Péndulo con soporte en una parábola oscilante

Este es un problema bastante divertido, cuya solución es análoga a la del péndulo doble. El punto de suspensión de masa $M$ de un péndulo simple de longitud $\ell$ y masa $m$ está restringido a moverse sobre una parábola oscilante dada por \begin{equation}y=\alpha{x}^2+\sin\omega{t}\end{equation} en el plano vertical.

Lo que se quiere es

1. Obtener el Lagrangiano y el Hamiltoniano del sistema.
2. Obtener las ecuaciones de movimiento de Lagrange y de Hamilton.
3. Resolver las ecuaciones de movimiento y visualizar las soluciones.

Para la descripción Lagrangiana se tiene

• Posición del soporte: $\vec{R}=\begin{cases}X=X(t)\\Y=\alpha{X}^2+\sin\omega{t}\end{cases}$
• Posición de la masa del péndulo: $\vec{r}=\begin{cases}x=X+\ell\sin\theta\\y=Y-\ell\cos\theta\end{cases}$
• Elección de coordenadas generalizadas: $\{q_1,q_2\}=\{X(t),\theta(t)\}$
• Energía Cinética: $T=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+\frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)=T\left(X,\dot{X},\theta,\dot{\theta},t\right)$
• Energía Potencial: $V=g\left(my+MY\right)=V\left(X,\theta,t\right)$
• Lagrangiana: $\mathcal{L}\equiv{T-V}=\mathcal{L}\left(X,\dot{X},\theta,\dot{\theta},t\right)$

Para pasar a la descripción Hamiltoniana

• Las fuerzas en el sistema pueden derivarse de $V$
• $\mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\vec{q},\dot{\vec{q}},t\right)\,\Longrightarrow$ No hay coordenadas cíclicas $\Longrightarrow$ No se conserva cantidad alguna
• $\frac{\partial\vec{R}}{\partial{t}}\neq\vec{0},\,\frac{\partial\vec{r}}{\partial{t}}\neq\vec{0}\;\Longrightarrow\,\mathcal{H}\neq{T+V}=E$
• $\frac{\partial{E}}{\partial{t}}\neq{0}\,\Longrightarrow\,E=E(t)$
• Se puede obtener el Hamiltoniano directamente de la definición por transformada de Legendre:
  \begin{align}\mathcal{H}&\equiv\sum_ip_i\dot{q}_i-\mathcal{L}\nonumber\\
  &=p_{_X}\dot{X}+p_{_\theta}\dot{\theta}-\mathcal{L}\left(X,\dot{X},\theta,\dot{\theta},t\right)\end{align} donde
  \begin{equation}p_{_j}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_{_j}}\;\Longrightarrow\;\dot{q}_{_j}=\dot{q}_{_j}(q_{_j},p_{_j},t)\;\Longrightarrow\;\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(X,p_{_X},\theta,p_{_\theta},t\right)\end{equation}
• O se puede obtener de la forma
  \begin{equation}\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\vec{p}-\vec{b}\right)^\mathrm{T}\mathbb{M}^{-1}\left(\vec{p}-\vec{b}\right)
  -\mathcal{L}_0\end{equation}

Para lograr el punto 3., preferí utilizar Mathematica

Mi archivo en Mathematica se ve como sigue (da clic derecho + Ver Imagen para ver el tamaño completo):