Del Último Teorema de Fermat a los Espacios de Calabi-Yau

El Universo Elegante fue casi seguramente el primer libro de divulgación sobre Cuerdas que leí (quizá sólo luego de Hiperespacio de Michio Kaku) en la biblioteca de la UAM-A y seguramente uno de los que me inclinaron más hacia la ciencia que hacia la ingeniería. Como sea, recuerdo bien que en algún punto del libro se incluye una ilustración de una red de variedades Calabi-Yau, en la que se explica, están compactificadas las dimensiones espaciales extra.

Fuente: http://members.wolfram.com/jeffb/visualization/stringtheory

De manera fortuita (en realidad por el video al final ;-), hace poco encontré también esta charla de Andrew J. Hanson:


en la que se muestra también este vídeo.

Aunque mi expertise con los Calabi-Yau (el nombre debido a Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau) es básicamente la misma que cuando leí el libro de Brian Greene, o sea, nula, al menos ya tengo acceso a las ideas básicas.

www.amazon.com/The-Shape-Inner-Space-Dimensions/dp/0465028373

Hasta donde sé, hay varias maneras de definir una variedad de Calabi-Yau; de cualquier modo, algunas de sus características son que es una variedad compleja, compacta, Kähler y de curvatura de Ricci nula.

Esto es,

• Un $d$-fold $\mc{M}$ de dimensión compleja $d$ (o $\dim_\mathbb{R}(\mc{M})=2d$) de coordenadas locales $z^i$, $z^\bar{\imath}$ con $i,\bar{\imath}=1,\ldots,d$
• Que puede cubrirse con una cantidad finita de parches coordenados
• Que admite una ${(1,1)}$-forma $\omega$ cerrada, i.e. tal que $d\omega=0$, que se relaciona con una métrica $g$ Hermitiana en $\mc{M}$, i.e. real y tal que $g_{ij}=g_{\bar{\imath}\bar{\jmath}}=0$, que localmente puede escribirse en términos de derivadas de una función real $K=K(z,\bar{z})$ llamada potencial de Kähler, $g_{i\bar{\jmath}}=\frac{\p{K}}{\p{z}^i\p{z}^\bar{\jmath}}$. En general esto y los dos puntos anteriores suelen decirse de una variedad Kähler.
• Cuyas componentes del tensor de Ricci $R_{i\bar{\jmath}}$ se anulan, $R_{i\bar{\jmath}}=0$, además, evidentemente (por el punto anterior) de $R_{ij}$, $R_{\bar{\imath}\bar{\jmath}}$

Éstas, según el autor, pueden tratarse como propiedades o como una definición (espero no hacer enojar a algún purista ;-) y es relevante mencionar que el último punto de hecho suele mencionarse más estrictamente como una consecuencia del llamado Teorema de Yau, proveniente de la llamada antes Conjetura de Calabi (y nacieron los Calabi-Yau ;-), que tiene que ver con que se anulen ciertos invariantes topológicos llamados primera clase de Chern, $c_1(\mc{M})$. El Teorema de Yau dice que dado $\mc{M}$ Kähler con $c_1(\mc{M})=0$ siempre existe una métrica tal que $R_{i\bar{\jmath}}=0$, por esto seguido sólo se dice que un $\mc{M}$ Kähler con $c_1(\mc{M})=0$ es un Calabi-Yau.

Como sea, mi intención es sólo dar una idea de lo que es una variedad de Calabi-Yau a quien -como yo- ya tiene estos conceptos a la mano. Para ahondar en el tema se puede consultar

• String Theory on Calabi-Yau Manifolds de Brian Greene: http://arxiv.org/abs/hep-th/9702155
• A mini-course on topological strings de Marcel Vonk: http://arxiv.org/abs/hep-th/0504147

En las notas de Vonk puede leerse que la última condición es interesante porque las variedades con tensor de Ricci nulo son soluciones de vacío a las ecuaciones de Einstein (con constante cosmológica nula), además de que se asegura que al compactificar 6 dimensiones extra en las variedades de Calabi-Yau, se preservan las supersimetrías de la teoría 4-dimensional, lo que (sea lo que sea) es relevante por razones técnicas y fenomenológicas. El punto es que esto lleva a que en cuerdas se empleen 3-folds Calabi-Yau (i.e. 6 dimensiones reales).

En las notas de Greene se muestra (2.10 y 2.11) que la hipersuperficie (quíntica o de quinto grado) en el espacio proyectivo complejo $\mathbb{C}P^4$ dada por
\begin{equation}z_1^5+z_2^5+z_3^5+z_4^5+z_5^5=0\end{equation} es un 3-fold de Calabi-Yau, mostrando únicamente que es Kähler con primera clase de Chern nula. Finalmente de esta forma es como se relaciona todo con el Último Teorema de Fermat y todo lo que se menciona en el vídeo de Hanson.

Andrew J. Hanson, Indiana University. www.cs.indiana.edu/~hanson

Reproducir los gráficos del corte 2D del Calabi-Yau de Hanson es más complicado de lo que parece. En el artículo

• A.J. Hanson. A construction for computer visualization of certain complex curves. Notices of the Amer. Math. Soc., 41(9):1156-1163, November/December 1994.

se menciona el procedimiento general. De cualquier modo uno siempre puede ocupar los Wolfram Demonstrations disponibles y destripar el código fuente si lo hay. Dos .cdf que pude hallar son

• Calabi-Yau Space: demonstrations.wolfram.com/CalabiYauSpace
• Solutions of Fermat's Equation: demonstrations.wolfram.com/SolutionsOfFermatsEquation

siendo el segundo el que tiene el código fuente disponible.

Finalmente, ya entrados en esto de los Calabi-Yau:

Total de funciones suprayectivas y Reglas de divisibilidad

Entre mis opciones nacionales para la maestría tengo el Posgrado Conjunto en Ciencias Matemáticas por aquella cuestión de la Física Matemática (y e.g. que el buenazo de Alejandro Corichi anda por allá, aunque trabaje en LQG, que no necesariamente es de mi interés). El examen de admisión es obligatorio, y como físico es de esperar que encuentre cierta adversidad con algunas cuestiones. De cualquier modo la situación no es grave y sólo se trata de ponerse al corriente (acá se pueden consultar exámenes de admisión anteriores). Muestro dos situaciones que me resultaron bastante entretenidas y que un físico rara vez se encuentra o con las que lidia muy poco durante la licenciatura. Los problemas son del examen de noviembre de 2012.


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1. ¿Cuántas funciones suprayectivas hay de un conjunto con 5 elementos en otro con 3?
El total de funciones (supra y no-supra) es $3^5$: el argumento es básicamente el de todas las salidas posibles de un 'dado' con 3 caras tirado 5 veces. De este total entonces hay que quitar las que no son supra.

Supóngase que el codominio es un conjunto $C=\{a,b,c\}$. Entonces todas las funciones que no son supra son aquellas que no toman o uno o dos elementos de $C$: de las que dejan un elemento se tienen $3\cdot2^5$ funciones (i.e. $2^5$ por cada elemento ignorado) mientras que las que dejan dos elementos son simplemente $3\cdot1^5=3$.

