Gravedad de superficie en un espacio esféricamente simétrico y estático

Quizá la característica más sorprendente de los Agujeros Negros, es que exhiben propiedades termodinámicas. Cuenta la historia que alrededor del año 1970, el físico estadounidense John A. Wheeler (el responsable también de popularizar el término Agujero Negro o Black Hole) sugirió la pregunta: ¿Qué sucede si tiro una taza de té en un Agujero Negro? El meollo del asunto es qué es lo que pasa con la entropía del té caliente, ¿acaso simplemente se pierde para siempre?

Ya antes se había tenido indicaciones de que los Agujeros Negros presentaban propiedades termodinámicas únicamente a partir de propiedades clásicas empleando la Relatividad General, como el llamado teorema del área y otras propiedades dinámicas que tenían una perfecta analogía con las leyes de la Termodinámica Clásica. Uno de los alumnos de Wheeler, llamado Jacob Bekenstein (nacido en México, por cierto), pocos años después, junto con (de manera independiente) Stephen Hawking obtendrían el famoso resultado
\begin{equation}T_H\equiv\frac{\kappa}{2\pi},\hspace{0.5in}S_{BH}\equiv\frac{A}{4}\end{equation} (en unidades $\hbar=k_B=c=G=1$) donde $\kappa$ es la llamada gravedad de superficie y $A$ es el área superficial del Agujero Negro. Este resultado tiene gran relevancia, y vale la pena notar que estas cantidades nos dan información acerca del Agujero Negro entero únicamente conociendo su frontera. En cuanto a $\kappa$ nos bastará pensarla como la aceleración debida a la gravedad experimentada por una partícula de prueba (de masa despreciable) en la superficie del Agujero Negro (en general en la superficie de cualquier objeto).

Lo que no había podido lograr es calcular $T_H$ para Agujeros Negros tipo Schwarzschild, que es el resultado más sencillo que suele mostrarse en la literatura. El cálculo también es sencillo, aunque uno debe sacar un poco el colmillo para hacerlo ;-)

La definición en el contexto de la Relatividad General puede basarse en la idea de un horizonte de Killing, i.e. una hipersuperficie donde un vector de Killing $V$ de la métrica se anula. Para espaciotiempos estacionarios y asintóticamente planos (i.e. que en infinito se vuelven Minkowski), como Schwarzschild, el vector de Killing $t$-traslacional puede normalizarse tal que $V_\mu{V}^\mu=-1$ en infinito. Dado que $V^\mu{V}_\mu=0$ en el horizonte de Killing y que $V$ es normal a este mismo horizonte, entonces $\nabla_\nu(V^\mu{V}_\mu)$ también es normal al horizonte, de modo que $\nabla_\nu(V^\mu{V}_\mu)\propto{V}_\nu$ o bien, de manera equivalente (empleando $\nabla_\nu(V^\mu{V}_\mu)=0$ y la ec. de Killing $\nabla_{(\mu}{V}_{\nu)}=0$), existe algún $\kappa$ tal que
\begin{equation}V^\mu\nabla_\mu{V}_\nu=\kappa{V}_\nu\end{equation} que es la gravedad de superficie, además, por el llamado teorema de Fröbenius (véase e.g. el clásico libro de Robert M. Wald), se tiene que también en el horizonte,
\begin{equation}V_{[\mu}\nabla_\nu{V}_{\sigma]}=0\end{equation} y finalmente contrayendo esta última ecuación con $\nabla^\mu{V}^\nu$ y usando la ec. de Killing, se obtiene finalmente que
\begin{equation}\kappa^2=-\frac{1}{2}(\nabla^\mu{V}^\nu)(\nabla_\mu{V}_\nu)\end{equation}

En el caso de espacios esféricamente simétricos y estáticos es relativamente sencillo calcular la gravedad de superficie. Considérese en general toda métrica de la forma
\begin{equation}ds^2=g_{tt}(r)dt^2+g_{rr}(r)dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation}

