Péndulo con soporte en una parábola oscilante

Este es un problema bastante divertido, cuya solución es análoga a la del péndulo doble. El punto de suspensión de masa $M$ de un péndulo simple de longitud $\ell$ y masa $m$ está restringido a moverse sobre una parábola oscilante dada por \begin{equation}y=\alpha{x}^2+\sin\omega{t}\end{equation} en el plano vertical.

Lo que se quiere es

1. Obtener el Lagrangiano y el Hamiltoniano del sistema.
2. Obtener las ecuaciones de movimiento de Lagrange y de Hamilton.
3. Resolver las ecuaciones de movimiento y visualizar las soluciones.

Para la descripción Lagrangiana se tiene

• Posición del soporte: $\vec{R}=\begin{cases}X=X(t)\\Y=\alpha{X}^2+\sin\omega{t}\end{cases}$
• Posición de la masa del péndulo: $\vec{r}=\begin{cases}x=X+\ell\sin\theta\\y=Y-\ell\cos\theta\end{cases}$
• Elección de coordenadas generalizadas: $\{q_1,q_2\}=\{X(t),\theta(t)\}$
• Energía Cinética: $T=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)=T\left(X,\dot{X},\theta,\dot{\theta},t\right)$
• Energía Potencial: $V=g\left(my+MY\right)=V\left(X,\theta,t\right)$
• Lagrangiana: $\mathcal{L}\equiv{T-V}=\mathcal{L}\left(X,\dot{X},\theta,\dot{\theta},t\right)$

Para pasar a la descripción Hamiltoniana

• Las fuerzas en el sistema pueden derivarse de $V$
• $\mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\vec{q},\dot{\vec{q}},t\right)\,\Longrightarrow$ No hay coordenadas cíclicas $\Longrightarrow$ No se conserva cantidad alguna
• $\frac{\partial\vec{R}}{\partial{t}}\neq\vec{0},\,\frac{\partial\vec{r}}{\partial{t}}\neq\vec{0}\;\Longrightarrow\,\mathcal{H}\neq{T+V}=E$
• $\frac{\partial{E}}{\partial{t}}\neq{0}\,\Longrightarrow\,E=E(t)$
• Se puede obtener el Hamiltoniano directamente de la definición por transformada de Legendre:
  \begin{align}\mathcal{H}&\equiv\sum_ip_i\dot{q}_i-\mathcal{L}\nonumber\\
  &=p_{_X}\dot{X}+p_{_\theta}\dot{\theta}-\mathcal{L}\left(X,\dot{X},\theta,\dot{\theta},t\right)\end{align} donde
  \begin{equation}p_{_j}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_{_j}}\;\Longrightarrow\;\dot{q}_{_j}=\dot{q}_{_j}(q_{_j},p_{_j},t)\;\Longrightarrow\;\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(X,p_{_X},\theta,p_{_\theta},t\right)\end{equation}
• O se puede obtener de la forma
  \begin{equation}\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\vec{p}-\vec{b}\right)^\mathrm{T}\mathbb{M}^{-1}\left(\vec{p}-\vec{b}\right)
  -\mathcal{L}_0\end{equation}

Para lograr el punto 3., preferí utilizar Mathematica

Mi archivo en Mathematica se ve como sigue (da clic derecho + Ver Imagen para ver el tamaño completo):

Caos Cuántico y la Escuela de Modelación y Métodos Numéricos 2013

Del 25 al 28 de junio del presente año se llevó acabo la Escuela de Modelación y Métodos Numéricos 2013 en el Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT) en Guanajuato, Guanajuato. La experiencia fue sumamente enriquecedora, de manera profesional y personal. La escuela trató los temas de Dinámica Molecular y Química Cuántica, Nanociencia y Nanotecnología. Me pareció curioso que un buen porcentaje de los asistentes al evento se dedican o a la biología o a la química; como físicos sólo asistimos dos compañeros y yo por parte de la misma institución, aunque hubo también varios matemáticos.

