Específicamente quiero responder por qué es cierto que cuando la longitud de onda de deBroglie en un gas a una temperatura dada es mucho más pequeña que la distancia entre partículas, el gas se comporta clásicamente (cada partícula o átomo puede modelarse con la mecánica de Newton o bien, el gas sigue una distribución de Maxwell-Boltzmann). En general el tema del límite clásico de la mecánica cuántica es uno mucho más amplio, pues ambas teorías son radicalmente distintas.
En este caso, fijémonos en una partícula; por el teorema de Ehrenfest, se tiene que
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\left\langle{\frac{dV(x)}{dx}}\right\rangle$$ desarrollando en serie de potencias el lado derecho de la ecuación alrededor de ${\langle{x}\rangle}$,
$$\frac{dV(x)}{dx}=\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}+\frac{dV(\langle{x}\rangle)^2}{d\langle{x}\rangle^2}(x-\langle{x}\rangle)+\frac{1}{2}\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}(x-\langle{x}\rangle)^2+\mathcal{O}\left(\langle{x}\rangle^4\right)$$ ahora bien, ${\left\langle{x-\langle{x}\rangle}\right\rangle=0}$, y ${\left\langle(x-\langle{x}\rangle)^2\right\rangle=\sigma_x^2}$, de modo que si V varía lentamente en x, pueden considerarse únicamente los primeros términos de la expansión,
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}-\frac{1}{2}\sigma_x^2\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}$$ a continuación al despreciar la varianza ${\sigma_x}$, lo que se está haciendo es precisamente decir que el tamaño de la función de onda es muy pequeña comparada con la variación del potencial V, pues la varianza se interpreta como qué tan extendida o dispersa es la distribución, en este caso espacial, de la partícula. Esto entonces da como resultado
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}$$ precisamente la ecuación para la segunda ley de Newton, lo que es de esperarse, pues significa que la probabilidad de hallar a la partícula en x estará abismalmente concentrada en su valor medio.
Esto entonces se puede interpretar como que en una descripción clásica de cada partícula (átomos si se quiere), la extensión de la función de onda (prácticamente la longitud de onda de deBroglie), es mucho más pequeña que la distancia entre partículas, que son las fuentes de potencial V. Esto es lo que suele decirse en textos básicos de física estadística o de dinámica molecular.
Hablando en general, en nuestro universo todas las partículas conocidas entran únicamente en dos tipos: bosones y femiones, que se conocen como partículas idénticas. Las partículas idénticas en el mundo cuántico son además indistinguibles. Es interesante entonces que en este límite, si se quiere, en el que partículas idénticas se comportan como partículas clásicas, éstas dejarán de ser indistinguibles. Lo dicho antes entonces puede traducirse en qué tanto interfieren las funciones de onda de las partículas, como en el caso del gas ideal en condiciones estándar, en que las moléculas están suficientemente separadas de modo que pueden considerarse distinguibles, en cambio dos electrones en el mismo nivel energético de un átomo siempre serán indistinguibles. La imagen mostrada a la izquierda pertenece a skeptics play, en donde puede leerse más a nivel divulgación sobre partículas idénticas.
Finalmente, una parte relacionada con este tema y por la que he estado muy interesado últimamente (por supuesto a nivel fanático estudiante de licenciatura en física) es la del caos cuántico, que básicamente busca la relación del caos (que únicamente se concibe como algo clásico) con la mecánica cuántica, es decir, cuando se observa caos clásicamente, ¿qué ocurre en la descripción cuántica?. Lo que he leído hasta ahora ha sido sobre todo acerca de la llamada dinámica de billar, que como el nombre sugiere, básicamente describe el movimiento de una partícula encerrada por una frontera rígida, en la cual se refleja.
Las imágenes muestran el llamado estadio de Bunimovich, un estadio caótico, del cual puedes leer más en esta entrada de Terence Tao. Acá también pongo una animación del estadio de Bunimovich clásico. A la derecha se muestra un llamado corral cuántico. Esta última imagen la puedes encontrar en la página del American Institute of Physics, así como leer más detalle en este artículo. En general creo que esta es un área de investigación muy activa recientemente y hay resultados interesantísimos por parte de muchos investigadores. Si ya eres estudiante de alguna carrera relacionada a la física, o tienes inclinación hacia ella, aquí hay una gran motivación para que te decidas de lleno. Por parte de México también me he encontrado con trabajos interesantísimos, como éste, en que se generalizan los estadios dos dimensionales clásicos. Sea del lado clásico o del cuántico, el estudio de sistemas dinámicos y por supuesto el caos, me parece sumamente atractivo.