Sabemos que $V=\p_t=(1,0,0,0)$ es un vector de Killing (nótese que en efecto $V^\mu{V}_\mu=-1$ en $r=r_s$, i.e. en el horizonte de Killing). Primero véase que sólo los términos $\nabla^r{V}^t$ y $\nabla^tV^r$ (y la contraparte con índices covariantes) contribuyen; aquí es donde uno saca el colmillo ;-) ya que uno podría precipitarse a pensar que $\nabla^tV^r\stackrel{?}{=}0$ (incorrectamente, lo que yo hice), para ello se necesitan entonces las conexiones
\begin{align}
{\Gamma^t}_{rt}=\frac{1}{2}g^{tt}(\p_rg_{tt}),\hspace{0.5in}
{\Gamma^r}_{tt}=-\frac{1}{2}g^{rr}\left(\p_rg_{tt}\right)
\end{align} de donde se sigue que (usando que $g^{\alpha\alpha}=(g_{\alpha\alpha})^{-1}$ en este caso),
\begin{align}\nabla^rV^t&=g^{rr}{\Gamma^t}_{rt}=\frac{\p_rg_{tt}}{2g_{tt}g_{rr}}\\
\nabla^tV^r&=g^{tt}{\Gamma^r}_{tt}=-\frac{\p_rg_{tt}}{2g_{tt}g_{rr}}
\end{align} es decir, $\nabla^rV^t=-\nabla^tV^r$, lo que ya se sabía, siendo $V=\p_t$ un vector de Killing. Así entonces, finalmente
\begin{align}\kappa^2&=-\frac{1}{2}\left(\nabla^tV^r\nabla_tV_r+\nabla^rV^t\nabla_rV_t\right)=\frac{(-\p_rg_{tt})^2}{-4(g_{tt}g_{rr})^3}\label{gravedaddesup}\end{align} lo que da como resultado para Schwarzschild (siendo $r_s$ el radio del horizonte de Killing),
\begin{equation}\kappa^2=\frac{1}{4}\lim_{r\to{r}_s}\left(\frac{r_s}{r^2}\right)^2=\frac{1}{4r_s^2}\,\Longrightarrow\,\kappa=\frac{1}{2r_s}=\frac{1}{4M}\end{equation} lo que concuerda con el resultado $T_H=1/8\pi{M}$. Esto por supuesto es general, con ello se puede calcular e.g. que $\kappa=\frac{M}{R^2}$ para el caso Newtoniano (Schwarzschild con $r\to{R}$), $\kappa=\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}$ en AdS-Schwarzschild (tomando en cuenta por supuesto que $r_+$ es el horizonte en este caso) o bien $\kappa=\frac{\sqrt{M^2-Q^2}}{\left(M+\sqrt{M^2-Q^2}\right)^2}$ para un Agujero Negro tipo Reissner–Nordström (no extremal y con $-g_{tt}=g_{rr}^{-1}=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$), lo que puede comprobarse fácilmente.

Agujeros Negros en AdS

He estado ausente algún tiempo intentando terminar la licenciatura, y como mostré en la entrada anterior, he estado trabajando en la geometría (clásica) del espacio de Anti-de Sitter. Ahora quiero compartir algunos comentarios sobre Agujeros Negros en AdS, basándome en este ensayo de Peng Zhao.

El caso más sencillo es (A)dS-Schwarzschild, y la idea es que partiendo de una métrica esféricamente simétrica en forma de Schwarzschild,
\begin{equation}ds^2=-f(r)\,dt^2+f^{-1}(r)\,dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation} uno puede tomar $f$ tal que cerca del origen se tenga un espacio de Schwarzschild y asintóticamente se tenga (A)dS (para una obtención más metódica de esta métrica véase e.g. la p.823 de las notas de M. Blau). Las métricas de AdS y de Schwarzschild, respectivamente, pueden escribirse como
\begin{align}ds_\text{AdS}^2&=-\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}\right)\,dt^2+\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\\
ds_\text{Sch}^2&=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\,dt^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\end{align} donde $\alpha$ es una constante positiva (el radio de AdS) y $r_s$ es el radio de Schwarzschild. De aquí, se define entonces la métrica de AdS-Schwarzschild como
\begin{equation}ds^2=-\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}-\frac{r_s}{r}\right)\,dt^2+\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation} que en efecto se comporta como un agujero negro de Schwarzschild para $r$ pequeña y como AdS para $r$ grande. Lo propio puede hacerse empleando de Sitter.

