En diciembre Joseph Polchinski publicó un artículo recopilatorio sobre dualidades llamado simplemente Dualities (al que luego agregó 'of Fields and Strings'):
El artículo está muy bien escrito, de manera sencilla y sucinta, y creo que es accesible, al menos a nivel conceptual, incluso a estudiantes de licenciatura. Luego de introducir el tema de dualidades, Polchinski bosqueja algunas dualidades QFT/QFT, entre las que se encuentra la de bosonización (antes, otra cuestión que llama la atención es la de la dualidad onda/partícula como dos límites clásicos de QFT), que es básicamente una dualidad entre una teoría de fermiones de Dirac y una teoría de bosones en 1+1 dimensiones. Ésta dualidad es sorprendente y me pareció sumamente interesante por lo sencilla y porque con mi poco conocimiento de QFT supuse que podría trabajar los detalles; además descubrí que es prácticamente tema estándar en el área de Materia Condensada y seguramente tiene bastantes avances o generalizaciones.
Polchinski se limita a presentar la dualidad: las relaciones entre las constantes de acoplamiento y la correspondencia entre los campos que se deben satisfacer para que las amplitudes sean idénticas. Para obtener el resultado, original de Sidney Coleman (1975), uno tiene varias opciones, como intentar trabajar como sugiere Polchinski: empezar con teorías sin masa y sin interacción, $\mc{L}_\text{F}=i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi$ y $\mc{L}_\text{B}=-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$, calcular las amplitudes de dispersión, obtener la correspondencia que las vuelve idénticas y luego deformar nuevamente las teorías a unas con interacción. Y esto es básicamente lo que hace Coleman en su artículo original, calculando funciones de Green en ambos casos:
El artículo es relativamente extenso y confieso que no lo he seguido paso a paso, lo que creo que quizá convendría únicamente si uno quiere entrarle en serio al tema de bosonización.
De cualquier modo, buscando un poco más sobre bosonización, además de encontrar varios títulos de libros sobre el tema enfocados a Física de Partículas y a Materia Condensada, fortuitamente también encontré otro artículo sobre el tema:
El artículo comienza con el comentario
donde abeliano se refiere a que el grupo de simetría de la teoría en cuestión es conmutativo; los mismos autores tratan en otro artículo el caso no-abeliano (también tratado años antes por Witten). Este artículo me pareció bastante mono (al menos de un vistazo) por la sencillez y generalidad. Los autores mencionan un procedimiento llamado dualización que para entonces ya había sido útil para relacionar 'vacíos' aparentemente no relacionados en teoría de cuerdas y lo describen así:
La idea en realidad es sencilla, y como mencionan, puede entenderse mejor sólo con el caso concreto del fermión no masivo (por alguna razón lo mencionan como libre) en la sección 2.1). El procedimiento es básicamente plantear la función de partición de los fermiones
\begin{equation}Z_\text{F}[J]=\int\mc{D}\psi\,\exp\left[i\int{d^2x}\left(\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi+\sum_iJ_i\mc{O}_i\right)\right]\end{equation} con los $J_i(x)$ y $\mc{O}_i(\psi)$ campos y operadores, respectivamente (que en el caso más sencillo, como hacen en el artículo, pueden tomarse como constantes de acoplamiento y términos de interacción) y encajarla en una teoría de norma más amplia (básicamente 'normando' una simetría global de la teoría original) sujeta a ciertas constricciones
\begin{equation}Z_\text{gauge}[J]=\int\mc{D}\psi\,\mc{D}A_\mu\,\mc{D}\Lambda\,\exp\left[i\int{d^2x}\left(\mc{L}_\text{F}(\psi,J)+\mc{L}_\text{gauge}(A_\mu,\Lambda)\right)\right]\end{equation} que permita recuperar $Z_\text{F}[J]$ al integrar en $\Lambda$ y en $A_\mu$, i.e. tal que $Z_\text{F}[J]={Z}_\text{gauge}[J]\bigg|_{\Lambda,A_\mu}$. Finalmente esto permite obtener la teoría dual en $\Lambda$ (que como se muestra en el artículo, corresponde a una de bosones) si se integra $Z_\text{gauge}[J]$ en $\psi$ y en $A_\mu$,
\begin{equation}Z_\text{B}[J]\equiv{Z}_\text{gauge}[J]\bigg|_{\psi,A_\mu}=\int\mc{D}\Lambda\exp\left[i\int{d^2x}\,\mc{L}_\text{B}(\Lambda,J)\right]\end{equation} con lo que se obtiene también la correspondencia entre las teorías identificando los términos en $J_i$.