De aquí se podría pensar que $3^5-3\cdot2^5-3$ es el total de funciones supra, de cualquier modo no es así. Véase que este argumento funciona si se reemplaza 5 por cualquier $n\geq3$, entonces si se quisiera investigar el total de funciones supra de un conjunto de 3 elementos en otro de 3, se tendría $3^3-3\cdot2^3-3=0$, lo que evidentemente es incorrecto. El problema es que al ignorar o uno o dos elementos de $C$, se están considerando (i.e. se están restando) más veces las funciones que mandan de un elemento del dominio a otro de $C$ no ignorado, e.g. si consideramos todas las funciones que mandan de un elemento del dominio a $a\in{C}$ al ignorar otro(s), estamos considerando estas funciones 3 veces: una al ignorar $b$, otra al ignorar $c$ y otra al ignorar ambos. Entonces se tiene que tomar en cuenta esto no sólo para todas las que mandan a $a$ ignorando otra(s) si no también las que mandan a $b$ y $c$; i.e. pues, que si originalmente se restaban $3\cdot2^5-3$ funciones, se tienen que complementar las $2\cdot3$ funciones que estabamos descartando de más, de modo que sólo se consideren una vez (de ahí el 2 por cada elemento de $C$).

Así entonces, se tienen
\begin{equation}3^5-3\cdot2^5-3+2\cdot3=3(3^4-2^5+1)=150\end{equation} funciones supra de un conjunto con 5 elementos en otro con 3.

Éste es el argumento de a pie. Naturalmente uno se pregunta en general cuál es el total de funciones supra de un conjunto de $n$ elementos en un conjunto de $m$ elementos. Luego de un buen cursito de combinatoria uno contestará
\begin{equation}m!\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\sum_{j=0}^m(-1)^j\binom{m}{j}(m-j)^n\end{equation} donde $\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}$ son los números de Stirling de segunda especie. Por definición, estos números son la cantidad de maneras que existen de hacer una partición de un conjunto de $n$ elementos en $m$ subconjuntos y el factor $m!$ extra viene de que en este problema cada elemento del codominio se asocia con cualquiera de estos subconjuntos. Hasta poco antes de escribir esta entrada, desconocía estos números, pero al menos ahora sé que existen y procuraré investigar más acerca de estos, que presuntamente tienen varias propiedades y usos interesantes.

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2. Sea $z=a_1a_2\cdots{a}_s\in\mathbb{Z}$, donde $a_i$ es el $i$-ésimo dígito.
Pruebe que $z$ es divisible entre 11 si y sólo si 11 divide a \begin{equation}\sum_{i\,\text{par}}a_i-\sum_{i\,\text{impar}}a_i\end{equation} (hint: encuentre el residuo de $10^k$ al dividir entre 11)
Se tiene que
\begin{align}
10^0&=11(0)+1\nonumber\\
10^1&=11(1)-1\nonumber\\
10^2&=11(9)+1\nonumber\\
10^3&=11(91)-1\nonumber\\
10^4&=11(909)+1\nonumber\\
\vdots&\nonumber\\
10^k&=\begin{cases}11a+1,&\text{si}\,k\,\text{par}\\11b-1,&\text{si}\,k\,\text{impar}\end{cases}\label{1}
\end{align} y $z$ puede escribirse como
\begin{equation}z=10^{s-1}a_1+10^{s-2}a_2+\ldots+10a_{s-1}+a_s\end{equation} de modo entonces que si $11|z$, $\exists{c}\in\mathbb{Z}$ tal que
\begin{equation}z=10^{s-1}a_1+10^{s-2}a_2+\ldots+10a_{s-1}+a_s=11c\end{equation} es decir, a partir de las ec. (\ref{1})
\begin{equation}\sum_{i\,\text{par}}a_i-\sum_{i\,\text{impar}}a_i+11d=11c\end{equation} con $d$ la suma de todos los términos multiplicados por $11$, salvo un signo, que puede absorberse simplemente en $c$. De aquí se sigue que $z=11c$ siempre que también exista algún $\ell\in\mathbb{Z}$ tal que $\sum_{i\,\text{par}}a_i-\sum_{i\,\text{impar}}a_i=11\ell$.

Este problema me parece mucho más sencillo que el anterior, sin embargo también me parece sumamente interesante, como toda la Teoría de Números (este mismo blog es testigo). Así como el caso del 11, existen reglas de divisibilidad para otros enteros que son impresionantes y uno se la puede pasar bomba mostrándolas: acá se muestran algunas.