***(Actualización)
La primera cuestión es a AdS se le puede asociar una energía finita y por tanto el análogo a una pared de potencial infinita en su infinito asintótico. Por teorema de Noether, en AdS la energía es una carga conservada, $E=-P_\mu{V}^\mu$ (el signo negativo es simplemente por consistencia, de cualquier modo siempre se le puede cargar a $E$ que es constante); en este caso nos interesa la energía $E_\text{loc}$ medida por un observador local (es decir, que localmente está en un sistema plano) estático, en donde tendríamos simplemente que $P=(E,\vec{0})$ y $V=(1,\vec{0})$. Lo que nos interesa es encontrar esta relación para este observador en el sistema global de coordenadas de AdS (esféricas). Considérense los vectores transformados $p$ y $v$. Primero empleemos la condición de normalización $v^\mu{v}_\mu=-1$ y el hecho de que el observador es estático también en el sistema global de AdS, i.e. $v=(v^t,\vec{0})$, esto implica que $v^t=1/\sqrt{-g_{tt}}$, entonces en este sistema coordenado,
\begin{equation}E_\text{loc}=-p_\mu{v}^\mu=-g_{\mu\nu}p^\mu{v}^\nu=\sqrt{-g_{tt}}p^t\end{equation} Ahora bien, en el sistema del observador local estático simplemente $p^t=m\dot{t}$ con $m$ la masa de la partícula (el observador), que podemos llevar a la forma en coordenadas de AdS sabiendo que $P^t=g_{tt}\dot{t}=-E$ en AdS, de modo que $p^t=-mE/g_{tt}\equiv-{E}_0/g_{tt}$ y así,
\begin{equation}E_\text{loc}(r)=\frac{E_0}{\sqrt{-g_{tt}(r)}}\label{1}\end{equation} de donde se lee que la energía medida por un observador local en algún punto $r$ tiene un corrimiento al rojo (debido al campo gravitacional) respecto a la energía $E_0$. En el ensayo de Zhao se escribe $E_0$ como $E_\infty$, sin embargo la notación se antoja un poco desafortunada, ya que ésta es la energía total medida por un observador local estático en $r=0$; la notación probablemente proviene de la interpretación de ser la energía medida por un observador alejado infinitamente del campo gravitacional del espacio, lo que resulta útil e.g. en Schwarzschild, donde $E$ en efecto es la energía (por unidad de masa) medida por un observador local estático en $r\to\infty$, aquí de hecho $E_\text{loc}\to0$ cuando $r\to\infty$, contrario a Schwarzschild, en donde $E_\text{loc}\to{mE}$ cuando $r\to\infty$ y $E_\text{loc}\to\infty$ cuando $r\to{r}_s$, esto hace la gran diferencia para ver a AdS como una caja. Nótese también que los vectores de momento y de velocidad (i.e. el vector de Killing transformado) se recuperan para el caso local en AdS con $r=0$ y en Schwarzschild con $r\to\infty$. Como se ve adelante, pueden construirse estados térmicos en AdS identificando periódicamente una coordenada de tiempo imaginaria con periodo $\beta_0=T^{-1}$. Esto significa entonces que (\ref{1}) puede escribirse también como $T_\text{loc}=\frac{T}{\sqrt{-g_{tt}}}$ y que la energía total de la radiación térmica en AdS es finita sin necesidad de encerrarla en una caja.
***

