A cien años del nacimiento del teorema de Noether: su relación con la Relatividad General

Para noviembre de 1915, Albert Einstein había dado a la relatividad general su forma final a través de las ecuaciones que llevan su nombre. Unos días después, el poco menos conocido para la población general pero también brillantísimo David Hilbert, enviaría para publicación las mismas ecuaciones de campo obtenidas independientemente (aunque ya con la mesa conceptual puesta por Einstein) a través del irrazonablemente efectivo principio de mínima acción. Tanto menos conocida todavía es Amalie Emmy Noether, que por el mismo tiempo, e influenciada/motivada por Hilbert y el desarrollo de la relatividad general, tenía listo ya (aunque se publicaría en 1918) el bellísimo teorema que hoy en física se conoce por su nombre.

Imagen sobre Emmy Noether creada por el Perimeter Institute (publicada en su cuenta de Twitter)

Aunque desconozco su nivel de popularidad entre los matemáticos, Emmy Noether ciertamente es una rockstar entre los físicos y aún más entre los teóricos. Su vida es en sí misma bastante interesante, siendo desfavorables gran parte de las circunstancias de la época para una mujer que extrañamente estaba interesada en las matemáticas (concretamente se dice que la segunda mujer en dedicarse a las matemáticas en la historia reciente). Irónicamente, aunque Noether es ampliamente celebrada en la física, su teorema no fue más que un pequeño paseíllo en su interés por la teoría de grupos y el resto de su trabajo se restringió únicamente a las matemáticas.


Aunque el teorema de Noether no es del mismo calibre que el de una teoría (como la propia relatividad general), es un ingrediente esencial en el entendimiento de la realidad física. Aunque a muchas personas la palabra teorema les invoque algo escalofriante, la idea central del teorema de Noether es realmente simple: A cada simetría continua de las leyes de la física corresponde una cantidad conservada.

Symmetry <-> Conservation law Emmy Noether

— Analysis Fact (@AnalysisFact) April 21, 2015

Usualmente se parafrasea de este modo para no meter la pata en algo esencial (como la palabra continua). Para los dummies como yo, básicamente se trata de que cuando un sistema físico permanece inalterado ante una alteración pequeñita dada, existirá una cantidad que no cambiará con el tiempo. El ejemplo más común es el que se enseña en la secundaria sobre la conservación de la energía (la energía no se crea ni se destruye) que corresponde a que las leyes de la física son las mismas sin importar el paso del tiempo (hay una simetría temporal continua: traslaciones temporales). De manera análoga, la conservación de momento (o cantidad de movimiento) corresponde a una simetría ante traslaciones espaciales y la conservación de momento angular corresponde a una simetría ante rotaciones espaciales. Estos son los casos más sencillos en la mecánica clásica, pero seguido las teorías físicas contienen otros tipos de simetría (a veces más evidentes, a veces menos evidentes) y aparecen nuevas cantidades conservadas: el mejor ejemplo es el de la carga eléctrica, que surge de la simetría de la propia teoría electromagnética. Así pues, el teorema de Noether es de una importancia crucial en la física aunque no se trate de una teoría en particular.

Vale, ya entrando en materia, aunque normalmente el teorema de Noether se introduce en mecánica clásica a los estudiantes de licenciatura, el teorema realmente germinó en Emmy Noether a través de la relatividad general cuando en 1915 fue invitada por David Hilbert y Felix Klein a trabajar a la Universidad de Gotinga. Una famosa anécdota*, que refleja claramente las ideas de género de la época, es la de algunos profesores de humanidades reclamando a la llegada de Noether

¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la Universidad y encuentren que deben aprender a los pies de una mujer?

y Hilbert contestando

No veo que el género del candidato sea un argumento contra su admisión como Privatdozent. Después de todo, somos una Universidad, no un baño público.

A pesar de las objeciones, Emmy llegó a Gotinga, aunque sin recibir un salario (siendo mantenida por su familia, misma situación que tuvo, ya como profesora, desde hacía casi 7 años en su ciudad natal) por algún tiempo y tratada como mera ayudante de Hilbert, justo prácticamente al mismo tiempo en que Einstein fue invitado a dar una serie de charlas sobre sus ideas en relatividad general. Hilbert estaba ampliamente interesado en la teoría de Einstein y en la física en general, por lo que obtuvo por su cuenta (quizá poco antes o poco después de Einstein) las ecuaciones de campo de la teoría y las publicó apenas unos días después de que lo hiciera Einstein. Como sea, aunque como menciona Einstein en su artículo, la relatividad general estaba completa como construcción lógica, aún había un detalle que era desconcertante: la hasta entonces bien establecida conservación de la energía, que deja de ser cierta en esta teoría.

Desde Galileo (básicamente desde el inicio de la ciencia moderna), el concepto de simetría en física ha sido vital. Un grupo de simetría es una colección de un tipo particular de funciones matemáticas (como las traslaciones o las rotaciones) llamadas transformaciones, que al aplicarse a un objeto dado, lo dejan inalterado. Se dice entonces que un grupo de simetría X corresponde a una teoría física cuando las ecuaciones de la teoría no cambian al aplicarles las transformaciones de X. En particular, el grupo de simetría de la mecánica clásica es llamado grupo de Galileo y contiene las transformaciones de traslación, rotación y desplazamientos a velocidad constante. De manera análoga, el grupo de simetría de la relatividad especial es el llamado grupo de Poincaré, que contiene traslaciones, rotaciones y un tipo especial de rotaciones llamados boosts. En el caso de la relatividad general, el grupo de simetría es el de los 'cambios de coordenadas', de modo que la teoría es exactamente la misma sin importar con qué coordenadas se le vea (lo que los físicos llaman covariancia general y que hace a la teoría naturalmente formulable en términos tensoriales, lo que seguido es atemorizante cuando uno como estudiante la quiere aprender).

Una diferencia crucial entre los cambios de coordenadas y las traslaciones, las rotaciones o los 'boosts', es que de los primeros existe una infinidad, mientras que de los otros existe solamente una cantidad finita con la que se puede generar cualquier otro. Este detalle es básicamente el que hace que la conservación de energía no se cumpla en la relatividad general, pues la 'energía', o más precisamente el tensor de energía-momento, termina dependiendo de las coordenadas que se usan para calcularlo. Emmy Noether, pues, entendió esta diferencia esencial en lo que Hilbert llamaba 'teoremas de energía propios e impropios' y lo empleó para formular su teorema, que en realidad son dos, uno para cada caso.

