Es de lo más divertido observar cómo se desvía la luz en un medio en que el índice de refracción cambia de manera continua:
Esta foto fue tomada por mi equipo de laboratorio y describe un rayo luminoso viajando dentro de una pecera con agua con un gradiente de concentración de sal. Cuando un rayo de luz atraviesa la superficie de separación de dos medios de distinto índice de refracción se satisface la ley de Snell,
\begin{equation}n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\end{equation} Si el índice de refracción $n$ varía de forma continua, entonces para un ángulo refractado $\theta$, la ley de Snell puede expresarse en la forma
\begin{equation}n\sin\theta=\text{cte}\end{equation} de modo que si ${n=n(\zeta)}$ con $\zeta$ el conjunto de grados de libertad del medio, la forma diferencial de la ley de Snell es
\begin{equation}\frac{dn(\zeta)}{n(\zeta)}=-\cot\theta\,d\theta\end{equation} en general. Partiendo de la ecuación de la curva bidimensional descrita por el láser, procedimos a determinar la relación de la altura $z$ con el ángulo respecto a la normal en cada punto de incidencia, $\theta$, de donde obtuvimos entonces el índice de refracción respecto a la altura, ${n=n(z)}$ para el contenedor que se muestra en la imagen, que está llena de agua con un gradiente de concentración de sal de mesa.
En general, el índice de refracción puede ponerse en función de la frecuencia de la luz, o bien, de la longitud de onda, $\displaystyle{n=n(\lambda)}$. Esto es, el índice de refracción varía con la longitud de onda ya que diferentes longitudes de onda interfieren en distinto modo con los átomos del medio. Esta variación del índice de refracción es llamada dispersión o dispersión cromática para enfatizar la relación con la longitud de onda.
La consecuencia más común y citada de la dispersión es la separación de luz blanca en un espectro de colores por medio de un prisma. De la ley de Snell se puede ver que el ángulo de refracción de la luz en un prisma depende del índice de refracción del material del prisma. Dado que el índice de refracción varía con la longitud de onda, se sigue que el ángulo de refracción también variará con la longitud de onda, causando la separación angular de los colores.
Para la luz visible, los índices de refracción de la mayoría de materiales transparentes (aire, vidrio...) decrecen respecto a un incremento de longitud de onda $\lambda$, por ejemplo, cuando
\begin{equation}1<n(\lambda_\text{rojo})<n(\lambda_\text{verde})<n(\lambda_\text{azul})\end{equation} se dice que el medio tiene una dispersión normal. Mientras que si el índice incrementa ante un incremento de $\lambda$ (típicamente el caso de los rayos-X), se dice que el medio tiene una dispersión anómala. Nosotros utilizamos un rayo de color verde (${\lambda\approx530\,\mathrm{nm}}$) y un rayo de color azul (${\lambda\approx420\,\mathrm{nm}}$), por lo que la distinción es útil.
Capturamos los datos espaciales para cada rayo y empleamos un ajuste de la forma
\begin{equation}z=\ln\left(\alpha\,y+\beta\right)\end{equation}
\begin{equation}\frac{dz}{dy}=\frac{\tilde{\alpha}}{\alpha\,y+\beta}\end{equation} donde se señala $\tilde{\alpha}$ como el valor adimensional asociado a $\alpha$, además se sabe que ${dy/dz=\tan\theta}$, entonces simplemente
\begin{equation}\cot\theta=-\frac{\tilde{\alpha}}{\alpha\,y+\beta}=-\tilde{\alpha}\,\mathrm{e}^{-z}\end{equation} que puede escribirse como
\begin{equation}z=\ln\left(-\tilde{\alpha}\,\tan\theta\right)\end{equation} entonces también, derivando esta expresión,
\begin{equation}\frac{dz}{d\theta}=\csc\theta\sec\theta\end{equation} que puede escribirse como
\begin{align}dz&=\cot\theta\sec^2\theta\,d\theta\nonumber\\&=\cot\theta\,\left(1+\tan^2\theta\right)\,d\theta\nonumber\\&=\cot\theta\,\left(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z}\right)\,d\theta\end{align} es decir
\begin{equation}\frac{dz}{(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z})}=\cot\theta\,d\theta\end{equation} entonces se identifica con la forma diferencial de la ley de Snell, que
\begin{equation}-\frac{dz}{(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z})}=\frac{dn}{n}\end{equation} de modo que, imponiendo la condición ${n(0)=n_0}$ para el índice de refracción en el fondo de la pecera e integrando,