x^4+y^4=z^4

El título de esta entrada, por supuesto, se refiere al Último Teorema de Fermat para el caso n=4. Este es de hecho el caso más sencillo y del único que se conoce una demostración (implícita, o que se sigue como corolario) de Pierre de Fermat, y que además demuestra el Último Teorema para todo n divisible por 4. Uno pensaría que el caso n=3, por ejemplo, es uno más sencillo, sin embargo se pueden leer demostraciones más elaboradas en general, como aquí se verá para los casos de números primos impares (distintos de 2). La primera demostración del caso n=3 se atribuye a Leonhard Euler. Después se demostrarían varios casos más, hasta la aparición de Andrew Wiles, que acabaría de una vez por todas con la diversión. El documental de la BBC que aquí pongo es imperdible (también he dedicado antes una entrada a Yutaka Taniyama). Aunque aquí no seguiré precisamente sus pasos, Fermat demuestra implícitamente el caso n=4 de su Último Teorema al demostrar que el área de un triángulo rectángulo no puede ser un cuadrado. ¿Cómo es que se relaciona esto con el Último Teorema? Fermat demuestra que no existen soluciones de la ecuación ${x^2=z^4-y^4}$. Haré un bosquejo rápido para relacionar el área de un triángulo rectángulo con la ecuación anterior. Un triángulo rectángulo de catetos ${\alpha,\beta}$ e hipotenusa $\gamma$, por el teorema de Pitágoras, cumple ${\alpha^2+\beta^2=\gamma^2}$. Si además, pedimos soluciones enteras, la última es una ecuación diofántica, cuyas soluciones ${(\alpha,\beta,\gamma)}$ se llaman ternas pitagóricas. En esta entrada he mostrado que ${(2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)}$ es terna pitagórica para ${p,q}$ coprimos y de paridad contraria. El área del triángulo rectángulo, como la conocemos desde la primaria, es $\displaystyle{\frac{\alpha\beta}{2}=pq(p^2-q^2)}$. Ahora bien, ${pq}$ y ${p^2-q^2}$ son coprimos, i.e. ${\mathrm{mcd}\left(pq,p^2-q^2\right)=1}$ (intenta demostrarlo por contradicción o de propiedades del mcd) y si el producto ${pq(p^2-q^2)}$ es igual a un cuadrado, en la entrada de ternas pitagóricas se ha mostrado que en estas condiciones, $p$ y $q$, (también ${pq}$ y ${p^2-q^2}$) son cuadrados. De aquí entonces, hagamos ${p=P^2}$, ${q=Q^2}$, de modo que para algún ${\zeta^2}$ se cumple ${\zeta^2=pq(P^4-Q^4)}$ y como $pq$ también es un cuadrado, digamos ${pq=\xi^2}$, se sigue que $\displaystyle{\left(\frac{\zeta}{\xi}\right)^2=P^4-Q^4}$. De ese modo Fermat razona que si el área de un triángulo rectángulo fuera un cuadrado, entonces existiría un par de potencias cuartas cuya diferencia sería un cuadrado. Al probar Fermat que el área de un triángulo rectángulo no puede ser un cuadrado, estaría además probando el Último Teorema para n=4, ya que si ${x^2=z^4-y^4}$ no tiene soluciones enteras, entonces ${\left(x^2\right)^2+y^4=z^4}$ tampoco tiene soluciones enteras. Así pues, hay que demostrar que ${x^4+y^4=z^2}$ no tiene soluciones enteras, y uno de los procedimientos más sencillos es precisamente siguiendo un camino parecido al que se siguió para encontrar las ternas pitagóricas. En general serán útiles algunas nociones sencillas de la entrada de ternas pitagóricas que aquí daré por sentado. Se sabe que si la ecuación anterior tiene soluciones, éstas son ternas pitagóricas, $${(x^2,y^2,z)=(2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)}$$ suponiendo sin pérdida de generalidad que ${x^2}$ es el término par. Bien, se sigue entonces que ${p^2=y^2+q^2}$, por tanto ${(q,y,p)}$ es otra terna pitagórica; asumamos ahora sin pérdida de generalidad que $q$ es el término par, de modo que para ${P,Q}$ coprimos y de paridad contraria, se tiene la terna pitagórica ${\left(2PQ,P^2-Q^2,P^2+Q^2\right)}$. Así pues, en términos de esta última terna, se tiene $$x^2=4PQ\left(P^2+Q^2\right)\hspace{0.25in}\text{i.e.}\hspace{0.25in}{PQ\left(P^2+Q^2\right)=\left(\frac{x}{2}\right)^2}$$ Ahora bien, ${\mathrm{mcd}(P,Q)=\mathrm{mcd}\left(PQ,P^2+Q^2\right)=1}$ (propiedades del mcd), y también, sabemos que ${PQ}$ y ${P^2+Q^2}$ por ser coprimos y cuyo producto es un cuadrado, ellos mismos son cuadrados, y así también $P$ y $Q$ son cuadrados, digamos que ${\rho^2=P}$, ${\delta^2=Q}$ y $\vartheta^2={P^2+Q^2}$ de modo que $$\rho^4+\delta^4=P^2+Q^2=\vartheta^2=p < p^2+q^2=z < z^2$$ es decir $$\vartheta^2 < z^2$$ esto es $$x^4+y^4=z^2\;\Longrightarrow\;\rho^4+\delta^4=\vartheta^2,\;\vartheta < z$$ y así también que exista la terna ${(\rho^2,\delta^2,\vartheta)}$ implica que existe otra ecuación con las mismas características con algún ${\epsilon<\vartheta}$, lo que implica que existe otra ecua... y así ad infinito, lo cual es imposible, ya que sabemos que los números naturales restantes son finitos o mejor dicho, los números naturales en general son bien ordenados, por lo que eventualmente no se encontrará otra ecuación que satisfaga lo anterior. A este tipo de demostración se le llama por descenso infinito, y de hecho se atribuye a Pierre de Fermat. Como se ha dicho, con esta demostración también de demuestra que ${x^4+y^4=z^4}$ no tiene soluciones enteras. Se asume que de aquí surgiría el Último Teorema de Fermat, cuyo nombre alude a que sería la única aseveración de Fermat que carecía de demostración, i.e. ya todos los teoremas de Fermat estaban demostrados, sólo quedaba un último teorema por demostrar. Claramente se puede extender aún más este resultado. Primero, el Último Teorema de Fermat es cierto para n divisible por 4, es decir, para algún $k$ tal que ${n=4k}$, de modo que $$\left(x^{k}\right)^4+\left(y^k\right)^4=\left(z^k\right)^4$$ en particular, ${2^u|4k}$ siempre que ${u>1}$, por lo que se confirma que el teorema de Fermat es cierto para potencias de dos. Esto es relevante, pues si existen soluciones de ${x^n+y^n=z^n}$, entonces n no puede ser potencia de dos, lo que implica que existe un primo ${p\neq{2}}$ tal que ${p|n}$, es decir, existe un $\kappa$ tal que ${n=p\kappa}$ y se buscaría resolver $$\left(x^\kappa\right)^p+\left(y^\kappa\right)^p=\left(z^\kappa\right)^p$$ y así, con el trabajo realizado, el Último Teorema de Fermat estaría demostrado (o confirmado), si se pudiera demostrar para cada primo ${p\neq{2}}$. Los primeros pasos en esta dirección fueron dados por Euler para ${p=3}$, Dirichlet y Legendre para ${p=5}$, etc... lo demás es historia (una gran historia).

Propiedades del MCD

Las propiedades del máximo común divisor (MCD) son esenciales en teoría de números, así que acá muestro algunas, y una que otra identidad (seguramente serán útiles en algunos razonamientos):

• Si ${d|a}$ y ${d|b}$, entonces
  $$d\,|\,\mathrm{mcd}(a,b)$$ Esto es evidente desde la definición del MCD. También se sigue de la definición de ${\alpha|\beta}$ (léase $\alpha$ divide a $\beta$) que siempre existe un k tal que ${\mathrm{mcd}(a,b)=dk}$.

• La identidad de Bézout: Si ${a,b}$ son dos enteros no nulos, entonces ${\mathrm{mcd}(a,b)=d}$ puede expresarse alternativamente como ${d=ax+by}$ para algún ${x,y}$ números enteros, i.e.
  $$\exists\,{x,y}\in\mathbb{Z}\;:\;\mathrm{mcd}(a,b)=ax+by$$ Una demostración común se hace empleando el algoritmo de Euclides. Antes también puedes emplear el hecho de que si ${d|a}$ y ${d|b}$, entonces ${d|ax+by,\;\forall\;x,y\in\mathbb{Z}}$ y de ahí sólo encontrar ${x,y}$ (Euclides) tales que d no sólo divida, sino que sea el MCD.

• Si ${\mathrm{mcd}(a,b)=d}$, entonces
  $$\mathrm{mcd}\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1$$ Por identidad de Bézout, ${d=ax+by}$, es decir, ${1=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y}$, que implica el enunciado.

• ${\forall\;n\in\mathbb{Z}^+}$,
  $$\mathrm{mcd}(na,nb)=n\cdot\mathrm{mcd}(a,b)$$ Por identidad de Bézout, ${\mathrm{mcd}(na,nb)=(na)x+(nb)y=n(ax+by)=n\cdot\mathrm{mcd}(a,b)}$.

