El péndulo doble es un problema que puede simularse fácilmente utilizando el formalismo de Lagrange o de Hamilton. En realidad la generalización a partir de aquí se sigue de forma muy sencilla, de modo que pueden formarse sistemas de muchos péndulos más. Además por supuesto, siempre puede hacerse más específico el problema para alguna situación dada.
Acá muestro el caso más sencillo en formalismo de Lagrange para el péndulo doble en un campo gravitacional constante, en el cual ambas masas son iguales y las longitudes de los trozos de cuerda que las unen con sus orígenes son iguales:
Se tienen dos grados de libertad, ya que cada partícula se ha restringido al plano ${\{x,y\}}$ y a mantener una longitud máxima $\ell$ con su respectivo origen. Así pues, a partir de la figura, se eligen por conveniencia, las coordenadas generalizadas generalizadas, ${\{\theta_1,\;\theta_2\}}$.
Sean $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ las posiciones de las masas ${m_1}$ y ${m_2}$, respectivamente (se sabe que ${m_1=m_2=m}$, por simplicidad, utilizo la notación sólo para distinguir una de otra), entonces
\begin{equation}\begin{array}{ll}x_1=\ell\sin\theta_1&\hspace{0.5in}x_2=\ell\sin\theta_2+x_1\\y_1=-\ell\cos\theta_1&\hspace{0.5in}y_2=-\ell\cos\theta_2+y_1\end{array}\end{equation} y de este modo, se tienen la energía cinética $T$ y la energía potencial $V$ del sistema,
\begin{align}T&\equiv\frac{1}{2}\sum_im_i\left(\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2\right)\nonumber\\&=\frac{1}{2}m\ell^2\left[2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]\\[0.25in]V&\equiv\sum_im_igy_i\nonumber\\&=-mg\ell(2\cos\theta_1+\cos\theta_2)\end{align} y por tanto, la Lagrangiana del sistema es
\begin{align}\mathcal{L}&\equiv{T}-V\nonumber\\&=\frac{1}{2}m\ell^2\left[2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]+mg\ell(2\cos\theta_1+\cos\theta_2)\end{align} de donde, ya que $\displaystyle{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{t}}=0}$, se conserva el Hamiltoniano $\mathcal{H}$ del sistema, esto es
\begin{align}\mathcal{H}&\equiv\sum_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\theta_i}\dot\theta_i-\mathcal{L}\nonumber\\[0.1in]&=m\ell^2\dot{\theta}_1\left[2\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]+ml^2\dot{\theta}_2\left[\dot{\theta}_2+\dot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)\right]-T+V\nonumber\\[0.1in]&=m\ell^2\left[2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]-T+V\nonumber\\[0.1in]&=T+V\end{align} es decir, la energía total del sistema, lo que se pudo haber deducido por simple inspección, ya que
\begin{equation}\frac{\partial(x_i,y_i)}{\partial{t}}=0,\hspace{0.25in}\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\theta}_1}=\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\theta}_2}=0\end{equation} además ésta es, aparentemente, la única constante que puede obtenerse, ya que ambas, $\displaystyle{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_1}},\;\displaystyle{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_2}}\neq{0}$, por esta razón entonces se recurre a obtener directamente las ecuaciones de movimiento por ecuaciones de Euler-Lagrange,
\begin{align}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}_i}=0\end{align} de donde se siguen las ecuaciones de movimiento
\begin{align}\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)+2\frac{g}{\ell}\sin\theta_1&=2\ddot{\theta}_1+\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)\nonumber\\&\\[0.1in]\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)+\frac{g}{\ell}\sin\theta_2&=\ddot{\theta}_2+\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+\dot{\theta}_1\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)\nonumber\\&\end{align} cuya solución puede encontrarse numéricamente con algún software como Mathematica.
Acá muestro comandos de solución en Mathematica para los valores arbitrarios
$$m=1,\,g=9.81,\;\ell=10,\;\theta_1(0)=\frac{\pi}{3},\;\theta_2(0)=0,\;\dot{\theta}_1(0)=\dot{\theta}_2(0)=-1,\;0\leq{t}\leq{100}$$
Una de las salidas generadas en este caso, en el plano ${\{x,y\}}$ se ve así, para cada masa
Acá muestro el caso más sencillo en formalismo de Lagrange para el péndulo doble en un campo gravitacional constante, en el cual ambas masas son iguales y las longitudes de los trozos de cuerda que las unen con sus orígenes son iguales:
Se tienen dos grados de libertad, ya que cada partícula se ha restringido al plano ${\{x,y\}}$ y a mantener una longitud máxima $\ell$ con su respectivo origen. Así pues, a partir de la figura, se eligen por conveniencia, las coordenadas generalizadas generalizadas, ${\{\theta_1,\;\theta_2\}}$.