Para entender con mayor profundidad la historia del desarrollo del teorema ciertamente se requiere al menos cierta familiaridad con la relatividad general; un recuento bastante interesante y que vale la pena leer es el siguiente:

E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws
Nina Byers
arXiv:physics/9807044 [physics.hist-ph]

Emmy Noether proved two deep theorems, and their converses, on the connection between symmetries and conservation laws. Because these theorems are not in the mainstream of her scholarly work, which was the development of modern abstract algebra, it is of some historical interest to examine how she came to make these discoveries. The present paper is an historical account of the circumstances in which she discovered and proved these theorems which physicists refer to collectively as Noether's Theorem. The work was done soon after Hilbert's discovery of the variational principle which gives the field equations of general relativity. The failure of local energy conservation in the general theory was a problem that concerned people at that time, among them David Hilbert, Felix Klein, and Albert Einstein. Noether's theorems solved this problem. With her characteristically deep insight and thorough analysis, in solving that problem she discovered very general theorems that have profoundly influenced modern physics.

Asimismo en el arXiv se encuentra una traducción al inglés del artículo original de Noether:

Invariant Variation Problems
Emmy Noether, M. A. Tavel

The problems in variation here concerned are such as to admit a continuous group (in Lie's sense); the conclusions that emerge from the corresponding differential equations find their most general expression in the theorems formulated in Section 1 and proved in following sections. Concerning these differential equations that arise from problems of variation, far more precise statements can be made than about arbitrary differential equations admitting of a group, which are the subject of Lie's researches. What is to follow, therefore, represents a combination of the methods of the formal calculus of variations with those of Lie's group theory. For special groups and problems in variation, this combination of methods is not new; I may cite Hamel and Herglotz for special finite groups, Lorentz and his pupils (for instance Fokker), Weyl and Klein for special infinite groups. Especially Klein's second Note and the present developments have been mutually influenced by each other, in which regard I may refer to the concluding remarks of Klein's Note.

Sean Carroll sobre la muerte y su significado

"A medida que el año termina: una reflexión sobre la muerte y lo que significa", tuiteó Sean Carroll el último día del 2014.

As the year ends: a meditation on death and what it means. (Emperor Has No Clothes award speech.) https://t.co/pNob7r2QVh
— Sean Carroll (@seanmcarroll) January 1, 2015

La charla del vídeo que se muestra adelante, acerca de un tema sobre el cual poco se ve a físicos hablando (en general Carroll suele discutir sobre temas con alcances más diversos pero en los que el punto de vista físico puede ser relevante), me parece brillante y creo que vale la pena invertir los poco más de 30 minutos en escucharla. Desafortunadamente no hay versión subtitulada (hasta donde sé).

I am a theoretical physicist: I like to think about things... I don't really like to DO things

Carroll comienza argumentando que conocemos suficientemente las leyes de la física a nivel cotidiano y a nivel atómico como para descartar que exista vida después de la muerte (sobre la ecuación intimidante, Carroll escribió aquí en su blog). Además se esfuerza en acentuar que esto no significa que TODA la física se entiende, y seguramente lo más importante acá, fuera de la física no cotidiana, es lo de los fenómenos emergentes: la química, la biología, el caos, etcétera. Finalmente sólo reemplazaría que esto se basa en un entendimiento de QFT por el de la Mecánica Cuántica: las teorías cuánticas de campo (QFTs) se entienden como un subconjunto de la mecánica cuántica y en general el entendimiento de éstas es más escaso que el de los propios postulados de la mecánica cuántica, que en mi opinión casi seguramente son lo más sólido que hay en la física.

¿Qué hacer con la "evidencia" de la vida después de la muerte?

Carroll luego pasa a la emergencia de la vida y a discutir algunos aspectos sobre el segundo postulado de la termodinámica y algunas críticas de los creacionistas. Acerca de esto escribí aquí hace tiempo cuando iba a la mitad de la licenciatura y llevé un curso de biofísica. Carroll se centra en la segunda ley de la termodinámica y por supuesto no profundiza en los problemas cosmológicos de la formación de estructura o la expansión acelerada que explicarían la curva que describe la complejidad en el tiempo en el gráfico que bosqueja, simplemente busca mostrar la relación de la complejidad y la entropía del universo que se observa en el tiempo.

Otra parte a resaltar: la vida es un proceso, no una entidad, y Carroll lo compara con la existencia de una flama en una vela.

The end of a life is (like) putting out a candle: when you put out a candle, the energy doesn't go anywhere, the reaction stops. When you die, you don't go anywhere, your atoms are still there, but you stop happening.

Finalmente Carroll habla de algunas cuestiones más subjetivas, o desde un punto de vista más filosófico, sobre la muerte y cómo lidiar con la idea en vida, incluyendo por qué el 'Paraíso' (o el 'Cielo') y una felicidad eterna e inmutable es una mala idea.

Es curioso que la mayor parte de la audiencia son personas de edad avanzada, aunque desconozco si esto tenga relación con el tema de la muerte, pues aparentemente Carroll introduce el tema de la charla como algo que no se conocía previamente. El tema, al final, por supuesto se presta a que la gente se quede con la opinión que más le convenga o resulte más cómoda y que no siempre es la más objetiva. Eso me recuerda lo siguiente de Oscar Wilde, que aunque haya sido escrito en un contexto distinto en 'El alma del hombre bajo el socialismo', es oportuno citar:

En el hombre, las emociones se suscitan más rápidamente que la inteligencia; (...) es mucho más fácil solidarizarse con el sufrimiento que con el pensamiento.

Geodésicas en AdS

Hace poco publiqué esta respuesta en Physics SE, misma que no fue elegida por el interrogador, que eligió en su lugar otra innecesariamente embrollada matemáticamente, como si el interrogador hubiese estado buscando cátedra en geometría diferencial cuando ignoraba siquiera lo que es un parámetro afín.

