El problema de n cuerpos

El problema de n-cuerpos, como la mayoría de grandes problemas tiene un enunciado por de más sencillo: encontrar las soluciones de la ecuación de movimiento de n partículas en interacción. En particular es de interés cuando la interacción es gravitación newtoniana (ley de la inversa del cuadrado).

La historia del problema de n=2 es ampliamente conocida y no por ello menos interesante, con Johannes Kepler e Isaac Newton de protagonistas. Pero luego naturalmente surge la pregunta para n=3 cuerpos y no parece complicarse mucho la situación. Pues para sorpresa del mismo Newton, que planteó primero el problema, éste fue de los únicos que logró causarle un fuerte dolor de cabeza. Por mucho tiempo se pensó que sería sólo un problema muy difícil y nada más, volviéndose una gran meta para los matemáticos (físicos). En 1885 se anunciaría una competición matemática en celebración del cumpleaños del rey de Suecia (algo que quizá sea imposible en la actualidad con cualquier líder mundial, ¿uno debería reír o llorar?) en la cual uno de los problemas era precisamente el de tres cuerpos. Un tiempo más tarde, Henri Poincaré ganaría el premio, aunque no resolviendo el problema completamente, y creyendo que había hecho un buen avance demostrando estabilidad en las órbitas del problema de tres cuerpos. Sin embargo Poincaré más tarde sería advertido de un error crucial que precisamente haría que su trabajo demostrara lo contrario, llevándolo a sentar las bases de la teoría del caos.

A los matemáticos y a los físicos les gusta generalizar y obtener resultados universales, de hecho, contrario a la creencia popular, un matemático o un físico teórico rara vez hace cálculos numéricos, e intenta siempre obtener resultados que valgan para cierto conjunto amplio de objetos. Una de las características del caos, es la imposibilidad de obtener resultados que sean válidos para cualquier condición inicial, que es precisamente lo que encontró Poincaré al estudiar el problema de tres cuerpos. Esto no significa que no podamos estudiarlo o resolverlo para ciertos casos particulares, que en cierta medida resultan ser excelentes aproximaciones a los que exhibe por ejemplo el sistema solar. Un caso particular de gran importancia es el problema de tres cuerpos restringido circular que considera tres masas dispuestas sobre un plano, con una  de las masas despreciable respecto a las otras dos, que se mueven en órbitas circulares. Esta situación aunque parece demasiado simplista, es muy buena aproximación por ejemplo para la interacción de un planeta, el Sol y un satélite, por las relaciones de las masas y por las excentricidades tan bajas de las órbitas respectivas. El problema está resuelto para las masas grandes y entonces se resume a determinar la solución para la masa despreciable. Este problema es de gran ayuda para explicar el posicionamiento de asteroides, u otros cuerpos celestes y para describir órbitas satelitales, con resultados como los llamados puntos de Lagrange o las regiones de Hill o de velocidad nula, etc...

En mecánica celeste se lidia con este tipo de problemas y se abordan de una forma mucho más profunda para analizar cada pequeño detalle que pueda influir en las soluciones cuando comienzan a considerarse más cuerpos en interacción. El estudio de estabilidad de órbitas, por ejemplo, es de crucial importancia en astrofísica.

Otro tipo de soluciones particulares de gran importancia son las soluciones periódicas, es decir que cada cierto tiempo regresen a la órbita original. Hace tiempo que se conocen soluciones de este tipo, aunque siempre se habían obtenido para el plano, hasta hace poco, con el trabajo de Cris Moore y Michael Nauenberg, que han encontrado soluciones periódicas en el espacio (llamadas coreografías) que son bastante impresionantes debido a las bellas simetrías espaciales que exhiben, y aunque tienen el pequeño defecto de ser inestables, resultan bastante interesantes desde un punto de vista matemático.

Para quien esté interesado en leer un poco más a detalle sobre este tema, comparto este trabajo que he realizado para una presentación (que resultó un poco desastrosa, ya que es bastante información para exponer en 20 minutos) que contiene el problema de dos cuerpos (problema de Kepler - ecuación de Kepler), el problema de tres cuerpos con el triángulo equilátero de Lagrange y el problema restringido circular de tres cuerpos y una brevísima mención de las soluciones periódicas en el espacio para n cuerpos: El problema de n cuerpos

Para la galería de Cris Moore de órbitas periódicas con simetría cúbica, visita: Galería de Cris Moore