Un Hamiltoniano igual a cero

Hoy recordé esta cuestión de que en Relatividad Especial uno siempre puede parametrizar una línea de mundo casi con el parámetro que se le dé la gana. Lo siguiente casi seguramente nunca se hace en la licenciatura porque lo que hay detrás es un mundo bastante grande, explorado por vez primera (hasta donde sé) por Dirac, sin embargo es un cálculo que si bien es desconcertante, puede abrir el apetito bastante para comenzar a explorar este mundo por cuenta propia. Únicamente se requiere saber Mecánica Clásica en formalismos de Lagrange y Hamilton.

Comparto lo siguiente a manera de puzzle:

1. Recuerda el Lagrangiano para una partícula de masa $m=1$ de posición $q$, sujeto a un potencial $V=V(q)$,
   \begin{equation}L=L(q,\dot{q})=\frac{1}{2}\dot{q}^2-V(q)\end{equation} de modo que la acción $S$ está dada por
   \begin{equation}S=\int_{t_1}^{t_2}{dt}\left[\frac{1}{2}\dot{q}^2-V(q)\right]\end{equation}
2. Introduce un nuevo parámetro $\lambda$ tal que $t=t(\lambda)$, de modo que obtengas que
   \begin{equation}S=\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}d\lambda\left[\frac{1}{2}\frac{\tilde{q}^2}{\tilde{t}}-V(q)\tilde{t}\right]\end{equation} donde ahora $\tilde{q}\equiv\frac{dq}{d\lambda}$.
3. Identifica el nuevo Lagrangiano
   \begin{equation}\mathcal{L}=\mathcal{L}(q,\tilde{q},\tilde{t})\equiv\frac{1}{2}\frac{\tilde{q}^2}{\tilde{t}}-V(q)\tilde{t}\end{equation}
   
4. Calcula el Hamiltoniano
   \begin{equation}\mathcal{H}\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\tilde{q}}\tilde{q}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\tilde{t}}\tilde{t}-\mathcal{L}\end{equation} y encuentra
   \begin{equation}\mathcal{H}=0\end{equation}
5. Si es la primera vez que obtienes un Hamiltoniano igual a cero de una teoría (Lagrangiano) que obviamente es dinámica, éste eres tú:
   
   

Los que ya saben qué ocurre seguramente se siguen deleitando con este resultado; de cualquier modo si no sabes por qué $\mathcal{H}=0$ puedes leer esta entrada: Cuantización de sistemas singulares e invariancia ante reparametrizaciones (que sobre cuantización de sistemas singulares tiene poco) que escribí cuando investigaba sobre el tema en un Proyecto Terminal de la Licenciatura y que muestra además cómo recuperar las ecuaciones de Schrödinger y de Klein-Gordon (en el caso relativista) al cuantizar. Como dije, el tema es bastante extenso y se conecta directamente, entre otras, a las teorías de norma (o gauge), así que puede ser un buen paso en una interesante dirección ;-)

Atractores Cosmológicos

En la UAM no existe tal cosa como la titulación por tesis a nivel licenciatura (que yo sepa), sin embargo existe algo análogo llamado Proyecto Terminal en donde uno básicamente tiene que desarrollar un tema en el que esté interesado y enfrentarse a las dificultades que implica la investigación científica.

Soy de la idea de que sería algo verdaderamente bueno el que hubiera acceso libre al trabajo generado en estos proyectos, al menos por parte de la misma comunidad; hay compañeros que parecen estudiar cosas bastante interesantes y generar contenido que puede resultar útil, e.g. código fuente, además de proporcionar algo así como una guía para quien apenas está en vías de decidir qué camino tomar. Aunque hay algo parecido, parece estar desactualizado, además de estar poco promovido y -a mi parecer- resultar poco atractivo. Como sea, lo siguiente es mi trabajo del primer proyecto (de dos), que cubre temas que no son vistos regularmente en la licenciatura (dos de ellos están escritos aquí: Sistemas Hamiltonianos Singulares y El modelo FLRW) y que afortunadamente entra en armonía con las noticias recientes acerca de inflación cosmológica.

