El tiempo mínimo de evolución de un estado cuántico arbitrario a un estado ortogonal

Considera un sistema cuántico arbitrario en un estado puro arbitrario en $t=0$. Obtén una cota inferior para la cantidad de tiempo que le toma al sistema el evolucionar del estado original a un estado ortogonal como función del valor de expectación de la energía.

Parece bastante inocente y de hecho desde que uno aprende mecánica clásica naturalmente son la regla este tipo de problemas sobre encontrar el tiempo al que sucede tal o cual cosa. Como sea, al menos para la edad de la mecánica cuántica, la respuesta a este problema parece ser bastante reciente.

L. Vaidman, "Minimum time for the evolution to an orthogonal quantum state", Am. J. Phys. 60, 182-183 (1992)

J. Uffink, "The rate of evolution of a quantum state", Am. J. Phys. 61, 935 (1993)

N. Margolus, L. Levitin, "The maximum speed of dynamical evolution", arXiv:quant-ph/9710043, (1998)

El primero y el tercer artículo, en conjunto, responden con la expresión (aquí en unidades $\hbar=1$)
$$t\geq\max\left(\frac{\pi}{2\langle{H}\rangle},\frac{\pi}{2\sigma_H}\right)$$ donde $\sigma_H$ es la desviación estándar de la energía (el hamiltoniano) y $\langle{H}\rangle$ su valor de expectación. El último artículo (hasta donde sé) es la publicación del que se conoce como Teorema de Margolus-Levitin.

Del principio de incertidumbre de Heisenberg,
$$\sigma_H\sigma_\mathcal{A}\geq\frac{1}{2}\left|\langle\psi_t|[H,\mathcal{A}]|\psi_t\rangle\right|$$ y la ecuación de movimiento de Heisenberg para una observable $A(t)=e^{itH}\mathcal{A}e^{-itH}$ con $\partial_t\mathcal{A}=0$,
$$\frac{dA}{dt}=i[H,A]$$ Podemos emplear $|\psi_t\rangle=e^{-iHt}|\psi_0\rangle$ de modo que
$$\langle\psi_t|[H,\mathcal{A}]|\psi_t\rangle=\langle\psi_0|e^{iHt}[H,\mathcal{A}]e^{-iHt}|\psi_0\rangle =\langle\psi_0|[H,A]|\psi_0\rangle =\frac{1}{i}\frac{d\langle{A}\rangle_\mathcal{H}}{dt}$$ donde el subíndice $\mathcal{H}$ sólo pretende resaltar que el promedio está en la imagen de Heisenberg, i.e. $\langle{A}\rangle_\mathcal{H}\equiv\langle\psi_0|A|\psi_0\rangle$, el principio de incertidumbre entonces se puede escribir
$$\sigma_H\sigma_A\geq\frac{1}{2}\left|\frac{d\langle{A}\rangle_\mathcal{H}}{dt}\right|$$
Consideremos $A=|\psi_t\rangle\langle\psi_t|$ y sea $f(t)\equiv|\langle\psi_t|\psi_0\rangle|$, de modo que
$$\langle{A}\rangle_\mathcal{H}=f^2\hspace{0.5in}\text{y}\hspace{0.5in} \sigma_A=\sqrt{\langle{A}^2\rangle_\mathcal{H}-\langle{A}\rangle_\mathcal{H}^2}= f\sqrt{1-f^2}$$ ya que $A^2=A$, y así $\sigma_H\sqrt{1-f^2}\geq\left|\frac{df}{dt}\right|$. Por condición de normalización, $f(0)=1$, entonces podemos cambiar variables nuevamente con $f(t)=\cos\theta(t)$ y así entonces $\left|\frac{d\theta}{dt}\right|\geq\sigma_H$, que integrando de $t=0$ a $t=\tau$ se convierte en $\left|\theta(\tau)\right|\geq\sigma_H\tau$ y finalmente
$$|\langle\psi_\tau|\psi_0\rangle|\geq\cos\sigma_H\tau,\hspace{0.25in}0<\tau\leq\frac{\pi}{2\sigma_H}$$ de modo que se requiere un tiempo $$\begin{equation}t\geq\frac{\pi}{2\sigma_H}\label{bound1}\end{equation}$$ para que el sistema alcance un estado ortogonal.

Vale, esto es básicamente una paráfrasis de parte del contenido del artículo de Uffink y no hay mucho problema en seguirlo sabiendo lo básico de mecánica cuántica. Como sea, no responde la pregunta original tal como está planteada i.e. obtener el resultado en términos del promedio de la energía. Precisamente, uno de los problemas que resaltan Levitin y Margolus en su artículo es que hay casos en que uno puede construir un estado con una incertidumbre muy alta pretendiendo reducir el tiempo de evolución a un estado ortogonal, como parece sugerir la derivación del intervalo para $\tau$.