• ${\forall\;n\in\mathbb{Z}}$,
  $$\mathrm{mcd}(a,b)=\mathrm{mcd}(a+nb,b)$$ Por identidad de Bézout, se tiene ${\mathrm{mcd}(a,b)=ax+by}$ y también ${\mathrm{mcd}(a+nb,b)=(a+nb)x+bY=ax+b(Y+nx)}$, entonces ${Y=y-nx}$ y la igualdad se satisface para todo n.
  

• Asociatividad y Conmutatividad:
  $$\mathrm{mcd}(a,b,c)=\mathrm{mcd}\left[a,\mathrm{mcd}(b,c)\right]=\mathrm{mcd}\left[\mathrm{mcd}(a,b),c\right]=\mathrm{mcd}\left[c,\mathrm{mcd}(a,b)\right]$$ Si ${d|a}$ y ${d|\mathrm{mcd}(b,c)}$, entonces ${d|\mathrm{mcd}\left(a,\mathrm{mcd}(b,c)\right)}$, pero ${d|\mathrm{mcd}(b,c)}$ implica que ${d|b}$ y ${d|c}$, por tanto también ${d|\mathrm{mcd}(a,b)}$, de donde se sigue la igualdad. Intenta construirla explícitamente a partir de la definición de ${\alpha|\beta}$.

• Si ${\mathrm{mcd}(a,b)=1}$, entonces
  $$\mathrm{mcd}(ab,c)=\mathrm{mcd}(a,c)\mathrm{mcd}(b,c)$$ Empleando las propiedades anteriores,
  \begin{align}\mathrm{mcd}(a,c)\mathrm{mcd}(b,c)&=\mathrm{mcd}\left[b\;\mathrm{mcd}(a,c),c\;\mathrm{mcd}(a,c)\right]\\[0.05in]&=\mathrm{mcd}\left[\mathrm{mcd}(ab,bc),\mathrm{mcd}(ac,c^2)\right]\\[0.05in]&=\mathrm{mcd}(ab,bc,ac,c^2)\\[0.05in]&=\mathrm{mcd}\left[ab,c^2,\mathrm{mcd}(bc,ac)\right]\\[0.05in]&=\mathrm{mcd}\left(ab,c,c^2\right)\\[0.05in]&=\mathrm{mcd}\left[ab,\mathrm{mcd}(c,c^2)\right]=\mathrm{mcd}\left(ab,c\right)\hspace{0.25in}\square\end{align}
  

• Si ${\mathrm{mcd}(a,b)=1}$, entonces
  $$\mathrm{mcd}(a,b)=\mathrm{mcd}\left(ab,a^2+b^2\right)$$ Empleando nuevamente las propiedades, para algún ${n,m\in\mathbb{Z}}$,
  \begin{align}\mathrm{mcd}(a,b)&=\mathrm{mcd}(a,b)\mathrm{mcd}(a+nb,b)=\mathrm{mcd}(a,b)\mathrm{mcd}(a,b+ma)\\[0.05in]&=\mathrm{mcd}\left[a(a+nb),b\right]=\mathrm{mcd}\left[a,b(b+ma)\right]\end{align} Sea $\displaystyle{n=\frac{b}{a}=\frac{1}{m}}$, entonces
  \begin{align}\mathrm{mcd}(a,b)&=\mathrm{mcd}\left(b,a^2+b^2\right)=\mathrm{mcd}\left(a,a^2+b^2\right)\\[0.05in]&\therefore\\[0.05in]\mathrm{mcd}(a,b)&=\mathrm{mcd}(a,a^2+b^2)\mathrm{mcd}(b,a^2+b^2)=\mathrm{mcd}(ab,a^2+b^2)\hspace{0.25in}\square\end{align}

Estas son sólo algunas propiedades, algunas básicas y otras más que nada interesantes y útiles. Probablemente un niño no se imagine aún que detrás de las matemáticas básicas de primaria hay un mundo riquísimo en teoría de números.

Ternas Pitagóricas

Las ternas pitagóricas son soluciones enteras de la ecuación ${x^2+y^2=z^2}$. Invito a todo lector con conocimientos básicos de álgebra a seguir esta entrada, más que conocimientos previos se requiere voluntad para entender el cómo se obtienen todas las ternas. Extiendo la explicación de Carlos Ivorra Castillo y como segunda referencia, en el blog de Larry Freeman puede leerse un razonamiento análogo al aquí mostrado que no emplea aritmética modular.Lo que se quiere es encontrar las ternas pitagóricas no triviales o primitivas ${(a,b,c)}$, esto es, a partir de las cuales pueda generarse cualquier terna, ya que si ${(a,b,c)}$ es una terna, entonces ${(na,nb,nc)}$ también lo es para cualquier n entero. La solución primitiva entonces requiere que el máximo común divisor de la terna sea 1, esto suele escribirse como ${\mathrm{mcd}(a,b,c)=1}$.

Lo primero a notar es que no pueden ser pares los tres elementos de cualquier terna, ya que tendrían un divisor en común. De aquí, sabemos que la suma y diferencia tanto de pares como de impares es un número par, y un número es par o impar si y sólo si lo es su cuadrado, por lo que sólo puede haber un término par en una terna.Ahora bien, en $\mathbb{Z}$, que un número $\alpha$ divida a un número $\beta$ significa que existe un número $\gamma$ tal que ${\beta=\gamma\alpha}$ y se escribe ${\alpha|\beta}$ (léase $\alpha$ divide a $\beta$). Las siguientes propiedades son claves:

Si $\displaystyle{\alpha|\beta}$ y $\displaystyle{\beta|\gamma}$, entonces $\displaystyle{\alpha|\gamma}$.

Si ${\alpha|\beta}$ y ${\alpha|\gamma}$ entonces ${\alpha|(\beta{x}+\gamma{y}),\;\forall{\;(x,y)\in\mathbb{Z}}}$.

intenta demostrarlas utilizando la definición de ${\alpha|\beta}$. Esto nos es de utilidad pues, regresando a la ecuación ${x^2+y^2=z^2}$, nota que si ${p|x}$ y ${p|y}$, entonces ${p|(x^2+y^2)}$, y así ${p|z^2}$, con lo que ${p|z}$. Se sigue entonces que los elementos de una terna pitagórica son coprimos o primos entre sí dos a dos, es decir, ningún elemento tiene algún factor en común con algún otro elemento y así ${\mathrm{mcd}(x,y,z)=1}$.