Resumen
La naturaleza de las soluciones de tipo atractor en cosmología inflacionaria ha sido controversial, ya que este aparente comportamiento en sistemas cosmológicos con campo escalar y potencial inflacionario contradiría el teorema de Liouville, que afirma que el volumen de cualquier región dada en el espacio fase permanece invariante. En este trabajo se presentan algunos de los elementos físicos y matemáticos básicos necesarios para entender el concepto de atractores en modelos cosmológicos con campo escalar, así como para poder abordar algunos resultados recientes en el tema, como son [1] y [2]. Los principales temas tratados son: i) Sistemas Hamiltonianos Singulares, ii) El modelo de FLRW, iii) Las ecuaciones de Einstein acopladas a un campo escalar y iv) Inflación, Medidas y Atractores. Este trabajo cubre la primera parte de lo que se planea como dos proyectos terminales que se cubrirán en los dos trimestres consecutivos 14-I y 14-P. Por facilidad y plausibilidad se cita eventualmente código escrito para el software Wolfram Mathematica 8 al realizar diversos cálculos.

El enlace: Atractores Cosmológicos I

Cuantización de sistemas singulares e invariancia ante reparametrizaciones

Los conceptos necesarios para seguir esta entrada están discutidos con detalle aquí: Sistemas Hamiltonianos Singulares.

Partícula unidimensional parametrizada
El Lagrangiano de la partícula unidimensional de masa unitaria y de coordenada ${x=x(t)}$ sujeta a un potencial ${V=V(x)}$ es de la forma
\begin{equation}L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}\dot{x}^2-V(x)\end{equation} que evidentemente no es singular, y la correspondiente acción está dada por
\begin{equation}S\equiv\int_{A}^{B}L\,dt=\int_A^B\left(\frac{1}{2}\dot{x}^2-V(x)\right)\,dt\end{equation} para la partícula fija en los extremos temporales ${A,B}$. Ahora considérese introducir un parámetro $\tau$ tal que ${x=x(\tau)}$ y ${t=t(\tau)}$ con ${\tau\in[\alpha,\beta]}$, entonces puede escribirse
\begin{align}S&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2}{\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2}-V(x)\right]\frac{dt}{d\tau}\,d\tau\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}-t^\prime\,V(x)\right]\,d\tau\label{dagger}\end{align} donde ${x^\prime\equiv{dx}/d\tau}$ y de manera análoga para ${t^\prime}$. Sin embargo parece que esta elección fue bastante particular, mejor considérese una reparametrización general ${\tau\to{f}={f}(\tau)}$ que solo por consistencia mantenga ${f(\alpha)=\alpha}$, ${f(\beta)=\beta}$ y ${f^\prime>0}$, de modo que (\ref{dagger}) se escribe
\begin{align}S&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{df}\right)^2}{\left(\frac{dt}{df}\right)}-\frac{dt}{df}\,V(x)\right]df\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{d\tau}\frac{d\tau}{df}\right)^2}{\left(\frac{dt}{d\tau}\frac{d\tau}{df}\right)^2}-\frac{dt}{d\tau}\frac{d\tau}{df}\,V(x)\right]\frac{df}{d\tau}d\tau\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2}{\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2}-\frac{dt}{d\tau}\,V(x)\right]\left(\frac{d\tau}{df}\right)\left(\frac{d\tau}{df}\right)^{-1}d\tau\nonumber\\
&=\int_\alpha^\beta\left[\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}-t^\prime\,V(x)\right]\,d\tau\end{align} y entonces esta acción es invariante ante reparametrizaciones.

Ahora bien, con el nuevo Lagrangiano en el parámetro $\tau$, se tiene que
\begin{equation}L=\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}-t^\prime{V}(x)\end{equation} y así, la matriz Hessiana
\begin{align}W\equiv\left(\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^j}\right)=\begin{pmatrix}\frac{1}{t^\prime}&-\frac{x^\prime}{t^{\prime\,2}}\\
-\frac{x^\prime}{t^{\prime\,2}}&\frac{x^{\prime\,2}}{t^{\prime\,3}}\end{pmatrix}\end{align} cuyo determinante evidentemente es nulo. Aquí se tiene entonces que la invariancia ante reparametrizaciones es una simetría local que introducirá nuevas restricciones en el sistema que originalmente no habían. Ésta es precisamente una característica de las teorías covariantes generales (o con covariancia general), en donde la idea es que las coordenadas son meros artificios para describir la teoría y no juegan un papel fundamental en la naturaleza.

