Bosonización: dualidad fermiones/bosones

En diciembre Joseph Polchinski publicó un artículo recopilatorio sobre dualidades llamado simplemente Dualities (al que luego agregó 'of Fields and Strings'):

Dualities of Fields and Strings
Joseph Polchinski

Duality, the equivalence between seemingly distinct quantum systems, is a curious property that has been known for at least three quarters of a century. In the past two decades it has played a central role in mapping out the structure of theoretical physics. I discuss the unexpected connections that have been revealed among quantum field theories and string theories.

El artículo está muy bien escrito, de manera sencilla y sucinta, y creo que es accesible, al menos a nivel conceptual, incluso a estudiantes de licenciatura. Luego de introducir el tema de dualidades, Polchinski bosqueja algunas dualidades QFT/QFT, entre las que se encuentra la de bosonización (antes, otra cuestión que llama la atención es la de la dualidad onda/partícula como dos límites clásicos de QFT), que es básicamente una dualidad entre una teoría de fermiones de Dirac y una teoría de bosones en 1+1 dimensiones. Ésta dualidad es sorprendente y me pareció sumamente interesante por lo sencilla y porque con mi poco conocimiento de QFT supuse que podría trabajar los detalles; además descubrí que es prácticamente tema estándar en el área de Materia Condensada y seguramente tiene bastantes avances o generalizaciones.

Polchinski se limita a presentar la dualidad: las relaciones entre las constantes de acoplamiento y la correspondencia entre los campos que se deben satisfacer para que las amplitudes sean idénticas. Para obtener el resultado, original de Sidney Coleman (1975), uno tiene varias opciones, como intentar trabajar como sugiere Polchinski: empezar con teorías sin masa y sin interacción, $\mc{L}_\text{F}=i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi$ y $\mc{L}_\text{B}=-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$, calcular las amplitudes de dispersión, obtener la correspondencia que las vuelve idénticas y luego deformar nuevamente las teorías a unas con interacción. Y esto es básicamente lo que hace Coleman en su artículo original, calculando funciones de Green en ambos casos:

Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model
Sidney Coleman

The sine-Gordon equation is the theory of a massless scalar field in one space and one time dimension with interaction density proportional to $\cos\beta\phi$, where $\beta$ is a real parameter. I show that if $\beta^2$ exceeds $8\pi$, the energy density of the theory is unbounded below; if $\beta^2$ equals $4\pi$, the theory is equivalent to the zero-charge sector of the theory of a free massive Fermi field; for other values of $\beta$, the theory is equivalent to the zero-charge sector of the massive Thirring model. The sine-Gordon soliton is identified with the fundamental fermion of the Thirring model.

El artículo es relativamente extenso y confieso que no lo he seguido paso a paso, lo que creo que quizá convendría únicamente si uno quiere entrarle en serio al tema de bosonización.

De cualquier modo, buscando un poco más sobre bosonización, además de encontrar varios títulos de libros sobre el tema enfocados a Física de Partículas y a Materia Condensada, fortuitamente también encontré otro artículo sobre el tema:

Bosonization as Duality
C.P. Burgess, F. Quevedo

We show that bosonization in two dimensions can be derived as a special case of the duality transformations that have recently been used to good effect in string theory. This allows the construction of the bosonic counterpart of any fermionic theory simply by `following your nose' using the standard duality transformation rules. We work through the bosonization of the Dirac fermion, the massive and massless Thirring models, and a fermion on a cylindrical spacetime as illustrative examples.

El artículo comienza con el comentario

Precise rules for various versions of this equivalence have been known for some time now [1][2][3].The statement of these rules generally suffers from the drawback of not being constructive in character, being instead couched in terms of the equivalence of a given pair of bose and fermi theories¹. This is particularly true for nonabelian bosonization, where a simple, systematic, constructive and unified presentation of the bosonization rules is still missing [4]. Our purpose in this note is to provide such a derivation, for the abelian case.

donde abeliano se refiere a que el grupo de simetría de la teoría en cuestión es conmutativo; los mismos autores tratan en otro artículo el caso no-abeliano (también tratado años antes por Witten). Este artículo me pareció bastante mono (al menos de un vistazo) por la sencillez y generalidad. Los autores mencionan un procedimiento llamado dualización que para entonces ya había sido útil para relacionar 'vacíos' aparentemente no relacionados en teoría de cuerdas y lo describen así:

