón de la correlación entre las calcetas de Bertlmann. Bertlmann es un profesor loco de Vienna que siempre elige calcetas de distinto color para sus pies izquierdo y derecho, respectivamente. Esta anticorrelación está garantizada por diseño -cuando se pone las calcetas, es cuidadoso de no usar dos calcetas idénticas.

(En lugar de Bertlmann uno podría hablar de una persona mentalmente saludable que usa las mismas calcetas también. La anticorrelación se reemplaza por una correlación pero el argumento es el mismo.)

Cuando mides el color de sus calcetas, no hay nada misterioso sobre la anticorrelación. Estaba garantizada por diseño porque su cerebro decidió sobre las dos calcetas en la mañana. No hubo acción a distancia ejercida por una calceta sobre la otra.

El mismo comentario aplica a la anticorrelación de espines en el estado singlete. Están anticorrelacionados porque fueron preparados juntos. En la correspondencia ER-EPR, esta anticorrelación (o cualquier entrelazamiento) puede interpretarse como un agujero de gusano no atravesado. Pero tales agujeros de gusano deben crearse localmente, i.e. tener un origen común también. Creas las dos "gargantas" del puente Einstein-Rosen y luego puedes incrementar la distancia entre ellos. ¡Pero no hay forma de crear un puente "de repente" entre dos puntos con separación tipo tiempo!

Cuando digo que el entrelazamiento existe siempre y exclusivamente cuando los dos subsistemas tienen un origen común es importante entender "de donde viene esta afirmación" y "por qué sabemos que es correcta". Es correcta porque

1. se sigue de la localidad de la teoría cuántica de campos al inicio: una creación repentina de bits correlacionados en puntos con separación tipo espacio puede usarse para enviar información instantáneamente, y eso violaría la localidad (que puede probarse imposible matemáticamente)
2. este hecho es compatible con todos los experimentos que se han realizado

Si quieres diferir de mi afirmación "el entrelazamiento es siempre debido al origen común de los subsistemas -su interacción en algún momento del pasado", quieres hacer una afirmación realmente extraordinaria. Necesitas al menos algo de evidencia. Tu evidencia será teórica -construirás una teoría completamente distinta de la teoría cuántica que te permita hacer cosas completamente nuevas, pero que se las arregla para ser compatible con la teoría cuántica de campos en todos los experimentos que se han realizado porque la teoría cuántica de campos siempre ha tenido éxito. Puedes estar seguro de que fallarás.

O necesitas algo de evidencia empírica. Ahora bien, jamás podemos probar empíricamente por completo que algo (en este caso "entrelazamiento sin algún contacto de los subsistemas en el pasado") es imposible. En la ciencia si ignoras cualquier teoría, siempre es "posible" que alguien en el futuro construya un móbil perpetuo, un warp drive, un EM drive, o cualquier otra cosa que la ciencia considera imposible.

Pero para que de hecho tengas este tipo de evidencia empírica, debes realmente hacer la maldita cosa. Los sueños y las promesas simplemente significan nada en la ciencia. Así que si quieres evidencia no-teórica en la afirmación de que "el entrelazamiento ha de existir incluso si los dos subsistemas nunca han interactuado entre sí", tendrás que diseñar un procedimiento que pueda verificarse que produce estados entrelazados aunque el entrelazamiento no esté garantizado por interacción alguna de los subsistemas en el pasado.

Motl luego continúa "respondiendo" a otra entrada de blog que dice inspiró su propia entrada. La discusión sigue siendo interesante pero me parece demasiado como para traducirlo aquí. Algunos detalles que me parece no deben pasar desapercibidos son:

• El argumento de las calcetas de Bertlmann es puramente clásico, es decir, cuando Bertlmann se pone sus calcetas, está haciendo la medición que "colapsa" los colores y las mediciones subsecuentes que alguien más hace son puramente clásicas; a lo que se apela con esta analogía es a que Bertlmann "prepara" el sistema en un estado entrelazado cuando se pone las calcetas aunque para uno existan en todos los colores posibles hasta una vez que "realice la medición"
• Aunque la razón de que no haya no-localidad y acción a distancia resida básicamente en la teoría cuántica de campos, para explicar explícitamente el cómo funciona está razón Motl recurre a la correspondencia ER=EPR, que es aún un tema bastante candente y prácticamente en pañales. Aunque Motl remarca más adelante que ER=EPR no requiere de no-localidad proveniente de teoría de cuerdas, la cuestión no está decidida, así que uno puede y debe ser sanamente escéptico sobre esto.
  
  Algo de información sobre ER=EPR en español se puede encontrar aquí:
  ER=EPR, la nueva conjetura de Maldacena y Susskind
  O en inglés en esta bella entrada de Quanta Magazine:
  Wormholes Untangle a Black Hole Paradox
  

Reinhold Bertlmann en Wikipedia

Bosonización: dualidad fermiones/bosones

En diciembre Joseph Polchinski publicó un artículo recopilatorio sobre dualidades llamado simplemente Dualities (al que luego agregó 'of Fields and Strings'):

Dualities of Fields and Strings
Joseph Polchinski

Duality, the equivalence between seemingly distinct quantum systems, is a curious property that has been known for at least three quarters of a century. In the past two decades it has played a central role in mapping out the structure of theoretical physics. I discuss the unexpected connections that have been revealed among quantum field theories and string theories.

El artículo está muy bien escrito, de manera sencilla y sucinta, y creo que es accesible, al menos a nivel conceptual, incluso a estudiantes de licenciatura. Luego de introducir el tema de dualidades, Polchinski bosqueja algunas dualidades QFT/QFT, entre las que se encuentra la de bosonización (antes, otra cuestión que llama la atención es la de la dualidad onda/partícula como dos límites clásicos de QFT), que es básicamente una dualidad entre una teoría de fermiones de Dirac y una teoría de bosones en 1+1 dimensiones. Ésta dualidad es sorprendente y me pareció sumamente interesante por lo sencilla y porque con mi poco conocimiento de QFT supuse que podría trabajar los detalles; además descubrí que es prácticamente tema estándar en el área de Materia Condensada y seguramente tiene bastantes avances o generalizaciones.

Polchinski se limita a presentar la dualidad: las relaciones entre las constantes de acoplamiento y la correspondencia entre los campos que se deben satisfacer para que las amplitudes sean idénticas. Para obtener el resultado, original de Sidney Coleman (1975), uno tiene varias opciones, como intentar trabajar como sugiere Polchinski: empezar con teorías sin masa y sin interacción, $\mc{L}_\text{F}=i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi$ y $\mc{L}_\text{B}=-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$, calcular las amplitudes de dispersión, obtener la correspondencia que las vuelve idénticas y luego deformar nuevamente las teorías a unas con interacción. Y esto es básicamente lo que hace Coleman en su artículo original, calculando funciones de Green en ambos casos:

Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model
Sidney Coleman

The sine-Gordon equation is the theory of a massless scalar field in one space and one time dimension with interaction density proportional to $\cos\beta\phi$, where $\beta$ is a real parameter. I show that if $\beta^2$ exceeds $8\pi$, the energy density of the theory is unbounded below; if $\beta^2$ equals $4\pi$, the theory is equivalent to the zero-charge sector of the theory of a free massive Fermi field; for other values of $\beta$, the theory is equivalent to the zero-charge sector of the massive Thirring model. The sine-Gordon soliton is identified with the fundamental fermion of the Thirring model.

El artículo es relativamente extenso y confieso que no lo he seguido paso a paso, lo que creo que quizá convendría únicamente si uno quiere entrarle en serio al tema de bosonización.

De cualquier modo, buscando un poco más sobre bosonización, además de encontrar varios títulos de libros sobre el tema enfocados a Física de Partículas y a Materia Condensada, fortuitamente también encontré otro artículo sobre el tema:

Bosonization as Duality
C.P. Burgess, F. Quevedo

We show that bosonization in two dimensions can be derived as a special case of the duality transformations that have recently been used to good effect in string theory. This allows the construction of the bosonic counterpart of any fermionic theory simply by `following your nose' using the standard duality transformation rules. We work through the bosonization of the Dirac fermion, the massive and massless Thirring models, and a fermion on a cylindrical spacetime as illustrative examples.

El artículo comienza con el comentario

Precise rules for various versions of this equivalence have been known for some time now [1][2][3].The statement of these rules generally suffers from the drawback of not being constructive in character, being instead couched in terms of the equivalence of a given pair of bose and fermi theories¹. This is particularly true for nonabelian bosonization, where a simple, systematic, constructive and unified presentation of the bosonization rules is still missing [4]. Our purpose in this note is to provide such a derivation, for the abelian case.

donde abeliano se refiere a que el grupo de simetría de la teoría en cuestión es conmutativo; los mismos autores tratan en otro artículo el caso no-abeliano (también tratado años antes por Witten). Este artículo me pareció bastante mono (al menos de un vistazo) por la sencillez y generalidad. Los autores mencionan un procedimiento llamado dualización que para entonces ya había sido útil para relacionar 'vacíos' aparentemente no relacionados en teoría de cuerdas y lo describen así:

This duality is a trick for constructing the equivalent theory by embedding the model of interest within a larger gauge theory, which reduces to the original version once the gauge potential, $A_\mu$, is set to zero. This larger gauge theory is typically constructed simply by gauging a global symmetry of the original model [7] [8]. The original model is then written as the gauged theory subject to some constraint that removes the gauge potential, and this is usually done by introducing a dummy variable –a Lagrange multiplier field, $\Lambda$– whose functional integral requires the gauge field strength to vanish, $F_{\mu\nu}=0$. (...) If $\Lambda$, and then $A_\mu$, are integrated out –in this order– of the gauged version of the theory, then the original model is retrieved. The dual version of the theory, on the other hand, is obtained by performing the various functional integrals in a different order, in particular by integrating out the original field, as well as $A_\mu$. The Lagrange multiplier, $\Lambda$, then plays the role of the new, dual, field.