Ahora bien, se llama clase de congruencia de $\alpha$ módulo n al conjunto
$$[\alpha]_n=\left\{\alpha^\prime\in\mathbb{Z}\mid\alpha^\prime\equiv\alpha\pmod{n}\right\}$$ para los ajenos al aritmética modular, ${\alpha^\prime\equiv\alpha\pmod{n}}$ es una relación de congruencia, se lee ${\alpha^\prime}$ es congruente con $\alpha$ módulo n, y significa simplemente que ${\exists\,\omega\in\mathbb{Z}}$ tal que ${\alpha^\prime-\alpha=\omega{n}}$, de donde se sigue que podemos escribir
$$[\alpha]_n=\left\{\alpha+\omega{n}\mid\omega\in\mathbb{Z}\right\}$$ así entonces, las clases de congruencia de ${\alpha=0,1,2,3,\ldots}$ módulo 3 son
\begin{align*}[0]_3&=\{0+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots-6,-3,0,3,6,\ldots\}\\{[1]_3}&=\{1+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7,\ldots\}\\{[2]_3}&=\{2+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8,\ldots\}\\{[3]_3}&=\{3+3\omega\mid\omega\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,-3,0,3,6,9,\ldots\}\\&\vdots\end{align*} nota entonces que, por ejemplo, ${[0]_3=[3]_3}$, esto será importante más adelante. Podemos operar fácilmente con las clases de congruencia al obtener consecuencias para las relaciones de congruencia. Considera las siguientes propiedades:

Si ${\alpha_1\equiv\beta_1\pmod{n}}$ y ${\alpha_2\equiv\beta_2\pmod{n}}$, entonces:
$$\alpha_1+\alpha_2\equiv\beta_1+\beta_2\pmod{n}$$ y también
$$\alpha_1\alpha_2\equiv\beta_1\beta_2\pmod{n}$$

de este modo que se tiene simplemente que ${[\alpha]_n+[\beta]_n=[\alpha+\beta]_n}$ y también ${[\alpha]_n\cdot[\beta_n]=[\alpha\cdot\beta]_n}$. Puedes leer la demostración y más acerca de congruencias en este documento.

Bien, pues todo esto nos sirve simplemente para saber qué término es par en una terna pitagórica. Supongamos que z es el término par, entonces ${x,y}$ son de la forma ${2\mu+1,\;2\eta+1}$, respectivamente, lo que significa que ${x^2=4\mu^2+4\mu+1}$ y ${y^2=4\eta^2+4\eta+1}$ y de este modo, podemos obtener consecuencias de la ecuación ${x^2+y^2=z^4}$ tomando clases módulo 4, esto es
$$[z]^2_4=[x]^2_4+[y]^2_4=[1]_4+[1]_4=[2]_4$$ sin embargo, nota que ninguna clase módulo 4 al cuadrado resulta en la clase ${[2]_4}$:
$$[z]^2_4=\left\{\begin{array}{ll}[2\chi+1]^2_4=[1]_4,&z\text{ es impar}\\[0.1in]{[2\chi]^2_4}=[0]_4,&z\text{ es par}\end{array}\right.$$ por tanto z no puede ser par.

Asumamos entonces sin pérdida de generalidad que x es par y y es impar. Hemos concluido además que z es impar, entonces sean ${x=2u,\;z+y=2v,\;z-y=2w}$, de modo que a partir de ${x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y)}$ se sigue que ${u^2=vw}$. Ahora bien, nota que ${v,w}$ son coprimos, i.e. ${\mathrm{mcd}(v,w)=1}$, ya que si existiera algún primo $\delta$ tal que ${\delta|v}$ y también ${\delta|w}$, entonces ${\delta|(v+w)=z}$ y también ${\delta|(v-w)=y}$, lo que contradiría que ${y,z}$ son coprimos, como se concluyó antes.

Ahora bien, por el teorema fundamental de la aritmética (o teorema de factorización única), en la expresión ${u^2=vw;\;v,w>0,\;\exists\,{p,q}}$ números primos tales que ${v=p^2,\;w=q^2}$. Aún más, en general si ${u,v,w\in\mathbb{Z}^+}$ con ${u^n=vw}$ y ${\mathrm{mcd}(v,w)=1}$, entonces existen ${p,q}$ tales que ${v=p^n,\;w=q^n}$. Es sencillo ver que ${u^2=p^2q^2}$ empleando máximo común divisor; aquí se muestran algunas propiedades, sólo verifica tú mismo que para ${a,b,c}$ enteros, ${\mathrm{mcd}(a,b)\mathrm{mcd}(a,c)=\mathrm{mcd}\left(a\;\mathrm{mcd}(a,b,c),bc\right)}$. Entonces se sabe que ${\mathrm{mcd}(u,v,w)=1}$ y ${vw=u^2}$, y así:
\begin{align*}vw&=\mathrm{mcd}(vw,u)^n\\[0.1in]&=\mathrm{mcd}(vw,u\;\mathrm{mcd}(u,v,w))^n\\[0.1in]&=\left(\mathrm{mcd}(v,u)\mathrm{mcd}(w,u)\right)^n\\[0.1in]&=\mathrm{mcd}(v,u)^n\mathrm{mcd}(w,u)^n\\[0.1in]&=u^n\mathrm{mcd}(v,w)^n=u^n\end{align*} esto es ${vw=\mathrm{mcd}(v,u)^n\mathrm{mcd}(w,u)^n=p^nq^n}$ de donde se sigue ${v=p^n,\;w=q^n}$. Aún más, sólo se pide que ${p,q}$ sean coprimos, ya que ${\mathrm{mcd}(v,w)=1\;\Longrightarrow{\mathrm{mcd}(p,q)=1}}$.

Y está resuelto el problema, tenemos entonces que
\begin{align*}z&=v+w=p^2+q^2\\[0.1in]y&=v-w=p^2-q^2\\[0.1in]x&=2u=2pq\end{align*} esto es, las ternas pitagóricas (para ${x^2+y^2=z^2}$ ) están dadas por
$$(x,y,z)=(2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)$$ donde ${p,q}$ son coprimos y de paridad contraria. Algunos ejemplos son
$$\begin{array}{llc}p&\hspace{0.25in}q&\hspace{0.25in}x^2+y^2=z^2\\[0.15in]2&\hspace{0.25in}1&\hspace{0.25in}4^2+3^2=5^2\\3&\hspace{0.25in}2&\hspace{0.25in}12^2+5^2=13^2\\4&\hspace{0.25in}3&\hspace{0.25in}24^2+7^2=25^2\\5&\hspace{0.25in}3&\hspace{0.25in}30^2+16^2=34^2\end{array}$$ De aquí puede generarse cualquier terna muy mona que sea múltiplo del caso ${p=2,\;q=1}$, como por ejemplo ${6^2+8^2=10^2}$, ${9^2+12^2=15^2}$, ${12^2+16^2=20^2}$, etc... Lo importante es que ya conocemos TODAS las soluciones a la ecuación ${x^2+y^2=z^2}$. Te felicito si has seguido la entrada hasta aquí, yo he disfrutado mucho aprendiendo y luego compartiendo. En teoría de números éste es un resultado básico.

La racional potencia irracional y Gelfond-Schneider

Al elevar un número irracional a una potencia irracional, ¿el número obtenido es también irracional?

Bueno, esto es más sencillo de responder de lo que parece; me he encontrado con ello y ahora lo comparto:

Supongamos que la respuesta es que sí, que tal número será irracional, entonces el número $\displaystyle{k=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}$ es irracional, lo que quiere decir que $\displaystyle{h=k^{\sqrt{2}}}$ también debería ser irracional, sin embargo $\displaystyle{h=k^{\sqrt{2}}=\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2}$ es de hecho un número racional.

Bueno, aquí se ha demostrado que existe algún número ${c=a^b}$ con ${a,\,b}$ irracionales, tal que c es racional, sin embargo dejamos abierta la suposición de que $\displaystyle{k=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}$ es irracional.

