¿Habías notado que
\begin{equation}(1+2+3+\ldots+n)^2=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3\end{equation} es decir
\begin{equation}\left(\sum_{k=1}^n{k}\right)^2=\sum_{k=1}^n{k^3}\label{nico1}\end{equation} ? Bueno, esta identidad me ha resultado impresionante, y la verdad es que no la conocía, siendo que es bastante antigua. Se atribuye principalmente al trabajo de Nicómaco de Gerasa por ahí de los siglos I y II.
Nicómaco hizo la siguiente observación:
Bueno, lo he dicho con mis palabras, pero entiéndase como
\begin{align}1&=1^3\label{nico2}\\3+5&=2^3\label{nico3}\\7+9+11&=3^3\label{nico4}\\13+15+17+19&=4^3\\21+23+25+27+29&=5^3\\&\vdots\nonumber\\(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+\ldots+(n^2+n-3)+(n^2-n-1)&=n^3,\;\forall{n}\in\mathbb{N}\end{align} es decir,
\begin{equation}\sum_{k=1}^n\left[(n^2-n-1)+2k\right]=n^3\end{equation} de aquí, sumando los respectivos lados de cada ecuación se debería recuperar (\ref{nico1}), pero antes de mostrarlo mediante este teorema de Nicómaco original, probémoslo de -la que me parece- la forma más elemental de hacerlo: Inducción Matemática.
Sabemos que (\ref{nico1}) es cierta para ${n=1}$, entonces supóngase que es cierta para algún ${n=m}$. Así pues, averigüemos qué pasa para ${n=m+1}$; tenemos que
\begin{equation}\left(\sum_{k=1}^{m+1}k\right)^2=\sum_{k=1}^{m+1}k^3\end{equation} escribiendo explícitamente el término $m+1$,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^{m}k+(m+1)\right)^2}=\sum_{k=1}^{m}k^3+(m+1)^3\end{equation} expandiendo el cuadrado,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^m{k}\right)^2+2(m+1)\sum_{k=1}^m{k}}+(m+1)^2=\sum_{k=1}^{m}k^3+(m+1)^3\end{equation} empleando la serie aritmética, $\sum_{k=1}^m{k}=m(m+1)/2$,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^m{k}\right)^2+m(m+1)^2+(m+1)^2}=\sum_{k=1}^{m}k^3+(m+1)^3\end{equation} es decir,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^m{k}\right)^2}=\sum_{k=1}^m{k^3}\end{equation} por tanto, en efecto, (\ref{nico1}) es cierta ${\forall{n\in\mathbb{N}}}$.
Demostrémosla ahora partiendo del Teorema de Nicómaco. Notemos que sumando los respectivos lados de (\ref{nico2}) con (\ref{nico3}), y luego (\ref{nico2}) con (\ref{nico3}) con (\ref{nico4}) y así con las siguientes, el Teorema nos dice que la suma de cubos de números naturales hasta $n$ es igual a la suma de tantos números impares como la serie aritmética hasta $n$, es decir
\begin{align}1^3+2^3&=1+3+5\\1^3+2^3+3^3&=1+3+5+7+9+11\\&\vdots\nonumber\\\sum_{k=1}^n{k^3}&=\sum_{k=1}^{n(n+1)/2}(2k-1)\end{align} Ahora es necesario hacer uso del llamado Teorema del Número Impar, que me limitaré a presentar con esta demostración sin palabras extraída del blog Bill The Lizard:
Lo que dice este teorema, y como muestra la imagen, es que
\begin{equation}n^2=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\end{equation} Así entonces concluímos que
\begin{equation}\sum_{k=1}^n{k^3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\end{equation} esto es,
\begin{equation}\sum_{k=1}^n{k^3}=\left(\sum_{k=1}^n{k}\right)^2\end{equation} como se esperaba.
Otra forma bastante interesante de presentar esta identidad, es como sigue,
\begin{align}\sum_{k=1}^n{k^3}&=\left(\frac{(n+1)!}{2(n-1)!}\right)^2\nonumber\\[0.1in]&=\left(\frac{(n+1)!}{2!((n+1)-2)!}\right)^2\nonumber\\[0.1in]&=\binom{n+1}{2}^2\end{align} y digo interesante, porque finalmente lo que expresa son dos formas distintas de contar una cantidad dada, así que es de esperar que se pueda obtener una expresión que involucre un combinatorio. Quizá demostrar la identidad en esta última forma, utilizando únicamente combinatoria sería una tarea un poco más elaborada (o lo contrario) pero también ingeniosa y divertida.