This duality is a trick for constructing the equivalent theory by embedding the model of interest within a larger gauge theory, which reduces to the original version once the gauge potential, $A_\mu$, is set to zero. This larger gauge theory is typically constructed simply by gauging a global symmetry of the original model [7] [8]. The original model is then written as the gauged theory subject to some constraint that removes the gauge potential, and this is usually done by introducing a dummy variable –a Lagrange multiplier field, $\Lambda$– whose functional integral requires the gauge field strength to vanish, $F_{\mu\nu}=0$. (...) If $\Lambda$, and then $A_\mu$, are integrated out –in this order– of the gauged version of the theory, then the original model is retrieved. The dual version of the theory, on the other hand, is obtained by performing the various functional integrals in a different order, in particular by integrating out the original field, as well as $A_\mu$. The Lagrange multiplier, $\Lambda$, then plays the role of the new, dual, field.

La idea en realidad es sencilla, y como mencionan, puede entenderse mejor sólo con el caso concreto del fermión no masivo (por alguna razón lo mencionan como libre) en la sección 2.1). El procedimiento es básicamente plantear la función de partición de los fermiones
\begin{equation}Z_\text{F}[J]=\int\mc{D}\psi\,\exp\left[i\int{d^2x}\left(\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi+\sum_iJ_i\mc{O}_i\right)\right]\end{equation} con los $J_i(x)$ y $\mc{O}_i(\psi)$ campos y operadores, respectivamente (que en el caso más sencillo, como hacen en el artículo, pueden tomarse como constantes de acoplamiento y términos de interacción) y encajarla en una teoría de norma más amplia (básicamente 'normando' una simetría global de la teoría original) sujeta a ciertas constricciones
\begin{equation}Z_\text{gauge}[J]=\int\mc{D}\psi\,\mc{D}A_\mu\,\mc{D}\Lambda\,\exp\left[i\int{d^2x}\left(\mc{L}_\text{F}(\psi,J)+\mc{L}_\text{gauge}(A_\mu,\Lambda)\right)\right]\end{equation} que permita recuperar $Z_\text{F}[J]$ al integrar en $\Lambda$ y en $A_\mu$, i.e. tal que $Z_\text{F}[J]={Z}_\text{gauge}[J]\bigg|_{\Lambda,A_\mu}$. Finalmente esto permite obtener la teoría dual en $\Lambda$ (que como se muestra en el artículo, corresponde a una de bosones) si se integra $Z_\text{gauge}[J]$ en $\psi$ y en $A_\mu$,
\begin{equation}Z_\text{B}[J]\equiv{Z}_\text{gauge}[J]\bigg|_{\psi,A_\mu}=\int\mc{D}\Lambda\exp\left[i\int{d^2x}\,\mc{L}_\text{B}(\Lambda,J)\right]\end{equation} con lo que se obtiene también la correspondencia entre las teorías identificando los términos en $J_i$.

La idea en realidad es sencilla, la parte que resulta complicada para un neófito como yo es la de elegir la teoría de norma y la de hacer la integración, ya sea con fuerza bruta o devorándose los artículos que mencionan los autores. De cualquier modo la parte importante es si quiera saber en primer lugar que esta sorprendente dualidad existe, siendo que el carácter de ambas teorías es tan distinta, y luego entender cómo funciona y el alcance que tiene.

Finalmente, regresando al artículo de Polchinski, en realidad no era consciente de la idea general que plantea acerca de una dualidad como un par de límites de una teoría más fundamental, así que definitivamente me ha causado una impresión importante su artículo (o la parte que he leído seriamente hasta ahora) y en general lo recomiendo ampliamente.

If the doors of perception were cleansed every thing would appear to man as it is, Infinite.

― William Blake, The Marriage of Heaven and Hell

Agujeros Negros en AdS

He estado ausente algún tiempo intentando terminar la licenciatura, y como mostré en la entrada anterior, he estado trabajando en la geometría (clásica) del espacio de Anti-de Sitter. Ahora quiero compartir algunos comentarios sobre Agujeros Negros en AdS, basándome en este ensayo de Peng Zhao.