La idea en realidad es sencilla, y como mencionan, puede entenderse mejor sólo con el caso concreto del fermión no masivo (por alguna razón lo mencionan como libre) en la sección 2.1). El procedimiento es básicamente plantear la función de partición de los fermiones
\begin{equation}Z_\text{F}[J]=\int\mc{D}\psi\,\exp\left[i\int{d^2x}\left(\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi+\sum_iJ_i\mc{O}_i\right)\right]\end{equation} con los $J_i(x)$ y $\mc{O}_i(\psi)$ campos y operadores, respectivamente (que en el caso más sencillo, como hacen en el artículo, pueden tomarse como constantes de acoplamiento y términos de interacción) y encajarla en una teoría de norma más amplia (básicamente 'normando' una simetría global de la teoría original) sujeta a ciertas constricciones
\begin{equation}Z_\text{gauge}[J]=\int\mc{D}\psi\,\mc{D}A_\mu\,\mc{D}\Lambda\,\exp\left[i\int{d^2x}\left(\mc{L}_\text{F}(\psi,J)+\mc{L}_\text{gauge}(A_\mu,\Lambda)\right)\right]\end{equation} que permita recuperar $Z_\text{F}[J]$ al integrar en $\Lambda$ y en $A_\mu$, i.e. tal que $Z_\text{F}[J]={Z}_\text{gauge}[J]\bigg|_{\Lambda,A_\mu}$. Finalmente esto permite obtener la teoría dual en $\Lambda$ (que como se muestra en el artículo, corresponde a una de bosones) si se integra $Z_\text{gauge}[J]$ en $\psi$ y en $A_\mu$,
\begin{equation}Z_\text{B}[J]\equiv{Z}_\text{gauge}[J]\bigg|_{\psi,A_\mu}=\int\mc{D}\Lambda\exp\left[i\int{d^2x}\,\mc{L}_\text{B}(\Lambda,J)\right]\end{equation} con lo que se obtiene también la correspondencia entre las teorías identificando los términos en $J_i$.

La idea en realidad es sencilla, la parte que resulta complicada para un neófito como yo es la de elegir la teoría de norma y la de hacer la integración, ya sea con fuerza bruta o devorándose los artículos que mencionan los autores. De cualquier modo la parte importante es si quiera saber en primer lugar que esta sorprendente dualidad existe, siendo que el carácter de ambas teorías es tan distinta, y luego entender cómo funciona y el alcance que tiene.

Finalmente, regresando al artículo de Polchinski, en realidad no era consciente de la idea general que plantea acerca de una dualidad como un par de límites de una teoría más fundamental, así que definitivamente me ha causado una impresión importante su artículo (o la parte que he leído seriamente hasta ahora) y en general lo recomiendo ampliamente.

If the doors of perception were cleansed every thing would appear to man as it is, Infinite.

― William Blake, The Marriage of Heaven and Hell

Cuantización de sistemas singulares e invariancia ante reparametrizaciones

Los conceptos necesarios para seguir esta entrada están discutidos con detalle aquí: Sistemas Hamiltonianos Singulares.

Partícula unidimensional parametrizada
El Lagrangiano de la partícula unidimensional de masa unitaria y de coordenada ${x=x(t)}$ sujeta a un potencial ${V=V(x)}$ es de la forma
\begin{equation}L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}\dot{x}^2-V(x)\end{equation} que evidentemente no es singular, y la correspondiente acción está dada por
\begin{equation}S\equiv\int_{A}^{B}L\,dt=\int_A^B\left(\frac{1}{2}\dot{x}^2-V(x)\right)\,dt\end{equation} para la partícula fija en los extremos temporales ${A,B}$. Ahora considérese introducir un parámetro $\tau$ tal que ${x=x(\tau)}$ y ${t=t(\tau)}$ con ${\tau\in[\alpha,\beta]}$, entonces puede escribirse
\begin{align}S&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2}{\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2}-V(x)\right]\frac{dt}{d\tau}\,d\tau\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}-t^\prime\,V(x)\right]\,d\tau\label{dagger}\end{align} donde ${x^\prime\equiv{dx}/d\tau}$ y de manera análoga para ${t^\prime}$. Sin embargo parece que esta elección fue bastante particular, mejor considérese una reparametrización general ${\tau\to{f}={f}(\tau)}$ que solo por consistencia mantenga ${f(\alpha)=\alpha}$, ${f(\beta)=\beta}$ y ${f^\prime>0}$, de modo que (\ref{dagger}) se escribe
\begin{align}S&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{df}\right)^2}{\left(\frac{dt}{df}\right)}-\frac{dt}{df}\,V(x)\right]df\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{d\tau}\frac{d\tau}{df}\right)^2}{\left(\frac{dt}{d\tau}\frac{d\tau}{df}\right)^2}-\frac{dt}{d\tau}\frac{d\tau}{df}\,V(x)\right]\frac{df}{d\tau}d\tau\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2}{\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2}-\frac{dt}{d\tau}\,V(x)\right]\left(\frac{d\tau}{df}\right)\left(\frac{d\tau}{df}\right)^{-1}d\tau\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}-t^\prime\,V(x)\right]\,d\tau\end{align} y entonces esta acción es invariante ante reparametrizaciones.

Ahora bien, con el nuevo Lagrangiano en el parámetro $\tau$, se tiene que
\begin{equation}L=\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}-t^\prime{V}(x)\end{equation} y así, la matriz Hessiana
\begin{align}W\equiv\left(\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^j}\right)=\begin{pmatrix}\frac{1}{t^\prime}&-\frac{x^\prime}{t^{\prime\,2}}\\
-\frac{x^\prime}{t^{\prime\,2}}&\frac{x^{\prime\,2}}{t^{\prime\,3}}\end{pmatrix}\end{align} cuyo determinante evidentemente es nulo. Aquí se tiene entonces que la invariancia ante reparametrizaciones es una simetría local que introducirá nuevas restricciones en el sistema que originalmente no habían. Ésta es precisamente una característica de las teorías covariantes generales (o con covariancia general), en donde la idea es que las coordenadas son meros artificios para describir la teoría y no juegan un papel fundamental en la naturaleza.

Véase que se ha llegado aquí con el solo hecho de volver a $t$ una coordenada más y dejar al simple parámetro $\tau$ jugar el papel de $t$. Para pasar a la descripción Hamiltoniana, se tiene que
\begin{align}p_x&=\frac{\partial{L}}{\partial{x}^\prime}=\frac{x^\prime}{t^\prime}\\
p_t&=\frac{\partial{L}}{\partial{t}^\prime}=-\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^{\prime\,2}}-V(x)\end{align} y la restricción primaria es
\begin{equation}\phi_1=\frac{1}{2}p_x^2+p_t+V(x)\approx0\end{equation} de modo que para el Hamiltoniano Total,
\begin{align}\mc{H}_T&=q^{\prime\,i}p_i-L+u^1\phi_1\nonumber\\
&=x^{\prime}p_x+t^{\prime}p_t-\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}+t^\prime{V}(x)+u^1\phi_1\nonumber\\
&=u^1\phi_1\end{align} de donde se sigue que el Hamiltoniano Canónico es nulo, ${\mc{H}=0}$ (!).

Esto resultaría desconcertante si se desconociera el trabajo de Dirac. Aquí se tiene idénticamente ${\{\phi_1,\mc{H}_T\}=0}$ con la conservación de la restricción primaria, que además es de primera clase y por lo que no hay más restricciones y ${u^1}$ queda indeterminado. En este caso el generador de la transformación de norma para algún ${\epsilon=\epsilon(t)}$ arbitrario es
\begin{equation}G=\epsilon\phi_1\end{equation} de modo que las transformaciones de norma infinitesimales son
\begin{align}
\delta{x}&\approx\{x,G\}=\frac{\partial{G}}{p_x}=\epsilon{p}_x\\
\delta{t}&\approx\{t,G\}=\frac{\partial{G}}{\partial{p}_t}=\epsilon\\
\delta{p}_x&\approx\{p_x,G\}=-\frac{\partial{G}}{\partial{x}}=-\frac{dV}{dx}\\
\delta{p}_t&\approx\{p_t,G\}=-\frac{\partial{G}}{\partial{t}}=0
\end{align} Finalmente véase que al cuantizar, ya que
\begin{equation}\hat{\phi}_1\psi=0\end{equation} se sigue que
\begin{align}\hat{p}_t\psi=\left[-\frac{1}{2}\hat{p}_x^2-\hat{V}(x)\right]\psi\end{align} es decir,
\begin{align}i\hbar\frac{\p\psi}{\p{t}}=\left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\p^2}{\p{x}^2}+\hat{V}(x)\right]\psi\end{align} que es la ecuación de Schrödinger unidimensional para una partícula de masa unitaria sujeta a un potencial ${V(x)}$.