En este caso, fijémonos en una partícula; por el teorema de Ehrenfest, se tiene que
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\left\langle{\frac{dV(x)}{dx}}\right\rangle$$ desarrollando en serie de potencias el lado derecho de la ecuación alrededor de ${\langle{x}\rangle}$,
$$\frac{dV(x)}{dx}=\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}+\frac{dV(\langle{x}\rangle)^2}{d\langle{x}\rangle^2}(x-\langle{x}\rangle)+\frac{1}{2}\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}(x-\langle{x}\rangle)^2+\mathcal{O}\left(\langle{x}\rangle^4\right)$$ ahora bien, ${\left\langle{x-\langle{x}\rangle}\right\rangle=0}$, y ${\left\langle(x-\langle{x}\rangle)^2\right\rangle=\sigma_x^2}$, de modo que si V varía lentamente en x, pueden considerarse únicamente los primeros términos de la expansión,
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}-\frac{1}{2}\sigma_x^2\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}$$ a continuación al despreciar la varianza ${\sigma_x}$, lo que se está haciendo es precisamente decir que el tamaño de la función de onda es muy pequeña comparada con la variación del potencial V, pues la varianza se interpreta como qué tan extendida o dispersa es la distribución, en este caso espacial, de la partícula. Esto entonces da como resultado
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}$$ precisamente la ecuación para la segunda ley de Newton, lo que es de esperarse, pues significa que la probabilidad de hallar a la partícula en x estará abismalmente concentrada en su valor medio.
Esto entonces se puede interpretar como que en una descripción clásica de cada partícula (átomos si se quiere), la extensión de la función de onda (prácticamente la longitud de onda de deBroglie), es mucho más pequeña que la distancia entre partículas, que son las fuentes de potencial V. Esto es lo que suele decirse en textos básicos de física estadística o de dinámica molecular.
Hablando en general, en nuestro universo todas las partículas conocidas entran únicamente en dos tipos: bosones y femiones, que se conocen como partículas idénticas. Las partículas idénticas en el mundo cuántico son además indistinguibles. Es interesante entonces que en este límite, si se quiere, en el que partículas idénticas se comportan como partículas clásicas, éstas dejarán de ser indistinguibles. Lo dicho antes entonces puede traducirse en qué tanto interfieren las funciones de onda de las partículas, como en el caso del gas ideal en condiciones estándar, en que las moléculas están suficientemente separadas de modo que pueden considerarse distinguibles, en cambio dos electrones en el mismo nivel energético de un átomo siempre serán indistinguibles. La imagen mostrada a la izquierda pertenece a skeptics play, en donde puede leerse más a nivel divulgación sobre partículas idénticas.Finalmente, una parte relacionada con este tema y por la que he estado muy interesado últimamente (por supuesto a nivel fanático estudiante de licenciatura en física) es la del caos cuántico, que básicamente busca la relación del caos (que únicamente se concibe como algo clásico) con la mecánica cuántica, es decir, cuando se observa caos clásicamente, ¿qué ocurre en la descripción cuántica?. Lo que he leído hasta ahora ha sido sobre todo acerca de la llamada dinámica de billar, que como el nombre sugiere, básicamente describe el movimiento de una partícula encerrada por una frontera rígida, en la cual se refleja.
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| Estadio de Bunimovich: descripción clásica |
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| Estadio de Bunimovich: descripción cuántica |
Las imágenes muestran el llamado estadio de Bunimovich, un estadio caótico, del cual puedes leer más en esta entrada de Terence Tao. Acá también pongo una animación del estadio de Bunimovich clásico. A la derecha se muestra un llamado corral cuántico. Esta última imagen la puedes encontrar en la página del American Institute of Physics, así como leer más detalle en este artículo. En general creo que esta es un área de investigación muy activa recientemente y hay resultados interesantísimos por parte de muchos investigadores. Si ya eres estudiante de alguna carrera relacionada a la física, o tienes inclinación hacia ella, aquí hay una gran motivación para que te decidas de lleno. Por parte de México también me he encontrado con trabajos interesantísimos, como éste, en que se generalizan los estadios dos dimensionales clásicos. Sea del lado clásico o del cuántico, el estudio de sistemas dinámicos y por supuesto el caos, me parece sumamente atractivo.
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