Véase que se ha llegado aquí con el solo hecho de volver a $t$ una coordenada más y dejar al simple parámetro $\tau$ jugar el papel de $t$. Para pasar a la descripción Hamiltoniana, se tiene que
\begin{align}p_x&=\frac{\partial{L}}{\partial{x}^\prime}=\frac{x^\prime}{t^\prime}\\
p_t&=\frac{\partial{L}}{\partial{t}^\prime}=-\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^{\prime\,2}}-V(x)\end{align} y la restricción primaria es
\begin{equation}\phi_1=\frac{1}{2}p_x^2+p_t+V(x)\approx0\end{equation} de modo que para el Hamiltoniano Total,
\begin{align}\mc{H}_T&=q^{\prime\,i}p_i-L+u^1\phi_1\nonumber\\
&=x^{\prime}p_x+t^{\prime}p_t-\frac{1}{2}\frac{x^{\prime\,2}}{t^\prime}+t^\prime{V}(x)+u^1\phi_1\nonumber\\
&=u^1\phi_1\end{align} de donde se sigue que el Hamiltoniano Canónico es nulo, ${\mc{H}=0}$ (!).

Esto resultaría desconcertante si se desconociera el trabajo de Dirac. Aquí se tiene idénticamente ${\{\phi_1,\mc{H}_T\}=0}$ con la conservación de la restricción primaria, que además es de primera clase y por lo que no hay más restricciones y ${u^1}$ queda indeterminado. En este caso el generador de la transformación de norma para algún ${\epsilon=\epsilon(t)}$ arbitrario es
\begin{equation}G=\epsilon\phi_1\end{equation} de modo que las transformaciones de norma infinitesimales son
\begin{align}
\delta{x}&\approx\{x,G\}=\frac{\partial{G}}{p_x}=\epsilon{p}_x\\
\delta{t}&\approx\{t,G\}=\frac{\partial{G}}{\partial{p}_t}=\epsilon\\
\delta{p}_x&\approx\{p_x,G\}=-\frac{\partial{G}}{\partial{x}}=-\frac{dV}{dx}\\
\delta{p}_t&\approx\{p_t,G\}=-\frac{\partial{G}}{\partial{t}}=0
\end{align} Finalmente véase que al cuantizar, ya que
\begin{equation}\hat{\phi}_1\psi=0\end{equation} se sigue que
\begin{align}\hat{p}_t\psi=\left[-\frac{1}{2}\hat{p}_x^2-\hat{V}(x)\right]\psi\end{align} es decir,
\begin{align}i\hbar\frac{\p\psi}{\p{t}}=\left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\p^2}{\p{x}^2}+\hat{V}(x)\right]\psi\end{align} que es la ecuación de Schrödinger unidimensional para una partícula de masa unitaria sujeta a un potencial ${V(x)}$.

Partícula libre unidimensional relativista
En este caso se considera de manera análoga en un parámetro $\tau$ el Lagrangiano
\begin{equation}L(t,t^\prime,x,x^\prime)=-\sqrt{t^{\prime\,2}-x^{\prime\,2}}\end{equation} que básicamente surge de que la acción de una partícula relativista viajando en una línea de mundo $\mc{C}$ es $S=-\int_\mc{C}ds$ (el signo negativo simplemente hace que la aproximación Newtoniana se recupere eligiendo a $t$ como parámetro) y que puede verificarse es singular mediante el determinante de la matriz Hessiana, además de mantener invariante la acción ante reparametrizaciones. Los momentos conjugados son
\begin{align}p_t&=\frac{\p{L}}{\p{t}^\prime}=-\frac{t^\prime}{\sqrt{t^{\prime\,2}-x^{\prime\,2}}}\\
p_x&=\frac{\p{L}}{\p{x}^\prime}=\frac{x^\prime}{\sqrt{t^{\prime\,2}-x^{\prime\,2}}}\end{align} y la restricción primaria puede proponerse como
\begin{equation}\phi\equiv\frac{1}{2}\left({p}_x^2-p_t^2+1\right)\approx0\end{equation} además, construyendo el Hamiltoniano Total es evidente que éste es proporcional a la restricción, de modo que el Hamiltoniano Canónico nuevamente es nulo y se sigue que la restricción primaria es de primera clase. Para algún ${\epsilon=\epsilon(t)}$ arbitrario, la función generadora es ${G=\epsilon\phi}$, de modo que las transformaciones de norma infinitesimales son
\begin{align}
\delta{t}&=-p_t\\
\delta{x}&=p_x\\
\delta{p_t}&=\delta{p}_x=0
\end{align} Finalmente de manera análoga al ejemplo anterior, al cuantizar, ${\hat{\phi}\psi=0}$ se traduce en
\begin{equation}\left(1+\hat{p}_x^2-\hat{p}_t^2\right)\psi=0\end{equation} es decir
\begin{equation}\left(\frac{\p^2}{\p{t}^2}-\frac{\p^2}{\p{x}^2}+\frac{1}{\hbar^2}\right)\psi=0\end{equation} o bien
\begin{equation}\left(\square+\frac{1}{\hbar^2}\right)\psi=0\end{equation} que es la ecuación de Klein-Gordon en unidades naturales (${c=1}$) para una partícula libre unidimensional y de masa unitaria. En [1] se discute a detalle el proceso de cuantización y cómo la recuperación de estas ecuaciones al cuantizar, junto con otras características, constituyen ejemplos de la consistencia del método de Dirac.