De cualquier modo, yo también me lié un poco con mi respuesta. En la parte de las geodésicas tipo luz básicamente copié el cálculo que hice en mi trabajo de servicio social, pero en el caso de las geodésicas tipo tiempo y tipo espacio me encontré con algunas dificultades (en realidad no pensé en la necesidad o plausibilidad de calcularlas explícitamente en el servicio social) y no pude ahondar más porque estaba en pleno periodo trimestral en la Universidad.

El objetivo de esta entrada entonces es básicamente reproducir analíticamente las geodésicas en el esquema del diagrama de Penrose de AdS que muestro acá:

y graficar con algún software numérico, e.g. Mathematica, para ello voy a emplear la métrica (con variables angulares fijas)
\begin{equation}ds^2=-(1+r^2)dt^2+(1+r^2)dr^2\end{equation} con $r=\tan\mc{R}\in\mathbb{R}^+$, y para la cubierta universal, $t\in\mathbb{R}$.

Para las geodésicas de tipo tiempo, tomando $\lambda$ como el tiempo propio, ya que (tomando signatura +---) $\dot{s}^2=-1$, se tiene que
\begin{equation}-(1+r^2)\dot{t}^2+(1+r^2)\dot{r}^2=-1\end{equation} Ahora bien, $\p_t$ (i.e. el vector de componentes $V^t=1$, $V^i=0$) es un vector de Killing global, entonces
\begin{equation}V_t\dot{t}=g_{tt}\dot{t}=-(1+r^2)\,\dot{t}\equiv-E\label{da}\end{equation} es una constante de movimiento (la energía, siendo que proviene de una simetría $t$-traslacional); donde el signo negativo es simplemente tal que $\dot{t}>0$. De aquí entonces
\begin{equation}\dot{r}^2+(1+r^2)-E^2=0\end{equation} es decir,
\begin{equation}\frac{dr}{\pm\sqrt{(E^2-1)-r^2}}=d\lambda\end{equation} cuya solución más general, con la condición (arbitraria) $r(0)=0$, es
\begin{equation}r(\lambda)=\pm\sqrt{E^2-1}\tan\lambda\,|\cos\lambda|\end{equation} que de cualquier modo, restringiendo $r(\lambda)>0$, se tiene que reducir inevitablemente el dominio de $\lambda$ a intervalos de $\pi/2$ respecto a $\lambda=0$, es decir,
\begin{equation}r(\lambda)=\begin{cases}\sqrt{E^2-1}\tan\lambda\,|\cos\lambda|,&\text{si}&\lambda\in[n\pi,\frac{(2n+1)\pi}{2}]\\[0.1in]-\sqrt{E^2-1}\tan\lambda\,|\cos\lambda|,&\text{si}&\lambda\in[\frac{(2n+1)\pi}{2},(n+1)\pi]\end{cases},\,n\in\mathbb{Z}\end{equation} esto por supuesto de algún modo está relacionado con que AdS no está extendido a-priori, o que está enrollado en la coordenada temporal. Tomando cualquier caso, de la ec. (\ref{da}) con $t(0)=0$, se sigue que
\begin{equation}t(\lambda)=\arctan(E\,\tan\lambda)\end{equation} y así entonces escribiendo $\lambda=\lambda(t)$, se sigue finalmente que (asumiendo $E>0$; si se asume lo contrario los intervalos se invierten correspondientemente),
\begin{equation}r(t)=\begin{cases}\sqrt{E^2-1}\frac{\tan{t}}{E\sqrt{1+\frac{\tan^2t}{E^2}}},&\text{si}&t\in[n\pi,\frac{(2n+1)\pi}{2}]\\[0.1in]-\sqrt{E^2-1}\frac{\tan{t}}{E\sqrt{1+\frac{\tan^2t}{E^2}}},&\text{si}&t\in[\frac{(2n+1)\pi}{2},(n+1)\pi]\end{cases},\,n\in\mathbb{Z}\end{equation} y simplemente hay que usar $\mc{R}=\arctan{r}$. De aquí uno puede procurar simplificar cosas e.g. tomar intervalos de $\pi$ respecto a $t=0$ haciendo $\tan{t}\to|\tan{t}|$ (esto equivale a lo que escribí en la respuesta de Physics SE para $r(\lambda)$), lo que puede justificarse siendo removible la discontinuidad entre cada $\pi/2$ respecto a 0; de algún modo esto recupera la $2\pi$-periodicidad de AdS en la cubierta universal. Esta cuestión de los intervalos vuelve un poco delicado el tratamiento de este problema de obtener analíticamente las expresiones para las geodésicas; el caso de las geodésicas de tipo espacio es enteramente análogo tomando $\dot{s}^2=1$ en el tiempo propio $\lambda$, pero nuevamente uno debe ser cuidadoso al considerar en dónde están definidas las soluciones físicamente relevantes.

Graficando las soluciones entonces para diversos valores de $E$, se obtiene (extendiendo a la cubierta universal)
como se esperaba, si se quiere rotar el gráfico, simplemente hay que graficar $t=t(\mc{R})$.

Finalmente una cuestión relevante es que, independientemente del signo que tenga, en el caso de geodésicas tipo tiempo, la cantidad $E$ debe satisfacer $|E|\geq1$. De esto no he encontrado nada al respecto en otros lados y no lo he podido discutir ampliamente con mi asesor, sin embargo no es descabellado que estas geodésicas tengan una restricción en la energía pues implican movimiento masivo y la cantidad 1 está asociada a un cambio de longitud de arco en el tiempo propio, de modo que para que una partícula se mueva en una de estas geodésicas es coherente que su energía deba exceder o igualar en proporción esta razón de cambio (en unidades correspondientes), si la iguala, simplemente no se mueve (i.e. se queda en el polo $\mc{R}=0$). También debe notarse que cuando $E\to\infty$, las geodésicas se tornan de tipo luz, como también se esperaba.

El carácter del espectro del hamiltoniano cuántico

Considera la ecuación estacionaria de Schrödinger en una dimensión,
\begin{equation}{H}\psi=E\psi\hspace{0.25in}\text{con}\hspace{0.25in}{H}\equiv-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V\end{equation} con el potencial V tal que $\displaystyle{\lim_{|x|\to\infty}V(x)=\text{cte}}$. Al tratar con problemas de juguete seguido asumimos que los eigenvalores o energía E de H están determinados por un valor entero positivo k y nos servimos denotar al k-ésimo nivel de energía como ${E_k}$. O bien, en el caso de la partícula libre por ejemplo, sabemos que aquél valor puede ser cualquier número real, o inclusive en el átomo de hidrógeno, que puede ser de ambos tipos.