El caso más sencillo es (A)dS-Schwarzschild, y la idea es que partiendo de una métrica esféricamente simétrica en forma de Schwarzschild,
\begin{equation}ds^2=-f(r)\,dt^2+f^{-1}(r)\,dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation} uno puede tomar $f$ tal que cerca del origen se tenga un espacio de Schwarzschild y asintóticamente se tenga (A)dS (para una obtención más metódica de esta métrica véase e.g. la p.823 de las notas de M. Blau). Las métricas de AdS y de Schwarzschild, respectivamente, pueden escribirse como
\begin{align}ds_\text{AdS}^2&=-\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}\right)\,dt^2+\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\\
ds_\text{Sch}^2&=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\,dt^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\end{align} donde $\alpha$ es una constante positiva (el radio de AdS) y $r_s$ es el radio de Schwarzschild. De aquí, se define entonces la métrica de AdS-Schwarzschild como
\begin{equation}ds^2=-\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}-\frac{r_s}{r}\right)\,dt^2+\left(1+\frac{r^2}{\alpha^2}-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation} que en efecto se comporta como un agujero negro de Schwarzschild para $r$ pequeña y como AdS para $r$ grande. Lo propio puede hacerse empleando de Sitter.

***(Actualización)
La primera cuestión es a AdS se le puede asociar una energía finita y por tanto el análogo a una pared de potencial infinita en su infinito asintótico. Por teorema de Noether, en AdS la energía es una carga conservada, $E=-P_\mu{V}^\mu$ (el signo negativo es simplemente por consistencia, de cualquier modo siempre se le puede cargar a $E$ que es constante); en este caso nos interesa la energía $E_\text{loc}$ medida por un observador local (es decir, que localmente está en un sistema plano) estático, en donde tendríamos simplemente que $P=(E,\vec{0})$ y $V=(1,\vec{0})$. Lo que nos interesa es encontrar esta relación para este observador en el sistema global de coordenadas de AdS (esféricas). Considérense los vectores transformados $p$ y $v$. Primero empleemos la condición de normalización $v^\mu{v}_\mu=-1$ y el hecho de que el observador es estático también en el sistema global de AdS, i.e. $v=(v^t,\vec{0})$, esto implica que $v^t=1/\sqrt{-g_{tt}}$, entonces en este sistema coordenado,
\begin{equation}E_\text{loc}=-p_\mu{v}^\mu=-g_{\mu\nu}p^\mu{v}^\nu=\sqrt{-g_{tt}}p^t\end{equation} Ahora bien, en el sistema del observador local estático simplemente $p^t=m\dot{t}$ con $m$ la masa de la partícula (el observador), que podemos llevar a la forma en coordenadas de AdS sabiendo que $P^t=g_{tt}\dot{t}=-E$ en AdS, de modo que $p^t=-mE/g_{tt}\equiv-{E}_0/g_{tt}$ y así,
\begin{equation}E_\text{loc}(r)=\frac{E_0}{\sqrt{-g_{tt}(r)}}\label{1}\end{equation} de donde se lee que la energía medida por un observador local en algún punto $r$ tiene un corrimiento al rojo (debido al campo gravitacional) respecto a la energía $E_0$. En el ensayo de Zhao se escribe $E_0$ como $E_\infty$, sin embargo la notación se antoja un poco desafortunada, ya que ésta es la energía total medida por un observador local estático en $r=0$; la notación probablemente proviene de la interpretación de ser la energía medida por un observador alejado infinitamente del campo gravitacional del espacio, lo que resulta útil e.g. en Schwarzschild, donde $E$ en efecto es la energía (por unidad de masa) medida por un observador local estático en $r\to\infty$, aquí de hecho $E_\text{loc}\to0$ cuando $r\to\infty$, contrario a Schwarzschild, en donde $E_\text{loc}\to{mE}$ cuando $r\to\infty$ y $E_\text{loc}\to\infty$ cuando $r\to{r}_s$, esto hace la gran diferencia para ver a AdS como una caja. Nótese también que los vectores de momento y de velocidad (i.e. el vector de Killing transformado) se recuperan para el caso local en AdS con $r=0$ y en Schwarzschild con $r\to\infty$. Como se ve adelante, pueden construirse estados térmicos en AdS identificando periódicamente una coordenada de tiempo imaginaria con periodo $\beta_0=T^{-1}$. Esto significa entonces que (\ref{1}) puede escribirse también como $T_\text{loc}=\frac{T}{\sqrt{-g_{tt}}}$ y que la energía total de la radiación térmica en AdS es finita sin necesidad de encerrarla en una caja.
***

