Null geodesics and affine parameters

I've been away for a while preparing my IELTS test and I hope I'll be ok, whatever my fate is! So, concerning this entry, it came to mind this Physics SE answer I wrote some time ago, where the original poster commented he was only concerned with proper time. In turn I posted this link to another Physics SE answer which deals with what an affine parameter is.

So, the thing is pretty straightforward: the definition of proper time is just the arc length
\begin{equation}\tau=\int\sqrt{-ds^2}\end{equation} and for null geodesics, (by definition) $ds^2=0$, so that's why "proper time assigns the same value to all points (on a null) geodesic". For spacelike and timelike geodesics, $ds^2\neq0$ and $\dot{s}^2=\pm1$ when proper time is the parameter.

Now, recall the geodesic equations for a curve $x=x(\lambda)$ on an arbitrary parameter $\lambda$ with a tangent vector $U\equiv\frac{dx}{d\lambda}$,
\begin{equation}\left(\frac{dU}{d\lambda}\right)^\alpha=\frac{d^2x^\alpha}{d\lambda^2}+\frac{dx^\beta}{d\lambda}\frac{dx^\mu}{d\lambda}{\Gamma^\alpha}_{\mu\beta}=0\end{equation} usually written shorthand as
\begin{equation}(\nabla_{U}{U})^\alpha\equiv{U}^\beta\nabla_\beta{U}^\alpha=0\label{dagger}\end{equation}
So, let's now consider another arbitrary parameter ${\sigma=\sigma(\lambda)}$. Then,
\begin{align}\frac{d}{d\lambda}&=\frac{d\sigma}{d\lambda}\frac{d}{d\sigma}\nonumber\\[0.2in]
\frac{d^2}{d\lambda^2}&=\left(\frac{d\sigma}{d\lambda}\frac{d}{d\sigma}\right)\left(\frac{d\sigma}{d\lambda}\frac{d}{d\sigma}\right)\nonumber\\&=\frac{d\sigma}{d\lambda}\left[\frac{d}{d\sigma}\left(\frac{d\sigma}{d\lambda}\right)\frac{d}{d\sigma}+\frac{d\sigma}{d\lambda}\frac{d^2}{d\sigma^2}\right]\nonumber\\&=\frac{d\sigma}{d\lambda}\left[\frac{\left(\frac{d^2\sigma}{d\lambda^2}\right)}{\frac{d\sigma}{d\lambda}}\frac{d}{d\sigma}+\frac{d\sigma}{d\lambda}\frac{d^2}{d\sigma^2}\right]\end{align} and the geodesic equations on $\sigma$ are
\begin{equation}\frac{\left(\frac{d^2\sigma}{d\lambda^2}\right)}{\frac{d\sigma}{d\lambda}}\frac{dx^\alpha}{d\sigma}+\frac{d\sigma}{d\lambda}\frac{d^2x^\alpha}{d\sigma^2}+\frac{d\sigma}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\sigma}\frac{dx^\mu}{d\sigma}{\Gamma^\alpha}_{\mu\beta}=0\end{equation} i.e., from (\ref{dagger}),
\begin{equation}U^\beta\nabla_\beta{U}^\alpha=-\frac{\left(\frac{d^2\sigma}{d\lambda^2}\right)}{\left(\frac{d\sigma}{d\lambda}\right)^2}U^\alpha\end{equation} so that from the start, in principle, one could've defined the geodesic equations as ${\nabla_UU\propto{U}}$; however, if
\begin{equation}\frac{d^2\sigma}{d\lambda^2}=0\,\,\Longrightarrow\,\,\sigma=a\lambda+b\label{ddagger}\end{equation} (\ref{dagger}) is recovered. These $\sigma$'s are called affine parameters, and this is why they have this simple form.

Now, (I think) this is where trouble comes. Some authors, e.g. Carroll, define an affine parameter as any parameter related to the proper time $\tau$ as $\sigma=a\tau+b$. The thing is that also, usually it is said that one should use an affine parameter for null geodesics (as in the previous Physics SE answer I mentioned before), but still with this last definition you end up with a constant parameter. So what is generally understood as an affine parameter is simply that with which (\ref{dagger}) is satisfied. For null geodesics, (\ref{dagger}) is trivially satisfied with $\tau$ (or any linear combination whatsoever) so that this parameter is indeed useless; however one is free to use any affine parameter as defined in (\ref{ddagger}) with non-constant $\lambda\in\mathbb{R}$ regardless of its physical relevance.

Now, the term $\nabla_{U}{U}=\frac{dU}{d\lambda}=\frac{d^2x}{d\lambda^2}$ is indeed the acceleration of an observer along the curve $x=x(\lambda)$, so that when using an affine parameter, the observer is not accelerating, while au contraire, with a non-affine parameter, the observer will be accelerated parallel to the direction of movement. This is the main relevance of this sort of parameter; in General Relativity it's the custom to deal with affine parameters where $\tau$, of course, is our favorite one for timelike geodesics, whereas with null geodesics people usually don't care what the parameter is as long as it works, at the end it's all about a goofy parameter ;-)

Geodésicas en AdS

Hace poco publiqué esta respuesta en Physics SE, misma que no fue elegida por el interrogador, que eligió en su lugar otra innecesariamente embrollada matemáticamente, como si el interrogador hubiese estado buscando cátedra en geometría diferencial cuando ignoraba siquiera lo que es un parámetro afín.

De cualquier modo, yo también me lié un poco con mi respuesta. En la parte de las geodésicas tipo luz básicamente copié el cálculo que hice en mi trabajo de servicio social, pero en el caso de las geodésicas tipo tiempo y tipo espacio me encontré con algunas dificultades (en realidad no pensé en la necesidad o plausibilidad de calcularlas explícitamente en el servicio social) y no pude ahondar más porque estaba en pleno periodo trimestral en la Universidad.