Una parte del séptimo problema de Hilbert hace la pregunta:

Si ${a,\,b}$ son algebraicos, con ${a\neq{0,1}}$ y b irracional, ¿${a^b}$ es siempre trascendental?

Gelfond y Schneider respondieron esta pregunta al probar que ${a^b}$ siempre será un número trascendental. $\sqrt{2}$ además de irracional es algebraico, ya que es una solución de la ecuación ${x^2-2=0}$. Con esto dicho, nuestro número k es trascendental, y todo número real trascendental es irracional.

Véase que lo anterior no se cumple para nuestro número h, pues k no es algebraico.

Considera también los buenos números $\displaystyle{\sqrt{10}^{\log_{10}{(4)}}=2}$, que es racional, o la llamada constante de Gelfond $\displaystyle{\mathrm{e}^\pi=(-1)^{-i}}$, que es trascendental.

El teorema de Nicómaco

¿Habías notado que
\begin{equation}(1+2+3+\ldots+n)^2=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3\end{equation} es decir
\begin{equation}\left(\sum_{k=1}^n{k}\right)^2=\sum_{k=1}^n{k^3}\label{nico1}\end{equation} ? Bueno, esta identidad me ha resultado impresionante, y la verdad es que no la conocía, siendo que es bastante antigua. Se atribuye principalmente al trabajo de Nicómaco de Gerasa por ahí de los siglos I y II.

Nicómaco hizo la siguiente observación:

Teorema de Nicómaco:
La (suma) del primer número natural impar es igual al primer cubo, la suma de los dos siguientes números impares es igual al segundo cubo, la suma los tres siguientes impares es el tercer cubo, ...

Bueno, lo he dicho con mis palabras, pero entiéndase como
\begin{align}1&=1^3\label{nico2}\\3+5&=2^3\label{nico3}\\7+9+11&=3^3\label{nico4}\\13+15+17+19&=4^3\\21+23+25+27+29&=5^3\\&\vdots\nonumber\\(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+\ldots+(n^2+n-3)+(n^2-n-1)&=n^3,\;\forall{n}\in\mathbb{N}\end{align} es decir,
\begin{equation}\sum_{k=1}^n\left[(n^2-n-1)+2k\right]=n^3\end{equation} de aquí, sumando los respectivos lados de cada ecuación se debería recuperar (\ref{nico1}), pero antes de mostrarlo mediante este teorema de Nicómaco original, probémoslo de -la que me parece- la forma más elemental de hacerlo: Inducción Matemática.

Sabemos que (\ref{nico1}) es cierta para ${n=1}$, entonces supóngase que es cierta para algún ${n=m}$. Así pues, averigüemos qué pasa para ${n=m+1}$; tenemos que
\begin{equation}\left(\sum_{k=1}^{m+1}k\right)^2=\sum_{k=1}^{m+1}k^3\end{equation} escribiendo explícitamente el término $m+1$,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^{m}k+(m+1)\right)^2}=\sum_{k=1}^{m}k^3+(m+1)^3\end{equation} expandiendo el cuadrado,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^m{k}\right)^2+2(m+1)\sum_{k=1}^m{k}}+(m+1)^2=\sum_{k=1}^{m}k^3+(m+1)^3\end{equation} empleando la serie aritmética, $\sum_{k=1}^m{k}=m(m+1)/2$,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^m{k}\right)^2+m(m+1)^2+(m+1)^2}=\sum_{k=1}^{m}k^3+(m+1)^3\end{equation} es decir,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^m{k}\right)^2}=\sum_{k=1}^m{k^3}\end{equation} por tanto, en efecto, (\ref{nico1}) es cierta ${\forall{n\in\mathbb{N}}}$.

Demostrémosla ahora partiendo del Teorema de Nicómaco. Notemos que sumando los respectivos lados de (\ref{nico2}) con (\ref{nico3}), y luego (\ref{nico2}) con (\ref{nico3}) con (\ref{nico4}) y así con las siguientes, el Teorema nos dice que la suma de cubos de números naturales hasta $n$ es igual a la suma de tantos números impares como la serie aritmética hasta $n$, es decir
\begin{align}1^3+2^3&=1+3+5\\1^3+2^3+3^3&=1+3+5+7+9+11\\&\vdots\nonumber\\\sum_{k=1}^n{k^3}&=\sum_{k=1}^{n(n+1)/2}(2k-1)\end{align} Ahora es necesario hacer uso del llamado Teorema del Número Impar, que me limitaré a presentar con esta demostración sin palabras extraída del blog Bill The Lizard:

Lo que dice este teorema, y como muestra la imagen, es que
\begin{equation}n^2=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\end{equation} Así entonces concluímos que
\begin{equation}\sum_{k=1}^n{k^3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\end{equation} esto es,
\begin{equation}\sum_{k=1}^n{k^3}=\left(\sum_{k=1}^n{k}\right)^2\end{equation} como se esperaba.

Otra forma bastante interesante de presentar esta identidad, es como sigue,
\begin{align}\sum_{k=1}^n{k^3}&=\left(\frac{(n+1)!}{2(n-1)!}\right)^2\nonumber\\[0.1in]&=\left(\frac{(n+1)!}{2!((n+1)-2)!}\right)^2\nonumber\\[0.1in]&=\binom{n+1}{2}^2\end{align} y digo interesante, porque finalmente lo que expresa son dos formas distintas de contar una cantidad dada, así que es de esperar que se pueda obtener una expresión que involucre un combinatorio. Quizá demostrar la identidad en esta última forma, utilizando únicamente combinatoria sería una tarea un poco más elaborada (o lo contrario) pero también ingeniosa y divertida.

Las siguientes demostraciones sin palabras podrían ayudar también con un poco de intuición. Da clic para ver la fuente original.

y también,

Strong Mathematical Induction and Fibonacci Numbers

I had never seen the second principle of induction before, also called strong mathematical induction or complete induction, but the name suggests really all that it is: a wider variant of mathematical induction. When we use the principle of finite induction (mathematical induction), we know that a proposition ${P(n),\,\forall{n}\in\mathbb{N}}$, is true whenever there is some ${n=k}$ such that ${P(k)}$ and ${P(k+1)}$ holds and the proposition is true for the base case (usually 1). To see this is rather easy and intuitive, since it is just a generalization for all natural numbers of some particular proposition. But sometimes the assumption that ${P(k)}$ holds for ${n=k}$ is not enough and you’ve got to assume that the proposition holds for all ${n\geq{k}}$; that is, for all the elements of a subset ${A=\{n_0\in\mathbb{N}\,|\,n\geq{n_0,n_0+1,\ldots,k-1,k}\}}$ where ${n_0}$ is the base case. It often just entails proving the base case for each element.The following example, for Fibonacci numbers, illustrates the proof of a proposition by means of strong mathematical induction. The original sentence can be found in “Elements of the theory of numbers” by Joseph & Thomas Dence.