Luego entonces, tomando $r=r_+$ el horizonte de eventos de AdS-Schwarzschild, i.e. la raíz más grande de
\begin{equation}V(r)\equiv1-\frac{r_s}{r}+\frac{r^2}{\alpha^2}\end{equation} se fija el valor de $r_s$ a
\begin{equation}V(r_+)=0\,\Longrightarrow\,r_s=\frac{r_+(\alpha^2+r_+^2)}{\alpha^2}\end{equation} y entonces en efecto al ver la métrica cerca del horizonte, i.e. con $r=r_++\epsilon^2$ con $|\epsilon|\ll1$, para el orden dominante en $\epsilon$,
\begin{equation}V(r_++\epsilon^2)\approx\frac{\alpha^2+3r_+^2}{\alpha^2r_+}\epsilon^2\end{equation} y haciendo una rotación de Wick, $\tau=it$, se sigue para la métrica AdS-Schwarzschild,
\begin{equation}ds^2=\frac{4\alpha^2r_+}{\alpha^2+3r_+^2}\left[d\epsilon^2+\left(\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}\right)^2\epsilon^2d\tau^2\right]+(r_++\epsilon^2)^2d\Omega^2\end{equation} Aquí puede resultar poco claro cómo ver que necesariamente $\tau$ es periódica. El punto es entender lo que significa que se tenga una singularidad cónica. La idea es básicamente que si $\tau$ tiene un cierto periodo $\beta_0$, el espacio se cubrirá completamente, lo que no sucederá necesariamente con cualquier otro valor; la analogía que utiliza Zhao es la de las coordenadas polares $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$, donde $\theta$ debe tener un periodo de $2\pi$ para corresponder a la métrica del plano, de otro modo se tiene un hueco del tipo de una rebanada de pastel, lo que lleva a algo así como un pico de un cono, lo que es la singularidad cónica.

En este caso es particularmente fácil verificar cuál es el periodo $\beta_0$ de $\tau$, dado que el término entre corchetes de la métrica AdS-Schwarzschild cerca del horizonte es análoga a la del plano en coordenadas polares. Se debe satisfacer entonces que
\begin{equation}\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}\int_0^{\beta_0}d\tau\int_0^{r_+}\epsilon\,{d}\epsilon=\pi{r}_+^2\,\Longrightarrow\,\beta_0=\frac{4\pi\alpha^2r_+}{\alpha^2+3r_+^2}\end{equation}
En adelante la cosa es bastante clara, al menos antes de llegar a la parte de AdS/CFT, y el resultado $T=\beta^{-1}$ creo que es bastante majo, pues entonces la temperatura del agujero negro puede obtenerse únicamente con argumentos geométricos, sin invocar directamente la gravedad de superficie. Sólo hay detalles cuando se menciona la distribución canónica, aunque al final igual lo que se calcula es $S=\beta\langle{E}\rangle+\ln{Z}$. La intención es llegar a la dualidad fluido/gravedad, pero de eso tal vez escriba después  ;-)

La carta de Max Planck a Robert W. Wood

7 de Octubre de 1931

Mi estimado colega,
Recientemente expresaste el interés, luego de nuestra agradable cena en Trinity Hall, de que debería describir desde un punto de vista psicológico las consideraciones que me llevaron a proponer la hipótesis de los cuantos de energía. Procuraré atender por este medio tu interés.

En resumen, lo que hice puede describirse simplemente como un acto de desesperación. Por naturaleza soy pacífico y rechazo toda aventura dudosa. Pero por entonces había estado luchando sin éxito durante seis años (desde 1894) con el problema del equilibrio entre radiación y materia y sabía que este problema tenía una importancia fundamental para la física; también conocía la fórmula que expresa la distribución de la energía en el espectro continuo. Por consiguiente, había que hallar una interpretación teórica a cualquier precio, sin importar qué tan alto. Era claro para mí que la física clásica podía ofrecer ninguna solución a este problema y hubiera significado que toda la energía eventualmente se transfiriera de la materia a radiación. Para evitar esto, se requiere una nueva constante para asegurar que la energía no se desintegre. Esta estrategia se me tornó evidente al mantener las dos leyes de la termodinámica. Las dos leyes, me parece, deben mantenerse bajo toda circunstancia. Para el resto, estaba listo para sacrificar cada una de mis convicciones previas acerca de las leyes físicas. Boltzmann había explicado cómo se establece el equilibrio termodinámico mediante un equilibrio estadístico, y si se aplica semejante método al equilibrio entre materia y radiación, se encuentra que la continua transformación de energía en radiación se puede evitar asumiendo que la energía está obligada desde el principio a permanecer agrupada en ciertos cuantos. Esta fue una suposición meramente formal y en realidad no pensé mucho en ella con excepción de que sin importar el costo, debía proveer un resultado satisfactorio.