Acá comparto una presentación bastante breve que hicimos mis dos compañeros y yo en un minisimposio de mecánica cuántica para compartir un poco de lo tratado en la escuela y nuestra experiencia: Presentación EMMN-13

Ha sido el primer evento externo al que asisto, y vaya que fue divertido. Y para cerrar con broche de oro tanta química cuántica, un buen harlem shake molecular:

Bueno, y aprovechando la oportunidad para hablar en el minisimposio, decidí compartir un poco de información acerca de lo que es el llamado caos cuántico con esta presentación: ¿Qué es el caos cuántico?.

La plática se llevó acabo en unos 20 minutos, y lo que procuré fue sobre todo expresar mi interés por el tema y contagiar a algunos de mis compañeros. En este momento me encuentro con una gama de posibilidades enfrente sobre la dirección que puede tomar mi carrera, y ésta es una que me parece bastante atractiva, desde los sistemas dinámicos y la física no lineal, hasta el caos cuántico y aplicaciones biológicas. El tema es muy amplio y abunda información en la red, para quien desee ahondar en el tema, aunque quizá para ello antes se necesite afilar un poco el propio colmillo matemático.

Utilizando mecánica clásica en átomos: partículas idénticas y caos cuántico

Específicamente quiero responder por qué es cierto que cuando la longitud de onda de deBroglie en un gas a una temperatura dada es mucho más pequeña que la distancia entre partículas, el gas se comporta clásicamente (cada partícula o átomo puede modelarse con la mecánica de Newton o bien, el gas sigue una distribución de Maxwell-Boltzmann). En general el tema del límite clásico de la mecánica cuántica es uno mucho más amplio, pues ambas teorías son radicalmente distintas.

En este caso, fijémonos en una partícula; por el teorema de Ehrenfest, se tiene que
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\left\langle{\frac{dV(x)}{dx}}\right\rangle$$ desarrollando en serie de potencias el lado derecho de la ecuación alrededor de ${\langle{x}\rangle}$,
$$\frac{dV(x)}{dx}=\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}+\frac{dV(\langle{x}\rangle)^2}{d\langle{x}\rangle^2}(x-\langle{x}\rangle)+\frac{1}{2}\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}(x-\langle{x}\rangle)^2+\mathcal{O}\left(\langle{x}\rangle^4\right)$$ ahora bien, ${\left\langle{x-\langle{x}\rangle}\right\rangle=0}$, y ${\left\langle(x-\langle{x}\rangle)^2\right\rangle=\sigma_x^2}$, de modo que si V varía lentamente en x, pueden considerarse únicamente los primeros términos de la expansión,
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}-\frac{1}{2}\sigma_x^2\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}$$ a continuación al despreciar la varianza ${\sigma_x}$, lo que se está haciendo es precisamente decir que el tamaño de la función de onda es muy pequeña comparada con la variación del potencial V, pues la varianza se interpreta como qué tan extendida o dispersa es la distribución, en este caso espacial, de la partícula. Esto entonces da como resultado
$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}$$ precisamente la ecuación para la segunda ley de Newton, lo que es de esperarse, pues significa que la probabilidad de hallar a la partícula en x estará abismalmente concentrada en su valor medio.

Esto entonces se puede interpretar como que en una descripción clásica de cada partícula (átomos si se quiere), la extensión de la función de onda (prácticamente la longitud de onda de deBroglie), es mucho más pequeña que la distancia entre partículas, que son las fuentes de potencial V. Esto es lo que suele decirse en textos básicos de física estadística o de dinámica molecular.

Hablando en general, en nuestro universo todas las partículas conocidas entran únicamente en dos tipos: bosones y femiones, que se conocen como partículas idénticas. Las partículas idénticas en el mundo cuántico son además indistinguibles. Es interesante entonces que en este límite, si se quiere, en el que partículas idénticas se comportan como partículas clásicas, éstas dejarán de ser indistinguibles. Lo dicho antes entonces puede traducirse en qué tanto interfieren las funciones de onda de las partículas, como en el caso del gas ideal en condiciones estándar, en que las moléculas están suficientemente separadas de modo que pueden considerarse distinguibles, en cambio dos electrones en el mismo nivel energético de un átomo siempre serán indistinguibles. La imagen mostrada a la izquierda pertenece a skeptics play, en donde puede leerse más a nivel divulgación sobre partículas idénticas.

