La geometría clásica del espacio de (Anti)-de Sitter

He pasado poco más de seis meses entrándole a la geometría (clásica) de los espacios (A)dS en mi proyecto de servicio social en la licenciatura. El producto son estas notas de casi 200 páginas que cubren los temas de Relatividad Especial, Relatividad General y los espacios de (Anti)-de Sitter. La razón de haberlo hecho así es que en realidad tuve que aprender todos estos temas a lo largo del servicio. Las notas me parecen bien digeridas para cualquier estudiante de licenciatura interesado en temas de gravitación y no creo que haya ningún problema para cualquiera que las quisiera leer. El trabajo presuntamente está libre de errores conceptuales mayores y a lo más podrían existir errores estéticos o de dedo, mismos que procuraré señalar aquí al encontrarlos.

Resumen
Los espacios de de Sitter y de Anti-de Sitter son básicamente espaciotiempos de curvatura constante con ciertas propiedades peculiares que resultan físicamente relevantes. Estos espacios pueden verse como una solución de las ecuaciones de campo de la Relatividad General cuando se considera una constante cosmológica ya sea positiva o negativa. Si bien el espacio ${AdS}$ juega un papel limitado en la Relatividad General, contrario al espacio ${dS}$, éste puede resultar de gran relevancia en otras teorías que incorporan gravedad como lo es teoría de cuerdas dentro del marco de la dualidad AdS/CFT. Aunque este trabajo no es exhaustivo, se busca introducir primeramente los elementos físicos y matemáticos básicos de la Relatividad Especial y General, dado que estos temas actualmente pertenecen únicamente a cursos optativos en la UAM-I. En general se cubren tres secciones básicas: 1) Relatividad Especial, 2) Relatividad General, y 3) Geometría y el espacio $(A)dS$.

En la sección 1 se introduce la notación tensorial y algunos conceptos básicos sobre tensores, luego se hace un resumen de los conceptos básicos de la Relatividad Especial y como complemento se tratan brevemente la electrodinámica relativista y las ecuaciones cuántico-relativistas. Finalmente se muestran diversos problemas resueltos, cuya formulación ha sido traducida de las diversas fuentes bibliográficas citadas.

En la sección 2 se presentan de manera más sólida los conceptos acerca de tensores y se introduce el tema de variedades diferenciables y curvatura a manera de formular la teoría de manera tensorial. Finalmente se obtienen las ecuaciones de campo por formulación Lagrangiana y asimismo se muestran algunos problemas resueltos, con el principal objetivo de complementar el contenido de la sección.

En la sección 3 se tratan finalmente los espacios clásicos de ${(A)dS_n}$ introduciendo diversos conceptos geométricos que aquí se dirigen principalmente a los campos de Killing y los espacios máximamente simétricos. A partir de aquí se estudian diversos aspectos de ${(A)dS_n}$ en varios sistemas coordenados y se ilustran los correspondientes diagramas de Penrose a modo de estudiar la estructura causal de cada espacio. Ambos espacios en los distintos sistemas coordenados se logran a través de diversas parametrizaciónes de hipersuperficies que luego se encajan dentro de un espacio coordenado de dimensión mayor. El tratamiento en ambos casos se hace en un número de dimensiones arbitrarias, de modo que el lector pueda simplemente considerar cualquier caso de interés. Finalmente se tratan los espacios ${(A)dS_n}$ en el contexto de la Relatividad General, considerando el papel que juegan desde un punto de vista cosmológico y se revisa la solución de $AdS$-Schwarzschild.

Enlace al documento en la Colección de Tesis Electrónicas de la UAM-I:
http://tesiuami.izt.uam.mx/uam/aspuam/presentatesis.php?recno=16576&docs=UAMI16576.pdf