Para sentar ideas, considera el siguiente esquema

uno puede asegurar que los valores ${E_1}$ y ${E_2}$ pertenecen a la parte discreta del espectro de H, sin embargo el valor ${E_3}$ (una mera etiqueta) pertenece en general a la parte continua del espectro de H.

En general se puede asegurar que el espectro de H será discreto siempre que
\begin{align}E<\lim_{|x|\to\infty}V(x)&\label{dagger}\\[0.1in]\lim_{|x|\to\infty}\psi(x)=0&\label{ddagger}\end{align} lo que a su vez no significa que, por ejemplo, si (\ref{dagger}) no se satisface, el espectro será siempre continuo. Es decir,
$$\begin{array}{lll}(\ref{dagger})\,\&\,(\ref{ddagger})&\Rightarrow&\left\{E_k\right\}_{k\in\mathbb{N}}\\[0.1in]\left\{E_k\right\}_{k\in\mathbb{N}}&\nRightarrow&(\ref{dagger})\,\&\,(\ref{ddagger})\end{array}$$ esto parece ser evidente de forma matemática, ya que ${\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}}$, sin embargo físicamente es relevante distinguir entre los casos discreto y continuo del espectro. Cuando el espectro del hamiltoniano es discreto, se dice que los estados ${|\psi\rangle}$ son ligados (bounded states), mientras que si es continuo, se dice que los correspondientes estados son no ligados (unbounded o scattering states). Los casos en que no se satisface (\ref{ddagger}) y el espectro es discreto, se dice que se tienen estados ligados en el continuo (bounded states in the continuum), caso que seguido podría darse en nanotecnología u óptica cuántica, por ejemplo.

Una interpretación física intuitiva para la aseveración anterior puede ser una analogía con las órbitas cerradas y abiertas que se hallan en los sistemas clásicos. Supóngase un núcleo masivo y un electrón en interacción mediante un potencial coulombiano. Si se satisfacen las dos condiciones, el sistema será un átomo hidrogenoide y como es sabido, tendrá valores de energía múltiplos de un entero positivo. En cambio si alguien disparase el electrón contra el núcleo desde muy lejos y con suficiente energía cinética, la energía total sería positiva y el núcleo desviaría al electrón sin capturarlo y sin alterar su energía, que evidentemente podrá tomar cualquier valor real. El caso más simple para un espectro energético continuo es el de la partícula libre, esto es, ${V(\mathbf{r})=0,\,\forall\,\mathbf{r}\in\mathbb{R}^3}$ donde la condición de normalización ${\int\psi_m\psi_n\,d\mathbf{r}=\delta_m\delta_n}$ deja de ser válida y puede generalizarse mediante la delta de Dirac, además de que en general las eigenfunciones se salen del espacio de Hilbert ${\mathcal{L}^2}$.

Ahora bien, he asumido ambas condiciones, sin embargo la condición (\ref{ddagger}) es una puramente cuántica y se refiere a una de más características de lo que seguido llamamos funciones de onda físicamente aceptables. La condición en realidad puede aflojarse y pedir simplemente que la función de onda sea constante en ${|x|\to\infty}$. Una forma intuitiva de entender por qué es necesaria esta condición es la siguiente. Supón un sistema que satisface (\ref{dagger}) y que eliges una solución particular $\psi$ que decrece en ${x\to\infty}$. Para este propósito, sean ${x_1,\,x_2}$ con ${x_1<x_2}$ los puntos en los que E intersecta al potencial y que $\psi$ es positivo en ${x_2}$. Entonces $\psi$ debe ser apropiadamente convexa en ${x>x_2}$ de modo que (\ref{ddagger}) se satisfaga. Para que esto ocurra, de la ecuación de la forma ${\psi^{\prime\prime}=\zeta^2\psi}$, se sabe que la curvatura depende de la energía vía ${\zeta^2}$, y por tanto, debe haber sólo un cierto valor particular de la energía para esta $\psi$ tal que la curvatura sea la apropiada dado que debe satisfacer (\ref{dagger}).

Esta es básicamente la forma de identificar inmediatamente el carácter discreto del espectro energético. Ahora bien, las identificaciones físicas o la justificación como la anterior son suficientes de manera práctica, pero gracias a unas preguntas en Physics SE me he preguntado a detalle por la forma de mostrarlo matemáticamente. Lo que se me ha ocurrido de inmediato y hace ya algún tiempo, es utilizar la teoría de Sturm-Liouville.

El detalle es el siguiente, siempre que exista $\zeta$ en el conjunto resolvente de un operador simétrico T que satisface el problema ${T\varphi=\lambda\varphi}$ tal que el operador resolvente ${R(T,\zeta)}$ sea compacto y simétrico, el espectro de T será discreto ${\{\lambda_k\}_{k\in\mathbb{N}}}$. Para que esto ocurra, T debe satisfacer el problema general de Sturm-Liouville regular en forma autoadjunta ${(T-\zeta)\,v=f}$ en un intervalo ${[a,b]}$ con función de peso $\rho$, i.e. en ${\mathcal{L}^2_\rho(a,b)}$. Otras propiedades bastante importantes en este caso, son que los eigenvalores ${\lambda_k}$ son únicos y constituyen un conjunto infinito y creciente, y que el conjunto de eigenfunciones ${\{\varphi_{_k}\}_{k\in\mathbb{N}}}$ forma una base ortogonal completa del espacio ${\mathcal{L}^2_\rho(a,b)}$. Es un clavado un tanto profundo para llegar aquí y desarrollarlo podría llevar un buen espacio, de cualquier modo el lector puede acudir a cualquier libro estándar de análisis funcional o en específico de la teoría de Sturm-Liouville.