Las siguientes demostraciones sin palabras podrían ayudar también con un poco de intuición. Da clic para ver la fuente original.
y también,
\begin{equation}(1+2+3+\ldots+n)^2=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3\end{equation} es decir
\begin{equation}\left(\sum_{k=1}^n{k}\right)^2=\sum_{k=1}^n{k^3}\label{nico1}\end{equation} ? Bueno, esta identidad me ha resultado impresionante, y la verdad es que no la conocía, siendo que es bastante antigua. Se atribuye principalmente al trabajo de Nicómaco de Gerasa por ahí de los siglos I y II.
Nicómaco hizo la siguiente observación:
Teorema de Nicómaco:
La (suma) del primer número natural impar es igual al primer cubo, la suma de los dos siguientes números impares es igual al segundo cubo, la suma los tres siguientes impares es el tercer cubo, ...
Bueno, lo he dicho con mis palabras, pero entiéndase como
\begin{align}1&=1^3\label{nico2}\\3+5&=2^3\label{nico3}\\7+9+11&=3^3\label{nico4}\\13+15+17+19&=4^3\\21+23+25+27+29&=5^3\\&\vdots\nonumber\\(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+\ldots+(n^2+n-3)+(n^2-n-1)&=n^3,\;\forall{n}\in\mathbb{N}\end{align} es decir,
\begin{equation}\sum_{k=1}^n\left[(n^2-n-1)+2k\right]=n^3\end{equation} de aquí, sumando los respectivos lados de cada ecuación se debería recuperar (\ref{nico1}), pero antes de mostrarlo mediante este teorema de Nicómaco original, probémoslo de -la que me parece- la forma más elemental de hacerlo: Inducción Matemática.
Sabemos que (\ref{nico1}) es cierta para ${n=1}$, entonces supóngase que es cierta para algún ${n=m}$. Así pues, averigüemos qué pasa para ${n=m+1}$; tenemos que
\begin{equation}\left(\sum_{k=1}^{m+1}k\right)^2=\sum_{k=1}^{m+1}k^3\end{equation} escribiendo explícitamente el término $m+1$,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^{m}k+(m+1)\right)^2}=\sum_{k=1}^{m}k^3+(m+1)^3\end{equation} expandiendo el cuadrado,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^m{k}\right)^2+2(m+1)\sum_{k=1}^m{k}}+(m+1)^2=\sum_{k=1}^{m}k^3+(m+1)^3\end{equation} empleando la serie aritmética, $\sum_{k=1}^m{k}=m(m+1)/2$,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^m{k}\right)^2+m(m+1)^2+(m+1)^2}=\sum_{k=1}^{m}k^3+(m+1)^3\end{equation} es decir,
\begin{equation}{\left(\sum_{k=1}^m{k}\right)^2}=\sum_{k=1}^m{k^3}\end{equation} por tanto, en efecto, (\ref{nico1}) es cierta ${\forall{n\in\mathbb{N}}}$.
Demostrémosla ahora partiendo del Teorema de Nicómaco. Notemos que sumando los respectivos lados de (\ref{nico2}) con (\ref{nico3}), y luego (\ref{nico2}) con (\ref{nico3}) con (\ref{nico4}) y así con las siguientes, el Teorema nos dice que la suma de cubos de números naturales hasta $n$ es igual a la suma de tantos números impares como la serie aritmética hasta $n$, es decir
\begin{align}1^3+2^3&=1+3+5\\1^3+2^3+3^3&=1+3+5+7+9+11\\&\vdots\nonumber\\\sum_{k=1}^n{k^3}&=\sum_{k=1}^{n(n+1)/2}(2k-1)\end{align} Ahora es necesario hacer uso del llamado Teorema del Número Impar, que me limitaré a presentar con esta demostración sin palabras extraída del blog Bill The Lizard:
\begin{equation}n^2=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\end{equation} Así entonces concluímos que
\begin{equation}\sum_{k=1}^n{k^3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\end{equation} esto es,
\begin{equation}\sum_{k=1}^n{k^3}=\left(\sum_{k=1}^n{k}\right)^2\end{equation} como se esperaba.
Otra forma bastante interesante de presentar esta identidad, es como sigue,
\begin{align}\sum_{k=1}^n{k^3}&=\left(\frac{(n+1)!}{2(n-1)!}\right)^2\nonumber\\[0.1in]&=\left(\frac{(n+1)!}{2!((n+1)-2)!}\right)^2\nonumber\\[0.1in]&=\binom{n+1}{2}^2\end{align} y digo interesante, porque finalmente lo que expresa son dos formas distintas de contar una cantidad dada, así que es de esperar que se pueda obtener una expresión que involucre un combinatorio. Quizá demostrar la identidad en esta última forma, utilizando únicamente combinatoria sería una tarea un poco más elaborada (o lo contrario) pero también ingeniosa y divertida.
Las siguientes demostraciones sin palabras podrían ayudar también con un poco de intuición. Da clic para ver la fuente original.
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