La idea en realidad es sencilla, la parte que resulta complicada para un neófito como yo es la de elegir la teoría de norma y la de hacer la integración, ya sea con fuerza bruta o devorándose los artículos que mencionan los autores. De cualquier modo la parte importante es si quiera saber en primer lugar que esta sorprendente dualidad existe, siendo que el carácter de ambas teorías es tan distinta, y luego entender cómo funciona y el alcance que tiene.
Finalmente, regresando al artículo de Polchinski, en realidad no era consciente de la idea general que plantea acerca de una dualidad como un par de límites de una teoría más fundamental, así que definitivamente me ha causado una impresión importante su artículo (o la parte que he leído seriamente hasta ahora) y en general lo recomiendo ampliamente.
Dualities of Fields and Strings
Joseph Polchinski
Duality, the equivalence between seemingly distinct quantum systems, is a curious property that has been known for at least three quarters of a century. In the past two decades it has played a central role in mapping out the structure of theoretical physics. I discuss the unexpected connections that have been revealed among quantum field theories and string theories.
El artículo está muy bien escrito, de manera sencilla y sucinta, y creo que es accesible, al menos a nivel conceptual, incluso a estudiantes de licenciatura. Luego de introducir el tema de dualidades, Polchinski bosqueja algunas dualidades QFT/QFT, entre las que se encuentra la de bosonización (antes, otra cuestión que llama la atención es la de la dualidad onda/partícula como dos límites clásicos de QFT), que es básicamente una dualidad entre una teoría de fermiones de Dirac y una teoría de bosones en 1+1 dimensiones. Ésta dualidad es sorprendente y me pareció sumamente interesante por lo sencilla y porque con mi poco conocimiento de QFT supuse que podría trabajar los detalles; además descubrí que es prácticamente tema estándar en el área de Materia Condensada y seguramente tiene bastantes avances o generalizaciones.
Polchinski se limita a presentar la dualidad: las relaciones entre las constantes de acoplamiento y la correspondencia entre los campos que se deben satisfacer para que las amplitudes sean idénticas. Para obtener el resultado, original de Sidney Coleman (1975), uno tiene varias opciones, como intentar trabajar como sugiere Polchinski: empezar con teorías sin masa y sin interacción, $\mc{L}_\text{F}=i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi$ y $\mc{L}_\text{B}=-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$, calcular las amplitudes de dispersión, obtener la correspondencia que las vuelve idénticas y luego deformar nuevamente las teorías a unas con interacción. Y esto es básicamente lo que hace Coleman en su artículo original, calculando funciones de Green en ambos casos:
Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model
Sidney Coleman
The sine-Gordon equation is the theory of a massless scalar field in one space and one time dimension with interaction density proportional to $\cos\beta\phi$, where $\beta$ is a real parameter. I show that if $\beta^2$ exceeds $8\pi$, the energy density of the theory is unbounded below; if $\beta^2$ equals $4\pi$, the theory is equivalent to the zero-charge sector of the theory of a free massive Fermi field; for other values of $\beta$, the theory is equivalent to the zero-charge sector of the massive Thirring model. The sine-Gordon soliton is identified with the fundamental fermion of the Thirring model.
El artículo es relativamente extenso y confieso que no lo he seguido paso a paso, lo que creo que quizá convendría únicamente si uno quiere entrarle en serio al tema de bosonización.
De cualquier modo, buscando un poco más sobre bosonización, además de encontrar varios títulos de libros sobre el tema enfocados a Física de Partículas y a Materia Condensada, fortuitamente también encontré otro artículo sobre el tema:
Bosonization as Duality
C.P. Burgess, F. Quevedo
We show that bosonization in two dimensions can be derived as a special case of the duality transformations that have recently been used to good effect in string theory. This allows the construction of the bosonic counterpart of any fermionic theory simply by `following your nose' using the standard duality transformation rules. We work through the bosonization of the Dirac fermion, the massive and massless Thirring models, and a fermion on a cylindrical spacetime as illustrative examples.