Espero que esta discusión sea una respuesta satisfactoria a tu consulta. Te envío además de forma impresa la versión en inglés de mi discurso Nobel sobre el mismo tema. Estimo los recuerdos de mi agradable estancia en Cambridge y la hermandad con nuestros colegas.

Muy cordialmente.
M. Planck.

Fuente original (inglés): M. S. Longair

Fluctuaciones de energía en el ensamble canónico

La consistencia entre los formalismos microcanónico y canónico en el límite termodinámico, suele ser demostrada luego de estudiar la dispersión de los valores de energía de un sistema en el ensamble canónico (el ensamble microcanónico considera sistemas aislados, en los que la energía está restringida a un intervalo muy pequeño). Esto es, luego de analizar las fluctuaciones de energía en el ensamble canónico.

Consideremos que el hamiltoniano es simplemente la energía, ${\mathcal{H}=E}$. La forma común de obtener una expresión sencilla para las fluctuaciones de energía, es notar que éstas están dadas por
$$\left\langle\left(\Delta{E}\right)^2\right\rangle\equiv\left\langle{E^2}\right\rangle-\left\langle{E}\right\rangle^2=-\frac{\partial^2\ln{z}}{\partial\beta^2}=-\frac{\partial{U}}{\partial\beta}$$ donde z es la función de partición y ${\beta\equiv(\mathrm{k}T)^{-1}}$ en este caso, además se ha empleado la definición
$$U\equiv\langle{E}\rangle=-\frac{\partial\ln{z}}{\partial\beta}$$ (demuestra la última igualdad). La razón de que esto sea cierto es sencilla, ya que con la distribución canónica en el espacio fase $\Gamma$,
$$\langle{\mathcal{H}}\rangle=\frac{\displaystyle{\int{\mathcal{H}\,\mathrm{e}^{-\beta{\mathcal{H}}}}\,\mathrm{d}\Gamma}}{\displaystyle{\int{\mathrm{e}^{-\beta{\mathcal{H}}}}\,\mathrm{d}\Gamma}}$$ (calcula la derivada parcial y compruébalo). Hace poco, un problema de examen se me ha complicado bastante por no notar lo que he dicho antes en tan pocas líneas. Estás ya cansado de todo el periodo curricular; aún te falta esta prueba y te piden demostrar que
$$\left\langle{(\Delta{E})^3}\right\rangle=\mathrm{k}^2\left\{T^4\left(\frac{\partial{C_v}}{\partial{T}}\right)_V+2T^3C_v\right\}$$ Bueno pues lo que hay que hacer es prácticamente lo anterior, primero identifíquese
\begin{align*}\left\langle{E^2}\right\rangle-U^2&=\left\langle{E^2}\right\rangle-2U^2+U^2\\[0.1in]&=\left\langle{E^2-2EU+U^2}\right\rangle\\[0.1in]&=\left\langle{(E-U)^2}\right\rangle\\[0.1in]&\equiv\left\langle\left(\Delta{E}\right)^2\right\rangle\end{align*} lo que significa entonces que
$$\left\langle{(\Delta{E})^3}\right\rangle=\left\langle{E^3}\right\rangle-3\left\langle{E^2}\right\rangle{U}+2U^3$$ y curiosamente te tropiezas con que
\begin{align*}\frac{\partial^2U}{\partial\beta^2}&=\frac{\int{E}^3\mathrm{e}^{-\beta{E}}\,\mathrm{d}\Gamma}{\int{\mathrm{e}}^{-\beta{E}}\,\mathrm{d}\Gamma}-3\frac{\int{E}^2\mathrm{e}^{-\beta{E}}\,\mathrm{d}\Gamma}{\int\mathrm{e}^{-\beta{E}}\,\mathrm{d}\Gamma}\cdot\frac{\int{E}\mathrm{e}^{-\beta{E}}\,\mathrm{d}\Gamma}{\int\mathrm{e}^{-\beta{E}}\,\mathrm{d}\Gamma}+2\left[\frac{\int{E}\mathrm{e}^{-\beta{E}}\,\mathrm{d}\Gamma}{\int\mathrm{e}^{-\beta{E}}\,\mathrm{d}\Gamma}\right]^3\\[0.1in]&=\left\langle{E^3}\right\rangle-3\left\langle{E^2}\right\rangle\,U+2U^3\end{align*} (compruébalo) lo que lleva a completar la demostración haciendo la termodinámica correspondiente.

