Hace unos días presenté junto con una compañera este tema, al que sólo agregaría en el título, "en el Sistema Solar", ya que expusimos en específico el caso del cinturón de asteroides y de los anillos de Saturno. El tema es de lo más divertido; es como si uno adquiriese algo así como un elemento de entendimiento riquísimo acerca de la belleza del Sistema Solar, y en general, del universo.
Acá dejo pues, la presentación: Toros Invariantes KAM y Huecos Resonantes.
** Actualización: En mayo de 2014 presentamos este tema en el Seminario de Alumnos de la UAM-I; tiene casi el doble de diapositivas aunque éstas son más conceptuales y mucho más visuales: Toros Invariantes KAM y Huecos Resonantes en el Sistema Solar (Seminario)
Aunque para entender propiamente el tema se requiere conocer la teoría de Hamilton-Jacobi y por supuesto el Teorema KAM, ambas presentaciones son más bien cualitativas; a lo mucho se muestran las variables acción y de ahí las frecuencias para el problema de tres cuerpos restringido circular. En Mathematica ilustramos, con ayuda de Wolfram Demonstrations, los puntos de Lagrange y un mapeo desarrollado por Jan Frøyland para los anillos de Saturno.
Para los puntos de Lagrange, se considera el potencial efectivo para el problema de tres cuerpos restringido circular
\begin{equation}\Omega\equiv\frac{1}{2}(x^2+y^2)+\frac{1-\mu}{r_1}+\frac{\mu}{r_2}\end{equation} y de ahí se encuentran las raíces para la fuerza. En este documento que escribí hace un tiempo puedes encontrar más detalles: El problema de $n$-cuerpos en la entrada del mismo nombre.
Para el modelo de Frøyland, se describe la distribución de partículas entre los radios ${r_0\approx185.5\times10^3\,\mathrm{km}}$ (distancia del centro de Saturno a Mimas, el satélite perturbativo) y ${r_s\approx60.5\times10^3\,\mathrm{km}}$ (radio de la superficie de Saturno). De la tercera ley de Kepler, se sabe que una partícula de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor de Saturno tendrá un periodo $\tau$ tal que ${\tau^2=\frac{4\pi^2}{Gm}r^3}$. Como radio de referencia se considera ${r_0}$, de modo que cada vez que Mimas completa una órbita alrededor de Saturno, su posición angular cambia en ${2\pi}$, mientras que para una partícula en ${r_0<{r}_n<{r}}$ tras la $n$-ésima órbita, con periodo ${\tau_n}$, su posición angular $\theta_n$ variará ligeramente de la de Mimas. Frøyland entonces describe el ángulo ${\theta_{n+1}}$ módulo ${2\pi}$ para la ${(n+1)}$-órbita vía \begin{equation}\theta_{n+1}=\theta_n+2\pi\left(\frac{\tau_0}{\tau_n}\right)=\theta_n+2\pi\left(\frac{r_0}{r_n}\right)^{3/2}\end{equation} Ésta es la mitad del mapeo, pues la posición radial también debería cambiar debido al efecto perturbativo de Mimas. Frøyland considera la solución de la ecuación ${\ddot{r}=\mc{F}_n}$ con $\mc{F}_n$ fuerza radial por unidad de masa (segunda ley de Newton) por diferencias finitas, promediando la aceleración en un periodo completo de Mimas (${\Delta{t}=\tau_0}$)
\begin{equation}\mc{F}_n=\frac{r_{n+1}-2r_n+r_{n-1}}{\tau_0^2}\end{equation} también, por método de Euler, ${\mc{F}_n(r_n,\theta_n)=f_n(r_n,\theta_n)/\tau_0^2}$, de donde propone
\begin{equation}f_n=-A\frac{\cos\theta_n}{(r_0-r_n)^2}\end{equation} con $A$ una constante positiva. Presuntamente la forma de ${f_n}$ es mucho más complicada si se consideran los efectos de otras lunas además de Mimas, por ello se permite un rango bastante amplio para $A$. De aquí se sigue finalmente que
\begin{equation}r_{n+1}=2r_n-r_{n-1}-A\frac{\cos\theta_n}{(r_0-r_n)^2}\end{equation} Nos hemos enterado primero de este trabajo en Orden y caos en sistemas complejos, que desafortunadamente no obtiene el mapa de Frøyland, sino que únicamente lo presenta. No he logrado encontrar el trabajo original de Frøyland, ni trabajos posteriores al respecto, e. g. de Gould y Tobochnik, sin embargo la referencia en donde encontré básicamente el razonamiento (un tanto de handwaving, como se dice en inglés) que aquí muestro es It's a nonlinear world de Richard Enns, que me parece suficiente para saber cómo funciona la cosa, a menos que uno decida aventarse un clavado más profundo en el tema.
El mapeo de Frøyland puede visualizarse como sigue en Mathematica.
Acá dejo pues, la presentación: Toros Invariantes KAM y Huecos Resonantes.
** Actualización: En mayo de 2014 presentamos este tema en el Seminario de Alumnos de la UAM-I; tiene casi el doble de diapositivas aunque éstas son más conceptuales y mucho más visuales: Toros Invariantes KAM y Huecos Resonantes en el Sistema Solar (Seminario)
Aunque para entender propiamente el tema se requiere conocer la teoría de Hamilton-Jacobi y por supuesto el Teorema KAM, ambas presentaciones son más bien cualitativas; a lo mucho se muestran las variables acción y de ahí las frecuencias para el problema de tres cuerpos restringido circular. En Mathematica ilustramos, con ayuda de Wolfram Demonstrations, los puntos de Lagrange y un mapeo desarrollado por Jan Frøyland para los anillos de Saturno.