Thou shalt not attempt to trick the speed limit of dynamical evolution

Lo que hacen entonces -Margolus y Levitin- es considerar en general un sistema con $H=\sum_{j\geq0}E_j|E_j\rangle\langle{E}_j|$ en la base (de estados de energía) $\{|E_n\rangle\}$ y un estado arbitrario en esta base $|\psi_t\rangle=e^{-iHt}|\psi_0\rangle=\sum_{j\geq0}\alpha_je^{-iE_jt}|E_j\rangle$. Se quiere determinar una cota inferior para el tiempo $t$ tal que
$$\begin{equation}\langle\psi_0|\psi_t\rangle=\sum_{j\geq0}|\alpha_j|^2e^{-iE_jt}=0\label{ine1}\end{equation}$$ Dado que $\mathrm{Re}\langle\psi_0|\psi_t\rangle\sim\cos{E}_jt$ e $\mathrm{Im}\langle\psi_0|\psi_t\rangle\sim\sin{E}_jt$, se puede emplear una desigualdad que relacione ambas partes con un término lineal en $t$ y luego usar ($\ref{ine1}$). En particular, se puede usar la desigualdad $\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}\geq1-\frac{2}{\pi}x$ para $x\geq0$, con lo que se obtiene
$$\mathrm{Re}\langle\psi_0|\psi_t\rangle-\frac{2}{\pi}\mathrm{Im}\langle\psi_0|\psi_t\rangle\geq\sum_{j\geq0}|\alpha_n|^2\left(1-\frac{2}{\pi}E_jt\right)=1-\frac{2}{\pi}\langle{H}\rangle{t}$$ y entonces para $t$ tal que $\langle\psi_0|\psi_t\rangle=0$,
$$0\geq1-\frac{2}{\pi}\langle{H}\rangle{t}\,\Longrightarrow\,t\geq\frac{\pi}{2\langle{H}\rangle}$$ que puede proveer una mejor cota que ($\ref{bound1}$).

Vale, el argumento es excepcionalmente sencillo, pero el detalle fino está en la desigualdad empleada "$\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}\geq1-\frac{2}{\pi}x$ para $x\geq0$". Resulta un tanto irritante que los autores no lo justifiquen y hace sentir que uno no está viendo algo que debería resultarle obvio. Y pues... puede ser, pero al menos en este caso, módulo mi estupidez, parece no serlo del todo.

La razón de la elección de esta desigualdad es la siguiente: Primero, debe (en el sentido de ser computacionalmente económico) involucrar ambas la parte real y la parte imaginaria del bra-ket $\langle\psi_0|\psi_t\rangle$ y un término lineal en $t$ (i.e. en su argumento), luego, sin pérdida de generalidad, uno puede tomar una desigualdad de la forma $\cos{x}+\alpha\sin{x}\geq\beta-\gamma{x}$ para $x\geq0$ y notar que $\beta=1$ y $\alpha=\gamma=2/\pi$, es la única que minimiza simultáneamente la separación en la desigualdad para $x$ pequeño y la pendiente de la recta en el lado derecho de la desigualdad (lo que implicará el tiempo mínimo más grande, i.e. la mejor cota inferior en este caso).

Y pues sí, seguramente la forma más fácil de notarlo es graficar usando algún software, en mi caso Mathematica. Lo que muestra el GIF es: en azul y rojo, las funciones $\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}$ y $1-\frac{2}{\pi}x$, respectivamente, mientras que en morado y naranja muestra $\cos{x}+\alpha\sin{x}$ y $1-\gamma{x}$ con $\gamma$ tal que la separación en la desigualdad es mínima (i.e. que las dos curvas se igualan en un punto para el menor $x>0$ posible), además de la leyenda $\cos{x}+\alpha\sin{x}$. La parte complicada de esta visualización animada es la recta, i.e. determinar $\gamma$ dada $\alpha$ de modo que se sostenga la desigualdad y que la separación sea mínima para $x$ positivo y "pequeño". Básicamente lo que hice fue pedirle a Mathematica encontrar numéricamente varios ceros (numéricamente porque ni Mathematica ni yo lo logramos hacer analíticamente y suficientes para que la animación parezca ser continua) de $\cos{x}+\alpha\sin{x}=1+(\alpha\cos{x}-\sin{x})x$ y graficar usando las soluciones en $\gamma=\alpha\cos{x_0}-\sin{x_0}$ con $x_0$ dichas soluciones.

Ignoro la forma de mostrar rigurosamente que ésta elección de las constantes es la única que minimiza simultáneamente la separación en la desigualdad y la pendiente de la recta, aunque este argumento parece ser suficiente para justificar la elección de la desigualdad, finalmente cuando el parámetro $\alpha$ se vuelve muy grande la función $\cos{x}+\alpha\sin{x}$ degenera en rectas $x=n\pi$, así que no le queda más a la pendiente que vivir en el intervalo $(-\infty,-2/\pi]$.

Este resultado parece ser bien conocido en información cuántica y seguramente hay muchos trabajos más recientes en la frontera del tema. Uno directamente relacionado y que me ha parecido interesante, al menos por encima, es "The role of entanglement in dynamical evolution" de V. Giovannetti, S. Lloyd y L. Maccone.