[1] Luis F. Urrutia, Introducción a la cuantización de sistemas singulares, Curso presentado en la VII Escuela de Verano en Física: La visión molecular de la materia.

Sistemas Hamiltonianos Singulares

Las teorías de norma (empleo norma como traducción de gauge) son sistemas con constricciones cuya dinámica se deriva de los llamados Lagrangianos singulares. En general un Lagrangiano singular posee simetrías locales de gran relevancia para la teoría de norma en cuestión; para esto se puede emplear tanto una formulación Lagrangiana como una formulación Hamiltoniana. La discusión sistemática de la formulación Hamiltoniana de teorías de norma se debe a Paul Dirac en los primeros dos capítulos de [2]. Tales teorías son de particular relevancia, dado que todas las interacciones de la naturaleza presuntamente son teorías de norma.

Una teoría de norma puede pensarse como aquella en que las variables dinámicas están especificadas con respecto a un marco de referencia cuya elección es arbitraria para todo tiempo, y tienen como propiedad característica que la solución general de las ecuaciones de movimiento contienen funciones arbitrarias dependientes del tiempo, i.e. variables no observables o variables físicamente irrelevantes, llamadas variables (grados de libertad) gauge o de norma.

En [1] se muestra que aunque la medida de Liouville (localmente una medida ${6n}$-dimensional de Lebesgue) se conserva, el volumen en el espacio fase es puramente un término de norma, por lo que resulta de importancia dedicar una sección al estudio de los sistemas dinámicos singulares e introducir algunos conceptos de las teorías de norma.

Formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana
Comenzando por la formulación Lagrangiana, las condiciones para que la acción de un sistema clásico sea estacionaria son las ecuaciones de Euler-Lagrange
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}^i}=0\label{1}\end{equation} para las coordenadas generalizadas ${q^i(i=1,\ldots,N)}$ y la Lagrangiana ${L=L(q,\dot{q})}$, de modo entonces que también se tiene ${\partial_{\dot{q}}L=\partial_{\dot{q}}L(q,\dot{q})}$, y así, por regla de la cadena, la ec. (\ref{1}) se escribe como
\begin{equation}\ddot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}\dot{q}^i}=\frac{\p{L}}{\partial{q}^i}-\dot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial{q}^{\tilde{\imath}}\partial\dot{q}^i}\end{equation} de donde se tiene que si la matriz Hessiana
\begin{equation}W\equiv\left(\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}}\right)\end{equation} es invertible, entonces las aceleraciones ${\ddot{q}^{\tilde{\imath}}}$ están unívocamente determinadas por las posiciones y las velocidades en todo tiempo $t$, lo que se reduce a pedir que $\det(W)\neq0$.

Restricciones Primarias
El caso de interés en una teoría de norma es precisamente en el que $\det(W)=0$, y en ese caso se habla de un Lagrangiano $L$ singular. Esto es equivalente a que por definición del momento conjugado a ${q^i}$,
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}\label{2}\end{equation} no habrá invertibilidad en general de ${\dot{q}^i}$ en términos de ${q^i,\,p_i}$, de modo que existen ciertas restricciones o constricciones
\begin{equation}\phi_j(q,p)=0,\hspace{0.5in}j=1,\ldots,M\end{equation} para los momentos conjugados llamadas primarias (primary constraints en la terminología de Dirac) dado que no implican restricción en las coordenadas ni en las velocidades y que no se emplearon directamente las ecuaciones (\ref{1}) ni de Hamilton para obtenerlas, sino únicamente la definición del momento conjugado. Aquí ${M=N-R}$ con $R$ el rango de $W$.

Estas restricciones primarias definen una subvariedad ${\Gamma_P\subset\Gamma}$ suavemente encajada en el espacio fase $\Gamma$ naturalmente llamada la superficie de constricción primaria. Sobre las restricciones primarias deben establecerse ciertos criterios de regularidad; para el detalle sobre estas condiciones véase la §1.1.2 de [3].