Partícula libre unidimensional relativista
En este caso se considera de manera análoga en un parámetro $\tau$ el Lagrangiano
\begin{equation}L(t,t^\prime,x,x^\prime)=-\sqrt{t^{\prime\,2}-x^{\prime\,2}}\end{equation} que básicamente surge de que la acción de una partícula relativista viajando en una línea de mundo $\mc{C}$ es $S=-\int_\mc{C}ds$ (el signo negativo simplemente hace que la aproximación Newtoniana se recupere eligiendo a $t$ como parámetro) y que puede verificarse es singular mediante el determinante de la matriz Hessiana, además de mantener invariante la acción ante reparametrizaciones. Los momentos conjugados son
\begin{align}p_t&=\frac{\p{L}}{\p{t}^\prime}=-\frac{t^\prime}{\sqrt{t^{\prime\,2}-x^{\prime\,2}}}\\
p_x&=\frac{\p{L}}{\p{x}^\prime}=\frac{x^\prime}{\sqrt{t^{\prime\,2}-x^{\prime\,2}}}\end{align} y la restricción primaria puede proponerse como
\begin{equation}\phi\equiv\frac{1}{2}\left({p}_x^2-p_t^2+1\right)\approx0\end{equation} además, construyendo el Hamiltoniano Total es evidente que éste es proporcional a la restricción, de modo que el Hamiltoniano Canónico nuevamente es nulo y se sigue que la restricción primaria es de primera clase. Para algún ${\epsilon=\epsilon(t)}$ arbitrario, la función generadora es ${G=\epsilon\phi}$, de modo que las transformaciones de norma infinitesimales son
\begin{align}
\delta{t}&=-p_t\\
\delta{x}&=p_x\\
\delta{p_t}&=\delta{p}_x=0
\end{align} Finalmente de manera análoga al ejemplo anterior, al cuantizar, ${\hat{\phi}\psi=0}$ se traduce en
\begin{equation}\left(1+\hat{p}_x^2-\hat{p}_t^2\right)\psi=0\end{equation} es decir
\begin{equation}\left(\frac{\p^2}{\p{t}^2}-\frac{\p^2}{\p{x}^2}+\frac{1}{\hbar^2}\right)\psi=0\end{equation} o bien
\begin{equation}\left(\square+\frac{1}{\hbar^2}\right)\psi=0\end{equation} que es la ecuación de Klein-Gordon en unidades naturales (${c=1}$) para una partícula libre unidimensional y de masa unitaria. En [1] se discute a detalle el proceso de cuantización y cómo la recuperación de estas ecuaciones al cuantizar, junto con otras características, constituyen ejemplos de la consistencia del método de Dirac.

[1] Luis F. Urrutia, Introducción a la cuantización de sistemas singulares, Curso presentado en la VII Escuela de Verano en Física: La visión molecular de la materia.

Sistemas Hamiltonianos Singulares

Las teorías de norma (empleo norma como traducción de gauge) son sistemas con constricciones cuya dinámica se deriva de los llamados Lagrangianos singulares. En general un Lagrangiano singular posee simetrías locales de gran relevancia para la teoría de norma en cuestión; para esto se puede emplear tanto una formulación Lagrangiana como una formulación Hamiltoniana. La discusión sistemática de la formulación Hamiltoniana de teorías de norma se debe a Paul Dirac en los primeros dos capítulos de [2]. Tales teorías son de particular relevancia, dado que todas las interacciones de la naturaleza presuntamente son teorías de norma.

Una teoría de norma puede pensarse como aquella en que las variables dinámicas están especificadas con respecto a un marco de referencia cuya elección es arbitraria para todo tiempo, y tienen como propiedad característica que la solución general de las ecuaciones de movimiento contienen funciones arbitrarias dependientes del tiempo, i.e. variables no observables o variables físicamente irrelevantes, llamadas variables (grados de libertad) gauge o de norma.

En [1] se muestra que aunque la medida de Liouville (localmente una medida ${6n}$-dimensional de Lebesgue) se conserva, el volumen en el espacio fase es puramente un término de norma, por lo que resulta de importancia dedicar una sección al estudio de los sistemas dinámicos singulares e introducir algunos conceptos de las teorías de norma.

Formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana
Comenzando por la formulación Lagrangiana, las condiciones para que la acción de un sistema clásico sea estacionaria son las ecuaciones de Euler-Lagrange
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}^i}=0\label{1}\end{equation} para las coordenadas generalizadas ${q^i(i=1,\ldots,N)}$ y la Lagrangiana ${L=L(q,\dot{q})}$, de modo entonces que también se tiene ${\partial_{\dot{q}}L=\partial_{\dot{q}}L(q,\dot{q})}$, y así, por regla de la cadena, la ec. (\ref{1}) se escribe como
\begin{equation}\ddot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}\dot{q}^i}=\frac{\p{L}}{\partial{q}^i}-\dot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial{q}^{\tilde{\imath}}\partial\dot{q}^i}\end{equation} de donde se tiene que si la matriz Hessiana
\begin{equation}W\equiv\left(\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}}\right)\end{equation} es invertible, entonces las aceleraciones ${\ddot{q}^{\tilde{\imath}}}$ están unívocamente determinadas por las posiciones y las velocidades en todo tiempo $t$, lo que se reduce a pedir que $\det(W)\neq0$.

Restricciones Primarias
El caso de interés en una teoría de norma es precisamente en el que $\det(W)=0$, y en ese caso se habla de un Lagrangiano $L$ singular. Esto es equivalente a que por definición del momento conjugado a ${q^i}$,
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}\label{2}\end{equation} no habrá invertibilidad en general de ${\dot{q}^i}$ en términos de ${q^i,\,p_i}$, de modo que existen ciertas restricciones o constricciones
\begin{equation}\phi_j(q,p)=0,\hspace{0.5in}j=1,\ldots,M\end{equation} para los momentos conjugados llamadas primarias (primary constraints en la terminología de Dirac) dado que no implican restricción en las coordenadas ni en las velocidades y que no se emplearon directamente las ecuaciones (\ref{1}) ni de Hamilton para obtenerlas, sino únicamente la definición del momento conjugado. Aquí ${M=N-R}$ con $R$ el rango de $W$.

Estas restricciones primarias definen una subvariedad ${\Gamma_P\subset\Gamma}$ suavemente encajada en el espacio fase $\Gamma$ naturalmente llamada la superficie de constricción primaria. Sobre las restricciones primarias deben establecerse ciertos criterios de regularidad; para el detalle sobre estas condiciones véase la §1.1.2 de [3].

Ecuaciones de Hamilton
Luego para pasar a la descripción Hamiltoniana a partir de la Lagrangiana, se introduce el Hamiltoniano canónico $\mathcal{H}$ como
\begin{equation}\mathcal{H}\equiv\dot{q}^ip_i-L\end{equation} que en los cursos básicos de mecánica suele hacerse énfasis en que éste es dependiente de coordenadas y momentos, no velocidades. Esto puede verse evaluando el cambio $\delta\mc{H}$ frente a variaciones arbitrarias e independientes de coordenadas y velocidades, i.e.
\begin{align}\delta\mc{H}&=\dot{q}^i\delta{p}_i+p_i\delta\dot{q}^i-\underbrace{\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}}_{\equiv{p}_i}\delta\dot{q}^i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\nonumber\\
&=\dot{q}^i\delta{p}_i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\label{3}\end{align} donde $\delta{p}_i$ no es una variación independiente sino una combinación lineal de ${\delta{q}^i}$ y ${\delta\dot{q}^i}$ dado que $p=p(q,\dot{q})$. Esto significa entonces que ${\mc{H}=\mc{H}(p,q)}$, de modo que también se satisface
\begin{equation}\delta\mc{H}=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}\delta{p}_i+\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\end{equation} entonces igualando con (\ref{3}),
\begin{equation}\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}-\dot{q}^i\right)\delta{p}_i+\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\right)\delta{q}^i=0\end{equation} donde evidentemente a partir de la definición (\ref{2}), ${\dot{p}=\p_{q}L}$, sin embargo recuérdese que para el caso de interés, $\delta{p}$ debe mantener las restricciones primarias.

En [3] (Teorema 1.2) o en [4] (Proposición 2, §3.3), de distinta forma, puede verificarse que entonces existen ciertos parámetros ${u^j}$ tales que
\begin{align}\dot{q}^i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{p}_i}\\
\dot{p}_i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{q}^i}\\
\phi_j&(q,p)=0\label{4}\end{align} que generaliza las ecuaciones de Hamilton cuando $\mc{H}$ está bien definido sobre ${\Gamma_P}$. Es relevante incluir la última ecuación y hacer énfasis en que se satisface luego de realizar las derivadas parciales en las ecuaciones anteriores. Los $M$ parámetros ${u^j}$ pueden interpretarse en general como parámetros indeterminados de Lagrange ([3]) o bien en [4] se emplean directamente como velocidades ${\dot{q}^j}$ indeterminadas.