Luego entonces, tomando $r=r_+$ el horizonte de eventos de AdS-Schwarzschild, i.e. la raíz más grande de
\begin{equation}V(r)\equiv1-\frac{r_s}{r}+\frac{r^2}{\alpha^2}\end{equation} se fija el valor de $r_s$ a
\begin{equation}V(r_+)=0\,\Longrightarrow\,r_s=\frac{r_+(\alpha^2+r_+^2)}{\alpha^2}\end{equation} y entonces en efecto al ver la métrica cerca del horizonte, i.e. con $r=r_++\epsilon^2$ con $|\epsilon|\ll1$, para el orden dominante en $\epsilon$,
\begin{equation}V(r_++\epsilon^2)\approx\frac{\alpha^2+3r_+^2}{\alpha^2r_+}\epsilon^2\end{equation} y haciendo una rotación de Wick, $\tau=it$, se sigue para la métrica AdS-Schwarzschild,
\begin{equation}ds^2=\frac{4\alpha^2r_+}{\alpha^2+3r_+^2}\left[d\epsilon^2+\left(\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}\right)^2\epsilon^2d\tau^2\right]+(r_++\epsilon^2)^2d\Omega^2\end{equation} Aquí puede resultar poco claro cómo ver que necesariamente $\tau$ es periódica. El punto es entender lo que significa que se tenga una singularidad cónica. La idea es básicamente que si $\tau$ tiene un cierto periodo $\beta_0$, el espacio se cubrirá completamente, lo que no sucederá necesariamente con cualquier otro valor; la analogía que utiliza Zhao es la de las coordenadas polares $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$, donde $\theta$ debe tener un periodo de $2\pi$ para corresponder a la métrica del plano, de otro modo se tiene un hueco del tipo de una rebanada de pastel, lo que lleva a algo así como un pico de un cono, lo que es la singularidad cónica.

En este caso es particularmente fácil verificar cuál es el periodo $\beta_0$ de $\tau$, dado que el término entre corchetes de la métrica AdS-Schwarzschild cerca del horizonte es análoga a la del plano en coordenadas polares. Se debe satisfacer entonces que
\begin{equation}\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}\int_0^{\beta_0}d\tau\int_0^{r_+}\epsilon\,{d}\epsilon=\pi{r}_+^2\,\Longrightarrow\,\beta_0=\frac{4\pi\alpha^2r_+}{\alpha^2+3r_+^2}\end{equation}
En adelante la cosa es bastante clara, al menos antes de llegar a la parte de AdS/CFT, y el resultado $T=\beta^{-1}$ creo que es bastante majo, pues entonces la temperatura del agujero negro puede obtenerse únicamente con argumentos geométricos, sin invocar directamente la gravedad de superficie. Sólo hay detalles cuando se menciona la distribución canónica, aunque al final igual lo que se calcula es $S=\beta\langle{E}\rangle+\ln{Z}$. La intención es llegar a la dualidad fluido/gravedad, pero de eso tal vez escriba después  ;-)

La geometría clásica del espacio de (Anti)-de Sitter

He pasado poco más de seis meses entrándole a la geometría (clásica) de los espacios (A)dS en mi proyecto de servicio social en la licenciatura. El producto son estas notas de casi 200 páginas que cubren los temas de Relatividad Especial, Relatividad General y los espacios de (Anti)-de Sitter. La razón de haberlo hecho así es que en realidad tuve que aprender todos estos temas a lo largo del servicio. Las notas me parecen bien digeridas para cualquier estudiante de licenciatura interesado en temas de gravitación y no creo que haya ningún problema para cualquiera que las quisiera leer. El trabajo presuntamente está libre de errores conceptuales mayores y a lo más podrían existir errores estéticos o de dedo, mismos que procuraré señalar aquí al encontrarlos.