Ecuaciones de Hamilton
Luego para pasar a la descripción Hamiltoniana a partir de la Lagrangiana, se introduce el Hamiltoniano canónico $\mathcal{H}$ como
\begin{equation}\mathcal{H}\equiv\dot{q}^ip_i-L\end{equation} que en los cursos básicos de mecánica suele hacerse énfasis en que éste es dependiente de coordenadas y momentos, no velocidades. Esto puede verse evaluando el cambio $\delta\mc{H}$ frente a variaciones arbitrarias e independientes de coordenadas y velocidades, i.e.
\begin{align}\delta\mc{H}&=\dot{q}^i\delta{p}_i+p_i\delta\dot{q}^i-\underbrace{\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}}_{\equiv{p}_i}\delta\dot{q}^i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\nonumber\\
&=\dot{q}^i\delta{p}_i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\label{3}\end{align} donde $\delta{p}_i$ no es una variación independiente sino una combinación lineal de ${\delta{q}^i}$ y ${\delta\dot{q}^i}$ dado que $p=p(q,\dot{q})$. Esto significa entonces que ${\mc{H}=\mc{H}(p,q)}$, de modo que también se satisface
\begin{equation}\delta\mc{H}=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}\delta{p}_i+\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\end{equation} entonces igualando con (\ref{3}),
\begin{equation}\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}-\dot{q}^i\right)\delta{p}_i+\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\right)\delta{q}^i=0\end{equation} donde evidentemente a partir de la definición (\ref{2}), ${\dot{p}=\p_{q}L}$, sin embargo recuérdese que para el caso de interés, $\delta{p}$ debe mantener las restricciones primarias.

En [3] (Teorema 1.2) o en [4] (Proposición 2, §3.3), de distinta forma, puede verificarse que entonces existen ciertos parámetros ${u^j}$ tales que
\begin{align}\dot{q}^i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{p}_i}\\
\dot{p}_i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{q}^i}\\
\phi_j&(q,p)=0\label{4}\end{align} que generaliza las ecuaciones de Hamilton cuando $\mc{H}$ está bien definido sobre ${\Gamma_P}$. Es relevante incluir la última ecuación y hacer énfasis en que se satisface luego de realizar las derivadas parciales en las ecuaciones anteriores. Los $M$ parámetros ${u^j}$ pueden interpretarse en general como parámetros indeterminados de Lagrange ([3]) o bien en [4] se emplean directamente como velocidades ${\dot{q}^j}$ indeterminadas.

De manera análoga al caso no singular, en términos de sistemas singulares la derivada temporal de cualquier función arbitraria ${f=f(q,p)}$ puede escribirse en términos del conocido paréntesis de Poisson
\begin{equation}\{A,B\}\equiv\frac{\p{A}}{\p{q}^i}\frac{\p{B}}{\p{p}_i}-\frac{\p{A}}{\p{p}_i}\frac{\p{B}}{\p{q}^i}\end{equation} como
\begin{equation}\dot{f}=\{f,\mc{H}\}+u^j\{f,\phi_j\}\label{5}\end{equation}

Restricciones Secundarias
Una de las consecuencias de las ecuaciones (\ref{4}), en términos de Dirac, son las llamadas restricciones secundarias, llamadas así precisamente por obtenerse de las ecuaciones de Hamilton, opuesto a las restricciones primarias. Evidentemente las restricciones primarias deben conservarse, por lo que
\begin{equation}\dot{\phi}_j=\{\phi_j,\mc{H}\}+u^{\tilde{\jmath}}\{\phi_j,\phi_{\tilde{\jmath}}\}=0\label{6}\end{equation} que en caso de no imponer restricciones en las ${u^j}$ y de que la relación de coordenadas y momentos sea independiente de las restricciones primarias ([3]), las relaciones (\ref{6}) se llamarán restricciones secundarias. Análogamente las condiciones secundarias al conservarse pueden implicar nuevas condiciones secundarias y así nuevamente.