De manera análoga al caso no singular, en términos de sistemas singulares la derivada temporal de cualquier función arbitraria ${f=f(q,p)}$ puede escribirse en términos del conocido paréntesis de Poisson
\begin{equation}\{A,B\}\equiv\frac{\p{A}}{\p{q}^i}\frac{\p{B}}{\p{p}_i}-\frac{\p{A}}{\p{p}_i}\frac{\p{B}}{\p{q}^i}\end{equation} como
\begin{equation}\dot{f}=\{f,\mc{H}\}+u^j\{f,\phi_j\}\label{5}\end{equation}

Restricciones Secundarias
Una de las consecuencias de las ecuaciones (\ref{4}), en términos de Dirac, son las llamadas restricciones secundarias, llamadas así precisamente por obtenerse de las ecuaciones de Hamilton, opuesto a las restricciones primarias. Evidentemente las restricciones primarias deben conservarse, por lo que
\begin{equation}\dot{\phi}_j=\{\phi_j,\mc{H}\}+u^{\tilde{\jmath}}\{\phi_j,\phi_{\tilde{\jmath}}\}=0\label{6}\end{equation} que en caso de no imponer restricciones en las ${u^j}$ y de que la relación de coordenadas y momentos sea independiente de las restricciones primarias ([3]), las relaciones (\ref{6}) se llamarán restricciones secundarias. Análogamente las condiciones secundarias al conservarse pueden implicar nuevas condiciones secundarias y así nuevamente.

Ecuaciones Débiles: Restricciones de Primera y Segunda Clase
Luego de las ecuaciones (\ref{4}) deben asumirse las restricciones primarias a las que está sujeto el sistema singular. Como definición, Dirac introduce el concepto de ecuación débil como sigue: ${f\approx{g}}$ significa que $f$ es débilmente igual a $g$ siempre que $f$ es igual a $g$ en ${\Gamma_P\subset\Gamma}$. En contraste, la ecuación ${f=g}$ puede ser referida como fuerte en tanto es cierta en todo $\Gamma$. La ecuación débil ${f\approx{g}}$ entonces es una notación pŕactica equivalente a escribir ([3])
\begin{equation}f\approx{g}\,\Longleftrightarrow\,f-g=c^j\phi_j\end{equation} para algún ${c^j=c^j(q,p)}$, o bien, aún más explícitamente, como el conjunto de ecuaciones ([4])
\begin{align}f&=g\\
\phi_j&=0\end{align} Una vez que se han extraido todas las constricciones independientes del sistema $\varphi_\ell\,(\ell=1,\ldots,M,\ldots,\tilde{M})$, primarias y secundarias, éstas pueden clasificarse en constricciones de primera clase y de segunda clase.

Las constricciones $\gamma_{c_1}$ serán llamadas de primera clase, si su paréntesis de Poisson con todas las constricciones se anula débilmente,
\begin{equation}\{\gamma_{c_1},\varphi_\ell\}\approx0,\hspace{0.2in}\forall\ell,\,c_1=1,\ldots,N_1\end{equation} al resto de constricciones se les llama de segunda clase y les denotaré con ${\chi_{c_2}\,(c_2=1,\ldots,N_2)}$, con ${\tilde{M}=N_1+N_2}$, que se asume son tales que no existe combinación lineal que sea de primera clase.

En general cualquier función ${f=f(q,p)}$ que satisfaga
\begin{equation}\{f,\varphi_\ell\}\approx0,\,\forall\ell\end{equation} se dirá de primera clase y la que no lo satisfaga, se dirá de segunda clase.

El Hamiltoniano Total
Ya que se han extraido todas las constricciones ${\varphi_\ell}$, entonces ya se pueden estudiar las restricciones sobre las ${u^j}$ que imponen las ecuaciones
\begin{equation}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}\approx0\label{8}\end{equation} En [3] se encuentra que la solución general es de la forma
\begin{equation}u^j\approx{U}^j+v^a{V_a}^j\end{equation} donde $U^j$ es una solución particular de la ecuación inhomogénea, i.e.
\begin{equation}U^j\approx-\{\phi_j,\,\varphi_\ell\}^{-1}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}\end{equation} y ${v^a{V_a}^j}$ es la solución más general (una combinación lineal con ${a=1,\ldots,A}$) de la ecuación homogénea asociada con coeficientes ${v^a}$ arbitrarios, i.e.
\begin{equation}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}\approx0\label{9}\end{equation} Así entonces, las ecuaciones (\ref{5}) pueden escribirse simplemente como
\begin{equation}\dot{f}\approx\{f,\mc{H}_T\}\label{10}\end{equation} donde se define el llamado Hamiltoniano Total ${\mc{H}_T}$ como
\begin{equation}\mc{H}_T\equiv\mc{H}+(U^j+v^a{V_a}^j)\phi_j\end{equation} es decir, definiendo
\begin{align}\mc{H}^\prime&\equiv\mc{H}+U^j\phi_j\\
\phi_a&\equiv{V_a}^j\phi_j\end{align} se tiene que
\begin{equation}\mc{H}_T=\mc{H}^\prime+v^a\phi_a\end{equation} que se sabe contiene $A$ funciones arbitrarias ${v^a}$ -que no son funciones a priori de las variables canónicas- y que hace (\ref{10}) equivalente a las ecuaciones de Euler-Lagrange (\ref{1}).

Transformaciones de Norma
Las constricciones de primera clase están íntimamente conectadas con los grados de libertad de norma. La presencia de las funciones arbitrarias ${v^a}$ en ${\mc{H}_T}$ es lo primero que señala que no todas las variables canónicas son observables; esto significa que aunque el estado físico de un sistema está dado una vez conocidas las variables canónicas, habrá más de un conjunto de funciones de las variables canónicas representando el mismo estado. Sin embargo, dado un conjunto inicial de variables canónicas, las ecuaciones de movimiento deben determinar completamente el estado físico del sistema en tiempos posteriores. Así entonces cualquier ambigüedad en el valor de las variables canónicas en un tiempo distinto a un tiempo con condiciones iniciales dadas debe ser una ambigüedad físicamente irrelevante. Una transformación que no altera el estado físico de un sistema se llama entonces transformación de norma.

Considérese una variable dinámica ${f=f(q,p)}$ con un valor inicial ${f_0}$ dado. El valor de $f$ en un tiempo $\delta{t}\ll1$ (conociendo las expresiones dadas por (\ref{10})) es
\begin{equation}f(\delta{t})=f_0+\left(\{f,\mc{H}^\prime\}+v^a\{f,\phi_a\}\right)\delta{t}\end{equation} Ahora bien, ya que los valores ${v^a}$ son arbitrarios, supóngase que para el mismo $f$ con valor inicial ${f_0}$, se elige un valor ${\tilde{v}^a}$; entonces la diferencia ${\Delta{f}}$ entre los valores de $f$ en un tiempo $\delta{t}$ será
\begin{equation}\Delta{f}(\delta{t})=\delta\varepsilon^a\{f,\phi_a\}\label{11}\end{equation} con $\delta\varepsilon^a\equiv(v^a-\tilde{v}^a)\delta{t}$, que precisamente dada la arbitrariedad de los ${v^a}$, debe ser físicamente irrelevante, i.e. $f$ describe el mismo estado al tiempo $\delta{t}$. Éstas son precisamente transformaciones de norma. La función generadora de esta transformación infinitesimal es ${\delta\varepsilon^a}$.

Nótese que de (\ref{8}),
\begin{align}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}&=-\{\mc{H},\varphi_\ell\}-u^j\{\phi_j,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}+u^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime+v^a{V_a}^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime,\,\varphi_\ell\}-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} y por (\ref{9}),
\begin{align}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}=-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} por lo que ${\phi_a}$ y por tanto también ${\mc{H}^\prime}$ y por tanto también ${\mc{H}_T}$ son de primera clase.

Esto significa entonces junto con (\ref{11}), que las restricciones primarias de primera clase generan transformaciones de norma.

En general, en [3] puede verse que el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\phi_{\tilde{a}}\}}$ de cualesquiera dos restricciones primarias de primera clase y el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ de cualquier restricción primaria de primera clase y el Hamiltoniano de primera clase, generan una transformación de norma. Estos paréntesis de Poisson serán a su vez de primera clase. Aunque parece bastante inofensivo, en [5] puede leerse que Dirac fue quien propuso que ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ sería también generador de transformaciones gauge y pasarían alrededor de cuarenta años antes de que esta propuesta se demostrara en [3].

Dirac postularía luego que toda restricción secundaria de primera clase también genera transformaciones gauge (conjetura de Dirac), sin embargo pueden generarse contraejemplos, y aunque nada impide que aparezcan restricciones secundarias de primera clase, típicamente únicamente se asume que todas las restricciones de primera clase generan transformaciones de norma ([3]).

El Hamiltoniano Extendido
En la sección del Hamiltoniano Total se consideran únicamente las restricciones primarias de primera clase al llegar al Hamiltoniano Total. Al considerar de manera análoga también las restricciones secundarias de primera clase, se obtiene el llamado Hamiltoniano Extendido ${\mc{H}_E}$, de modo que éste podrá contener tantas transformaciones de norma arbitrarias como restricciones de primera clase. De este modo entonces,
\begin{equation}\mc{H}_E\equiv\mc{H}^\prime+v^a\gamma_a\end{equation} es la forma del Hamiltoniano Extendido, que es una función de primera clase. La etiqueta de extendido se refiere al hecho de que ${\mc{H}_E}$ extiende --y no solo recupera, como ${\mc{H}_T}$-- el formalismo Lagrangiano al considerar todos los grados de libertad de norma posibles. Así entonces Hamiltoniano Extendido da la evolución temporal más general posible para cualquier sistema singular o con libertad de norma.

