Ingravidez

Afortunadamente la gran mayoría de las personas sabe que la gravedad se concibe clásicamente como una fuerza atractiva que aumenta ante un aumento de masa y disminuye ante un aumento de distancia. Para ser precisos, esta fuerza depende del inverso del cuadrado de la distancia.

Ahora bien, todos hemos visto alguna vez las imágenes de astronautas flotando dentro de sus naves espaciales jugando a atrapar comida o cosas por el estilo. Con lo dicho, uno podría precipitarse a pensar que este estado de ingravidez es, precisamente como el nombre sugiere, uno en el que no actúa fuerza de gravedad alguna sobre los astronautas. Primeramente hay que recalcar que para que esto fuera estrictamente cierto el espacio tendría que estar desprovisto de cuerpos con masa. Luego, considerando el caso de un satélite, por ejemplo, aunque la intensidad de la fuerza disminuya rápidamente respecto a la superficie de la Tierra, ¿es plausible que estando tan cerca de la Tierra, la nave no caiga como caen normalmente los objetos cerca de la superficie por que la atracción se ha hecho casi nula? Por supuesto que no.

La nave y los astronautas de hecho sí están cayendo hacia la Tierra, sin embargo lo hacen en un movimiento aproximadamente circular, esto es, con una gran velocidad hacia los lados (velocidad tangencial) mientras la aceleración que produce la fuerza gravitatoria de la Tierra hace que ésta cambie de dirección formando la órbita circular alrededor de la Tierra. Imagina que lanzas un balón de fútbol americano 10 yardas: ya sabes que éste describirá una pequeña curva parabólica hasta que regrese a la superficie. Ahora imagina que puedes lanzarlo 100 yardas: la parábola crece. Si pudieras lanzarlo más allá del horizonte, la parábola sería tan grande, que eventualmente podría recorrer toda la tierra. Desde que Newton desarrollara su teoría de mecánica clásica, éste entendería este concepto tan intuitivo, ilustrándolo como se muestra en la imagen. Entre más velocidad le imprimas a tu lanzamiento de balón de fútbol americano, podrías llegar a ponerlo en la órbita C o D, o incluso hacer que se escape para siempre por la trayectoria E. De interés puede ser esta última velocidad, llamada velocidad de escape, que calcularé al final para el lector que no teme a las matemáticas.

El efecto de ingravidez se debe entonces, precisamente a esta caída que conocemos como caída libre, esto es, que sólo está provocada por la gravedad terrestre, -no hay resistencia del aire ni nada de nada que contrarreste la fuerza de la gravedad. El entendimiento más fundamental de este efecto en la caída libre es el llamado principio de equivalencia, cuya interpretación a groso modo es la equivalencia física de un sistema uniformemente acelerado y uno libre de campo gravitatorio, es decir, para algún observador acelerado es imposible distinguir si se mueve o no dentro de un campo gravitatorio. Intuitivamente lo que sucede es que la aceleración del cuerpo en caída libre de algún modo cancela o reemplaza la aceleración que hubiera hecho evidente el campo gravitatorio. En el famoso Zero-G Weightless Experience es precisamente lo que se hace sin necesidad de salir al espacio exterior; un avión vuela a aprox. 32,000 pies para luego deslizarse en caída libre por casi 30 segundos, dando el efecto de que no hay fuerza de gravedad alguna presente. Este principio de equivalencia engloba además la independencia de la masa en la caída libre descubierto por Galileo, y que tantos dolores de cabeza suele causar a alumnos de secundaria y bachillerato.

Bueno, finalmente, empleando mecánica de Newton, supongamos que se quiere calcular la velocidad mínima que debe poseer una partícula en la superficie de la Tierra para escapar al campo gravitatorio de ésta (suponiendo despreciable la resistencia del aire), i.e. la velocidad de escape. Por segunda ley de Newton y la ley de gravitación universal, $$\ddot{x}=-G\frac{M}{x^2}$$ donde M es la masa de la Tierra, x es la posición (radial) de la partícula y $\dot{x}$ representa primera derivada en el tiempo, $\ddot{x}$ segunda, etc. Nota que por la regla de la cadena puede escribirse que $$\ddot{x}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot{x}$$ entonces simplemente $$\int\dot{x}\;\mathrm{d}\dot{x}=-GM\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2}$$ i.e. $$\dot{x}^2=\frac{2GM}{x}+c$$ Ahora bien, lo que se busca es precisamente la velocidad inicial. Se busca que la partícula escape del campo gravitatorio terrestre, lo que significará que su velocidad nunca es igual a cero, pues esto implicaría que la partícula cayera de nuevo hacia la Tierra. Pero no se puede ignorar el efecto del campo gravitatorio de la Tierra, lo que obliga a pensar que la velocidad eventualmente se hará cero. Véase que el conflicto está resuelto al asumir la condición $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\dot{x}(x)=0}$, con lo que entonces se concluye que $$\dot{x}=\sqrt{\frac{2GM}{x}}=\sqrt{2gx}$$ es la velocidad de escape. Esta es una aproximación sencilla, de la cual sólo resta aproximar el radio de la Tierra x y mientras ${g=9.81\,\mathrm{m/s^2}}$ es la conocida constante de aceleración de la gravedad terrestre. Sin importar qué tan simplista, el cálculo numérico puede dar una buena idea de la velocidad de escape.