Para los puntos de Lagrange, se considera el potencial efectivo para el problema de tres cuerpos restringido circular
\begin{equation}\Omega\equiv\frac{1}{2}(x^2+y^2)+\frac{1-\mu}{r_1}+\frac{\mu}{r_2}\end{equation} y de ahí se encuentran las raíces para la fuerza. En este documento que escribí hace un tiempo puedes encontrar más detalles: El problema de $n$-cuerpos en la entrada del mismo nombre.
(*** DEFINICION DEL POTENCIAL EFECTIVO ***)
V[x_,y_,M_]:=1/2 (x^2+y^2)+(1-M)/Sqrt[(x+M)^2+y^2]+M/Sqrt[(x+M-1)^2+y^2]
M=1/12;
(*** ENCUENTRA PUNTOS DE LAGRANGE Y GRAFICA CON EL MAPA DE CONTORNO DE V ***)
Module[{sols, deriv, L1, L2, L3, L4, L5},
deriv = D[V[x, 0,M], x];
L1 = FindRoot[deriv == 0, {x, 0}];
L2 = FindRoot[deriv == 0, {x, 1.5}];
L3 = FindRoot[deriv == 0, {x, -1}];
L4 = FindRoot[{D[V[x,y,M] ,x]== 0, D[V[x,y,M],y] == 0}, {{x, 0}, {y, 1}}];
L5 = FindRoot[{D[V[x,y,M],x] == 0, D[V[x,y,M],y] == 0}, {{x, 0}, {y, -1}}];
sols = {{x /. L1, 0,V[x /.L1, 0,M]},
{x /. L2, 0, V[x /.L2, 0,M]},
{x /. L3, 0, V[x /.L3, 0,M]},
{x /. L4, y /.L4,V[x /.L4, y /.L4,M]},
{x /.L5, y /.L5, V[x /.L5, y /.L5,M]}};
ContourPlot[
V[x, y,M], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, MaxRecursion -> Automatic,
Frame -> False, PerformanceGoal->"Quality", ImageSize->500,
ContourShading->None, ContourStyle->Black, Contours->20,
Epilog -> {PointSize[.025], Red, Point[Most[#] & /@ sols]}]]
\begin{equation}\mc{F}_n=\frac{r_{n+1}-2r_n+r_{n-1}}{\tau_0^2}\end{equation} también, por método de Euler, ${\mc{F}_n(r_n,\theta_n)=f_n(r_n,\theta_n)/\tau_0^2}$, de donde propone
\begin{equation}f_n=-A\frac{\cos\theta_n}{(r_0-r_n)^2}\end{equation} con $A$ una constante positiva. Presuntamente la forma de ${f_n}$ es mucho más complicada si se consideran los efectos de otras lunas además de Mimas, por ello se permite un rango bastante amplio para $A$. De aquí se sigue finalmente que
\begin{equation}r_{n+1}=2r_n-r_{n-1}-A\frac{\cos\theta_n}{(r_0-r_n)^2}\end{equation} Nos hemos enterado primero de este trabajo en Orden y caos en sistemas complejos, que desafortunadamente no obtiene el mapa de Frøyland, sino que únicamente lo presenta. No he logrado encontrar el trabajo original de Frøyland, ni trabajos posteriores al respecto, e. g. de Gould y Tobochnik, sin embargo la referencia en donde encontré básicamente el razonamiento (un tanto de handwaving, como se dice en inglés) que aquí muestro es It's a nonlinear world de Richard Enns, que me parece suficiente para saber cómo funciona la cosa, a menos que uno decida aventarse un clavado más profundo en el tema.
El mapeo de Frøyland puede visualizarse como sigue en Mathematica.
(*** NUMERO DE ITERACIONES Y VALOR ARBITRARIO DE LA CONSTANTE A ***)
nit=4000;
A=180;
(* MAPEO EN COORDENADAS POLARES. j->Condiciones iniciales *)
Quiet[With[{Puntos=Map[#1[[1]] {Cos[#1[[2]]],Sin[#1[[2]]]}&,
Table[
RecurrenceTable[
{r[n+1]==2 r[n]-r[n-1]-(A Cos[T[n]])/(r[n]-185.7)^2,
T[n+1]==T[n]+2Pi (185.7/r[n])^(3/2),
r[0]==66+3 j, r[1]==r[0], T[0]==0}, {r,T}, {n,1,nit}],
{j,40}],
{2}]},
(* DIBUJA LOS PUNTOS DEL MAPEO *)
ListPlot[Puntos, AspectRatio->1, Axes->False,
PlotStyle->{PointSize[.001]}, PlotRange->180{{-1,1},{-1,1}},
ImageSize->500 ,
(* PLANETA *)
Epilog->{RGBColor[0,0,0], Disk[{0,0},60]}]]]
Otro tipo de soluciones particulares de gran importancia son las soluciones periódicas, es decir que cada cierto tiempo regresen a la órbita original. Hace tiempo que se conocen soluciones de este tipo, aunque siempre se habían obtenido para el plano, hasta hace poco, con el trabajo de Cris Moore y Michael Nauenberg, que han encontrado soluciones periódicas en el espacio (llamadas coreografías) que son bastante impresionantes debido a las bellas simetrías espaciales que exhiben, y aunque tienen el pequeño defecto de ser inestables, resultan bastante interesantes desde un punto de vista matemático.