Resumen
Los espacios de de Sitter y de Anti-de Sitter son básicamente espaciotiempos de curvatura constante con ciertas propiedades peculiares que resultan físicamente relevantes. Estos espacios pueden verse como una solución de las ecuaciones de campo de la Relatividad General cuando se considera una constante cosmológica ya sea positiva o negativa. Si bien el espacio ${AdS}$ juega un papel limitado en la Relatividad General, contrario al espacio ${dS}$, éste puede resultar de gran relevancia en otras teorías que incorporan gravedad como lo es teoría de cuerdas dentro del marco de la dualidad AdS/CFT. Aunque este trabajo no es exhaustivo, se busca introducir primeramente los elementos físicos y matemáticos básicos de la Relatividad Especial y General, dado que estos temas actualmente pertenecen únicamente a cursos optativos en la UAM-I. En general se cubren tres secciones básicas: 1) Relatividad Especial, 2) Relatividad General, y 3) Geometría y el espacio $(A)dS$.

En la sección 1 se introduce la notación tensorial y algunos conceptos básicos sobre tensores, luego se hace un resumen de los conceptos básicos de la Relatividad Especial y como complemento se tratan brevemente la electrodinámica relativista y las ecuaciones cuántico-relativistas. Finalmente se muestran diversos problemas resueltos, cuya formulación ha sido traducida de las diversas fuentes bibliográficas citadas.

En la sección 2 se presentan de manera más sólida los conceptos acerca de tensores y se introduce el tema de variedades diferenciables y curvatura a manera de formular la teoría de manera tensorial. Finalmente se obtienen las ecuaciones de campo por formulación Lagrangiana y asimismo se muestran algunos problemas resueltos, con el principal objetivo de complementar el contenido de la sección.

En la sección 3 se tratan finalmente los espacios clásicos de ${(A)dS_n}$ introduciendo diversos conceptos geométricos que aquí se dirigen principalmente a los campos de Killing y los espacios máximamente simétricos. A partir de aquí se estudian diversos aspectos de ${(A)dS_n}$ en varios sistemas coordenados y se ilustran los correspondientes diagramas de Penrose a modo de estudiar la estructura causal de cada espacio. Ambos espacios en los distintos sistemas coordenados se logran a través de diversas parametrizaciónes de hipersuperficies que luego se encajan dentro de un espacio coordenado de dimensión mayor. El tratamiento en ambos casos se hace en un número de dimensiones arbitrarias, de modo que el lector pueda simplemente considerar cualquier caso de interés. Finalmente se tratan los espacios ${(A)dS_n}$ en el contexto de la Relatividad General, considerando el papel que juegan desde un punto de vista cosmológico y se revisa la solución de $AdS$-Schwarzschild.

Enlace al documento en la Colección de Tesis Electrónicas de la UAM-I:
http://tesiuami.izt.uam.mx/uam/aspuam/presentatesis.php?recno=16576&docs=UAMI16576.pdf

Entrevista al Dr. Alberto Güijosa

Hace poco encontré esta entrevista, poco difundida hasta este momento (apenas 36 vistas) aunque se publicó apenas hace unas dos semanas. Alberto Güijosa Hidalgo es un investigador del Instituto de Ciencias Nucleares de la UNAM enfocado principalmente a la dualidad AdS/CFT. En la entrevista, el Dr. Güijosa habla a nivel divulgación de diversos aspectos de la física de altas energías. Por supuesto los temas resultan sumamente interesantes y Güijosa los explica de una manera muy sencilla. Quizá el único defecto es que el Dr. Güijosa parece hablar muy apresuradamente o algo por el estilo, de cualquier modo puede resultar gratificante escucharlo.



Para cualquier interesado, en la entrada Dualidad holográfica o correspondencia AdS/CFT del extracto del artículo por Saúl Ramos, se cita el artículo La correspondencia Holográfica: Una aplicación útil de la Teoría de Cuerdas que puede consultarse en la página de la SMF, que es algo así como divulgación para estudiantes de física o para personas muy interesadas en el tema.

También apenas me encontré en línea una presentación por el Dr. Güijosa, parte de la III Escuela Mexicana de Cuerdas y Supersimetría celebrada en la Universidad de Guanajuato del 3 al 12 de Junio del año pasado. El enlace está acá: La Correspondencia Holográfica: Color a Partir de Geometría, igual en el sitio del evento pueden encontrarse algunas otras presentaciones que pueden ser de interés.

