Gravedad de superficie en un espacio esféricamente simétrico y estático

Quizá la característica más sorprendente de los Agujeros Negros, es que exhiben propiedades termodinámicas. Cuenta la historia que alrededor del año 1970, el físico estadounidense John A. Wheeler (el responsable también de popularizar el término Agujero Negro o Black Hole) sugirió la pregunta: ¿Qué sucede si tiro una taza de té en un Agujero Negro? El meollo del asunto es qué es lo que pasa con la entropía del té caliente, ¿acaso simplemente se pierde para siempre?

Ya antes se había tenido indicaciones de que los Agujeros Negros presentaban propiedades termodinámicas únicamente a partir de propiedades clásicas empleando la Relatividad General, como el llamado teorema del área y otras propiedades dinámicas que tenían una perfecta analogía con las leyes de la Termodinámica Clásica. Uno de los alumnos de Wheeler, llamado Jacob Bekenstein (nacido en México, por cierto), pocos años después, junto con (de manera independiente) Stephen Hawking obtendrían el famoso resultado
$$\begin{equation}T_H\equiv\frac{\kappa}{2\pi},\hspace{0.5in}S_{BH}\equiv\frac{A}{4}\end{equation}$$ (en unidades $\hbar=k_B=c=G=1$) donde $\kappa$ es la llamada gravedad de superficie y $A$ es el área superficial del Agujero Negro. Este resultado tiene gran relevancia, y vale la pena notar que estas cantidades nos dan información acerca del Agujero Negro entero únicamente conociendo su frontera. En cuanto a $\kappa$ nos bastará pensarla como la aceleración debida a la gravedad experimentada por una partícula de prueba (de masa despreciable) en la superficie del Agujero Negro (en general en la superficie de cualquier objeto).

Lo que no había podido lograr es calcular $T_H$ para Agujeros Negros tipo Schwarzschild, que es el resultado más sencillo que suele mostrarse en la literatura. El cálculo también es sencillo, aunque uno debe sacar un poco el colmillo para hacerlo ;-)

La definición en el contexto de la Relatividad General puede basarse en la idea de un horizonte de Killing, i.e. una hipersuperficie donde un vector de Killing $V$ de la métrica se anula. Para espaciotiempos estacionarios y asintóticamente planos (i.e. que en infinito se vuelven Minkowski), como Schwarzschild, el vector de Killing $t$-traslacional puede normalizarse tal que $V_\mu{V}^\mu=-1$ en infinito. Dado que $V^\mu{V}_\mu=0$ en el horizonte de Killing y que $V$ es normal a este mismo horizonte, entonces $\nabla_\nu(V^\mu{V}_\mu)$ también es normal al horizonte, de modo que $\nabla_\nu(V^\mu{V}_\mu)\propto{V}_\nu$ o bien, de manera equivalente (empleando $\nabla_\nu(V^\mu{V}_\mu)=0$ y la ec. de Killing $\nabla_{(\mu}{V}_{\nu)}=0$), existe algún $\kappa$ tal que
$$\begin{equation}V^\mu\nabla_\mu{V}_\nu=\kappa{V}_\nu\end{equation}$$ que es la gravedad de superficie, además, por el llamado teorema de Fröbenius (véase e.g. el clásico libro de Robert M. Wald), se tiene que también en el horizonte,
$$\begin{equation}V_{[\mu}\nabla_\nu{V}_{\sigma]}=0\end{equation}$$ y finalmente contrayendo esta última ecuación con $\nabla^\mu{V}^\nu$ y usando la ec. de Killing, se obtiene finalmente que
$$\begin{equation}\kappa^2=-\frac{1}{2}(\nabla^\mu{V}^\nu)(\nabla_\mu{V}_\nu)\end{equation}$$

En el caso de espacios esféricamente simétricos y estáticos es relativamente sencillo calcular la gravedad de superficie. Considérese en general toda métrica de la forma
$$\begin{equation}ds^2=g_{tt}(r)dt^2+g_{rr}(r)dr^2+r^2d\Omega^2\end{equation}$$

Sabemos que $V=\p_t=(1,0,0,0)$ es un vector de Killing (nótese que en efecto $V^\mu{V}_\mu=-1$ en $r=r_s$, i.e. en el horizonte de Killing). Primero véase que sólo los términos $\nabla^r{V}^t$ y $\nabla^tV^r$ (y la contraparte con índices covariantes) contribuyen; aquí es donde uno saca el colmillo ;-) ya que uno podría precipitarse a pensar que $\nabla^tV^r\stackrel{?}{=}0$ (incorrectamente, lo que yo hice), para ello se necesitan entonces las conexiones
$$\begin{align} {\Gamma^t}_{rt}=\frac{1}{2}g^{tt}(\p_rg_{tt}),\hspace{0.5in} {\Gamma^r}_{tt}=-\frac{1}{2}g^{rr}\left(\p_rg_{tt}\right) \end{align}$$ de donde se sigue que (usando que $g^{\alpha\alpha}=(g_{\alpha\alpha})^{-1}$ en este caso),
$$\begin{align}\nabla^rV^t&=g^{rr}{\Gamma^t}_{rt}=\frac{\p_rg_{tt}}{2g_{tt}g_{rr}}\\ \nabla^tV^r&=g^{tt}{\Gamma^r}_{tt}=-\frac{\p_rg_{tt}}{2g_{tt}g_{rr}} \end{align}$$ es decir, $\nabla^rV^t=-\nabla^tV^r$, lo que ya se sabía, siendo $V=\p_t$ un vector de Killing. Así entonces, finalmente
$$\begin{align}\kappa^2&=-\frac{1}{2}\left(\nabla^tV^r\nabla_tV_r+\nabla^rV^t\nabla_rV_t\right)=\frac{(-\p_rg_{tt})^2}{-4(g_{tt}g_{rr})^3}\label{gravedaddesup}\end{align}$$ lo que da como resultado para Schwarzschild (siendo $r_s$ el radio del horizonte de Killing),
$$\begin{equation}\kappa^2=\frac{1}{4}\lim_{r\to{r}_s}\left(\frac{r_s}{r^2}\right)^2=\frac{1}{4r_s^2}\,\Longrightarrow\,\kappa=\frac{1}{2r_s}=\frac{1}{4M}\end{equation}$$ lo que concuerda con el resultado $T_H=1/8\pi{M}$. Esto por supuesto es general, con ello se puede calcular e.g. que $\kappa=\frac{M}{R^2}$ para el caso Newtoniano (Schwarzschild con $r\to{R}$), $\kappa=\frac{\alpha^2+3r_+^2}{2\alpha^2r_+}$ en AdS-Schwarzschild (tomando en cuenta por supuesto que $r_+$ es el horizonte en este caso) o bien $\kappa=\frac{\sqrt{M^2-Q^2}}{\left(M+\sqrt{M^2-Q^2}\right)^2}$ para un Agujero Negro tipo Reissner–Nordström (no extremal y con $-g_{tt}=g_{rr}^{-1}=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$), lo que puede comprobarse fácilmente.