Ecuaciones Débiles: Restricciones de Primera y Segunda Clase
Luego de las ecuaciones (\ref{4}) deben asumirse las restricciones primarias a las que está sujeto el sistema singular. Como definición, Dirac introduce el concepto de ecuación débil como sigue: ${f\approx{g}}$ significa que $f$ es débilmente igual a $g$ siempre que $f$ es igual a $g$ en ${\Gamma_P\subset\Gamma}$. En contraste, la ecuación ${f=g}$ puede ser referida como fuerte en tanto es cierta en todo $\Gamma$. La ecuación débil ${f\approx{g}}$ entonces es una notación pŕactica equivalente a escribir ([3])
\begin{equation}f\approx{g}\,\Longleftrightarrow\,f-g=c^j\phi_j\end{equation} para algún ${c^j=c^j(q,p)}$, o bien, aún más explícitamente, como el conjunto de ecuaciones ([4])
\begin{align}f&=g\\
\phi_j&=0\end{align} Una vez que se han extraido todas las constricciones independientes del sistema $\varphi_\ell\,(\ell=1,\ldots,M,\ldots,\tilde{M})$, primarias y secundarias, éstas pueden clasificarse en constricciones de primera clase y de segunda clase.

Las constricciones $\gamma_{c_1}$ serán llamadas de primera clase, si su paréntesis de Poisson con todas las constricciones se anula débilmente,
\begin{equation}\{\gamma_{c_1},\varphi_\ell\}\approx0,\hspace{0.2in}\forall\ell,\,c_1=1,\ldots,N_1\end{equation} al resto de constricciones se les llama de segunda clase y les denotaré con ${\chi_{c_2}\,(c_2=1,\ldots,N_2)}$, con ${\tilde{M}=N_1+N_2}$, que se asume son tales que no existe combinación lineal que sea de primera clase.

En general cualquier función ${f=f(q,p)}$ que satisfaga
\begin{equation}\{f,\varphi_\ell\}\approx0,\,\forall\ell\end{equation} se dirá de primera clase y la que no lo satisfaga, se dirá de segunda clase.

El Hamiltoniano Total
Ya que se han extraido todas las constricciones ${\varphi_\ell}$, entonces ya se pueden estudiar las restricciones sobre las ${u^j}$ que imponen las ecuaciones
\begin{equation}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}\approx0\label{8}\end{equation} En [3] se encuentra que la solución general es de la forma
\begin{equation}u^j\approx{U}^j+v^a{V_a}^j\end{equation} donde $U^j$ es una solución particular de la ecuación inhomogénea, i.e.
\begin{equation}U^j\approx-\{\phi_j,\,\varphi_\ell\}^{-1}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}\end{equation} y ${v^a{V_a}^j}$ es la solución más general (una combinación lineal con ${a=1,\ldots,A}$) de la ecuación homogénea asociada con coeficientes ${v^a}$ arbitrarios, i.e.
\begin{equation}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}\approx0\label{9}\end{equation} Así entonces, las ecuaciones (\ref{5}) pueden escribirse simplemente como
\begin{equation}\dot{f}\approx\{f,\mc{H}_T\}\label{10}\end{equation} donde se define el llamado Hamiltoniano Total ${\mc{H}_T}$ como
\begin{equation}\mc{H}_T\equiv\mc{H}+(U^j+v^a{V_a}^j)\phi_j\end{equation} es decir, definiendo
\begin{align}\mc{H}^\prime&\equiv\mc{H}+U^j\phi_j\\
\phi_a&\equiv{V_a}^j\phi_j\end{align} se tiene que
\begin{equation}\mc{H}_T=\mc{H}^\prime+v^a\phi_a\end{equation} que se sabe contiene $A$ funciones arbitrarias ${v^a}$ -que no son funciones a priori de las variables canónicas- y que hace (\ref{10}) equivalente a las ecuaciones de Euler-Lagrange (\ref{1}).

Transformaciones de Norma
Las constricciones de primera clase están íntimamente conectadas con los grados de libertad de norma. La presencia de las funciones arbitrarias ${v^a}$ en ${\mc{H}_T}$ es lo primero que señala que no todas las variables canónicas son observables; esto significa que aunque el estado físico de un sistema está dado una vez conocidas las variables canónicas, habrá más de un conjunto de funciones de las variables canónicas representando el mismo estado. Sin embargo, dado un conjunto inicial de variables canónicas, las ecuaciones de movimiento deben determinar completamente el estado físico del sistema en tiempos posteriores. Así entonces cualquier ambigüedad en el valor de las variables canónicas en un tiempo distinto a un tiempo con condiciones iniciales dadas debe ser una ambigüedad físicamente irrelevante. Una transformación que no altera el estado físico de un sistema se llama entonces transformación de norma.

