Al elevar un número irracional a una potencia irracional, ¿el número obtenido es también irracional?
Bueno, esto es más sencillo de responder de lo que parece; me he encontrado con ello y ahora lo comparto:
Supongamos que la respuesta es que sí, que tal número será irracional, entonces el número $\displaystyle{k=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}$ es irracional, lo que quiere decir que $\displaystyle{h=k^{\sqrt{2}}}$ también debería ser irracional, sin embargo $\displaystyle{h=k^{\sqrt{2}}=\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2}$ es de hecho un número racional.
Bueno, aquí se ha demostrado que existe algún número ${c=a^b}$ con ${a,\,b}$ irracionales, tal que c es racional, sin embargo dejamos abierta la suposición de que $\displaystyle{k=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}$ es irracional.
Una parte del séptimo problema de Hilbert hace la pregunta:
Gelfond y Schneider respondieron esta pregunta al probar que ${a^b}$ siempre será un número trascendental. $\sqrt{2}$ además de irracional es algebraico, ya que es una solución de la ecuación ${x^2-2=0}$. Con esto dicho, nuestro número k es trascendental, y todo número real trascendental es irracional.
Véase que lo anterior no se cumple para nuestro número h, pues k no es algebraico.
Considera también los buenos números $\displaystyle{\sqrt{10}^{\log_{10}{(4)}}=2}$, que es racional, o la llamada constante de Gelfond $\displaystyle{\mathrm{e}^\pi=(-1)^{-i}}$, que es trascendental.
Bueno, esto es más sencillo de responder de lo que parece; me he encontrado con ello y ahora lo comparto:
Supongamos que la respuesta es que sí, que tal número será irracional, entonces el número $\displaystyle{k=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}$ es irracional, lo que quiere decir que $\displaystyle{h=k^{\sqrt{2}}}$ también debería ser irracional, sin embargo $\displaystyle{h=k^{\sqrt{2}}=\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2}$ es de hecho un número racional.
Bueno, aquí se ha demostrado que existe algún número ${c=a^b}$ con ${a,\,b}$ irracionales, tal que c es racional, sin embargo dejamos abierta la suposición de que $\displaystyle{k=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}$ es irracional.
Una parte del séptimo problema de Hilbert hace la pregunta:
Si ${a,\,b}$ son algebraicos, con ${a\neq{0,1}}$ y b irracional, ¿${a^b}$ es siempre trascendental?
Gelfond y Schneider respondieron esta pregunta al probar que ${a^b}$ siempre será un número trascendental. $\sqrt{2}$ además de irracional es algebraico, ya que es una solución de la ecuación ${x^2-2=0}$. Con esto dicho, nuestro número k es trascendental, y todo número real trascendental es irracional.
Véase que lo anterior no se cumple para nuestro número h, pues k no es algebraico.
Considera también los buenos números $\displaystyle{\sqrt{10}^{\log_{10}{(4)}}=2}$, que es racional, o la llamada constante de Gelfond $\displaystyle{\mathrm{e}^\pi=(-1)^{-i}}$, que es trascendental.
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