Finalmente, una parte relacionada con este tema y por la que he estado muy interesado últimamente (por supuesto a nivel fanático estudiante de licenciatura en física) es la del caos cuántico, que básicamente busca la relación del caos (que únicamente se concibe como algo clásico) con la mecánica cuántica, es decir, cuando se observa caos clásicamente, ¿qué ocurre en la descripción cuántica?. Lo que he leído hasta ahora ha sido sobre todo acerca de la llamada dinámica de billar, que como el nombre sugiere, básicamente describe el movimiento de una partícula encerrada por una frontera rígida, en la cual se refleja.

Estadio de Bunimovich: descripción clásica

Estadio de Bunimovich: descripción cuántica

Las imágenes muestran el llamado estadio de Bunimovich, un estadio caótico, del cual puedes leer más en esta entrada de Terence Tao. Acá también pongo una animación del estadio de Bunimovich clásico. A la derecha se muestra un llamado corral cuántico. Esta última imagen la puedes encontrar en la página del American Institute of Physics, así como leer más detalle en este artículo. En general creo que esta es un área de investigación muy activa recientemente y hay resultados interesantísimos por parte de muchos investigadores. Si ya eres estudiante de alguna carrera relacionada a la física, o tienes inclinación hacia ella, aquí hay una gran motivación para que te decidas de lleno. Por parte de México también me he encontrado con trabajos interesantísimos, como éste, en que se generalizan los estadios dos dimensionales clásicos. Sea del lado clásico o del cuántico, el estudio de sistemas dinámicos y por supuesto el caos, me parece sumamente atractivo.

El péndulo doble por formalismo de Lagrange

El péndulo doble es un problema que puede simularse fácilmente utilizando el formalismo de Lagrange o de Hamilton. En realidad la generalización a partir de aquí se sigue de forma muy sencilla, de modo que pueden formarse sistemas de muchos péndulos más. Además por supuesto, siempre puede hacerse más específico el problema para alguna situación dada.

Acá muestro el caso más sencillo en formalismo de Lagrange para el péndulo doble en un campo gravitacional constante, en el cual ambas masas son iguales y las longitudes de los trozos de cuerda que las unen con sus orígenes son iguales:


Se tienen dos grados de libertad, ya que cada partícula se ha restringido al plano ${\{x,y\}}$ y a mantener una longitud máxima $\ell$ con su respectivo origen. Así pues, a partir de la figura, se eligen por conveniencia, las coordenadas generalizadas generalizadas, ${\{\theta_1,\;\theta_2\}}$.

Sean $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ las posiciones de las masas ${m_1}$ y ${m_2}$, respectivamente (se sabe que ${m_1=m_2=m}$, por simplicidad, utilizo la notación sólo para distinguir una de otra), entonces
\begin{equation}\begin{array}{ll}x_1=\ell\sin\theta_1&\hspace{0.5in}x_2=\ell\sin\theta_2+x_1\\y_1=-\ell\cos\theta_1&\hspace{0.5in}y_2=-\ell\cos\theta_2+y_1\end{array}\end{equation} y de este modo, se tienen la energía cinética $T$ y la energía potencial $V$ del sistema,
\begin{align}T&\equiv\frac{1}{2}\sum_im_i\left(\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2\right)\nonumber\\&=\frac{1}{2}m\ell^2\left[2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]\\[0.25in]V&\equiv\sum_im_igy_i\nonumber\\&=-mg\ell(2\cos\theta_1+\cos\theta_2)\end{align} y por tanto, la Lagrangiana del sistema es
\begin{align}\mathcal{L}&\equiv{T}-V\nonumber\\&=\frac{1}{2}m\ell^2\left[2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]+mg\ell(2\cos\theta_1+\cos\theta_2)\end{align} de donde, ya que $\displaystyle{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{t}}=0}$, se conserva el Hamiltoniano $\mathcal{H}$ del sistema, esto es
\begin{align}\mathcal{H}&\equiv\sum_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\theta_i}\dot\theta_i-\mathcal{L}\nonumber\\[0.1in]&=m\ell^2\dot{\theta}_1\left[2\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]+ml^2\dot{\theta}_2\left[\dot{\theta}_2+\dot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)\right]-T+V\nonumber\\[0.1in]&=m\ell^2\left[2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]-T+V\nonumber\\[0.1in]&=T+V\end{align} es decir, la energía total del sistema, lo que se pudo haber deducido por simple inspección, ya que
\begin{equation}\frac{\partial(x_i,y_i)}{\partial{t}}=0,\hspace{0.25in}\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\theta}_1}=\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\theta}_2}=0\end{equation} además ésta es, aparentemente, la única constante que puede obtenerse, ya que ambas, $\displaystyle{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_1}},\;\displaystyle{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_2}}\neq{0}$, por esta razón entonces se recurre a obtener directamente las ecuaciones de movimiento por ecuaciones de Euler-Lagrange,
\begin{align}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}_i}=0\end{align} de donde se siguen las ecuaciones de movimiento
\begin{align}\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)+2\frac{g}{\ell}\sin\theta_1&=2\ddot{\theta}_1+\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)\nonumber\\&\\[0.1in]\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)+\frac{g}{\ell}\sin\theta_2&=\ddot{\theta}_2+\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+\dot{\theta}_1\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)\nonumber\\&\end{align} cuya solución puede encontrarse numéricamente con algún software como Mathematica.