Paréntesis de Dirac
Considérense todas las restricciones de segunda clase $\chi_{\mc{C}_1}$ tales que no existe combinación lineal de ellas que sea de primer clase. Tomemos dos restricciones $\varphi_{_{1,2}}$ tales que
\begin{equation}\{\chi_{_1},\chi_{_2}\}=\mc{C}\end{equation} para alguna constante $\mc{C}$ y ahora supóngase que se emplea cuantización canónica de modo que
\begin{equation}[\hat{\chi}_{_1},\,\hat{\chi}_{_2}]=i\hbar\mc{C}\label{7}\end{equation} con el conmutador ${[\hat{A},\hat{B}]\equiv\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}}$. Clásicamente debe satisfacerse
\begin{equation}\chi_{_{1,2}}\approx0\end{equation} lo que no puede llevarse a ${\hat{\chi}_{_{1,2}}\psi=0}$, pues se tendría una contradicción con (\ref{7}).

El argumento de Dirac ([2]) es entonces simplemente ignorar estos grados de libertad y trabajar únicamente con los grados de libertad restantes con un paréntesis de Poisson modificado que respete las restricciones del sistema y lleve a una cuantización consistente.

Las restricciones de segunda clase no son generadores de transformaciones de norma; su existencia únicamente significa que que hay grados de libertad irrelevantes físicamente. Lo que se hace entonces es generalizar el paréntesis de Poisson al llamado paréntesis de Dirac, que contiene únicamente grados de libertad con relevancia física y con el que se puede llevar a cabo una cuantización consistente.

Considérense todas las constricciones de segunda clase $\chi$ (tales que no puede construirse una combinación lineal de éstas que sea de primer clase). Dirac demuestra ([2]) que la matriz de coeficientes
\begin{equation}C_{ab}\equiv\{\chi_a,\,\chi_b\}\end{equation} tiene determinante no nulo de modo que (en este caso) la inversa ${C^{ab}}$ existe ([2]), satisfaciendo
\begin{equation}C^{ab}C_{bc}={\delta^a}_b\end{equation} El paréntesis de Dirac entre dos funciones del espacio fase ${f,g}$ entonces se define como
\begin{equation}\{f,g\}^*\equiv\{f,g\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,g\}\end{equation} Este nuevo paréntesis por supuesto debe satisfacer bilinealidad, antisimetría, ley del producto y la identidad de Jacobi justo como lo hace el paréntesis de Poisson; además obviamente debe reducirse al paréntesis de Poisson para sistemas no singulares.

Dos consecuencias importantes de el paréntesis de Dirac son las siguientes. Primero, las ecuaciones de movimiento (\ref{10}) pueden escribirse en términos del paréntesis de Dirac de manera equivalente,
\begin{equation}\{f,\mc{H}_T\}^*\approx\{f,\mc{H}_T\}\end{equation} ya que se sabe que ${\mc{H}_T}$ es de primera clase. Además el paréntesis de Dirac de cualquier variable dinámica $f$ con cualquier variable $\chi_{_\zeta}$ se anulará,
\begin{align}\{f,\chi\}^*&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,\chi_\zeta\}\nonumber\\
&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}{\delta^a}_\zeta\nonumber\\
&=0\end{align} esto significa entonces que puede tomarse ${\chi=0}$ en sentido fuerte. De este modo uno puede deshacerse de las restricciones de segunda clase y entonces proceder a una cuantización canónica de forma consistente únicamente con restricciones de primera clase.

Al emplear los paréntesis de Dirac e imponer fuertemente las constricciones de segunda clase sugiere emplear el proceso conocido como \emph{fijar la norma}, que consiste básicamente en escoger un punto representativo del sistema en cada órbita generada por las restricciones de primera clase ([6]).

Cuantización Estándar
En [6] se muestra de manera condensada el proceso de cuantización estándar, mismo que por completitud se presenta en este trabajo. Para cuantizar se considera el siguiente procedimiento:
i) Se introducen los paréntesis de Dirac, imponiendo fuertemente las constricciones de segunda clase.
ii) Se cuantiza con el principio de correspondencia
\begin{equation}[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar\{A,B\}^*\end{equation} iii) Las restricciones de primera clase se promueven a operadores, pidiendo que aniquilen el estado cuántico del sistema ${|\psi\rangle}$, i.e.
\begin{equation}\hat\gamma|\psi\rangle=0\end{equation} de modo que el estado cuántico del sistema sea invariante de norma.
iv) Se construye el Hamiltoniano Total y la evolución del sistema cuántico está dada por
\begin{equation}i\hbar\frac{d|\psi\rangle}{dt}=\hat{\mc{H}}_T|\psi\rangle\end{equation}

[1] Alejandro Corichi & David Sloan, Inflationary Attractors and their Measures, arXiv: 1310.6399 (2013).
[2] Paul A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Dover Publications, 2001.
[3] Marc Henneaux & Claudio Teitelbom, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, 1994.
[4] Heinz Rothe & Klaus Rothe, Classical and Quantum Dynamics of Constrained Hamiltonian Systems, World Scientific Publishing, 2010.
[5] Yong-Long Wang et al., The Dirac Conjecture and the Non-uniqueness of Lagrangian, arXiv: 1306.3580v5 (2013).
[6] Luis F. Urrutia, Introducción a la cuantización de sistemas singulares, Curso presentado en la VII Escuela de Verano en Física: La visión molecular de la materia.

Ecuaciones cuántico-relativistas

El aplicar la mecánica cuántica incorporando la relatividad especial es de relevancia e.g. en física de altas energías y en física de partículas. Aunque la teoría tiene sus limitaciones, de ella surgen predicciones relevantes como la de la antimateria. Teorías más generales son e.g. la teoría cuántica de campos relativista, que surge precisamente del hecho de que partículas individuales pueden ser creadas o destruidas en unión con sus antipartículas; o aún más, la gravedad cuántica, que presuntamente incorporará la relatividad general, i.e. la gravedad o curvatura espaciotemporal.

Básicamente al modificar la ecuación de Schrödinger para hacerla consistente con la relatividad especial, se obtiene la llamada ecuación de Klein-Gordon, mientras que si además se incorpora la información del espín para partículas de espín 1/2, se obtiene la ecuación de Dirac. La ecuación más relevante es por supuesto la de Dirac, pues además pueden obtenerse ecuaciones para valores más altos de espín ([1]). Obtengo en seguida ambas ecuaciones y algunas propiedades de las mismas. Emplearé en adelante la signatura (-+++) para la métrica de Minkowski.

Recuérdese que la ecuación de Schrödinger puede obtenerse a partir de la expresión de la energía
\begin{equation}E=\B{p}^2/2m+V\end{equation} sustituyendo ${E\to\hat{E}\equiv{i}\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}}$ y ${p\to\hat{p}\equiv\frac{\hbar}{i}\nabla}$, i.e.
\begin{align}i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}&=-\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla\right)^2\psi+V\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\end{align} De la definición del 4-momento, $\hat{E}$ y $\hat{p}$ forman las componentes del cuadrivector ${\hat{p}^\mu\equiv{i}\hbar(\partial_0,-\partial_j)}$, por lo que el procedimiento análogo seguirá siendo válido en la descripción relativista. En este caso entonces, empleemos la relación de energía-momento, de modo que
\begin{align}\left(i\hbar\partial_0\right)^2\psi&=m^2\psi+\left(-i\hbar\partial_j\right)^2\psi\end{align} es decir
\begin{equation}-\partial_{00}\psi+\partial_{jj}\psi=\eta^{\mu\alpha}\partial_\alpha\partial_\mu\psi=\partial^\mu\partial_\mu\psi=\frac{m^2}{\hbar^2}\psi\end{equation} y ya que ${\hat{p}^\mu\hat{p}_\mu=-\hbar^2\partial^\mu\partial_\mu}$, esto puede escribirse también como
\begin{equation}\hat{p}^\mu\hat{p}_\mu\psi+m^2\psi=0\label{1.1}\end{equation} o bien, empleando el operador d'Alembertiano (que yo defino aquí como ${\square^2\equiv\p^\alpha\p_\alpha=\nabla^2-\p_t^2}$, acorde a la signatura elegida),
\begin{equation}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi=0\label{1.2}\end{equation} donde ${\mathcal{M}\equiv\frac{m}{\hbar}}$. Ésta es la ecuación de Klein-Gordon para la partícula libre.

Por su sencillez, y la sencillez para obtenerla, muchos autores la obtuvieron antes, siendo Schrödinger incluso el primero y obteniéndola antes que la versión clásica ([1]), aunque Oskar Klein and Walter Gordon dieran después la descripción cualitativa correcta de la ecuación que lleva sus apellidos.