Dualidad holográfica o correspondencia AdS/CFT

El siguiente es un extracto de la sección 5 del capítulo llamado El universo de las supercuerdas por el Dr. Saúl Ramos Sánchez, investigador del IFUNAM, y forma parte del libro Fronteras de la Física en el Siglo XXI. Esta sección en particular me pareció interesantísima y ha sido de las primeras lecturas que me ha motivado a decidirme a seguir una dirección más particular en mi carrera, dado que (me parece) no abunda la información sobre este tema a nivel licenciatura o menor (divulgación, si se quiere). Las secciones y capítulos completos de Fronteras de la Física me parecen muy recomendables tanto para el lector que busca definir con mayor precisión la dirección de su interés en la física, así como para cualquier lector interesado en conocer algunos de los temas más excitantes de la física actual. Comparto entonces el extracto a continuación:

El ambicioso propósito de la teoría de cuerdas de describir toda la física observada tiene aún muchos obstáculos y nadie sabe con toda certeza si será posible alcanzarlo. Pero, ¿qué pasaría si un día llegamos a entender que todos los esfuerzos en esta dirección están condenados al fracaso? Como veremos a continuación, aún ante este escenario, el estudio de la teoría de cuerdas nos ha conducido a observaciones y resultados que justifican los años invertidos en él.

En una visión quizá más moderna de la teoría de cuerdas, se exploran otras alternativas tal vez menos ambiciosas que la de encontrar una teoría de todo. En esta visión, las cuerdas se emplean como una fuente de herramientas matemáticas que ayuden a resolver problemas de la física actual. El máximo exponente de esta visión es posiblemente la dualidad holográfica o correspondencia norma/gravedad o AdS/CFT, o dualidad de Maldacena [17]. Esta dualidad ha conseguido proveer estimaciones de la entropía, viscosidad y conductividad del plasma de quarks y gluones que se sabe debió haber formado parte del universo temprano (instantes después de la gran explosión) y que puede ser observado en laboratorios internacionales como el LHC o RHIC. Además, la dualidad holográfica ha mostrado que puede tener muchas aplicaciones en materia condensada, ofreciendo algo de intuición con respecto a e.g. superconductividad, superfluidez, metales extraños y fluidez de Hall [18]. Se recomienda [19] como una discusión introductoria y [20] como una revisión más detallada para entender esta dualidad.

Teoría de campos con interacciones fuertes	$\underset{\text{[Maldacena]}}{=}$	Teoría de cuerdas compactificada
Partículas		Cuerdas
Sin gravedad		Con gravedad
Espacio-tiempo plano		Espacio-tiempo curvo
Con interacciones fuertes (débiles)		Con interacciones débiles (fuertes)
4 dimensiones		10 dimensiones
Tabla 2: Un resumen [19] de la equivalencia propuesta por Maldacena. A pesar de lo absurdamente distinto de las teorías, la correspondencia ha sido confirmada en miles de trabajos científicos.

La dualidad holográfica, sugerida en 1997 por J. Maldacena [17], muestra que existe una equivalencia entre dos teorías muy diferentes: una teoría de cuerdas con gravedad cuántica definida en un espacio 10-dimensional y una teoría de campos 4-dimensional. La cualidad holográfica de la dualidad proviene justamente de que la información de la teoría de cuerdas es capturada en una teoría con menos dimensiones, como sucede en los hologramas bidimensionales. Representa así un éxito del principio holográfico, propuesto por G.'t Hooft y refinado por L. Susskind [21], que establece que, en una teoría de gravedad, la descripción de la física contenida en el volumen de un cierto espacio está codificada en una teoría no gravitacional definida en la frontera de ese espacio. La tabla 2 permite apreciar lo casi inverosímil de la propuesta de Maldacena: las características de las teorías relacionadas por la dualidad holográfica son tan distintas, que difícilmente uno se puede imaginar descripciones más opuestas. Y, sin embargo, son equivalentes.