La solución explícita por método de función de Green del problema regular de Sturm-Liouville en forma autoadjunta ${(T-\zeta)\,v=f}$ es
\begin{equation}v=(T-\zeta)^{-1}f=\int_a^bG(x,s)\,f(s)\,ds\end{equation} donde la función de Green
\begin{equation}G(x,s)=\begin{cases}\frac{\varphi_b(x)\,\varphi_a(s)}{W(s)},&a\leq{s}\leq{x}\\[0.1in]\frac{\varphi_a(x)\,\varphi_b(s)}{W(s)},&x\leq{s}\leq{b}\end{cases}\end{equation} se construye con las soluciones ${\varphi_a,\,\varphi_b}$ de la ecuación homogénea ${T\varphi=0}$ que satisface las respectivas condiciones de frontera (Neumann, Dirichlet, mixtas) en ${x=a,\,b}$. De este modo el resolvente asociado a T, por definición, ${R\equiv(T-\zeta)^{-1}}$ se puede relacionar de manera explícita como
\begin{equation}R\,f=\int_a^bG(x,s)\,f(s)\,ds\end{equation} donde G se interpreta como el kernel o núcleo de R. Al mostrar que el kernel de R es de cuadrado integrable, i.e. que satisface
\begin{equation}\int_a^b\int_a^b\left|G(x,s)\right|^2ds\,dx<\infty\end{equation} uno puede mostrar que R es compacto. Para esto uno simplemente debe mostrar que G es continua en el intervalo finito ${[a,b]}$. Ahora bien, por definición del operador resolvente, uno puede hacer el álgebra y ver que
\begin{equation}R\varphi=\mu\varphi\,\Longrightarrow\,T\varphi=\left(\frac{1}{\mu}+\zeta\right)\varphi\end{equation} de donde se sigue que las eigenfunciones de T son las mismas que las de R y entonces que R también será simétrico en ${[a,b]}$, además se pueden seguir las propiedades mencionadas para los eigenvalores ${\lambda\equiv\frac{1}{\mu}+\zeta}$ tomando en cuenta que para un operador compacto y simétrico en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ con producto interior ${\left\langle\cdot\,\middle|\,\cdot\right\rangle_\mathcal{H}}$ los eigenvalores forman un conjunto infinito, acotado y numerable que converge a cero, $\displaystyle{\lim_{k\to\infty}\mu_k=0}$. Así pues, si la ecuación ${H\psi=E\psi}$ puede reducirse a un problema regular de Sturm-Liouville, el espectro de H será discreto.

Al querer atacar el problema de este modo sin embargo, aparecen ciertas inconveniencias que aún no me parecen tan claras con este argumento (aunque las haya procurado defender en mis respuestas de Physics SE). La primera es que el intervalo (o dominio en general) en que la ec. de Schrödinger es válida no está restringido, como pide el problema de S-L regular. Aquí me parece crucial la restricción (\ref{dagger}), ya que en general para una energía que intersecta a V en ${x=x_1,\,x_2}$ con ${x_1<x_2}$, la función de onda tendrá la forma
\begin{equation}\psi=\begin{cases}\psi_1,&x<x_1\\\psi_2,&x_1\leq{x}\leq{x}_2\\\psi_3,&x>x_2\end{cases}\end{equation} de modo que presumo que puede emplearse ${\psi_2}$ para reducir el problema original a uno de S-L regular y obtener información del espectro de H. Para esto, H debe ser autoadjunto en ${[x_1,x_2]}$, lo que puede lograrse homogeneizando las condiciones de frontera para ${\psi_2}$, por ejemplo por interpolación de una nueva función a través de la original, que satisfaga las condiciones de frontera originales. Esto me parece suficiente así visto toscamente, sin embargo me sigue pareciendo que podría haber sutilezas o algo por el estilo; quizá pronto me decida a intentarlo con detalle. La segunda, es que originalmente H se ha establecido como un operador simétrico en general en todo el espacio en que actúa. Esta inconveniencia desaparece si las funciones de onda completas $\psi$ en general satisfacen (\ref{ddagger}). Nuevamente esto me parece dudoso, aunque a la vez, visto toscamente, cierto. De igual modo hay ciertas cuestiones quizá un tanto más complejas, como el carácter ya sea acotado o libre del operador H, pues por el teorema de Hellinger-Toeplitz un operador autoadjunto es acotado, sin embargo el hamiltoniano (la energía) en general no es acotado. En el enlace anterior a Wikipedia se puede leer que en ese caso H queda definido sólo en un subconjunto denso de ${\mathcal{L}^2}$, además de que el hamiltoniano presuntamente siempre está acodado por abajo. En fin, dejo estos detalles más sutiles al lector, por mi parte procuraré profundizar un tanto más en el tema conforme tenga oportunidad o vaya aprendiendo quizá sobre teorías un tanto más fundamentales como teoría cuántica de campos, por ejemplo.

La carta de Max Planck a Robert W. Wood

7 de Octubre de 1931

Mi estimado colega,
Recientemente expresaste el interés, luego de nuestra agradable cena en Trinity Hall, de que debería describir desde un punto de vista psicológico las consideraciones que me llevaron a proponer la hipótesis de los cuantos de energía. Procuraré atender por este medio tu interés.

En resumen, lo que hice puede describirse simplemente como un acto de desesperación. Por naturaleza soy pacífico y rechazo toda aventura dudosa. Pero por entonces había estado luchando sin éxito durante seis años (desde 1894) con el problema del equilibrio entre radiación y materia y sabía que este problema tenía una importancia fundamental para la física; también conocía la fórmula que expresa la distribución de la energía en el espectro continuo. Por consiguiente, había que hallar una interpretación teórica a cualquier precio, sin importar qué tan alto. Era claro para mí que la física clásica podía ofrecer ninguna solución a este problema y hubiera significado que toda la energía eventualmente se transfiriera de la materia a radiación. Para evitar esto, se requiere una nueva constante para asegurar que la energía no se desintegre. Esta estrategia se me tornó evidente al mantener las dos leyes de la termodinámica. Las dos leyes, me parece, deben mantenerse bajo toda circunstancia. Para el resto, estaba listo para sacrificar cada una de mis convicciones previas acerca de las leyes físicas. Boltzmann había explicado cómo se establece el equilibrio termodinámico mediante un equilibrio estadístico, y si se aplica semejante método al equilibrio entre materia y radiación, se encuentra que la continua transformación de energía en radiación se puede evitar asumiendo que la energía está obligada desde el principio a permanecer agrupada en ciertos cuantos. Esta fue una suposición meramente formal y en realidad no pensé mucho en ella con excepción de que sin importar el costo, debía proveer un resultado satisfactorio.