Es interesante esta relación, que probablemente pueda generalizarse más, aunque lo desconozco. Nota también la elección del signo para la definición de ${\Delta{E}}$; si has seguido hasta acá la entrada, da un argumento que justifique tal elección.

Energía sobre la pared

Un resultado impresionante, y con el que seguido se introduce en general a la física estadística, es la conexión entre la dinámica de un sistema microscópico con la termostática del sistema macroscópico vía la teoría cinética de Maxwell. Además de hacer las hipótesis de que las moléculas que conforman un gas son esferas duras, que colisionan elásticamente, que las condiciones iniciales del sistema (posición y velocidad) están distribuidas al azar (ésto es precisamente lo que vuelve probabilística la naturaleza del problema), que el gas está en equilibrio termodinámico y que las velocidades de las partículas son estadísticamente independientes de la misma distribución de probabilidades, Maxwell considera la energía para hacer la conexión con la termodinámica. Una forma de hacer la conexión es directamente encontrar la distribución que describen las partículas y de ahí determinar el valor esperado de la energía $\displaystyle{\frac{1}{2}m\left\langle{v^2}\right\rangle}$ de cada partícula, para finalmente hacer la conexión con la energía interna de un gas ideal. Sin embargo otra forma más interesante y que reafirma que la descripción de Maxwell va por buen rumbo es hacer la conexión por medio de la presión.

Supongamos que hicimos la tarea y encontramos que el número de moléculas que golpean la unidad de área de una superficie plana por segundo, con velocidades entre v y ${v+dv}$ y ángulos entre $\theta$ y ${\theta+d\theta}$ es
$$\frac{1}{2}vnf(v)\,dv\sin\theta\cos\theta\;d\theta$$ donde
$$f(v)\propto{v^2e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}$$ es la distribución de Maxwell. Cada molécula que golpea la pared tiene un cambio en el momento de ${2mv\cos\theta}$, entonces para la presión p,
\begin{align*}dp&=\left(\frac{1}{2}vnf(v)\,dv\sin\theta\cos\theta{d\theta}\right)(2mv\cos\theta)\\[0.1in]&=mnv^2f(v)\,dv\cos^2\theta\sin\theta{d\theta}\end{align*} es decir
$$p=mn\int_0^\infty{v^2f(v)\,dv}\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{3}mn\langle{v^2}\rangle$$ que, comparando con la ley de gas ideal, ${p=nkT}$ se obtiene
$$\frac{1}{2}m\langle{v^2}\rangle=\frac{3}{2}kT$$ que es un resultado bastante impresionante, pues aunque desde niños se nos dice que la temperatura es en realidad una manifestación de qué tan rápido se mueven dadas partículas, aquí lo estamos probando matemáticamente.

Una forma más directa, pero más tortuosa de obtener el mismo resultado es simplemente calcular el cociente,
$$\frac{1}{2}m\langle{v^2}\rangle=\frac{1}{2}m\frac{\displaystyle{\int_0^\infty{v^4e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}dv}}{\displaystyle{\int_0^\infty{v^2e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}dv}}$$ y el resultado es exactamente el mismo.