Entendamos mejor las teorías relacionadas por esta dualidad mediante un ejemplo particular. En su modelo original, Maldacena propuso que la física contenida en la frontera al infinito de la compactificación de la teoría de cuerdas tipo IIB en un espacio con geometría $\text{AdS}^5\times\text{S}^5$ corresponde a la misma que encontramos en una teoría conforme supersimétrica 4-dimensional super Yang-Mills con el máximo de supersimetría posible (abreviado MSYM). El espacio-tiempo de anti-De Sitter $\text{AdS}^5$ y la esfera $\text{S}^5$ son las variedades 5-dimensionales más simples después del espacio plano o de Minkowski. Mientras que la curvatura de $\text{AdS}^5$ es negativa (como la de la silla de montar), en $\text{S}^5$ es positiva. La teoría de cuerdas IIB así compactificada conduce a cuerdas dinámicas cuyas vibraciones son interpretadas como los gravitones (fluctuaciones cuánticas de la métrica) en el espacio tiempo de anti-De Sitter. La teoría de MSYM corresponde a una teoría de norma conforme (es decir, que no cambia al aplicarle transformaciones de escala) dotada sólo de bosones de norma y de sus compañeros supersimétricos. Si se elige la simetría de norma como SU(N), la teoría resultante de MSYM semeja en algunos aspectos (y para ciertos propósitos) a la cromodinámica cuántica sin quarks (sólo con gluones). Lo fascinante de la dualidad holográfica es que los cálculos demuestran que el régimen de acoplamiento débil en la teoría gravitacional (cuerdas IIB) equivale al régimen de interacciones fuertes en la teoría de norma (MSYM), y viceversa. De esta forma, cálculos entre partículas que interactúan fuertemente (cuando no tenemos control de la teoría) como en la cromodinámica cuántica se pueden realizar fácilmente en la teoría de cuerdas en el límite de acoplamiento débil, ¡que es el único sobre el que tenemos control! Igualmente, podríamos conocer el comportamiento de la teoría de cuerdas cuando las cuerdas interactúan fuertemente (por encontrarse en un espacio altamente curvado), mediante cálculos en la teoría de campos con interacciones débiles.

Claramente, la propuesta de Maldacena no consideraba nuestro universo, pues, por una parte, la cromodinámica cuántica difiere de MSYM en que contiene quarks y no tiene supersimetría, y por otra parte, nosotros no habitamos un espacio 5-dimensional tipo anti-De Sitter. Sin embargo, ambos escenarios son un buen inicio. Tras la propuesta de Maldacena, muchos científicos han encontrado los mecanismos para e.g. añadir los quarks y las interacciones adecuadas de la cromodinámica cuántica, y suprimir la supersimetría en la teoría de campos. Los resultados han probado ser bastante exitosos cuando la mezcla de quarks y gluones es tan densa que sólo se percibe un fluido de ellos, el famoso plasma de quarks y gluones. Es difícil medir las propiedades de este fluido, pero las pocas mediciones obtenidas han sido sorprendentemente cercanas a los resultados predichos mediante la aplicación de la dualidad.

La dualidad holográfica es considerada aún una conjetura, pues no existe prueba matemática rigurosa que demuestre la equivalencia planteada. Pero el hecho de que haya sido sometida a miles de intentos de mostrarla incorrecta y en todos ellos haya salido victoriosa, y que haya aportado resultados que no difieren mucho de su contraparte experimental, permite afirmar sin duda que estamos ante el despertar de una nueva forma de apreciar y hacer la física.

La dualidad holográfica es una revolución en sí misma, quizá incluso mayor que el descubrimiento de las dualidades que condujeron a la teoría M, por su cercanía con la física observable. La propuesta de Maldacena nos indica que las teorías de norma están íntimamente vinculadas con teorías de gravedad; y nos sugiere que es posible vincular marcos teóricos sin gravedad con otros que sí la incluyan, de tal forma que la existencia o inexistencia de ésta depende del lenguaje adoptado en cada marco. Más relevante para nuestra discusión es que la dualidad revela que la teoría de cuerdas, si bien podría resultar ser una teoría menos ambiciosa de lo que se sospechaba, no está desconectada de la física que describe lo que nos rodea.

Referencias citadas en el texto:
[17] J. M. Maldacena, “The Large N limit of superconformal field theories and supergravity,” Adv.Theor.Math.Phys., vol. 2, pp. 231–252, 1998.
[18] S. A. Hartnoll, “Lectures on holographic methods for condensed matter physics,” Class.Quant.Grav., vol. 26, p. 224002, 2009.
[19] A. Güijosa, “La correspondencia holográfica: una aplicación útil de la teoría de cuerdas”, Boletin de la SMF, vol. 26, pp. 85–99, 2012.
[20] O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, and Y. Oz, “Large N field theories, string theory and gravity,” Phys.Rept., vol. 323, pp. 183–386, 2000.
[21] L. Susskind, “The World as a hologram,” J.Math.Phys., vol. 36, pp. 6377–6396, 1995.