The Fibonacci numbers denoted ${F_n}$ are defined recursively by ${F_1=F_2=1}$, ${F_n=F_{n-1}+F_{n-2}}$ for ${n>2}$. Show that for ${n\in\mathbb{N}}$, ${F_{n+1}\leq[(1+\sqrt{5})/2]^n}$.

It can be easily verified for the base case ${n=1}$ to begin the proof.

Let us assume that for ${k\leq{n}}$, the proposition ${P(k):\,F_{k+1}\leq\phi^k}$, where $\phi\equiv(1+\sqrt{5})/2$ (the golden ratio), is true; then for ${k+1}$, *
$$F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}\leq\phi^{k-1}(\phi+1)$$ now notice that
$$\phi+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\phi^2$$ so the previous inequality becomes evident as
$$F_{k+2}\leq\phi^{k+1}$$ and so ${P(k+1)}$ is also true. Hence we say that by induction ${P(n)}$ is true ${\forall{n}\in\mathbb{N}}$.

This illustrates the situation in Mathematica for continuous functions

with the command

<<PlotLegends`

Plot[{Fibonacci[x+1], GoldenRatio^x}, {x,1,20},
Filling -> {1->{2}}, PlotStyle -> Thick,
PlotLegend -> {"F_n+1", "phi^n"},
LegendPosition -> {-0.75,0}]

Notice the exponential growth of the Fibonacci numbers. Now dare you to prove that ${F_{n+1}\geq\phi^{n-1},\,\forall{n}\geq{1}}$.

* This assumption is the key of the strong mathematical induction. In this problem the cases ${n=1,\ldots,k-1,k}$ are considered. Notice that for the base case ${n=1}$, each proposition holds.

Yutaka Taniyama

The following is an excerpt of the article by J J O'Connor and E F Robertson.
Read the original @ www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Taniyama

YUTAKA TANIYAMA
Born: 12 Nov 1927 in Kisai (north of Tokyo), Japan
Died: 17 Nov 1958 in Tokyo, Japan

His parents were Sahei, a medical doctor, and Kaku Taniyama. Yutaka was born into a large family having two older brothers and three older sisters as well as a younger brother and a younger sister. Yutaka was a sickly child and suffered from tuberculosis which caused him to miss two years of high school. After graduating from the high school, he entered the University of Tokyo to study mathematics. During his undergraduate years he read Claude Chevalley's Theory of Lie groups and André Weil's Foundations of algebraic geometry as well as two other books by Weil on algebraic curves and abelian varieties. He attended algebra lectures by Masao Sugawara and these encouraged his interest in number theory. He graduated in March 1953.

He remained at the University of Tokyo as a 'special research student' in the Department of Mathematics, although he had no thesis advisor. Shimura writes in [1] about the apartment where Taniyama lived in Tokyo:

... he lived in a one-room apartment which consisted of 81 square feet of living space, a sink, and a tiny unfloored part behind the door. Running water, gas and electricity were provided separately in each room, but there was only one toilet on each floor of the two-storey building, shared by all the occupants of the dozen or so rooms of the floor. I remember that his was No. 20 on the second floor, close to the last. Thus it was more like a dormitory than an apartment, but it was more or less typical of the time. To take a bath, he had to go to a public bathhouse, a few minutes' walk from his apartment. The building, a rather shabby wooden structure, was named poetically 'Villa Tranquil Mountains'...

Taniyama's interests were in algebraic number theory and his fame is mainly due to two problems posed by him at the symposium on Algebraic Number Theory held in Tokyo and Nikko in 1955. His meeting with André Weil at this symposium was to have a major influence on Taniyama's work. These problems form the basis of a conjecture: every elliptic curve defined over the rational field is a factor of the Jacobian of a modular function field. This conjecture proved to be a major factor in the proof of Fermat's Last Theorem by Andrew Wiles. In the Proceeding of the conference he published the paper Jacobian varieties and number fields, then in the following year the paper L-functions of number fields and zeta functions of abelian varieties.

Other than these two papers the only other paper Taniyama published was Distribution of positive 0-cycles in absolute classes of an algebraic variety with finite constant field (1958). However, in addition to these papers, he wrote the book Modern number theory (1957) in Japanese, jointly with G Shimura.

With seemingly a great future in front of him, both in mathematics and his life (he was planning marriage to Misako Suzuki) he took his own life. In a long suicide note he left, he took great care to describe exactly where he had reached in the calculus and linear algebra courses he was teaching and to apologise to his colleagues for the trouble his death would cause them. As to the reason for taking his life he says:

Until yesterday I have had no definite intention of killing myself. But more than a few must have noticed I have been tired both physically and mentally. As to the cause of my suicide, I don't quite understand it myself, but it is not the result of a particular incident, nor of a specific matter. Merely may I say, I am in the frame of mind that I lost confidence in my future. There may be some to whom my suicide will be troubling or a blow to a certain degree. I sincerely hope that this incident will cast no dark shadow over the future of that person. At any rate I cannot deny that this is a kind of betrayal, but please excuse it as my last act in my own way, as I have been doing all my life.

About a month later his fiancé Misako Suzuki also committed suicide. She left a note which included the sentences:

We promised each other that no matter where we went, we would never be separated. Now that he is gone, I must go too in order to join him.

Shimura writes [1]:

...he was the moral support of many of those who came into mathematical contact with him, including of course myself. Probably he was never conscious of this role he was playing. But I feel his noble generosity in this respect even more strongly now than when he was alive. And yet nobody was able to give him any support when he desperately needed it. Reflecting on this, I am overwhelmed by the bitterest grief.

One might reasonably ask what Taniyama's interests were other than mathematics. He enjoyed listening to music, especially Beethoven's Eighth Symphony, and going to movies, his favourite film being 'The King and I'. His only hobby was writing articles which he never intended to publish, but he seemed to find writing them helped to organise his thoughts. Examples of the topics he wrote articles on included: reviews of books, ideas on how researchers should be trained, how to organise a new institute for mathematical sciences, and reviews of articles by others.

Full article by: J J O'Connor and E F Robertson
April 2009

Números Amigos

A todos nos resulta familiar el conjunto de los números naturales o el conjunto de los números enteros, aunque a algunos niños cueste tanto trabajo dominar cuando se introducen los enteros negativos, en fin, los conjuntos de números más comunes, que conocemos como $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{C}$. Pero hay más formas de clasificar a los números, como por ejemplo en números hambrientos, números vampiros, números narcisistas, etc… que cumplen ciertas características que los hacen peculiares (Gaussianos tiene una entrada muy buena sobre estos tipos de números).

Una de estas tantas clasificaciones peculiares son los números amigos. Una pareja de números amigos son dos números enteros positivos a, b tales que a es la suma de divisores propios de b y b es la suma de divisores propios de a, con a diferente de b (cuando a=b se les llama números perfectos o amigos de sí mismos).

La verdad es que de nuevo, me encontré con ellos en un problema de Project Euler, en el cual se dice:

Sea d(n) la suma de divisores propios de n. Si d(a)=b y d(b)=a, donde a≠b, entonces (a,b) es una pareja amigable y tanto a como b se llaman números amigos.