Ahora bien, considérese la ecuación de K-G para el conjugado de $\psi$,
\begin{equation}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi^*=0\end{equation} multiplicando ésta y (\ref{1.2}) por $\psi$ y por ${\psi^*}$, respectivamente,
\begin{align}\psi^*\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi&=0\\\psi\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi^*&=0\end{align} y así, restando término a término ambas ecuaciones,
\begin{align}\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*=\psi^*\partial^\mu\partial_\mu\psi-\psi\partial^\mu\partial_\mu\psi^*=0\label{1.3}\end{align} entonces sabiendo que en general para dos funciones de onda $\phi$ y $\varphi$,
\begin{align}\partial_\mu\left(\phi\partial^\mu\varphi\right)=\phi\partial_\mu\partial^\mu\varphi+\partial_\mu\phi\partial^\mu\varphi\end{align} se sigue que (por igualdad de parciales cruzadas)
\begin{align}\partial_\mu&\left[\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*\right]\nonumber\\&=\psi^*\partial^\mu\partial_\mu\psi-\psi\partial^\mu\partial_\mu\psi^*+\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi-\partial_\mu\psi\partial^\mu\psi^*\nonumber\\&=\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*+\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi-\partial_\mu\psi\partial^\mu\psi^*\nonumber\\&=\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*+\eta^{\mu\alpha}\left[\partial_\mu\psi^*\partial_\alpha\psi-\partial_\mu\psi\partial_\alpha\psi^*\right]\nonumber\\&=\underbrace{\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*}_{\text{por}\,(\ref{1.3})}=0\end{align} de modo que, si en analogía con la teoría clásica, definimos
\begin{equation}j^\mu\equiv\mathcal{C}\left(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*\right)\end{equation} como el cuadrivector de corriente con $\mathcal{C}$ una constante que puede determinarse tomando el límite del caso clásico, se sigue que
\begin{equation}\partial_\mu{j}^\mu=0\end{equation} que es la ecuación de continuidad, conocida en notación tridimensional como
\begin{equation}\frac{\p\rho}{\p{t}}+\nabla\cdot\B{j}=0\end{equation} que por supuesto debe satisfacer la ec. de K-G dada la interpretación de $\psi$ como amplitud de probabilidad; de aquí se identifica
\begin{align}\rho=\mathcal{C}\left(\psi^*\partial_0\psi-\psi\partial_0\psi^*\right)\end{align} y nótese que dependiendo de la función de onda, $\rho$ podrá ser positiva o negativa, contrario a lo que ocurre con la versión clásica; esto representa un problema serio dada la interpretación de la función de onda como amplitud de probabilidad, pues el que la densidad $\rho$, clásicamente interpretada como densidad de probabilidad, permita valores negativos, implica que se podrían tener probabilidades negativas; se dice que este problema incluso fue el principal motivo por el cual Schrödinger pasaría a tratar la versión no relativista ([1]). Por ello $\rho$ no se interpreta ya como una densidad de probabilidad, aunque suele interpretarse como densidad de carga, como se verá a continuación ([1]).

Propongamos el ansatz para la ecuación K-G para partícula libre,
\begin{equation}\psi=A\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\label{1.4}\end{equation} donde ${k^\mu=(\hbar\omega,\B{p})}$ de manera análoga a la ecuación conocida ${\B{P}=\hbar(\omega,\B{k})}$, entonces se tiene que
\begin{align}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi&=A\left(\partial_\mu\partial^\mu\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=A\left(i\frac{k_\mu}{\hbar}\partial_\mu\mathrm{e}^{-i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=A\left(i\frac{k_\mu}{\hbar}\eta_{\mu\alpha}\partial^\alpha\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu\eta_{\mu\alpha}{k}_\alpha+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu\eta_{\mu\alpha}\eta_{\alpha\mu}{k}^\mu+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu{k}^\mu+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}=0\end{align} y por tanto (\ref{1.4}) es solución de la ecuación de K-G si
\begin{align}k_\mu{k}^\mu=-m^2\,\Longrightarrow\,\pm\hbar\omega=\pm\sqrt{\B{p}^2+m^2}\end{align} Por supuesto ${k^\mu}$ está construida como 4-momento, donde ${\hbar\omega}$ es energía; de ello se sigue que las soluciones a la ecuación K-G permiten tanto estados positivos de energía como estados negativos. Esto significa entonces que para las soluciones
\begin{equation}\psi_\pm=A_\pm\mathrm{e}^{\mp{i}\omega{t}+i\B{p}\cdot\B{x}/\hbar}\end{equation} se tendrán densidades
\begin{equation}\rho_\pm=\mp2\mathcal{C}i\omega|A|^2\end{equation} y considerando que ${\mathcal{C}=i\hbar{q}/2m}$, de modo que la densidad de carga no relativista coincida con ${\rho=q|\psi|^2}$ para partículas de magnitud de carga $q$, se sigue que
\begin{equation}\rho_\pm=\pm\frac{\hbar\omega{q}}{m}|A|^2\end{equation} de modo entonces que en este caso las soluciones de energía positiva corresponden a partículas con carga positiva y las de energía negativa a partículas con carga negativa; i.e. la ecuación de Klein-Gordon contiene simultáneamente soluciones para partículas y sus antipartículas. A esta noción de antimateria se le da mayor sentido con la ecuación de Dirac; no se ha justificado aún el que se permitan estados con energías negativas.

Ahora bien, uno puede generalizar la ecuación de K-G para partículas en un campo electromagnético externo vía acoplamiento minimal, ${\hat{p}^\mu\to\hat{p}^\mu-qA^\mu}$, de modo que la ec. de K-G (\ref{1.1)) se escribe como
\begin{equation}\left(i\hbar\partial^\mu+qA^\mu\right)\left(i\hbar\partial_\mu+qA_\mu\right)\psi+m^2\psi=0\end{equation} de aquí pueden considerarse distintas formas para el potencial como los pozos de potencial, de donde aparecen situaciones interesantes como la llamada paradoja de Klein. El lector puede complementar esta información con [1], en donde se muestra el caso atómico, que lleva a un resultado que difiere del experimental por un factor de ${1/3}$. En seguida se muestra entonces el caso en que se toma en cuenta el espín del electrón, generalizando un tanto más la ecuación de Klein-Gordon.

Al formular la ecuación de Klein Gordon nos topamos con algunas inconveniencias, como el signo indefinido de la densidad $\rho$, los estados que permiten energías negativas y el que se ignore (o que no aparezca) la propiedad intrínseca del espín. El trabajo de Paul Dirac atacó estas cuestiones introduciendo nuevas nociones como la antimateria, vista experimentalmente años más tarde, y el llamado mar de Dirac, que de hecho resulta ser innecesario en e.g. teoría cuántica de campos ([1]). La ecuación de Dirac suele considerarse como uno de los triunfos más grandes de la física teórica, y por supuesto el alcance de toda la teoría que surge de esta ecuación es mucho mayor al que cubre esta pequeña entrada de blog.

Lo primero que puede notarse es que la ecuación de K-G no es del mismo tipo que el de la ec. de Schrödinger al involucrar una segunda derivada temporal; el signo indefinido de la densidad $\rho$ surge precisamente de este hecho. Puede evitarse esta segunda derivada a su vez manteniendo invariancia de Lorentz, proponiendo que es posible linearizar la relación de energía-momento ([1]), de modo que ${\exists\,\vec{\alpha},\beta}$ tales que
\begin{equation}\hat{E}=\vec\alpha\cdot\hat{\B{p}}+\beta{m}\end{equation} es decir, que para una función de onda $\psi$, en notación clásica,
\begin{equation}i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}=-i\hbar\vec\alpha\cdot\nabla\psi+\beta{m}\psi\label{1.5}\end{equation} donde las cantidades $\vec\alpha$ y $\beta$ se determinan de modo que de mantenga la invariancia ante transformaciones de Lorentz. En [1] puede seguirse que la ec. de Dirac más simple es la que tiene asociadas matrices de rango 4 correspondientes a espín ${1/2}$ (fermiones; en la época de Dirac sólo se consideraban electrones y protones), i.e. la teoría genera por sí misma el espín. Finalmente respecto al problema de energías negativas, puede verse [1] que la ec. (\ref{1.5}) también posee soluciones de energía negativa, y es entonces cuando Dirac introduce la noción de antimateria. Para resolver el problema, Dirac propuso que todos los estados de energía negativa están ocupados por electrones, constituyendo el llamado mar de Dirac, de modo que los electrones no pueden ocupar esos estados por principio de exclusión. Los huecos en el mar de Dirac entonces se identifican como los antielectrones, o en general como las antipartículas. Ésta es la idea general del trabajo de Dirac, que además de abrir una enorme ventana hacia nueva física, de algún modo también lo hacía con las matemáticas al proveer un caso de álgebras de Clifford --ignorando Dirac el trabajo de William Clifford-- e iniciando el formalismo del cálculo espinorial, que va más allá del cálculo vector-tensorial. Se recomienda la referencia [2] para más información en general.

[1] Peña, Luis de la. Introducción a la Mecánica Cuántica, Fondo de Cultura Económica, UNAM, 3a edición, 2006.
[2] Penrose, Roger. El camino a la realidad, Debate, 2007.

El carácter del espectro del hamiltoniano cuántico

Considera la ecuación estacionaria de Schrödinger en una dimensión,
\begin{equation}{H}\psi=E\psi\hspace{0.25in}\text{con}\hspace{0.25in}{H}\equiv-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\end{equation} con el potencial V tal que $\displaystyle{\lim_{|x|\to\infty}V(x)=\text{cte}}$. Al tratar con problemas de juguete seguido asumimos que los eigenvalores o energía E de H están determinados por un valor entero positivo k y nos servimos denotar al k-ésimo nivel de energía como ${E_k}$. O bien, en el caso de la partícula libre por ejemplo, sabemos que aquél valor puede ser cualquier número real, o inclusive en el átomo de hidrógeno, que puede ser de ambos tipos.

Para sentar ideas, considera el siguiente esquema

uno puede asegurar que los valores ${E_1}$ y ${E_2}$ pertenecen a la parte discreta del espectro de H, sin embargo el valor ${E_3}$ (una mera etiqueta) pertenece en general a la parte continua del espectro de H.