El objetivo de esta entrada entonces es básicamente reproducir analíticamente las geodésicas en el esquema del diagrama de Penrose de AdS que muestro acá:

y graficar con algún software numérico, e.g. Mathematica, para ello voy a emplear la métrica (con variables angulares fijas)
\begin{equation}ds^2=-(1+r^2)dt^2+(1+r^2)dr^2\end{equation} con $r=\tan\mc{R}\in\mathbb{R}^+$, y para la cubierta universal, $t\in\mathbb{R}$.

Para las geodésicas de tipo tiempo, tomando $\lambda$ como el tiempo propio, ya que (tomando signatura +---) $\dot{s}^2=-1$, se tiene que
\begin{equation}-(1+r^2)\dot{t}^2+(1+r^2)\dot{r}^2=-1\end{equation} Ahora bien, $\p_t$ (i.e. el vector de componentes $V^t=1$, $V^i=0$) es un vector de Killing global, entonces
\begin{equation}V_t\dot{t}=g_{tt}\dot{t}=-(1+r^2)\,\dot{t}\equiv-E\label{da}\end{equation} es una constante de movimiento (la energía, siendo que proviene de una simetría $t$-traslacional); donde el signo negativo es simplemente tal que $\dot{t}>0$. De aquí entonces
\begin{equation}\dot{r}^2+(1+r^2)-E^2=0\end{equation} es decir,
\begin{equation}\frac{dr}{\pm\sqrt{(E^2-1)-r^2}}=d\lambda\end{equation} cuya solución más general, con la condición (arbitraria) $r(0)=0$, es
\begin{equation}r(\lambda)=\pm\sqrt{E^2-1}\tan\lambda\,|\cos\lambda|\end{equation} que de cualquier modo, restringiendo $r(\lambda)>0$, se tiene que reducir inevitablemente el dominio de $\lambda$ a intervalos de $\pi/2$ respecto a $\lambda=0$, es decir,
\begin{equation}r(\lambda)=\begin{cases}\sqrt{E^2-1}\tan\lambda\,|\cos\lambda|,&\text{si}&\lambda\in[n\pi,\frac{(2n+1)\pi}{2}]\\[0.1in]-\sqrt{E^2-1}\tan\lambda\,|\cos\lambda|,&\text{si}&\lambda\in[\frac{(2n+1)\pi}{2},(n+1)\pi]\end{cases},\,n\in\mathbb{Z}\end{equation} esto por supuesto de algún modo está relacionado con que AdS no está extendido a-priori, o que está enrollado en la coordenada temporal. Tomando cualquier caso, de la ec. (\ref{da}) con $t(0)=0$, se sigue que
\begin{equation}t(\lambda)=\arctan(E\,\tan\lambda)\end{equation} y así entonces escribiendo $\lambda=\lambda(t)$, se sigue finalmente que (asumiendo $E>0$; si se asume lo contrario los intervalos se invierten correspondientemente),
\begin{equation}r(t)=\begin{cases}\sqrt{E^2-1}\frac{\tan{t}}{E\sqrt{1+\frac{\tan^2t}{E^2}}},&\text{si}&t\in[n\pi,\frac{(2n+1)\pi}{2}]\\[0.1in]-\sqrt{E^2-1}\frac{\tan{t}}{E\sqrt{1+\frac{\tan^2t}{E^2}}},&\text{si}&t\in[\frac{(2n+1)\pi}{2},(n+1)\pi]\end{cases},\,n\in\mathbb{Z}\end{equation} y simplemente hay que usar $\mc{R}=\arctan{r}$. De aquí uno puede procurar simplificar cosas e.g. tomar intervalos de $\pi$ respecto a $t=0$ haciendo $\tan{t}\to|\tan{t}|$ (esto equivale a lo que escribí en la respuesta de Physics SE para $r(\lambda)$), lo que puede justificarse siendo removible la discontinuidad entre cada $\pi/2$ respecto a 0; de algún modo esto recupera la $2\pi$-periodicidad de AdS en la cubierta universal. Esta cuestión de los intervalos vuelve un poco delicado el tratamiento de este problema de obtener analíticamente las expresiones para las geodésicas; el caso de las geodésicas de tipo espacio es enteramente análogo tomando $\dot{s}^2=1$ en el tiempo propio $\lambda$, pero nuevamente uno debe ser cuidadoso al considerar en dónde están definidas las soluciones físicamente relevantes.

Graficando las soluciones entonces para diversos valores de $E$, se obtiene (extendiendo a la cubierta universal)
como se esperaba, si se quiere rotar el gráfico, simplemente hay que graficar $t=t(\mc{R})$.

Finalmente una cuestión relevante es que, independientemente del signo que tenga, en el caso de geodésicas tipo tiempo, la cantidad $E$ debe satisfacer $|E|\geq1$. De esto no he encontrado nada al respecto en otros lados y no lo he podido discutir ampliamente con mi asesor, sin embargo no es descabellado que estas geodésicas tengan una restricción en la energía pues implican movimiento masivo y la cantidad 1 está asociada a un cambio de longitud de arco en el tiempo propio, de modo que para que una partícula se mueva en una de estas geodésicas es coherente que su energía deba exceder o igualar en proporción esta razón de cambio (en unidades correspondientes), si la iguala, simplemente no se mueve (i.e. se queda en el polo $\mc{R}=0$). También debe notarse que cuando $E\to\infty$, las geodésicas se tornan de tipo luz, como también se esperaba.