Los números amigos al parecer se conocen desde la época de Pitágoras y desde entonces han sido objeto de estudio de los matemáticos, de los cuales Euler participó en la generalización de una regla para obtenerlos aunque al parecer no funciona para cualquier número y da al menos dos parejas que no son números amigos.

Aún más sutil es el caso de las parejas regulares de números amigos. Sean (a,b) una pareja amigable con a<b y sea w el mayor común divisor de esta pareja tal que a=Aw y b=Bw. Si A y B son primos relativos y libres de cuadrados, producto de i y j factores primos, respectivamente, entonces la pareja (a,b) es regular y se dice que es de tipo (i,j). Si esto no se cumple simplemente se dice que son irregulares.

El ejemplo más sencillo a exponer sería el de la primer pareja de números amigos: (220,284). Usando el enunciado del problema de Project Euler: podemos notar que los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110; así entonces, d(220)=284. Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142; entonces d(284)=220. Además de esto, notamos que el mayor común divisor de ambos es w=4, entonces nota que A=55, B=71, los cuales son primos relativos y libres de cuadrados, producto de 2 y 1 factores primos, A=11$\times$5 y B=71, entonces (a,b)=(${4\times11\times5}$, ${4\times71}$), esto es, la pareja (220,284), es una pareja amigable regular de tipo (2,1). Esta pareja es la más antigua conocida y no hay pareja alguna anterior a ella.

Una forma usada para encontrar números amigos, números perfectos y números sociales es la sucesión alícuota en la que cada término es la suma de los divisores propios del término anterior. Apenas con el advenimiento de las computadoras se ha potencializado la búsqueda de números amigos y ya se conocen millones de ellos.

Bueno pues comparto el enunciado completo del problema de Project Euler y un código en Java que soluciona el problema. No hice nada extraordinario y el programa funciona bien para números amigables debajo de 100,000 tardando a lo mucho 1 minuto.

****¿Puedes realizar un programa que diga cuándo un par amigable es regular y de qué tipo?

Problema 21 (Project Euler):

Sea d(n) la suma de divisores propios de n (números estrictamente menores que n que dividen exactamente a n). Si d(a)=b y d(b)=a, donde a≠b, entonces a y b es una pareja amigable y tanto a como b se llaman números amigos. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110; así entonces, d(220)=284. Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142; entonces d(284)=220. Evalúa la suma de todos los números amigos menores a 10000.

public class euler21
{
  public static void main(String[] asrg)
  {
     final int MAX=100000;
     int a[],i,j,x=0;
     long s1=1,s2=1,t=0;
     a=new int[MAX];
     for(i=6;i<MAX;i++,s1=1,s2=1)
     {
         for(j=2;j<=(i/2);j++)
         { if(i%j==0) {s1+=j;} }
         for(j=2;j<=(s1/2);j++)
         { if(s1%j==0) {s2+=j;} }
         if(s2==i && s2!=s1) {a[x]+=i;x++;}
     }
     System.out.println("Los numeros amigos debajo de "+MAX+" son:");
     for(i=0;a[i]!=0;i++)
     {
         t+=a[i];
         System.out.println(a[i]);
     }
     System.out.println("\nSe encontraron en total "+i+"numeros amigos");
     System.out.println("Y la suma de numeros amigos debajo de "+MAX+" es: "+t);
  }
}

El primo 1000000 en C++

Hace algunos días me encontré con http://projecteuler.net/ y me sentí un poco abrumado por la cantidad de problemas no triviales que hay. Es común escribir programas en el colegio que encuentren números primos, así que me dio curiosidad el problema de encontrar el número primo 10001. El problema del algoritmo tradicional para encontrar primos es que es muy tardado en un computador promedio. La verdad es que lo intenté de las dos formas (tradicional y mi manera) para el primo 10001 y mientras el algoritmo tradicional funcionó en aprox. 1 min, el nuevo algoritmo fue casi instantáneo. Parece poca la diferencia, sin embargo para primos más grandes se vuelve bastante importante. Mi referencia será el primo 1000000 que obtuve en aprox. 2.5 min.

Esta es mi propuesta: Un número primo es un entero positivo que tiene uno y sólo un divisor positivo distinto de 1. Para encontrar números primos entonces probamos divisibilidad. Si quisiéramos saber si el número 5 es primo, entonces deberíamos probar 5/2, 5/3, 5/4, 5/5, de donde concluimos que 5 sólo tiene un divisor positivo distinto de 1, i.e. el mismo 5. Entonces para cualquier número natural p, debemos probar p/i con 1<i<p. Si i es divisor de p, entonces p no es un número primo (o bien es un número compuesto).

Tal vez está de más decirlo, pero véase que de inmediato descartamos los p números pares (es importante recordarlo en el código)

Esa es la forma más general, pero, ¿por qué gastar nuestro tiempo revisando divisibilidad con i para 1<i<p si sabemos que para ${1<i\leq\frac{p}{2}}$ es suficiente? Es evidente que para ${i=\frac{p}{2}}$ se cumple ${\frac{p}{i}=\frac{p}{p/2}=2}$, por lo que al seguir aumentando i arriba de p/2 en el intervalo general, nunca se obtiene otro entero (el siguiente será el 1). Por ello a partir de ahora puede considerarse este intervalo.

Ya es un gran avance saber que i se restringe al intervalo ${1<i\leq\frac{p}{2}}$, pero veamos si podemos hacer más.

Todo número entero mayor a uno sólo tiene dos opciones, ser primo, o ser el producto de números primos (puedes utilizar inducción para demostrarlo). Por tanto si p no es un número primo, podríamos expresarlo por máximo como el producto de i*i en el intervalo que ya tenemos, es decir: ${p=i^2}$, pero entonces de aquí se sigue que ${i=\sqrt{p}}$.

Por tanto -con las restricciones que tenemos- concluimos que el mejor intervalo para probar divisibilidad para p es ${1<i\leq\sqrt{p}}$.

Éste fue un ejercicio divertido y curioso; no es necesariamente que sea lo más eficaz para saber cuál es el enésimo número primo p, sobre todo conforme p se vuelve más y más grande (¿Puedes explicar por qué?). Wolfram Mathematica, por ejemplo, da el enésimo número primo con la instrucción Prime[n], instantáneamente.

Finalmente lo importante no es el número, sino el procedimiento para obtenerlo, en este caso con C++ y no hay caso en por ejemplo almacenar números primos o cosas por el estilo (precisamente lo que busca el problema de Project Euler es resolverlo "a partir del suelo"). El programa utiliza ciclos y ese es uno de los principales limitantes, sin embargo aún puede haber formas de mejorarlo (¿puedes indicar alguna?). A continuación una forma de codificación del algoritmo en C++:

long long int big=1000000, cont=1, yes, p=3;
cout << "Calculando... Espera un momento";
for(int i=p; cont<big; i+=2)
{
       yes=1;
       for(int j=2; j<=i/j; j++)
       {
             if(i%j==0) { yes=0; break;}
       }
       if(yes!=0) {cont++; p=i;}
}
system("cls");
cout << "El primo " << big << " es " << p << endl;