Las teorías de norma (empleo norma como traducción de gauge) son sistemas con constricciones cuya dinámica se deriva de los llamados Lagrangianos singulares. En general un Lagrangiano singular posee simetrías locales de gran relevancia para la teoría de norma en cuestión; para esto se puede emplear tanto una formulación Lagrangiana como una formulación Hamiltoniana. La discusión sistemática de la formulación Hamiltoniana de teorías de norma se debe a Paul Dirac en los primeros dos capítulos de [2]. Tales teorías son de particular relevancia, dado que todas las interacciones de la naturaleza presuntamente son teorías de norma.
Una teoría de norma puede pensarse como aquella en que las variables dinámicas están especificadas con respecto a un marco de referencia cuya elección es arbitraria para todo tiempo, y tienen como propiedad característica que la solución general de las ecuaciones de movimiento contienen funciones arbitrarias dependientes del tiempo, i.e. variables no observables o variables físicamente irrelevantes, llamadas variables (grados de libertad) gauge o de norma.
En [1] se muestra que aunque la medida de Liouville (localmente una medida ${6n}$-dimensional de Lebesgue) se conserva, el volumen en el espacio fase es puramente un término de norma, por lo que resulta de importancia dedicar una sección al estudio de los sistemas dinámicos singulares e introducir algunos conceptos de las teorías de norma.
Formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana
Comenzando por la formulación Lagrangiana, las condiciones para que la acción de un sistema clásico sea estacionaria son las ecuaciones de Euler-Lagrange
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}^i}=0\label{1}\end{equation} para las coordenadas generalizadas ${q^i(i=1,\ldots,N)}$ y la Lagrangiana ${L=L(q,\dot{q})}$, de modo entonces que también se tiene ${\partial_{\dot{q}}L=\partial_{\dot{q}}L(q,\dot{q})}$, y así, por regla de la cadena, la ec. (\ref{1}) se escribe como
\begin{equation}\ddot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}\dot{q}^i}=\frac{\p{L}}{\partial{q}^i}-\dot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial{q}^{\tilde{\imath}}\partial\dot{q}^i}\end{equation} de donde se tiene que si la matriz Hessiana
\begin{equation}W\equiv\left(\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}}\right)\end{equation} es invertible, entonces las aceleraciones ${\ddot{q}^{\tilde{\imath}}}$ están unívocamente determinadas por las posiciones y las velocidades en todo tiempo $t$, lo que se reduce a pedir que $\det(W)\neq0$.
Restricciones Primarias
El caso de interés en una teoría de norma es precisamente en el que $\det(W)=0$, y en ese caso se habla de un Lagrangiano $L$ singular. Esto es equivalente a que por definición del momento conjugado a ${q^i}$,
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}\label{2}\end{equation} no habrá invertibilidad en general de ${\dot{q}^i}$ en términos de ${q^i,\,p_i}$, de modo que existen ciertas restricciones o constricciones
\begin{equation}\phi_j(q,p)=0,\hspace{0.5in}j=1,\ldots,M\end{equation} para los momentos conjugados llamadas primarias (primary constraints en la terminología de Dirac) dado que no implican restricción en las coordenadas ni en las velocidades y que no se emplearon directamente las ecuaciones (\ref{1}) ni de Hamilton para obtenerlas, sino únicamente la definición del momento conjugado. Aquí ${M=N-R}$ con $R$ el rango de $W$.
Estas restricciones primarias definen una subvariedad ${\Gamma_P\subset\Gamma}$ suavemente encajada en el espacio fase $\Gamma$ naturalmente llamada la superficie de constricción primaria. Sobre las restricciones primarias deben establecerse ciertos criterios de regularidad; para el detalle sobre estas condiciones véase la §1.1.2 de [3].
Ecuaciones de Hamilton
Luego para pasar a la descripción Hamiltoniana a partir de la Lagrangiana, se introduce el Hamiltoniano canónico $\mathcal{H}$ como
\begin{equation}\mathcal{H}\equiv\dot{q}^ip_i-L\end{equation} que en los cursos básicos de mecánica suele hacerse énfasis en que éste es dependiente de coordenadas y momentos, no velocidades. Esto puede verse evaluando el cambio $\delta\mc{H}$ frente a variaciones arbitrarias e independientes de coordenadas y velocidades, i.e.
\begin{align}\delta\mc{H}&=\dot{q}^i\delta{p}_i+p_i\delta\dot{q}^i-\underbrace{\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}}_{\equiv{p}_i}\delta\dot{q}^i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\nonumber\\
&=\dot{q}^i\delta{p}_i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\label{3}\end{align} donde $\delta{p}_i$ no es una variación independiente sino una combinación lineal de ${\delta{q}^i}$ y ${\delta\dot{q}^i}$ dado que $p=p(q,\dot{q})$. Esto significa entonces que ${\mc{H}=\mc{H}(p,q)}$, de modo que también se satisface
\begin{equation}\delta\mc{H}=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}\delta{p}_i+\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\end{equation} entonces igualando con (\ref{3}),
\begin{equation}\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}-\dot{q}^i\right)\delta{p}_i+\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\right)\delta{q}^i=0\end{equation} donde evidentemente a partir de la definición (\ref{2}), ${\dot{p}=\p_{q}L}$, sin embargo recuérdese que para el caso de interés, $\delta{p}$ debe mantener las restricciones primarias.