Sean $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ las posiciones de las masas ${m_1}$ y ${m_2}$, respectivamente (se sabe que ${m_1=m_2=m}$, por simplicidad, utilizo la notación sólo para distinguir una de otra), entonces
\begin{equation}\begin{array}{ll}x_1=\ell\sin\theta_1&\hspace{0.5in}x_2=\ell\sin\theta_2+x_1\\y_1=-\ell\cos\theta_1&\hspace{0.5in}y_2=-\ell\cos\theta_2+y_1\end{array}\end{equation} y de este modo, se tienen la energía cinética $T$ y la energía potencial $V$ del sistema,
\begin{align}T&\equiv\frac{1}{2}\sum_im_i\left(\dot{x}_i^2+\dot{y}_i^2\right)\nonumber\\&=\frac{1}{2}m\ell^2\left[2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]\\[0.25in]V&\equiv\sum_im_igy_i\nonumber\\&=-mg\ell(2\cos\theta_1+\cos\theta_2)\end{align} y por tanto, la Lagrangiana del sistema es
\begin{align}\mathcal{L}&\equiv{T}-V\nonumber\\&=\frac{1}{2}m\ell^2\left[2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]+mg\ell(2\cos\theta_1+\cos\theta_2)\end{align} de donde, ya que $\displaystyle{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{t}}=0}$, se conserva el Hamiltoniano $\mathcal{H}$ del sistema, esto es
\begin{align}\mathcal{H}&\equiv\sum_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\theta_i}\dot\theta_i-\mathcal{L}\nonumber\\[0.1in]&=m\ell^2\dot{\theta}_1\left[2\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]+ml^2\dot{\theta}_2\left[\dot{\theta}_2+\dot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)\right]-T+V\nonumber\\[0.1in]&=m\ell^2\left[2\dot{\theta}_1^2+\dot{\theta}_2^2+2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]-T+V\nonumber\\[0.1in]&=T+V\end{align} es decir, la energía total del sistema, lo que se pudo haber deducido por simple inspección, ya que
\begin{equation}\frac{\partial(x_i,y_i)}{\partial{t}}=0,\hspace{0.25in}\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\theta}_1}=\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\theta}_2}=0\end{equation} además ésta es, aparentemente, la única constante que puede obtenerse, ya que ambas, $\displaystyle{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_1}},\;\displaystyle{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_2}}\neq{0}$, por esta razón entonces se recurre a obtener directamente las ecuaciones de movimiento por ecuaciones de Euler-Lagrange,
\begin{align}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}_i}=0\end{align} de donde se siguen las ecuaciones de movimiento
\begin{align}\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)+2\frac{g}{\ell}\sin\theta_1&=2\ddot{\theta}_1+\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)\nonumber\\&\\[0.1in]\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)+\frac{g}{\ell}\sin\theta_2&=\ddot{\theta}_2+\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+\dot{\theta}_1\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)\nonumber\\&\end{align} cuya solución puede encontrarse numéricamente con algún software como Mathematica.
Acá muestro comandos de solución en Mathematica para los valores arbitrarios
$$m=1,\,g=9.81,\;\ell=10,\;\theta_1(0)=\frac{\pi}{3},\;\theta_2(0)=0,\;\dot{\theta}_1(0)=\dot{\theta}_2(0)=-1,\;0\leq{t}\leq{100}$$
SetAttributes[{l, m, g}, Constant];
(*Define las posiciones de ambas masas*)
x1[t_] := l Sin[T1[t]]
y1[t_] := -l Cos[T1[t]]
x2[t_] := l Sin[T2[t]] + x1[t]
y2[t_] := -l Cos[T2[t]] + y1[t]
(*Define la lagrangiana del sistema*)
T = 1/2 m (x1'[t]^2 + x2'[t]^2 + y1'[t]^2 + y2'[t]^2);
V = m g (y1[t] + y2[t]);
L = T - V;
Needs["VariationalMethods`"]
(*Antes compruébese que las ecuaciones de movimiento son correctas*)
g = 9.81; l = 10; tmax = 100; m=1;
(*Resuelve numéricamente para valores arbitrarios*)
Sol = NDSolve[{EulerEquations[L, T1[t], t],
EulerEquations[L, T2[t], t], T1[0] == Pi/3,
T2[0] == 0, T1'[0] == T2'[0] == -1},
{T1[t], T2[t]}, {t, tmax}];
(*Grafica en el espacio [x,y]*)
GraphicsRow[{ParametricPlot[{x1[t], y1[t]} /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {"x1", "y1"}],
ParametricPlot[{x2[t], y2[t]} /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {"x2", "y2"}]}, ImageSize -> 1000]
(*Grafica en el espacio [T1,t], [T2,t]*)
GraphicsRow[{Plot[T1[t] /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {t, T1}],
Plot[T2[t] /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {t, T2}]}, ImageSize -> 1000]
(*Grafica el espacio de configuraciones*)
ParametricPlot[{T2[t], T1[t]} /. {Sol}, {t, 0, tmax},
AxesLabel -> {T2, T1}, ImageSize -> 1000]
(*Observa la evolución del sistema en el plano [x,y]*)
Manipulate[
ParametricPlot[{{x1[t], y1[t]}, {x2[t], y2[t]}} /. {Sol}, {t, 0, 0 + a},
AxesLabel -> {"x", "y"}], {{a, 0.1, "Animación"}, 0, \[Infinity],
ControlType -> Trigger, PerformanceGoal -> "Quality"}]
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