Espero que esta discusión sea una respuesta satisfactoria a tu consulta. Te envío además de forma impresa la versión en inglés de mi discurso Nobel sobre el mismo tema. Estimo los recuerdos de mi agradable estancia en Cambridge y la hermandad con nuestros colegas.

Muy cordialmente.
M. Planck.

Fuente original (inglés): M. S. Longair

El índice de refracción en un medio no homogéneo

Es de lo más divertido observar cómo se desvía la luz en un medio en que el índice de refracción cambia de manera continua:

Esta foto fue tomada por mi equipo de laboratorio y describe un rayo luminoso viajando dentro de una pecera con agua con un gradiente de concentración de sal. Cuando un rayo de luz atraviesa la superficie de separación de dos medios de distinto índice de refracción se satisface la ley de Snell,
\begin{equation}n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\end{equation} Si el índice de refracción $n$ varía de forma continua, entonces para un ángulo refractado $\theta$, la ley de Snell puede expresarse en la forma
\begin{equation}n\sin\theta=\text{cte}\end{equation} de modo que si ${n=n(\zeta)}$ con $\zeta$ el conjunto de grados de libertad del medio, la forma diferencial de la ley de Snell es
\begin{equation}\frac{dn(\zeta)}{n(\zeta)}=-\cot\theta\,d\theta\end{equation} en general. Partiendo de la ecuación de la curva bidimensional descrita por el láser, procedimos a determinar la relación de la altura $z$ con el ángulo respecto a la normal en cada punto de incidencia, $\theta$, de donde obtuvimos entonces el índice de refracción respecto a la altura, ${n=n(z)}$ para el contenedor que se muestra en la imagen, que está llena de agua con un gradiente de concentración de sal de mesa.

En general, el índice de refracción puede ponerse en función de la frecuencia de la luz, o bien, de la longitud de onda, $\displaystyle{n=n(\lambda)}$. Esto es, el índice de refracción varía con la longitud de onda ya que diferentes longitudes de onda interfieren en distinto modo con los átomos del medio. Esta variación del índice de refracción es llamada dispersión o dispersión cromática para enfatizar la relación con la longitud de onda.

La consecuencia más común y citada de la dispersión es la separación de luz blanca en un espectro de colores por medio de un prisma. De la ley de Snell se puede ver que el ángulo de refracción de la luz en un prisma depende del índice de refracción del material del prisma. Dado que el índice de refracción varía con la longitud de onda, se sigue que el ángulo de refracción también variará con la longitud de onda, causando la separación angular de los colores.

Para la luz visible, los índices de refracción de la mayoría de materiales transparentes (aire, vidrio...) decrecen respecto a un incremento de longitud de onda $\lambda$, por ejemplo, cuando
\begin{equation}1<n(\lambda_\text{rojo})<n(\lambda_\text{verde})<n(\lambda_\text{azul})\end{equation} se dice que el medio tiene una dispersión normal. Mientras que si el índice incrementa ante un incremento de $\lambda$ (típicamente el caso de los rayos-X), se dice que el medio tiene una dispersión anómala. Nosotros utilizamos un rayo de color verde (${\lambda\approx530\,\mathrm{nm}}$) y un rayo de color azul (${\lambda\approx420\,\mathrm{nm}}$), por lo que la distinción es útil.

Capturamos los datos espaciales para cada rayo y empleamos un ajuste de la forma
\begin{equation}z=\ln\left(\alpha\,y+\beta\right)\end{equation}


De aquí entonces fue de interés pasar a una relación de la altura z con el ángulo respecto a la normal en cada punto de incidencia del rayo, $\theta$. Derivando la ecuación para el ajuste,
\begin{equation}\frac{dz}{dy}=\frac{\tilde{\alpha}}{\alpha\,y+\beta}\end{equation} donde se señala $\tilde{\alpha}$ como el valor adimensional asociado a $\alpha$, además se sabe que ${dy/dz=\tan\theta}$, entonces simplemente
\begin{equation}\cot\theta=-\frac{\tilde{\alpha}}{\alpha\,y+\beta}=-\tilde{\alpha}\,\mathrm{e}^{-z}\end{equation} que puede escribirse como
\begin{equation}z=\ln\left(-\tilde{\alpha}\,\tan\theta\right)\end{equation} entonces también, derivando esta expresión,
\begin{equation}\frac{dz}{d\theta}=\csc\theta\sec\theta\end{equation} que puede escribirse como
\begin{align}dz&=\cot\theta\sec^2\theta\,d\theta\nonumber\\&=\cot\theta\,\left(1+\tan^2\theta\right)\,d\theta\nonumber\\&=\cot\theta\,\left(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z}\right)\,d\theta\end{align} es decir
\begin{equation}\frac{dz}{(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z})}=\cot\theta\,d\theta\end{equation} entonces se identifica con la forma diferencial de la ley de Snell, que
\begin{equation}-\frac{dz}{(1+\tilde{\alpha}^{-2}\mathrm{e}^{2z})}=\frac{dn}{n}\end{equation} de modo que, imponiendo la condición ${n(0)=n_0}$ para el índice de refracción en el fondo de la pecera e integrando,
\begin{equation}n(z)=n_0\frac{\mathrm{e}^{-z}\sqrt{\mathrm{e}^{2z}+\tilde{\alpha}^2}}{\sqrt{1+\tilde{\alpha}^2}}\end{equation} y de este modo entonces, puede determinarse el índice de refracción en el fondo de la pecera, $n_0$, para cada rayo imponiendo la condición ${n(h)=n_\text{aire}}$ para la altura del agua en la pecera $h$. En este caso, ${h\approx20\,\mathrm{cm}}$ y ${n_\text{aire}\approx1.00029}$. Para el rayo azul, por ejemplo, encontramos experimentalmente de la curva descrita por el rayo que ${\tilde{\alpha}\approx-0.89}$; imponiendo las condiciones mencionadas entonces encontramos que ${n_0\approx1.34}$ es el valor aproximado del índice de refracción en el fondo de la pecera para el rayo azul, de modo que ${n(z)}$ quedó completamente determinado. De manera análoga para el rayo verde, ${\tilde{\alpha}\approx-0.79}$ y ${n_0\approx1.27}$,

con lo que se verificó que ${n_\text{azul}(z)\geq{n}_\text{verde}(z),\,\forall{z}\,\in\text{contenedor}}$. Los resultados fueron inesperados en cierto sentido -en lo personal esperaba un comportamiento lineal-, aunque siguen un comportamiento físicamente plausible y son coherentes con la teoría. El procedimiento seguramente puede extenderse a una buena cantidad de medios no homogéneos conociendo únicamente el comportamiento espacial de la luz en él.