El artículo comienza con el comentario
Precise rules for various versions of this equivalence have been known for some time now [1][2][3].The statement of these rules generally suffers from the drawback of not being constructive in character, being instead couched in terms of the equivalence of a given pair of bose and fermi theories¹. This is particularly true for nonabelian bosonization, where a simple, systematic, constructive and unified presentation of the bosonization rules is still missing [4]. Our purpose in this note is to provide such a derivation, for the abelian case.
donde abeliano se refiere a que el grupo de simetría de la teoría en cuestión es conmutativo; los mismos autores tratan en otro artículo el caso no-abeliano (también tratado años antes por Witten). Este artículo me pareció bastante mono (al menos de un vistazo) por la sencillez y generalidad. Los autores mencionan un procedimiento llamado dualización que para entonces ya había sido útil para relacionar 'vacíos' aparentemente no relacionados en teoría de cuerdas y lo describen así:
This duality is a trick for constructing the equivalent theory by embedding the model of interest within a larger gauge theory, which reduces to the original version once the gauge potential, $A_\mu$, is set to zero. This larger gauge theory is typically constructed simply by gauging a global symmetry of the original model [7] [8]. The original model is then written as the gauged theory subject to some constraint that removes the gauge potential, and this is usually done by introducing a dummy variable –a Lagrange multiplier field, $\Lambda$– whose functional integral requires the gauge field strength to vanish, $F_{\mu\nu}=0$. (...) If $\Lambda$, and then $A_\mu$, are integrated out –in this order– of the gauged version of the theory, then the original model is retrieved. The dual version of the theory, on the other hand, is obtained by performing the various functional integrals in a different order, in particular by integrating out the original field, as well as $A_\mu$. The Lagrange multiplier, $\Lambda$, then plays the role of the new, dual, field.
La idea en realidad es sencilla, y como mencionan, puede entenderse mejor sólo con el caso concreto del fermión no masivo (por alguna razón lo mencionan como libre) en la sección 2.1). El procedimiento es básicamente plantear la función de partición de los fermiones
\begin{equation}Z_\text{F}[J]=\int\mc{D}\psi\,\exp\left[i\int{d^2x}\left(\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi+\sum_iJ_i\mc{O}_i\right)\right]\end{equation} con los $J_i(x)$ y $\mc{O}_i(\psi)$ campos y operadores, respectivamente (que en el caso más sencillo, como hacen en el artículo, pueden tomarse como constantes de acoplamiento y términos de interacción) y encajarla en una teoría de norma más amplia (básicamente 'normando' una simetría global de la teoría original) sujeta a ciertas constricciones
\begin{equation}Z_\text{gauge}[J]=\int\mc{D}\psi\,\mc{D}A_\mu\,\mc{D}\Lambda\,\exp\left[i\int{d^2x}\left(\mc{L}_\text{F}(\psi,J)+\mc{L}_\text{gauge}(A_\mu,\Lambda)\right)\right]\end{equation} que permita recuperar $Z_\text{F}[J]$ al integrar en $\Lambda$ y en $A_\mu$, i.e. tal que $Z_\text{F}[J]={Z}_\text{gauge}[J]\bigg|_{\Lambda,A_\mu}$. Finalmente esto permite obtener la teoría dual en $\Lambda$ (que como se muestra en el artículo, corresponde a una de bosones) si se integra $Z_\text{gauge}[J]$ en $\psi$ y en $A_\mu$,
\begin{equation}Z_\text{B}[J]\equiv{Z}_\text{gauge}[J]\bigg|_{\psi,A_\mu}=\int\mc{D}\Lambda\exp\left[i\int{d^2x}\,\mc{L}_\text{B}(\Lambda,J)\right]\end{equation} con lo que se obtiene también la correspondencia entre las teorías identificando los términos en $J_i$.
La idea en realidad es sencilla, la parte que resulta complicada para un neófito como yo es la de elegir la teoría de norma y la de hacer la integración, ya sea con fuerza bruta o devorándose los artículos que mencionan los autores. De cualquier modo la parte importante es si quiera saber en primer lugar que esta sorprendente dualidad existe, siendo que el carácter de ambas teorías es tan distinta, y luego entender cómo funciona y el alcance que tiene.
Finalmente, regresando al artículo de Polchinski, en realidad no era consciente de la idea general que plantea acerca de una dualidad como un par de límites de una teoría más fundamental, así que definitivamente me ha causado una impresión importante su artículo (o la parte que he leído seriamente hasta ahora) y en general lo recomiendo ampliamente.
If the doors of perception were cleansed every thing would appear to man as it is, Infinite.― William Blake, The Marriage of Heaven and Hell
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