En [3] (Teorema 1.2) o en [4] (Proposición 2, §3.3), de distinta forma, puede verificarse que entonces existen ciertos parámetros ${u^j}$ tales que
\begin{align}\dot{q}^i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{p}_i}\\
\dot{p}_i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{q}^i}\\
\phi_j&(q,p)=0\label{4}\end{align} que generaliza las ecuaciones de Hamilton cuando $\mc{H}$ está bien definido sobre ${\Gamma_P}$. Es relevante incluir la última ecuación y hacer énfasis en que se satisface luego de realizar las derivadas parciales en las ecuaciones anteriores. Los $M$ parámetros ${u^j}$ pueden interpretarse en general como parámetros indeterminados de Lagrange ([3]) o bien en [4] se emplean directamente como velocidades ${\dot{q}^j}$ indeterminadas.
De manera análoga al caso no singular, en términos de sistemas singulares la derivada temporal de cualquier función arbitraria ${f=f(q,p)}$ puede escribirse en términos del conocido paréntesis de Poisson
\begin{equation}\{A,B\}\equiv\frac{\p{A}}{\p{q}^i}\frac{\p{B}}{\p{p}_i}-\frac{\p{A}}{\p{p}_i}\frac{\p{B}}{\p{q}^i}\end{equation} como
\begin{equation}\dot{f}=\{f,\mc{H}\}+u^j\{f,\phi_j\}\label{5}\end{equation}
Restricciones Secundarias
Una de las consecuencias de las ecuaciones (\ref{4}), en términos de Dirac, son las llamadas restricciones secundarias, llamadas así precisamente por obtenerse de las ecuaciones de Hamilton, opuesto a las restricciones primarias. Evidentemente las restricciones primarias deben conservarse, por lo que
\begin{equation}\dot{\phi}_j=\{\phi_j,\mc{H}\}+u^{\tilde{\jmath}}\{\phi_j,\phi_{\tilde{\jmath}}\}=0\label{6}\end{equation} que en caso de no imponer restricciones en las ${u^j}$ y de que la relación de coordenadas y momentos sea independiente de las restricciones primarias ([3]), las relaciones (\ref{6}) se llamarán restricciones secundarias. Análogamente las condiciones secundarias al conservarse pueden implicar nuevas condiciones secundarias y así nuevamente.
Ecuaciones Débiles: Restricciones de Primera y Segunda Clase
Luego de las ecuaciones (\ref{4}) deben asumirse las restricciones primarias a las que está sujeto el sistema singular. Como definición, Dirac introduce el concepto de ecuación débil como sigue: ${f\approx{g}}$ significa que $f$ es débilmente igual a $g$ siempre que $f$ es igual a $g$ en ${\Gamma_P\subset\Gamma}$. En contraste, la ecuación ${f=g}$ puede ser referida como fuerte en tanto es cierta en todo $\Gamma$. La ecuación débil ${f\approx{g}}$ entonces es una notación pŕactica equivalente a escribir ([3])
\begin{equation}f\approx{g}\,\Longleftrightarrow\,f-g=c^j\phi_j\end{equation} para algún ${c^j=c^j(q,p)}$, o bien, aún más explícitamente, como el conjunto de ecuaciones ([4])
\begin{align}f&=g\\
\phi_j&=0\end{align} Una vez que se han extraido todas las constricciones independientes del sistema $\varphi_\ell\,(\ell=1,\ldots,M,\ldots,\tilde{M})$, primarias y secundarias, éstas pueden clasificarse en constricciones de primera clase y de segunda clase.
Las constricciones $\gamma_{c_1}$ serán llamadas de primera clase, si su paréntesis de Poisson con todas las constricciones se anula débilmente,
\begin{equation}\{\gamma_{c_1},\varphi_\ell\}\approx0,\hspace{0.2in}\forall\ell,\,c_1=1,\ldots,N_1\end{equation} al resto de constricciones se les llama de segunda clase y les denotaré con ${\chi_{c_2}\,(c_2=1,\ldots,N_2)}$, con ${\tilde{M}=N_1+N_2}$, que se asume son tales que no existe combinación lineal que sea de primera clase.
En general cualquier función ${f=f(q,p)}$ que satisfaga
\begin{equation}\{f,\varphi_\ell\}\approx0,\,\forall\ell\end{equation} se dirá de primera clase y la que no lo satisfaga, se dirá de segunda clase.