En general se puede asegurar que el espectro de H será discreto siempre que
\begin{align}E<\lim_{|x|\to\infty}V(x)&\label{dagger}\\[0.1in]\lim_{|x|\to\infty}\psi(x)=0&\label{ddagger}\end{align} lo que a su vez no significa que, por ejemplo, si (\ref{dagger}) no se satisface, el espectro será siempre continuo. Es decir,
$$\begin{array}{lll}(\ref{dagger})\,\&\,(\ref{ddagger})&\Rightarrow&\left\{E_k\right\}_{k\in\mathbb{N}}\\[0.1in]\left\{E_k\right\}_{k\in\mathbb{N}}&\nRightarrow&(\ref{dagger})\,\&\,(\ref{ddagger})\end{array}$$ esto parece ser evidente de forma matemática, ya que ${\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}}$, sin embargo físicamente es relevante distinguir entre los casos discreto y continuo del espectro. Cuando el espectro del hamiltoniano es discreto, se dice que los estados ${|\psi\rangle}$ son ligados (bounded states), mientras que si es continuo, se dice que los correspondientes estados son no ligados (unbounded o scattering states). Los casos en que no se satisface (\ref{ddagger}) y el espectro es discreto, se dice que se tienen estados ligados en el continuo (bounded states in the continuum), caso que seguido podría darse en nanotecnología u óptica cuántica, por ejemplo.

Una interpretación física intuitiva para la aseveración anterior puede ser una analogía con las órbitas cerradas y abiertas que se hallan en los sistemas clásicos. Supóngase un núcleo masivo y un electrón en interacción mediante un potencial coulombiano. Si se satisfacen las dos condiciones, el sistema será un átomo hidrogenoide y como es sabido, tendrá valores de energía múltiplos de un entero positivo. En cambio si alguien disparase el electrón contra el núcleo desde muy lejos y con suficiente energía cinética, la energía total sería positiva y el núcleo desviaría al electrón sin capturarlo y sin alterar su energía, que evidentemente podrá tomar cualquier valor real. El caso más simple para un espectro energético continuo es el de la partícula libre, esto es, ${V(\mathbf{r})=0,\,\forall\,\mathbf{r}\in\mathbb{R}^3}$ donde la condición de normalización ${\int\psi_m\psi_n\,d\mathbf{r}=\delta_m\delta_n}$ deja de ser válida y puede generalizarse mediante la delta de Dirac, además de que en general las eigenfunciones se salen del espacio de Hilbert ${\mathcal{L}^2}$.

Ahora bien, he asumido ambas condiciones, sin embargo la condición (\ref{ddagger}) es una puramente cuántica y se refiere a una de más características de lo que seguido llamamos funciones de onda físicamente aceptables. La condición en realidad puede aflojarse y pedir simplemente que la función de onda sea constante en ${|x|\to\infty}$. Una forma intuitiva de entender por qué es necesaria esta condición es la siguiente. Supón un sistema que satisface (\ref{dagger}) y que eliges una solución particular $\psi$ que decrece en ${x\to\infty}$. Para este propósito, sean ${x_1,\,x_2}$ con ${x_1<x_2}$ los puntos en los que E intersecta al potencial y que $\psi$ es positivo en ${x_2}$. Entonces $\psi$ debe ser apropiadamente convexa en ${x>x_2}$ de modo que (\ref{ddagger}) se satisfaga. Para que esto ocurra, de la ecuación de la forma ${\psi^{\prime\prime}=\zeta^2\psi}$, se sabe que la curvatura depende de la energía vía ${\zeta^2}$, y por tanto, debe haber sólo un cierto valor particular de la energía para esta $\psi$ tal que la curvatura sea la apropiada dado que debe satisfacer (\ref{dagger}).

Esta es básicamente la forma de identificar inmediatamente el carácter discreto del espectro energético. Ahora bien, las identificaciones físicas o la justificación como la anterior son suficientes de manera práctica, pero gracias a unas preguntas en Physics SE me he preguntado a detalle por la forma de mostrarlo matemáticamente. Lo que se me ha ocurrido de inmediato y hace ya algún tiempo, es utilizar la teoría de Sturm-Liouville.

El detalle es el siguiente, siempre que exista $\zeta$ en el conjunto resolvente de un operador simétrico T que satisface el problema ${T\varphi=\lambda\varphi}$ tal que el operador resolvente ${R(T,\zeta)}$ sea compacto y simétrico, el espectro de T será discreto ${\{\lambda_k\}_{k\in\mathbb{N}}}$. Para que esto ocurra, T debe satisfacer el problema general de Sturm-Liouville regular en forma autoadjunta ${(T-\zeta)\,v=f}$ en un intervalo ${[a,b]}$ con función de peso $\rho$, i.e. en ${\mathcal{L}^2_\rho(a,b)}$. Otras propiedades bastante importantes en este caso, son que los eigenvalores ${\lambda_k}$ son únicos y constituyen un conjunto infinito y creciente, y que el conjunto de eigenfunciones ${\{\varphi_{_k}\}_{k\in\mathbb{N}}}$ forma una base ortogonal completa del espacio ${\mathcal{L}^2_\rho(a,b)}$. Es un clavado un tanto profundo para llegar aquí y desarrollarlo podría llevar un buen espacio, de cualquier modo el lector puede acudir a cualquier libro estándar de análisis funcional o en específico de la teoría de Sturm-Liouville.

La solución explícita por método de función de Green del problema regular de Sturm-Liouville en forma autoadjunta ${(T-\zeta)\,v=f}$ es
\begin{equation}v=(T-\zeta)^{-1}f=\int_a^bG(x,s)\,f(s)\,ds\end{equation} donde la función de Green
\begin{equation}G(x,s)=\begin{cases}\frac{\varphi_b(x)\,\varphi_a(s)}{W(s)},&a\leq{s}\leq{x}\\[0.1in]\frac{\varphi_a(x)\,\varphi_b(s)}{W(s)},&x\leq{s}\leq{b}\end{cases}\end{equation} se construye con las soluciones ${\varphi_a,\,\varphi_b}$ de la ecuación homogénea ${T\varphi=0}$ que satisface las respectivas condiciones de frontera (Neumann, Dirichlet, mixtas) en ${x=a,\,b}$. De este modo el resolvente asociado a T, por definición, ${R\equiv(T-\zeta)^{-1}}$ se puede relacionar de manera explícita como
\begin{equation}R\,f=\int_a^bG(x,s)\,f(s)\,ds\end{equation} donde G se interpreta como el kernel o núcleo de R. Al mostrar que el kernel de R es de cuadrado integrable, i.e. que satisface
\begin{equation}\int_a^b\int_a^b\left|G(x,s)\right|^2ds\,dx<\infty\end{equation} uno puede mostrar que R es compacto. Para esto uno simplemente debe mostrar que G es continua en el intervalo finito ${[a,b]}$. Ahora bien, por definición del operador resolvente, uno puede hacer el álgebra y ver que
\begin{equation}R\varphi=\mu\varphi\,\Longrightarrow\,T\varphi=\left(\frac{1}{\mu}+\zeta\right)\varphi\end{equation} de donde se sigue que las eigenfunciones de T son las mismas que las de R y entonces que R también será simétrico en ${[a,b]}$, además se pueden seguir las propiedades mencionadas para los eigenvalores ${\lambda\equiv\frac{1}{\mu}+\zeta}$ tomando en cuenta que para un operador compacto y simétrico en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ con producto interior ${\left\langle\cdot\,\middle|\,\cdot\right\rangle_\mathcal{H}}$ los eigenvalores forman un conjunto infinito, acotado y numerable que converge a cero, $\displaystyle{\lim_{k\to\infty}\mu_k=0}$. Así pues, si la ecuación ${H\psi=E\psi}$ puede reducirse a un problema regular de Sturm-Liouville, el espectro de H será discreto.

Al querer atacar el problema de este modo sin embargo, aparecen ciertas inconveniencias que aún no me parecen tan claras con este argumento (aunque las haya procurado defender en mis respuestas de Physics SE). La primera es que el intervalo (o dominio en general) en que la ec. de Schrödinger es válida no está restringido, como pide el problema de S-L regular. Aquí me parece crucial la restricción (\ref{dagger}), ya que en general para una energía que intersecta a V en ${x=x_1,\,x_2}$ con ${x_1<x_2}$, la función de onda tendrá la forma
\begin{equation}\psi=\begin{cases}\psi_1,&x<x_1\\\psi_2,&x_1\leq{x}\leq{x}_2\\\psi_3,&x>x_2\end{cases}\end{equation} de modo que presumo que puede emplearse ${\psi_2}$ para reducir el problema original a uno de S-L regular y obtener información del espectro de H. Para esto, H debe ser autoadjunto en ${[x_1,x_2]}$, lo que puede lograrse homogeneizando las condiciones de frontera para ${\psi_2}$, por ejemplo por interpolación de una nueva función a través de la original, que satisfaga las condiciones de frontera originales. Esto me parece suficiente así visto toscamente, sin embargo me sigue pareciendo que podría haber sutilezas o algo por el estilo; quizá pronto me decida a intentarlo con detalle. La segunda, es que originalmente H se ha establecido como un operador simétrico en general en todo el espacio en que actúa. Esta inconveniencia desaparece si las funciones de onda completas $\psi$ en general satisfacen (\ref{ddagger}). Nuevamente esto me parece dudoso, aunque a la vez, visto toscamente, cierto. De igual modo hay ciertas cuestiones quizá un tanto más complejas, como el carácter ya sea acotado o libre del operador H, pues por el teorema de Hellinger-Toeplitz un operador autoadjunto es acotado, sin embargo el hamiltoniano (la energía) en general no es acotado. En el enlace anterior a Wikipedia se puede leer que en ese caso H queda definido sólo en un subconjunto denso de ${\mathcal{L}^2}$, además de que el hamiltoniano presuntamente siempre está acodado por abajo. En fin, dejo estos detalles más sutiles al lector, por mi parte procuraré profundizar un tanto más en el tema conforme tenga oportunidad o vaya aprendiendo quizá sobre teorías un tanto más fundamentales como teoría cuántica de campos, por ejemplo.

