Desnaturalización del DNA por el método de la matriz estocástica

La desnaturalización del DNA es el proceso en que la doble hélice (estructura secundaria) se abre y separa las dos hebras (estructura primaria) que la constituyen. El proceso de desnaturalización del DNA implica gasto de energía; en la naturaleza las enzimas (proteínas) realizan esta tarea para permitir los procesos de replicación y transcripción. La predicción de los parámetros termodinámicos para la desnaturalización del DNA es de interés diverso, y aunque no existe un acuerdo generalizado sobre el valor numérico de la energía libre necesaria para lograrlo [1], es posible predecir fácilmente la temperatura de desnaturalización del DNA.

El trabajo "Theoretical predictions of the melting temperature for DNA using the stochastic matrix method" de L. Dagdug  y E. Vázquez-Contreras, que ha motivado esta entrada, muestra un modelo teórico que permite calcular temperaturas de desnaturalización del DNA sin necesidad de parámetros ajustables. Ulteriores avances en el tema (la publicación citada data del 2001), que extienden el método de la matriz estocástica aquí discutido, han sido realizados por Dagdug. En esta entrada doy por hecho algunos conceptos y nociones, por lo que exhorto al lector a consultar el trabajo citado para mayor detalle.

Primeramente hay que pensar en términos de probabilidades para describir las configuraciones posibles de los pares de bases nitrogenadas. La idea básica es describir estas configuraciones mediante una matriz estocástica o de Markov $\mathcal{M}$, cuyas componentes representan la probabilidad de que ocurra un evento dado (por ejemplo que un par cerrado se abra), y que actúa sobre un vector columna ${\mathbf{v}_i}$, cuyas componentes representan la probabilidad de tener precisamente tal evento (un par abierto o uno cerrado) en la i-ésima transición.

Una matriz estocástica, por su naturaleza probabilística, está normalizada por columnas, lo que implica, por el teorema de Perron-Frobenius que al menos un eigenvalor es igual a uno, mientras la parte real de los restantes será menor a uno, y así, que existe el correspondiente eigenvector $\mathbf{e}$ tal que ${\mathcal{M}\mathbf{e=e}}$, que además sabemos, la suma de sus componentes debe ser igual a uno. Para describir la matriz de Markov de configuraciones se emplea el modelo NN (nearest neighbour o vecino más cercano), que considera en principio las interacciones entre pares de bases adyacentes en lugar de las interacciones entre las bases (enlaces H); por ejemplo en los pares de bases ${AC/TG}$, que significa ${5^\prime-AC-3^\prime}$ emparejado con ${3^\prime-TG-5^\prime}$. Dagdug y Vázquez-Contreras emplean la notación ${\uparrow\begin{array}{c}A\cdot{T}\\C\cdot{G}\end{array}\downarrow}$ donde los $\cdot$ representan enlaces H (parejas cerradas).

Considérese uno de los casos más sencillos, únicamente para pares NN del tipo ${GG/CC}$, entonces se tendrá la matriz de configuraciones
$$\begin{pmatrix}\uparrow\begin{array}{c}G\cdot{C}\\G\cdot{C}\end{array}\downarrow&\uparrow\begin{array}{c}G\cdot{C}\\G\;\;\;C\end{array}\downarrow\\\uparrow\begin{array}{c}G\cdot{C}\\G\;\;\;C\end{array}\downarrow&\uparrow\begin{array}{c}G\;\;\;C\\G\;\;\;C\end{array}\downarrow\end{pmatrix}$$ aún hay que normalizar dicha matriz; para ello, antes descríbanse explícitamente las componentes en términos del factor de Boltzmann (probabilidad de un estado de una energía dada respecto a uno de energía nula) para la energía disponible en cada caso (energía libre de Gibbs),
$$\begin{pmatrix}e^{-\frac{\Delta{G}}{kT}}&e^{-\frac{\Delta{G}-\Delta{G}_h}{kT}}\\e^{-\frac{\Delta{G}-\Delta{G}_h}{kT}}&e^{-\frac{\Delta{G}-2\Delta{G}_h}{kT}}\end{pmatrix}$$ donde $\Delta{G}$ es la energía libre para el dímero completo y ${\Delta{G}_h}$ es la energía libre para el enlace H entre las bases ${G,\;C}$. Para simplificar notación, sean $\displaystyle{\phi=e^{-\frac{\Delta{G}}{kT}}}$, $\displaystyle{\psi=e^{\frac{\Delta{G}_h}{kT}}}$, entonces la cadena de Markov $\mathcal{M}$ es
$$\mathcal{M}=\begin{pmatrix}\frac{\phi}{\phi+\phi\psi}&\frac{\phi\psi}{\phi\psi+\phi\psi^2}\\\frac{\phi\psi}{\phi+\phi\psi}&\frac{\phi\psi^2}{\phi\psi+\phi\psi^2}\end{pmatrix}$$ es decir, se tiene finalmente el sistema
$$\begin{pmatrix}\frac{1}{1+\psi}&\frac{1}{1+\psi}\\\frac{\psi}{1+\psi}&\frac{\psi}{1+\psi}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\[0.25in]\zeta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha\\[0.25in]\zeta\end{pmatrix}$$ donde $\alpha$ es la probabilidad de tener parejas abiertas y $\zeta$ la probabilidad de tener parejas cerradas, y de donde además se tiene la restricción
$$\alpha+\zeta=1$$ y así, resolviendo se concluye que
$$\alpha=\frac{1}{1+\psi},\hspace{0.25in}\zeta=\frac{\psi}{1+\psi}$$

y es evidente que la temperatura de desnaturalización ${T_d}$ es aquella que satisface ${\alpha=\zeta}$, i.e. ${\psi=1}$, o bien
$$e^{-\frac{\Delta{G}_h}{kT_d}}=1$$ de aquí es claro que ${\Delta{G}_h=0}$; ahora bien, recuérdese que ${\Delta{G}_h=\Delta{H}_h-T\Delta{S}_h}$ para la entalpía H y la entropía S correspondientes, entonces
$$T_d=\frac{\Delta{H}_h}{\Delta{S}_h}$$ es de resaltar (como lo hacen Dagdug y Vázquez-Contreras), que ${T_d}$ depende únicamente de los enlaces H y  no del apilamiento, como haría suponer en un principio el empleo del método NN. El cálculo numérico muestra la concordancia de esta teoría con los experimentos.

El que se ilustra es uno de los casos más sencillos y muestra a grandes rasgos el trabajo desarrollado por los físicos mexicanos. El interesado puede consultar algunos de los resultados más recientes obtenidos por estos.

[1] García-Colín L. et al., "Introducción a la física biológica". Capítulo 3 "El DNA - 6: Termodinámica local del DNA" de Pedro Miramontes y Arturo Becerra. El Colegio Nacional, 2010.