El enlace al reporte completo:

Obtención experimental del índice de refracción en un tipo de medio no homogéneo
Pedro Figueroa Romero, Mireya Karent Martínez Hernández, Ali Cesar Medrano Sandoval, Sergio Patino López, Manuel Valadez Acuña

Reporte Experimental.
Laboratorio de Óptica.
UAM Iztapalapa. Junio de 2013

Energía sobre la pared

Un resultado impresionante, y con el que seguido se introduce en general a la física estadística, es la conexión entre la dinámica de un sistema microscópico con la termostática del sistema macroscópico vía la teoría cinética de Maxwell. Además de hacer las hipótesis de que las moléculas que conforman un gas son esferas duras, que colisionan elásticamente, que las condiciones iniciales del sistema (posición y velocidad) están distribuidas al azar (ésto es precisamente lo que vuelve probabilística la naturaleza del problema), que el gas está en equilibrio termodinámico y que las velocidades de las partículas son estadísticamente independientes de la misma distribución de probabilidades, Maxwell considera la energía para hacer la conexión con la termodinámica. Una forma de hacer la conexión es directamente encontrar la distribución que describen las partículas y de ahí determinar el valor esperado de la energía $\displaystyle{\frac{1}{2}m\left\langle{v^2}\right\rangle}$ de cada partícula, para finalmente hacer la conexión con la energía interna de un gas ideal. Sin embargo otra forma más interesante y que reafirma que la descripción de Maxwell va por buen rumbo es hacer la conexión por medio de la presión.

Supongamos que hicimos la tarea y encontramos que el número de moléculas que golpean la unidad de área de una superficie plana por segundo, con velocidades entre v y ${v+dv}$ y ángulos entre $\theta$ y ${\theta+d\theta}$ es
$$\frac{1}{2}vnf(v)\,dv\sin\theta\cos\theta\;d\theta$$ donde
$$f(v)\propto{v^2e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}$$ es la distribución de Maxwell. Cada molécula que golpea la pared tiene un cambio en el momento de ${2mv\cos\theta}$, entonces para la presión p,
\begin{align*}dp&=\left(\frac{1}{2}vnf(v)\,dv\sin\theta\cos\theta{d\theta}\right)(2mv\cos\theta)\\[0.1in]&=mnv^2f(v)\,dv\cos^2\theta\sin\theta{d\theta}\end{align*} es decir
$$p=mn\int_0^\infty{v^2f(v)\,dv}\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{3}mn\langle{v^2}\rangle$$ que, comparando con la ley de gas ideal, ${p=nkT}$ se obtiene
$$\frac{1}{2}m\langle{v^2}\rangle=\frac{3}{2}kT$$ que es un resultado bastante impresionante, pues aunque desde niños se nos dice que la temperatura es en realidad una manifestación de qué tan rápido se mueven dadas partículas, aquí lo estamos probando matemáticamente.

Una forma más directa, pero más tortuosa de obtener el mismo resultado es simplemente calcular el cociente,
$$\frac{1}{2}m\langle{v^2}\rangle=\frac{1}{2}m\frac{\displaystyle{\int_0^\infty{v^4e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}dv}}{\displaystyle{\int_0^\infty{v^2e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}dv}}$$ y el resultado es exactamente el mismo.

Ahora bien, al preguntarnos qué pasa únicamente con aquellas 'esferitas' que golpean la superficie, el problema se vuelve exactamente el mismo que el de la llamada efusión. La efusión "selecciona" moléculas más rápidas (por ley de Graham, más ligeras), pues éstas tienen una mayor probabilidad de alcanzar el orificio. La misma situación aplica si queremos determinar la energía promedio de las moléculas que de hecho golpean la superficie. Esto significa que la distribución de las moléculas que golpean la pared, ${\tilde{f}(v)}$, justo como con la efusión, tomarán un factor v extra, esto es.
$$\tilde{f}(v)\propto{v^3}e^{-\frac{m}{2kT}v^2}$$ Ahora bien, vemos que podemos escribir la siguiente integral usando la función Gamma,
$$\int_0^\infty{v^n}e^{-\alpha{v^2}}dv=\frac{1}{2}\alpha^{-\frac{n+1}{2}}\left(\frac{n-1}{2}\right)!$$ de este modo siempre podemos calcular fácilmente esta integral, sobre todo para n impares, y así, calculando directamente la energía cinética para esta distribución,
\begin{align*}\frac{1}{2}m\langle{v^2}\rangle&=\frac{1}{2}m\frac{\displaystyle{\int_0^\infty{v^5e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}dv}}{\displaystyle{\int_0^\infty{v^3e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}dv}}\\[0.1in]&=\frac{1}{2}m\left(\frac{\displaystyle{\frac{8k^3T^3}{m^3}}}{\displaystyle{\frac{2k^2T^2}{m^2}}}\right)\\[0.1in]&=2kT\end{align*} que es un resultado desconcertante sin el argumento de la efusión, sin embargo se vuelve coherente entendiendo lo anterior.

El origen de la vida, complejidad en el universo y la segunda ley de la termodinámica

Me he matriculado en un curso básico de física biológica y ha resultado una experiencia sumamente enriquecedora; incluso reconociéndome aficionado al uso de herramientas matemáticas hasta en la sopa y hasta cierto grado de formalismo con éstas, debo reconocer que la biología me resulta tan excitante como la física y las matemáticas, y considero su estudio tan indispensable para cualquier humano como el estudio de las últimas. Una discusión en clase se ha tornado al origen de la vida teniendo en consideración principalmente las leyes de la física. Seguro alguna vez, así te dediques o no a la ciencia -simplemente por ser humano-, te has preguntado cómo es que la maquinaria de lo que llamamos vivo es tan perfecta, y espero te lo sigas preguntando (aún más, que te lo sigas preguntando después de leer esto).

