Sobre el ciclo límite del oscilador de van der Pol

(...) Esta ecuación (van der Pol) es de la forma
\begin{equation}\ddot{x}+\mu(x^2-x_0^2)\,\dot{x}+{\omega_0}^2x=0\label{vdpeq}\end{equation} donde $\mu$ es un parámetro positivo de pequeño valor. Los sistemas descritos por una ecuación de van der Pol presentan una propiedad muy interesante. Si la amplitud ${|x|}$ excede el valor crítico ${|x_0|}$, el coeficiente de ${\dot{x}}$ será positivo y el sistema estará amortiguado. En cambio si ${|x|<|x_0|}$, habrá amortiguamiento negativo, es decir, la amplitud del movimiento irá en aumento. (...)

Jerry B. Marion, Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Ed. Reverté.

Con este extracto del libro de Marion & Thornton se introduce el concepto de ciclo límite. Ésto es de la primera (segunda en inglés) edición en español (y no sé si única), en la que incluso se ilustra el ciclo límite del oscilador de VdP en el espacio fase pasando por ${\pm{x_0}}$ en ${\dot{x}=0}$. Entonces uno va, escribe unas líneas de código en Mathematica, y...

Lo que hace el siguiente código es resolver la ecuación (\ref{vdpeq}) numéricamente con ${\omega_0=1}$ implícito para dos condiciones iniciales distintas (sólo elegidas de modo que una solución comience dentro y otra fuera del ciclo límite), con $\mu=0.1$ y $x_0=1$ y mostrar el gráfico de ambas soluciones en el espacio fase.

Bueno, pues es claro que la amplitud del ciclo límite no es ${x_0}$, como se ilustra de manera errónea en la primera edición en español del libro de Marion, y como uno se precipitaría a pensar a partir del texto, sin embargo el enunciado del libro necesariamente debería ser correcto, ya que la ecuación de VdP  parece describirlo así, entonces, ¿qué es lo que está sucediendo?

Este comportamiento del oscilador VdP puede volverse accesible intuitivamente al considerar que dependiendo del signo que tome el amortiguamiento, el valor de éste dependerá también de $x$ (o más exactamente del factor $x^2-x_0^2$) y no sólo de $\mu$ como sucede en un oscilador amortiguado simple. Puede apreciarse más fácilmente cómo afecta esto y cómo se comporta el oscilador en ambos amortiguamientos al aumentar el parámetro $\mu$ en el espacio fase.

Considera el siguiente código con ${\mu=1,\;x_0=2}$

de donde puede pensarse que hay algo así como cierta simetría a partir de ${x=\pm{x_0}}$, pues es precisamente en donde el amortiguamiento cambia de 'carácter' (amortiguamiento negativo en la región roja y positivo fuera de ésta); si en estas regiones la ecuación de VdP 'tomara' un valor constante en el amortiguamiento respectivo, entonces sería clara la distinción de ambos tipos y el ciclo límite pasaría exactamente por ${x=\pm{x_0}}$ en ${\dot{x}=0}$. Así pues, aunque el enunciado en el libro es correcto, la ilustración no lo es.

Si uno se pone a jugar con el código, resulta curioso además que la consecuencia de ésto sea que el ciclo límite pase aproximadamente por ${x=\pm2x_0}$ en ${\dot{x}=0}$ (que tenga una amplitud de ${2x_0}$); de hecho en el código lo he tomado en cuenta en los dominios de los gráficos.

Considera, por ejemplo, el caso ${\mu=5,\;x_0=9}$, graficando la solución en el tiempo

la solución se va directamente al ciclo límite, que tiene apreciablemente una amplitud aprox. de ${2x_0}$. Acá sólo he dado argumentos heurísticos, pero uno seguramente podría pasárselo bien intentando realmente demostrarlo.

Yo he incluido a propósito un ejemplo con $\mu$ relativamente grande; de cualquier modo aquí se muestra que la amplitud es de hecho ${2x_0}$ cuando ${\mu\ll{1}}$, ¿puedes probar cuál es la amplitud del ciclo límite para cualquier $\mu$?