x^4+y^4=z^4

El título de esta entrada, por supuesto, se refiere al Último Teorema de Fermat para el caso n=4. Este es de hecho el caso más sencillo y del único que se conoce una demostración (implícita, o que se sigue como corolario) de Pierre de Fermat, y que además demuestra el Último Teorema para todo n divisible por 4. Uno pensaría que el caso n=3, por ejemplo, es uno más sencillo, sin embargo se pueden leer demostraciones más elaboradas en general, como aquí se verá para los casos de números primos impares (distintos de 2). La primera demostración del caso n=3 se atribuye a Leonhard Euler. Después se demostrarían varios casos más, hasta la aparición de Andrew Wiles, que acabaría de una vez por todas con la diversión. El documental de la BBC que aquí pongo es imperdible (también he dedicado antes una entrada a Yutaka Taniyama). Aunque aquí no seguiré precisamente sus pasos, Fermat demuestra implícitamente el caso n=4 de su Último Teorema al demostrar que el área de un triángulo rectángulo no puede ser un cuadrado. ¿Cómo es que se relaciona esto con el Último Teorema? Fermat demuestra que no existen soluciones de la ecuación ${x^2=z^4-y^4}$. Haré un bosquejo rápido para relacionar el área de un triángulo rectángulo con la ecuación anterior. Un triángulo rectángulo de catetos ${\alpha,\beta}$ e hipotenusa $\gamma$, por el teorema de Pitágoras, cumple ${\alpha^2+\beta^2=\gamma^2}$. Si además, pedimos soluciones enteras, la última es una ecuación diofántica, cuyas soluciones ${(\alpha,\beta,\gamma)}$ se llaman ternas pitagóricas. En esta entrada he mostrado que ${(2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)}$ es terna pitagórica para ${p,q}$ coprimos y de paridad contraria. El área del triángulo rectángulo, como la conocemos desde la primaria, es $\displaystyle{\frac{\alpha\beta}{2}=pq(p^2-q^2)}$. Ahora bien, ${pq}$ y ${p^2-q^2}$ son coprimos, i.e. ${\mathrm{mcd}\left(pq,p^2-q^2\right)=1}$ (intenta demostrarlo por contradicción o de propiedades del mcd) y si el producto ${pq(p^2-q^2)}$ es igual a un cuadrado, en la entrada de ternas pitagóricas se ha mostrado que en estas condiciones, $p$ y $q$, (también ${pq}$ y ${p^2-q^2}$) son cuadrados. De aquí entonces, hagamos ${p=P^2}$, ${q=Q^2}$, de modo que para algún ${\zeta^2}$ se cumple ${\zeta^2=pq(P^4-Q^4)}$ y como $pq$ también es un cuadrado, digamos ${pq=\xi^2}$, se sigue que $\displaystyle{\left(\frac{\zeta}{\xi}\right)^2=P^4-Q^4}$. De ese modo Fermat razona que si el área de un triángulo rectángulo fuera un cuadrado, entonces existiría un par de potencias cuartas cuya diferencia sería un cuadrado. Al probar Fermat que el área de un triángulo rectángulo no puede ser un cuadrado, estaría además probando el Último Teorema para n=4, ya que si ${x^2=z^4-y^4}$ no tiene soluciones enteras, entonces ${\left(x^2\right)^2+y^4=z^4}$ tampoco tiene soluciones enteras. Así pues, hay que demostrar que ${x^4+y^4=z^2}$ no tiene soluciones enteras, y uno de los procedimientos más sencillos es precisamente siguiendo un camino parecido al que se siguió para encontrar las ternas pitagóricas. En general serán útiles algunas nociones sencillas de la entrada de ternas pitagóricas que aquí daré por sentado. Se sabe que si la ecuación anterior tiene soluciones, éstas son ternas pitagóricas, $${(x^2,y^2,z)=(2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)}$$ suponiendo sin pérdida de generalidad que ${x^2}$ es el término par. Bien, se sigue entonces que ${p^2=y^2+q^2}$, por tanto ${(q,y,p)}$ es otra terna pitagórica; asumamos ahora sin pérdida de generalidad que $q$ es el término par, de modo que para ${P,Q}$ coprimos y de paridad contraria, se tiene la terna pitagórica ${\left(2PQ,P^2-Q^2,P^2+Q^2\right)}$. Así pues, en términos de esta última terna, se tiene $$x^2=4PQ\left(P^2+Q^2\right)\hspace{0.25in}\text{i.e.}\hspace{0.25in}{PQ\left(P^2+Q^2\right)=\left(\frac{x}{2}\right)^2}$$ Ahora bien, ${\mathrm{mcd}(P,Q)=\mathrm{mcd}\left(PQ,P^2+Q^2\right)=1}$ (propiedades del mcd), y también, sabemos que ${PQ}$ y ${P^2+Q^2}$ por ser coprimos y cuyo producto es un cuadrado, ellos mismos son cuadrados, y así también $P$ y $Q$ son cuadrados, digamos que ${\rho^2=P}$, ${\delta^2=Q}$ y $\vartheta^2={P^2+Q^2}$ de modo que $$\rho^4+\delta^4=P^2+Q^2=\vartheta^2=p < p^2+q^2=z < z^2$$ es decir $$\vartheta^2 < z^2$$ esto es $$x^4+y^4=z^2\;\Longrightarrow\;\rho^4+\delta^4=\vartheta^2,\;\vartheta < z$$ y así también que exista la terna ${(\rho^2,\delta^2,\vartheta)}$ implica que existe otra ecuación con las mismas características con algún ${\epsilon<\vartheta}$, lo que implica que existe otra ecua... y así ad infinito, lo cual es imposible, ya que sabemos que los números naturales restantes son finitos o mejor dicho, los números naturales en general son bien ordenados, por lo que eventualmente no se encontrará otra ecuación que satisfaga lo anterior. A este tipo de demostración se le llama por descenso infinito, y de hecho se atribuye a Pierre de Fermat. Como se ha dicho, con esta demostración también de demuestra que ${x^4+y^4=z^4}$ no tiene soluciones enteras. Se asume que de aquí surgiría el Último Teorema de Fermat, cuyo nombre alude a que sería la única aseveración de Fermat que carecía de demostración, i.e. ya todos los teoremas de Fermat estaban demostrados, sólo quedaba un último teorema por demostrar. Claramente se puede extender aún más este resultado. Primero, el Último Teorema de Fermat es cierto para n divisible por 4, es decir, para algún $k$ tal que ${n=4k}$, de modo que $$\left(x^{k}\right)^4+\left(y^k\right)^4=\left(z^k\right)^4$$ en particular, ${2^u|4k}$ siempre que ${u>1}$, por lo que se confirma que el teorema de Fermat es cierto para potencias de dos. Esto es relevante, pues si existen soluciones de ${x^n+y^n=z^n}$, entonces n no puede ser potencia de dos, lo que implica que existe un primo ${p\neq{2}}$ tal que ${p|n}$, es decir, existe un $\kappa$ tal que ${n=p\kappa}$ y se buscaría resolver $$\left(x^\kappa\right)^p+\left(y^\kappa\right)^p=\left(z^\kappa\right)^p$$ y así, con el trabajo realizado, el Último Teorema de Fermat estaría demostrado (o confirmado), si se pudiera demostrar para cada primo ${p\neq{2}}$. Los primeros pasos en esta dirección fueron dados por Euler para ${p=3}$, Dirichlet y Legendre para ${p=5}$, etc... lo demás es historia (una gran historia).