En termodinámica clásica generalmente se consideran tres leyes (o se puede decir que cuatro: las leyes cero, uno, dos y suele llamarse tercera ley al postulado de Nernst) empíricas. La segunda ley en particular es clave en la discusión del origen de la vida. Imagina que estás en una solitaria playa y decides hacer una escultura de arena, ¿qué pasará con ésta una vez que la dejes ahí sola? Bueno, todos sabemos por experiencia que los granitos de arena poco a poco se separarán hasta que quede sólo un bulto feo de arena de lo que alguna vez fue tu escultura. ¿Por qué sucede esto?, ¿por qué no pueden los granos de arena preservar o formar esculturas por sí solos? Pues estas preguntas no son triviales y hay muchos expertos en física trabajando en el área llamada Cosmología para resolver esta cuestión. Una descripción que, digamos funge como respuesta satisfactoria, se llama flecha del tiempo, y está relacionada íntimamente con el concepto de entropía.

La entropía suele describirse popularmente como desorden, sin embargo a los físicos les gusta describirla como configuraciones posibles de un sistema. Regresando al ejemplo de la escultura arenosa: tu escultura tiene muy pocas configuraciones posibles, i.e. baja entropía, ya que, como seguramente eres un artista muy exigente, hay quizás una o dos o tres formas precisas de acomodar cada granito de arena de modo que obtengas la escultura que deseas. Por otro lado, hay muchas configuraciones posibles para un bulto feo de arena, es decir, el bulto posee una entropía mucho mayor que la de tu escultura. La segunda ley de la termodinámica describe el comportamiento de la entropía (de un sistema cerrado), diciendo que ésta jamás disminuirá espontáneamente respecto a cualquier otra variable termodinámica.

Ludwig Boltzmann hizo la formulación de la segunda ley para el enfoque estadístico de la termodinámica y encontró que de hecho es posible que la entropía disminuya, simplemente es muy poco probable. Bueno, pues aquí empieza lo divertido de esta publicación. Nota primero que para la flecha del tiempo, lo que llamamos antes y después corresponde precisamente a baja y alta entropía respectivamente, ¿por qué entonces, en primer lugar, el universo comenzaría en un estado de baja entropía? ¡Además, pareciera que los seres vivos contradecimos la segunda ley de la termodinámica clásica y somos esa minúscula probabilidad de la termodinámica estadística! Intenta llenar una cubeta con carbono, calcio, hierro y demás elementos que nos forman... y jamás saldrá un humano de la cubeta. Se podría decir incluso que somos agentes anti-entropía, desde las proteínas y el DNA, hasta todo lo que concebimos como nosotros. Es simplemente impresionante la perfección de las máquinas vivas y deben haber condiciones muy específicas que las generen, no sólo elementos químicos. En este momento de la discusión suelen atribuirse inmediatamente poderes sobrenaturales, dioses, etc...

A estas cuestiones se debe decir primero que los seres vivos y nuestro entorno constituimos lo que se llama un sistema termodinámico abierto, es decir, podemos intercambiar masa y energía con los alrededores. Imagina un recipiente cerrado totalmente lleno de agua, para el cual pones por abajo una estufa y por arriba un bloque de hielo. Lo que sucederá es que (ley cero) el agua buscará el equilibrio, haciendo circular el calor recibido a través del recipiente (transferencia de calor por convección). Básicamente ésto es lo que ocurre cuando la Tierra recibe energía de baja entropía (i.e. energía a alta temperatura) desde el Sol.

Lo siguiente es un extracto del libro Theoretical physics and philosophical problems de Ludwig Boltzmann del capítulo Second Law of Thermodynamics escrito (o pronunciado) en 1886 (desconozco si existe alguna edición en español).

Between the earth and sun there is a colossal temperature difference; between these two bodies energy is thus not at all distributed according to the laws of probability. The equalization of temperature, based on the tendency towards greater probability, takes millions of years, because the bodies are so large and are so far apart. The intermediate forms assumed by solar energy, until it falls to terrestrial temperatures, can be fairly improbable, so that we can easily use the transition of heat from sun to earth for the performance of work, like the transition of water from the boiler to the cooling instillation. The general struggle for existence of animate beings is not a struggle for raw materials – these, for organisms, are air, water and soil, all abundantly available – nor for energy, which exists in plenty in any body in the form of heat (albeit unfortunately not transformable), but of a struggle for entropy, which becomes available through the transition of energy from the hot Sun to the cold Earth. In order to exploit this transition as much as possible, plants spread their immense surface of leaves and force the Sun's energy, before it falls to the earth's temperature, to perform in ways yet unexplored certain chemical syntheses of which no one in our laboratories has so far the least idea. The products of this chemical kitchen constitute the object of struggle of the animal world.

De cualquier modo esto da pie a algunos problemas Cosmológicos como la formación de estructura que dio pie a la formación del Sol en primer lugar y el hecho de que, respetando la 2a ley, el universo en general haya partido de una baja entropía en primer lugar. La proposición también atribuida principalmente a Boltzmann (relacionada con el llamado cerebro antrópico de Boltzmann) a partir de su enfoque estadístico, se resume a que en un universo que parte del equilibrio, la entropía puede fluctuar, disminuyendo de vez en cuando y aumentando de nuevo, es decir, quizá nuestro universo está en medio de una fluctuación de entropía, lo que a su vez permite en un sentido más profundo el desarrollo y evolución de la vida. Esto, como se ha dicho, es probable, aunque lo sea poco.

Ahora bien, aunque ésta es una idea genial y consistente que se deshace de dioses, poderes sobrenaturales o universos finamente ajustados, sigue siendo una propuesta incompleta; es casi como decir que las cosas son como son porque sí. Lo más importante es que la propuesta se verifique y pueda hacer predicciones sobre el comportamiento y naturaleza del universo. Más detalles sobre esto pueden leerse en esta entrada del blog de Sean Carroll sobre el cerebro antrópico de Boltzmann.