\begin{equation}n(z)=n_0\frac{\mathrm{e}^{-z}\sqrt{\mathrm{e}^{2z}+\tilde{\alpha}^2}}{\sqrt{1+\tilde{\alpha}^2}}\end{equation} y de este modo entonces, puede determinarse el índice de refracción en el fondo de la pecera, $n_0$, para cada rayo imponiendo la condición ${n(h)=n_\text{aire}}$ para la altura del agua en la pecera $h$. En este caso, ${h\approx20\,\mathrm{cm}}$ y ${n_\text{aire}\approx1.00029}$. Para el rayo azul, por ejemplo, encontramos experimentalmente de la curva descrita por el rayo que ${\tilde{\alpha}\approx-0.89}$; imponiendo las condiciones mencionadas entonces encontramos que ${n_0\approx1.34}$ es el valor aproximado del índice de refracción en el fondo de la pecera para el rayo azul, de modo que ${n(z)}$ quedó completamente determinado. De manera análoga para el rayo verde, ${\tilde{\alpha}\approx-0.79}$ y ${n_0\approx1.27}$,
con lo que se verificó que ${n_\text{azul}(z)\geq{n}_\text{verde}(z),\,\forall{z}\,\in\text{contenedor}}$. Los resultados fueron inesperados en cierto sentido -en lo personal esperaba un comportamiento lineal-, aunque siguen un comportamiento físicamente plausible y son coherentes con la teoría. El procedimiento seguramente puede extenderse a una buena cantidad de medios no homogéneos conociendo únicamente el comportamiento espacial de la luz en él.
El enlace al reporte completo:
Esta foto fue tomada por mi equipo de laboratorio y describe un rayo luminoso viajando dentro de una pecera con agua con un gradiente de concentración de sal. Cuando un rayo de luz atraviesa la superficie de separación de dos medios de distinto índice de refracción se satisface la ley de Snell,
\begin{equation}n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\end{equation} Si el índice de refracción $n$ varía de forma continua, entonces para un ángulo refractado $\theta$, la ley de Snell puede expresarse en la forma
\begin{equation}n\sin\theta=\text{cte}\end{equation} de modo que si ${n=n(\zeta)}$ con $\zeta$ el conjunto de grados de libertad del medio, la forma diferencial de la ley de Snell es
\begin{equation}\frac{dn(\zeta)}{n(\zeta)}=-\cot\theta\,d\theta\end{equation} en general. Partiendo de la ecuación de la curva bidimensional descrita por el láser, procedimos a determinar la relación de la altura $z$ con el ángulo respecto a la normal en cada punto de incidencia, $\theta$, de donde obtuvimos entonces el índice de refracción respecto a la altura, ${n=n(z)}$ para el contenedor que se muestra en la imagen, que está llena de agua con un gradiente de concentración de sal de mesa.
En general, el índice de refracción puede ponerse en función de la frecuencia de la luz, o bien, de la longitud de onda, $\displaystyle{n=n(\lambda)}$. Esto es, el índice de refracción varía con la longitud de onda ya que diferentes longitudes de onda interfieren en distinto modo con los átomos del medio. Esta variación del índice de refracción es llamada dispersión o dispersión cromática para enfatizar la relación con la longitud de onda.
La consecuencia más común y citada de la dispersión es la separación de luz blanca en un espectro de colores por medio de un prisma. De la ley de Snell se puede ver que el ángulo de refracción de la luz en un prisma depende del índice de refracción del material del prisma. Dado que el índice de refracción varía con la longitud de onda, se sigue que el ángulo de refracción también variará con la longitud de onda, causando la separación angular de los colores.Para la luz visible, los índices de refracción de la mayoría de materiales transparentes (aire, vidrio...) decrecen respecto a un incremento de longitud de onda $\lambda$, por ejemplo, cuando
\begin{equation}1<n(\lambda_\text{rojo})<n(\lambda_\text{verde})<n(\lambda_\text{azul})\end{equation} se dice que el medio tiene una dispersión normal. Mientras que si el índice incrementa ante un incremento de $\lambda$ (típicamente el caso de los rayos-X), se dice que el medio tiene una dispersión anómala. Nosotros utilizamos un rayo de color verde (${\lambda\approx530\,\mathrm{nm}}$) y un rayo de color azul (${\lambda\approx420\,\mathrm{nm}}$), por lo que la distinción es útil.