Considérese una variable dinámica ${f=f(q,p)}$ con un valor inicial ${f_0}$ dado. El valor de $f$ en un tiempo $\delta{t}\ll1$ (conociendo las expresiones dadas por (\ref{10})) es
\begin{equation}f(\delta{t})=f_0+\left(\{f,\mc{H}^\prime\}+v^a\{f,\phi_a\}\right)\delta{t}\end{equation} Ahora bien, ya que los valores ${v^a}$ son arbitrarios, supóngase que para el mismo $f$ con valor inicial ${f_0}$, se elige un valor ${\tilde{v}^a}$; entonces la diferencia ${\Delta{f}}$ entre los valores de $f$ en un tiempo $\delta{t}$ será
\begin{equation}\Delta{f}(\delta{t})=\delta\varepsilon^a\{f,\phi_a\}\label{11}\end{equation} con $\delta\varepsilon^a\equiv(v^a-\tilde{v}^a)\delta{t}$, que precisamente dada la arbitrariedad de los ${v^a}$, debe ser físicamente irrelevante, i.e. $f$ describe el mismo estado al tiempo $\delta{t}$. Éstas son precisamente transformaciones de norma. La función generadora de esta transformación infinitesimal es ${\delta\varepsilon^a}$.

Nótese que de (\ref{8}),
\begin{align}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}&=-\{\mc{H},\varphi_\ell\}-u^j\{\phi_j,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}+u^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime+v^a{V_a}^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime,\,\varphi_\ell\}-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} y por (\ref{9}),
\begin{align}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}=-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} por lo que ${\phi_a}$ y por tanto también ${\mc{H}^\prime}$ y por tanto también ${\mc{H}_T}$ son de primera clase.

Esto significa entonces junto con (\ref{11}), que las restricciones primarias de primera clase generan transformaciones de norma.

En general, en [3] puede verse que el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\phi_{\tilde{a}}\}}$ de cualesquiera dos restricciones primarias de primera clase y el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ de cualquier restricción primaria de primera clase y el Hamiltoniano de primera clase, generan una transformación de norma. Estos paréntesis de Poisson serán a su vez de primera clase. Aunque parece bastante inofensivo, en [5] puede leerse que Dirac fue quien propuso que ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ sería también generador de transformaciones gauge y pasarían alrededor de cuarenta años antes de que esta propuesta se demostrara en [3].

Dirac postularía luego que toda restricción secundaria de primera clase también genera transformaciones gauge (conjetura de Dirac), sin embargo pueden generarse contraejemplos, y aunque nada impide que aparezcan restricciones secundarias de primera clase, típicamente únicamente se asume que todas las restricciones de primera clase generan transformaciones de norma ([3]).

El Hamiltoniano Extendido
En la sección del Hamiltoniano Total se consideran únicamente las restricciones primarias de primera clase al llegar al Hamiltoniano Total. Al considerar de manera análoga también las restricciones secundarias de primera clase, se obtiene el llamado Hamiltoniano Extendido ${\mc{H}_E}$, de modo que éste podrá contener tantas transformaciones de norma arbitrarias como restricciones de primera clase. De este modo entonces,
\begin{equation}\mc{H}_E\equiv\mc{H}^\prime+v^a\gamma_a\end{equation} es la forma del Hamiltoniano Extendido, que es una función de primera clase. La etiqueta de extendido se refiere al hecho de que ${\mc{H}_E}$ extiende --y no solo recupera, como ${\mc{H}_T}$-- el formalismo Lagrangiano al considerar todos los grados de libertad de norma posibles. Así entonces Hamiltoniano Extendido da la evolución temporal más general posible para cualquier sistema singular o con libertad de norma.

Paréntesis de Dirac
Considérense todas las restricciones de segunda clase $\chi_{\mc{C}_1}$ tales que no existe combinación lineal de ellas que sea de primer clase. Tomemos dos restricciones $\varphi_{_{1,2}}$ tales que
\begin{equation}\{\chi_{_1},\chi_{_2}\}=\mc{C}\end{equation} para alguna constante $\mc{C}$ y ahora supóngase que se emplea cuantización canónica de modo que
\begin{equation}[\hat{\chi}_{_1},\,\hat{\chi}_{_2}]=i\hbar\mc{C}\label{7}\end{equation} con el conmutador ${[\hat{A},\hat{B}]\equiv\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}}$. Clásicamente debe satisfacerse
\begin{equation}\chi_{_{1,2}}\approx0\end{equation} lo que no puede llevarse a ${\hat{\chi}_{_{1,2}}\psi=0}$, pues se tendría una contradicción con (\ref{7}).