La carta de Max Planck a Robert W. Wood

7 de Octubre de 1931

Mi estimado colega,
Recientemente expresaste el interés, luego de nuestra agradable cena en Trinity Hall, de que debería describir desde un punto de vista psicológico las consideraciones que me llevaron a proponer la hipótesis de los cuantos de energía. Procuraré atender por este medio tu interés.

En resumen, lo que hice puede describirse simplemente como un acto de desesperación. Por naturaleza soy pacífico y rechazo toda aventura dudosa. Pero por entonces había estado luchando sin éxito durante seis años (desde 1894) con el problema del equilibrio entre radiación y materia y sabía que este problema tenía una importancia fundamental para la física; también conocía la fórmula que expresa la distribución de la energía en el espectro continuo. Por consiguiente, había que hallar una interpretación teórica a cualquier precio, sin importar qué tan alto. Era claro para mí que la física clásica podía ofrecer ninguna solución a este problema y hubiera significado que toda la energía eventualmente se transfiriera de la materia a radiación. Para evitar esto, se requiere una nueva constante para asegurar que la energía no se desintegre. Esta estrategia se me tornó evidente al mantener las dos leyes de la termodinámica. Las dos leyes, me parece, deben mantenerse bajo toda circunstancia. Para el resto, estaba listo para sacrificar cada una de mis convicciones previas acerca de las leyes físicas. Boltzmann había explicado cómo se establece el equilibrio termodinámico mediante un equilibrio estadístico, y si se aplica semejante método al equilibrio entre materia y radiación, se encuentra que la continua transformación de energía en radiación se puede evitar asumiendo que la energía está obligada desde el principio a permanecer agrupada en ciertos cuantos. Esta fue una suposición meramente formal y en realidad no pensé mucho en ella con excepción de que sin importar el costo, debía proveer un resultado satisfactorio.

Espero que esta discusión sea una respuesta satisfactoria a tu consulta. Te envío además de forma impresa la versión en inglés de mi discurso Nobel sobre el mismo tema. Estimo los recuerdos de mi agradable estancia en Cambridge y la hermandad con nuestros colegas.

Muy cordialmente.
M. Planck.

Fuente original (inglés): M. S. Longair

Caos Cuántico y la Escuela de Modelación y Métodos Numéricos 2013

Del 25 al 28 de junio del presente año se llevó acabo la Escuela de Modelación y Métodos Numéricos 2013 en el Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT) en Guanajuato, Guanajuato. La experiencia fue sumamente enriquecedora, de manera profesional y personal. La escuela trató los temas de Dinámica Molecular y Química Cuántica, Nanociencia y Nanotecnología. Me pareció curioso que un buen porcentaje de los asistentes al evento se dedican o a la biología o a la química; como físicos sólo asistimos dos compañeros y yo por parte de la misma institución, aunque hubo también varios matemáticos.

Acá comparto una presentación bastante breve que hicimos mis dos compañeros y yo en un minisimposio de mecánica cuántica para compartir un poco de lo tratado en la escuela y nuestra experiencia: Presentación EMMN-13

Ha sido el primer evento externo al que asisto, y vaya que fue divertido. Y para cerrar con broche de oro tanta química cuántica, un buen harlem shake molecular:

Bueno, y aprovechando la oportunidad para hablar en el minisimposio, decidí compartir un poco de información acerca de lo que es el llamado caos cuántico con esta presentación: ¿Qué es el caos cuántico?.

La plática se llevó acabo en unos 20 minutos, y lo que procuré fue sobre todo expresar mi interés por el tema y contagiar a algunos de mis compañeros. En este momento me encuentro con una gama de posibilidades enfrente sobre la dirección que puede tomar mi carrera, y ésta es una que me parece bastante atractiva, desde los sistemas dinámicos y la física no lineal, hasta el caos cuántico y aplicaciones biológicas. El tema es muy amplio y abunda información en la red, para quien desee ahondar en el tema, aunque quizá para ello antes se necesite afilar un poco el propio colmillo matemático.

Utilizando mecánica clásica en átomos: partículas idénticas y caos cuántico

Específicamente quiero responder por qué es cierto que cuando la longitud de onda de deBroglie en un gas a una temperatura dada es mucho más pequeña que la distancia entre partículas, el gas se comporta clásicamente (cada partícula o átomo puede modelarse con la mecánica de Newton o bien, el gas sigue una distribución de Maxwell-Boltzmann). En general el tema del límite clásico de la mecánica cuántica es uno mucho más amplio, pues ambas teorías son radicalmente distintas.

En este caso, fijémonos en una partícula; por el teorema de Ehrenfest, se tiene que
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\left\langle{\frac{dV(x)}{dx}}\right\rangle$$ desarrollando en serie de potencias el lado derecho de la ecuación alrededor de ${\langle{x}\rangle}$,
$$\frac{dV(x)}{dx}=\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}+\frac{dV(\langle{x}\rangle)^2}{d\langle{x}\rangle^2}(x-\langle{x}\rangle)+\frac{1}{2}\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}(x-\langle{x}\rangle)^2+\mathcal{O}\left(\langle{x}\rangle^4\right)$$ ahora bien, ${\left\langle{x-\langle{x}\rangle}\right\rangle=0}$, y ${\left\langle(x-\langle{x}\rangle)^2\right\rangle=\sigma_x^2}$, de modo que si V varía lentamente en x, pueden considerarse únicamente los primeros términos de la expansión,
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}-\frac{1}{2}\sigma_x^2\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}$$ a continuación al despreciar la varianza ${\sigma_x}$, lo que se está haciendo es precisamente decir que el tamaño de la función de onda es muy pequeña comparada con la variación del potencial V, pues la varianza se interpreta como qué tan extendida o dispersa es la distribución, en este caso espacial, de la partícula. Esto entonces da como resultado
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}$$ precisamente la ecuación para la segunda ley de Newton, lo que es de esperarse, pues significa que la probabilidad de hallar a la partícula en x estará abismalmente concentrada en su valor medio.

Esto entonces se puede interpretar como que en una descripción clásica de cada partícula (átomos si se quiere), la extensión de la función de onda (prácticamente la longitud de onda de deBroglie), es mucho más pequeña que la distancia entre partículas, que son las fuentes de potencial V. Esto es lo que suele decirse en textos básicos de física estadística o de dinámica molecular.

Hablando en general, en nuestro universo todas las partículas conocidas entran únicamente en dos tipos: bosones y femiones, que se conocen como partículas idénticas. Las partículas idénticas en el mundo cuántico son además indistinguibles. Es interesante entonces que en este límite, si se quiere, en el que partículas idénticas se comportan como partículas clásicas, éstas dejarán de ser indistinguibles. Lo dicho antes entonces puede traducirse en qué tanto interfieren las funciones de onda de las partículas, como en el caso del gas ideal en condiciones estándar, en que las moléculas están suficientemente separadas de modo que pueden considerarse distinguibles, en cambio dos electrones en el mismo nivel energético de un átomo siempre serán indistinguibles. La imagen mostrada a la izquierda pertenece a skeptics play, en donde puede leerse más a nivel divulgación sobre partículas idénticas.

Finalmente, una parte relacionada con este tema y por la que he estado muy interesado últimamente (por supuesto a nivel fanático estudiante de licenciatura en física) es la del caos cuántico, que básicamente busca la relación del caos (que únicamente se concibe como algo clásico) con la mecánica cuántica, es decir, cuando se observa caos clásicamente, ¿qué ocurre en la descripción cuántica?. Lo que he leído hasta ahora ha sido sobre todo acerca de la llamada dinámica de billar, que como el nombre sugiere, básicamente describe el movimiento de una partícula encerrada por una frontera rígida, en la cual se refleja.

Estadio de Bunimovich: descripción clásica

Estadio de Bunimovich: descripción cuántica

Las imágenes muestran el llamado estadio de Bunimovich, un estadio caótico, del cual puedes leer más en esta entrada de Terence Tao. Acá también pongo una animación del estadio de Bunimovich clásico. A la derecha se muestra un llamado corral cuántico. Esta última imagen la puedes encontrar en la página del American Institute of Physics, así como leer más detalle en este artículo. En general creo que esta es un área de investigación muy activa recientemente y hay resultados interesantísimos por parte de muchos investigadores. Si ya eres estudiante de alguna carrera relacionada a la física, o tienes inclinación hacia ella, aquí hay una gran motivación para que te decidas de lleno. Por parte de México también me he encontrado con trabajos interesantísimos, como éste, en que se generalizan los estadios dos dimensionales clásicos. Sea del lado clásico o del cuántico, el estudio de sistemas dinámicos y por supuesto el caos, me parece sumamente atractivo.