Capturamos los datos espaciales para cada rayo y empleamos un ajuste de la forma
\begin{equation}z=\ln\left(\alpha\,y+\beta\right)\end{equation}
\begin{equation}\frac{dz}{dy}=\frac{\tilde{\alpha}}{\alpha\,y+\beta}\end{equation} donde se señala $\tilde{\alpha}$ como el valor adimensional asociado a $\alpha$, además se sabe que ${dy/dz=\tan\theta}$, entonces simplemente
\begin{equation}\cot\theta=-\frac{\tilde{\alpha}}{\alpha\,y+\beta}=-\tilde{\alpha}\,\mathrm{e}^{-z}\end{equation} que puede escribirse como
\begin{equation}z=\ln\left(-\tilde{\alpha}\,\tan\theta\right)\end{equation} entonces también, derivando esta expresión,
\begin{equation}\frac{dz}{d\theta}=\csc\theta\sec\theta\end{equation} que puede escribirse como
\begin{align}dz&=\cot\theta\sec^2\theta\,d\theta\nonumber\\&=\cot\theta\,\left(1+\tan^2\theta\right)\,d\theta\nonumber\\&=\cot\theta\,\left(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z}\right)\,d\theta\end{align} es decir
\begin{equation}\frac{dz}{(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z})}=\cot\theta\,d\theta\end{equation} entonces se identifica con la forma diferencial de la ley de Snell, que
\begin{equation}-\frac{dz}{(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z})}=\frac{dn}{n}\end{equation} de modo que, imponiendo la condición ${n(0)=n_0}$ para el índice de refracción en el fondo de la pecera e integrando,
\begin{equation}n(z)=n_0\frac{\mathrm{e}^{-z}\sqrt{\mathrm{e}^{2z}+\tilde{\alpha}^2}}{\sqrt{1+\tilde{\alpha}^2}}\end{equation} y de este modo entonces, puede determinarse el índice de refracción en el fondo de la pecera, $n_0$, para cada rayo imponiendo la condición ${n(h)=n_\text{aire}}$ para la altura del agua en la pecera $h$. En este caso, ${h\approx20\,\mathrm{cm}}$ y ${n_\text{aire}\approx1.00029}$. Para el rayo azul, por ejemplo, encontramos experimentalmente de la curva descrita por el rayo que ${\tilde{\alpha}\approx-0.89}$; imponiendo las condiciones mencionadas entonces encontramos que ${n_0\approx1.34}$ es el valor aproximado del índice de refracción en el fondo de la pecera para el rayo azul, de modo que ${n(z)}$ quedó completamente determinado. De manera análoga para el rayo verde, ${\tilde{\alpha}\approx-0.79}$ y ${n_0\approx1.27}$,
El enlace al reporte completo:
Obtención experimental del índice de refracción en un tipo de medio no homogéneo
Pedro Figueroa Romero, Mireya Karent Martínez Hernández, Ali Cesar Medrano Sandoval, Sergio Patino López, Manuel Valadez Acuña
Reporte Experimental.
Laboratorio de Óptica.
UAM Iztapalapa. Junio de 2013
Estamos tan acostumbrados a la luz y nunca o muy pocas veces nos preguntamos ¿cómo viaja la luz? o si algo afecta su camino. Es muy interesante estudiar la luz y muy bello ver ese efecto.
ReplyDeleteAsí es, a mi me gustó comprobar la dependencia para el índice de refracción en la longitud de onda del rayo que viaja en el medio. En general los efectos ópticos son divertidísimos; se pierden de mucho, definitivamente, quienes se mantienen ajenos a la física.
ReplyDeleteSí eh! la Física explica tantas cosas de la naturaleza, falta mucho por descubrir; no como pensaba J.J. Thomson que la Fisica de su epoca era lo último, y como dices, que pena que hay gente que le teme a las Matemáticas y por lo tanto a la Física.
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