Acá muestro comandos de solución en Mathematica para los valores arbitrarios
$$m=1,\,g=9.81,\;\ell=10,\;\theta_1(0)=\frac{\pi}{3},\;\theta_2(0)=0,\;\dot{\theta}_1(0)=\dot{\theta}_2(0)=-1,\;0\leq{t}\leq{100}$$

SetAttributes[{l, m, g}, Constant];

(*Define las posiciones de ambas masas*)
x1[t_] := l Sin[T1[t]]
y1[t_] := -l Cos[T1[t]]
x2[t_] := l Sin[T2[t]] + x1[t]
y2[t_] := -l Cos[T2[t]] + y1[t]

(*Define la lagrangiana del sistema*)
T = 1/2 m (x1'[t]^2 + x2'[t]^2 + y1'[t]^2 + y2'[t]^2);
V = m g (y1[t] + y2[t]);
L = T - V;

Needs["VariationalMethods`"]
(*Antes compruébese que las ecuaciones de movimiento son correctas*)

g = 9.81; l = 10; tmax = 100; m=1;

(*Resuelve numéricamente para valores arbitrarios*)
Sol = NDSolve[{EulerEquations[L, T1[t], t],
EulerEquations[L, T2[t], t], T1[0] == Pi/3,
T2[0] == 0, T1'[0] == T2'[0] == -1},
{T1[t], T2[t]}, {t, tmax}];

(*Grafica en el espacio [x,y]*)
GraphicsRow[{ParametricPlot[{x1[t], y1[t]} /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {"x1", "y1"}],
ParametricPlot[{x2[t], y2[t]} /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {"x2", "y2"}]}, ImageSize -> 1000]

(*Grafica en el espacio [T1,t], [T2,t]*)
GraphicsRow[{Plot[T1[t] /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {t, T1}],
Plot[T2[t] /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {t, T2}]}, ImageSize -> 1000]

(*Grafica el espacio de configuraciones*)
ParametricPlot[{T2[t], T1[t]} /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {T2, T1}, ImageSize -> 1000]

(*Observa la evolución del sistema en el plano [x,y]*)
Manipulate[
ParametricPlot[{{x1[t], y1[t]}, {x2[t], y2[t]}} /. {Sol}, {t, 0, 0 + a},
AxesLabel -> {"x", "y"}], {{a, 0.1, "Animación"}, 0, \[Infinity],
ControlType -> Trigger, PerformanceGoal -> "Quality"}]

Una de las salidas generadas en este caso, en el plano ${\{x,y\}}$ se ve así, para cada masa

El problema de n cuerpos

El problema de n-cuerpos, como la mayoría de grandes problemas tiene un enunciado por de más sencillo: encontrar las soluciones de la ecuación de movimiento de n partículas en interacción. En particular es de interés cuando la interacción es gravitación newtoniana (ley de la inversa del cuadrado).