El argumento de Dirac ([2]) es entonces simplemente ignorar estos grados de libertad y trabajar únicamente con los grados de libertad restantes con un paréntesis de Poisson modificado que respete las restricciones del sistema y lleve a una cuantización consistente.

Las restricciones de segunda clase no son generadores de transformaciones de norma; su existencia únicamente significa que que hay grados de libertad irrelevantes físicamente. Lo que se hace entonces es generalizar el paréntesis de Poisson al llamado paréntesis de Dirac, que contiene únicamente grados de libertad con relevancia física y con el que se puede llevar a cabo una cuantización consistente.

Considérense todas las constricciones de segunda clase $\chi$ (tales que no puede construirse una combinación lineal de éstas que sea de primer clase). Dirac demuestra ([2]) que la matriz de coeficientes
\begin{equation}C_{ab}\equiv\{\chi_a,\,\chi_b\}\end{equation} tiene determinante no nulo de modo que (en este caso) la inversa ${C^{ab}}$ existe ([2]), satisfaciendo
\begin{equation}C^{ab}C_{bc}={\delta^a}_b\end{equation} El paréntesis de Dirac entre dos funciones del espacio fase ${f,g}$ entonces se define como
\begin{equation}\{f,g\}^*\equiv\{f,g\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,g\}\end{equation} Este nuevo paréntesis por supuesto debe satisfacer bilinealidad, antisimetría, ley del producto y la identidad de Jacobi justo como lo hace el paréntesis de Poisson; además obviamente debe reducirse al paréntesis de Poisson para sistemas no singulares.

Dos consecuencias importantes de el paréntesis de Dirac son las siguientes. Primero, las ecuaciones de movimiento (\ref{10}) pueden escribirse en términos del paréntesis de Dirac de manera equivalente,
\begin{equation}\{f,\mc{H}_T\}^*\approx\{f,\mc{H}_T\}\end{equation} ya que se sabe que ${\mc{H}_T}$ es de primera clase. Además el paréntesis de Dirac de cualquier variable dinámica $f$ con cualquier variable $\chi_{_\zeta}$ se anulará,
\begin{align}\{f,\chi\}^*&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,\chi_\zeta\}\nonumber\\
&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}{\delta^a}_\zeta\nonumber\\
&=0\end{align} esto significa entonces que puede tomarse ${\chi=0}$ en sentido fuerte. De este modo uno puede deshacerse de las restricciones de segunda clase y entonces proceder a una cuantización canónica de forma consistente únicamente con restricciones de primera clase.

Al emplear los paréntesis de Dirac e imponer fuertemente las constricciones de segunda clase sugiere emplear el proceso conocido como \emph{fijar la norma}, que consiste básicamente en escoger un punto representativo del sistema en cada órbita generada por las restricciones de primera clase ([6]).

Cuantización Estándar
En [6] se muestra de manera condensada el proceso de cuantización estándar, mismo que por completitud se presenta en este trabajo. Para cuantizar se considera el siguiente procedimiento:
i) Se introducen los paréntesis de Dirac, imponiendo fuertemente las constricciones de segunda clase.
ii) Se cuantiza con el principio de correspondencia
\begin{equation}[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar\{A,B\}^*\end{equation} iii) Las restricciones de primera clase se promueven a operadores, pidiendo que aniquilen el estado cuántico del sistema ${|\psi\rangle}$, i.e.
\begin{equation}\hat\gamma|\psi\rangle=0\end{equation} de modo que el estado cuántico del sistema sea invariante de norma.
iv) Se construye el Hamiltoniano Total y la evolución del sistema cuántico está dada por
\begin{equation}i\hbar\frac{d|\psi\rangle}{dt}=\hat{\mc{H}}_T|\psi\rangle\end{equation}

[1] Alejandro Corichi & David Sloan, Inflationary Attractors and their Measures, arXiv: 1310.6399 (2013).
[2] Paul A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Dover Publications, 2001.
[3] Marc Henneaux & Claudio Teitelbom, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, 1994.
[4] Heinz Rothe & Klaus Rothe, Classical and Quantum Dynamics of Constrained Hamiltonian Systems, World Scientific Publishing, 2010.
[5] Yong-Long Wang et al., The Dirac Conjecture and the Non-uniqueness of Lagrangian, arXiv: 1306.3580v5 (2013).
[6] Luis F. Urrutia, Introducción a la cuantización de sistemas singulares, Curso presentado en la VII Escuela de Verano en Física: La visión molecular de la materia.