Ahora bien, al preguntarnos qué pasa únicamente con aquellas 'esferitas' que golpean la superficie, el problema se vuelve exactamente el mismo que el de la llamada efusión. La efusión "selecciona" moléculas más rápidas (por ley de Graham, más ligeras), pues éstas tienen una mayor probabilidad de alcanzar el orificio. La misma situación aplica si queremos determinar la energía promedio de las moléculas que de hecho golpean la superficie. Esto significa que la distribución de las moléculas que golpean la pared, ${\tilde{f}(v)}$, justo como con la efusión, tomarán un factor v extra, esto es.
$$\tilde{f}(v)\propto{v^3}e^{-\frac{m}{2kT}v^2}$$ Ahora bien, vemos que podemos escribir la siguiente integral usando la función Gamma,
$$\int_0^\infty{v^n}e^{-\alpha{v^2}}dv=\frac{1}{2}\alpha^{-\frac{n+1}{2}}\left(\frac{n-1}{2}\right)!$$ de este modo siempre podemos calcular fácilmente esta integral, sobre todo para n impares, y así, calculando directamente la energía cinética para esta distribución,
\begin{align*}\frac{1}{2}m\langle{v^2}\rangle&=\frac{1}{2}m\frac{\displaystyle{\int_0^\infty{v^5e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}dv}}{\displaystyle{\int_0^\infty{v^3e^{-\frac{m}{2kT}v^2}}dv}}\\[0.1in]&=\frac{1}{2}m\left(\frac{\displaystyle{\frac{8k^3T^3}{m^3}}}{\displaystyle{\frac{2k^2T^2}{m^2}}}\right)\\[0.1in]&=2kT\end{align*} que es un resultado desconcertante sin el argumento de la efusión, sin embargo se vuelve coherente entendiendo lo anterior.

El origen de la vida, complejidad en el universo y la segunda ley de la termodinámica

Me he matriculado en un curso básico de física biológica y ha resultado una experiencia sumamente enriquecedora; incluso reconociéndome aficionado al uso de herramientas matemáticas hasta en la sopa y hasta cierto grado de formalismo con éstas, debo reconocer que la biología me resulta tan excitante como la física y las matemáticas, y considero su estudio tan indispensable para cualquier humano como el estudio de las últimas. Una discusión en clase se ha tornado al origen de la vida teniendo en consideración principalmente las leyes de la física. Seguro alguna vez, así te dediques o no a la ciencia -simplemente por ser humano-, te has preguntado cómo es que la maquinaria de lo que llamamos vivo es tan perfecta, y espero te lo sigas preguntando (aún más, que te lo sigas preguntando después de leer esto).

En termodinámica clásica generalmente se consideran tres leyes (o se puede decir que cuatro: las leyes cero, uno, dos y suele llamarse tercera ley al postulado de Nernst) empíricas. La segunda ley en particular es clave en la discusión del origen de la vida. Imagina que estás en una solitaria playa y decides hacer una escultura de arena, ¿qué pasará con ésta una vez que la dejes ahí sola? Bueno, todos sabemos por experiencia que los granitos de arena poco a poco se separarán hasta que quede sólo un bulto feo de arena de lo que alguna vez fue tu escultura. ¿Por qué sucede esto?, ¿por qué no pueden los granos de arena preservar o formar esculturas por sí solos? Pues estas preguntas no son triviales y hay muchos expertos en física trabajando en el área llamada Cosmología para resolver esta cuestión. Una descripción que, digamos funge como respuesta satisfactoria, se llama flecha del tiempo, y está relacionada íntimamente con el concepto de entropía.

La entropía suele describirse popularmente como desorden, sin embargo a los físicos les gusta describirla como configuraciones posibles de un sistema. Regresando al ejemplo de la escultura arenosa: tu escultura tiene muy pocas configuraciones posibles, i.e. baja entropía, ya que, como seguramente eres un artista muy exigente, hay quizás una o dos o tres formas precisas de acomodar cada granito de arena de modo que obtengas la escultura que deseas. Por otro lado, hay muchas configuraciones posibles para un bulto feo de arena, es decir, el bulto posee una entropía mucho mayor que la de tu escultura. La segunda ley de la termodinámica describe el comportamiento de la entropía (de un sistema cerrado), diciendo que ésta jamás disminuirá espontáneamente respecto a cualquier otra variable termodinámica.