La historia del problema de n=2 es ampliamente conocida y no por ello menos interesante, con Johannes Kepler e Isaac Newton de protagonistas. Pero luego naturalmente surge la pregunta para n=3 cuerpos y no parece complicarse mucho la situación. Pues para sorpresa del mismo Newton, que planteó primero el problema, éste fue de los únicos que logró causarle un fuerte dolor de cabeza. Por mucho tiempo se pensó que sería sólo un problema muy difícil y nada más, volviéndose una gran meta para los matemáticos (físicos). En 1885 se anunciaría una competición matemática en celebración del cumpleaños del rey de Suecia (algo que quizá sea imposible en la actualidad con cualquier líder mundial, ¿uno debería reír o llorar?) en la cual uno de los problemas era precisamente el de tres cuerpos. Un tiempo más tarde, Henri Poincaré ganaría el premio, aunque no resolviendo el problema completamente, y creyendo que había hecho un buen avance demostrando estabilidad en las órbitas del problema de tres cuerpos. Sin embargo Poincaré más tarde sería advertido de un error crucial que precisamente haría que su trabajo demostrara lo contrario, llevándolo a sentar las bases de la teoría del caos.

A los matemáticos y a los físicos les gusta generalizar y obtener resultados universales, de hecho, contrario a la creencia popular, un matemático o un físico teórico rara vez hace cálculos numéricos, e intenta siempre obtener resultados que valgan para cierto conjunto amplio de objetos. Una de las características del caos, es la imposibilidad de obtener resultados que sean válidos para cualquier condición inicial, que es precisamente lo que encontró Poincaré al estudiar el problema de tres cuerpos. Esto no significa que no podamos estudiarlo o resolverlo para ciertos casos particulares, que en cierta medida resultan ser excelentes aproximaciones a los que exhibe por ejemplo el sistema solar. Un caso particular de gran importancia es el problema de tres cuerpos restringido circular que considera tres masas dispuestas sobre un plano, con una  de las masas despreciable respecto a las otras dos, que se mueven en órbitas circulares. Esta situación aunque parece demasiado simplista, es muy buena aproximación por ejemplo para la interacción de un planeta, el Sol y un satélite, por las relaciones de las masas y por las excentricidades tan bajas de las órbitas respectivas. El problema está resuelto para las masas grandes y entonces se resume a determinar la solución para la masa despreciable. Este problema es de gran ayuda para explicar el posicionamiento de asteroides, u otros cuerpos celestes y para describir órbitas satelitales, con resultados como los llamados puntos de Lagrange o las regiones de Hill o de velocidad nula, etc...

En mecánica celeste se lidia con este tipo de problemas y se abordan de una forma mucho más profunda para analizar cada pequeño detalle que pueda influir en las soluciones cuando comienzan a considerarse más cuerpos en interacción. El estudio de estabilidad de órbitas, por ejemplo, es de crucial importancia en astrofísica.

Otro tipo de soluciones particulares de gran importancia son las soluciones periódicas, es decir que cada cierto tiempo regresen a la órbita original. Hace tiempo que se conocen soluciones de este tipo, aunque siempre se habían obtenido para el plano, hasta hace poco, con el trabajo de Cris Moore y Michael Nauenberg, que han encontrado soluciones periódicas en el espacio (llamadas coreografías) que son bastante impresionantes debido a las bellas simetrías espaciales que exhiben, y aunque tienen el pequeño defecto de ser inestables, resultan bastante interesantes desde un punto de vista matemático.

Para quien esté interesado en leer un poco más a detalle sobre este tema, comparto este trabajo que he realizado para una presentación (que resultó un poco desastrosa, ya que es bastante información para exponer en 20 minutos) que contiene el problema de dos cuerpos (problema de Kepler - ecuación de Kepler), el problema de tres cuerpos con el triángulo equilátero de Lagrange y el problema restringido circular de tres cuerpos y una brevísima mención de las soluciones periódicas en el espacio para n cuerpos: El problema de n cuerpos

Para la galería de Cris Moore de órbitas periódicas con simetría cúbica, visita: Galería de Cris Moore