Ludwig Boltzmann hizo la formulación de la segunda ley para el enfoque estadístico de la termodinámica y encontró que de hecho es posible que la entropía disminuya, simplemente es muy poco probable. Bueno, pues aquí empieza lo divertido de esta publicación. Nota primero que para la flecha del tiempo, lo que llamamos antes y después corresponde precisamente a baja y alta entropía respectivamente, ¿por qué entonces, en primer lugar, el universo comenzaría en un estado de baja entropía? ¡Además, pareciera que los seres vivos contradecimos la segunda ley de la termodinámica clásica y somos esa minúscula probabilidad de la termodinámica estadística! Intenta llenar una cubeta con carbono, calcio, hierro y demás elementos que nos forman... y jamás saldrá un humano de la cubeta. Se podría decir incluso que somos agentes anti-entropía, desde las proteínas y el DNA, hasta todo lo que concebimos como nosotros. Es simplemente impresionante la perfección de las máquinas vivas y deben haber condiciones muy específicas que las generen, no sólo elementos químicos. En este momento de la discusión suelen atribuirse inmediatamente poderes sobrenaturales, dioses, etc...

A estas cuestiones se debe decir primero que los seres vivos y nuestro entorno constituimos lo que se llama un sistema termodinámico abierto, es decir, podemos intercambiar masa y energía con los alrededores. Imagina un recipiente cerrado totalmente lleno de agua, para el cual pones por abajo una estufa y por arriba un bloque de hielo. Lo que sucederá es que (ley cero) el agua buscará el equilibrio, haciendo circular el calor recibido a través del recipiente (transferencia de calor por convección). Básicamente ésto es lo que ocurre cuando la Tierra recibe energía de baja entropía (i.e. energía a alta temperatura) desde el Sol.

Lo siguiente es un extracto del libro Theoretical physics and philosophical problems de Ludwig Boltzmann del capítulo Second Law of Thermodynamics escrito (o pronunciado) en 1886 (desconozco si existe alguna edición en español).

Between the earth and sun there is a colossal temperature difference; between these two bodies energy is thus not at all distributed according to the laws of probability. The equalization of temperature, based on the tendency towards greater probability, takes millions of years, because the bodies are so large and are so far apart. The intermediate forms assumed by solar energy, until it falls to terrestrial temperatures, can be fairly improbable, so that we can easily use the transition of heat from sun to earth for the performance of work, like the transition of water from the boiler to the cooling instillation. The general struggle for existence of animate beings is not a struggle for raw materials – these, for organisms, are air, water and soil, all abundantly available – nor for energy, which exists in plenty in any body in the form of heat (albeit unfortunately not transformable), but of a struggle for entropy, which becomes available through the transition of energy from the hot Sun to the cold Earth. In order to exploit this transition as much as possible, plants spread their immense surface of leaves and force the Sun's energy, before it falls to the earth's temperature, to perform in ways yet unexplored certain chemical syntheses of which no one in our laboratories has so far the least idea. The products of this chemical kitchen constitute the object of struggle of the animal world.

De cualquier modo esto da pie a algunos problemas Cosmológicos como la formación de estructura que dio pie a la formación del Sol en primer lugar y el hecho de que, respetando la 2a ley, el universo en general haya partido de una baja entropía en primer lugar. La proposición también atribuida principalmente a Boltzmann (relacionada con el llamado cerebro antrópico de Boltzmann) a partir de su enfoque estadístico, se resume a que en un universo que parte del equilibrio, la entropía puede fluctuar, disminuyendo de vez en cuando y aumentando de nuevo, es decir, quizá nuestro universo está en medio de una fluctuación de entropía, lo que a su vez permite en un sentido más profundo el desarrollo y evolución de la vida. Esto, como se ha dicho, es probable, aunque lo sea poco.

Ahora bien, aunque ésta es una idea genial y consistente que se deshace de dioses, poderes sobrenaturales o universos finamente ajustados, sigue siendo una propuesta incompleta; es casi como decir que las cosas son como son porque sí. Lo más importante es que la propuesta se verifique y pueda hacer predicciones sobre el comportamiento y naturaleza del universo. Más detalles sobre esto pueden leerse en esta entrada del blog de Sean Carroll sobre el cerebro antrópico de Boltzmann.