El Hamiltoniano Total
Ya que se han extraido todas las constricciones ${\varphi_\ell}$, entonces ya se pueden estudiar las restricciones sobre las ${u^j}$ que imponen las ecuaciones
\begin{equation}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}\approx0\label{8}\end{equation} En [3] se encuentra que la solución general es de la forma
\begin{equation}u^j\approx{U}^j+v^a{V_a}^j\end{equation} donde $U^j$ es una solución particular de la ecuación inhomogénea, i.e.
\begin{equation}U^j\approx-\{\phi_j,\,\varphi_\ell\}^{-1}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}\end{equation} y ${v^a{V_a}^j}$ es la solución más general (una combinación lineal con ${a=1,\ldots,A}$) de la ecuación homogénea asociada con coeficientes ${v^a}$ arbitrarios, i.e.
\begin{equation}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}\approx0\label{9}\end{equation} Así entonces, las ecuaciones (\ref{5}) pueden escribirse simplemente como
\begin{equation}\dot{f}\approx\{f,\mc{H}_T\}\label{10}\end{equation} donde se define el llamado Hamiltoniano Total ${\mc{H}_T}$ como
\begin{equation}\mc{H}_T\equiv\mc{H}+(U^j+v^a{V_a}^j)\phi_j\end{equation} es decir, definiendo
\begin{align}\mc{H}^\prime&\equiv\mc{H}+U^j\phi_j\\
\phi_a&\equiv{V_a}^j\phi_j\end{align} se tiene que
\begin{equation}\mc{H}_T=\mc{H}^\prime+v^a\phi_a\end{equation} que se sabe contiene $A$ funciones arbitrarias ${v^a}$ -que no son funciones a priori de las variables canónicas- y que hace (\ref{10}) equivalente a las ecuaciones de Euler-Lagrange (\ref{1}).
Transformaciones de Norma
Las constricciones de primera clase están íntimamente conectadas con los grados de libertad de norma. La presencia de las funciones arbitrarias ${v^a}$ en ${\mc{H}_T}$ es lo primero que señala que no todas las variables canónicas son observables; esto significa que aunque el estado físico de un sistema está dado una vez conocidas las variables canónicas, habrá más de un conjunto de funciones de las variables canónicas representando el mismo estado. Sin embargo, dado un conjunto inicial de variables canónicas, las ecuaciones de movimiento deben determinar completamente el estado físico del sistema en tiempos posteriores. Así entonces cualquier ambigüedad en el valor de las variables canónicas en un tiempo distinto a un tiempo con condiciones iniciales dadas debe ser una ambigüedad físicamente irrelevante. Una transformación que no altera el estado físico de un sistema se llama entonces transformación de norma.
Considérese una variable dinámica ${f=f(q,p)}$ con un valor inicial ${f_0}$ dado. El valor de $f$ en un tiempo $\delta{t}\ll1$ (conociendo las expresiones dadas por (\ref{10})) es
\begin{equation}f(\delta{t})=f_0+\left(\{f,\mc{H}^\prime\}+v^a\{f,\phi_a\}\right)\delta{t}\end{equation} Ahora bien, ya que los valores ${v^a}$ son arbitrarios, supóngase que para el mismo $f$ con valor inicial ${f_0}$, se elige un valor ${\tilde{v}^a}$; entonces la diferencia ${\Delta{f}}$ entre los valores de $f$ en un tiempo $\delta{t}$ será
\begin{equation}\Delta{f}(\delta{t})=\delta\varepsilon^a\{f,\phi_a\}\label{11}\end{equation} con $\delta\varepsilon^a\equiv(v^a-\tilde{v}^a)\delta{t}$, que precisamente dada la arbitrariedad de los ${v^a}$, debe ser físicamente irrelevante, i.e. $f$ describe el mismo estado al tiempo $\delta{t}$. Éstas son precisamente transformaciones de norma. La función generadora de esta transformación infinitesimal es ${\delta\varepsilon^a}$.
Nótese que de (\ref{8}),
\begin{align}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}&=-\{\mc{H},\varphi_\ell\}-u^j\{\phi_j,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}+u^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime+v^a{V_a}^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime,\,\varphi_\ell\}-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} y por (\ref{9}),
\begin{align}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}=-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} por lo que ${\phi_a}$ y por tanto también ${\mc{H}^\prime}$ y por tanto también ${\mc{H}_T}$ son de primera clase.
Esto significa entonces junto con (\ref{11}), que las restricciones primarias de primera clase generan transformaciones de norma.
En general, en [3] puede verse que el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\phi_{\tilde{a}}\}}$ de cualesquiera dos restricciones primarias de primera clase y el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ de cualquier restricción primaria de primera clase y el Hamiltoniano de primera clase, generan una transformación de norma. Estos paréntesis de Poisson serán a su vez de primera clase. Aunque parece bastante inofensivo, en [5] puede leerse que Dirac fue quien propuso que ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ sería también generador de transformaciones gauge y pasarían alrededor de cuarenta años antes de que esta propuesta se demostrara en [3].
Dirac postularía luego que toda restricción secundaria de primera clase también genera transformaciones gauge (conjetura de Dirac), sin embargo pueden generarse contraejemplos, y aunque nada impide que aparezcan restricciones secundarias de primera clase, típicamente únicamente se asume que todas las restricciones de primera clase generan transformaciones de norma ([3]).
El Hamiltoniano Extendido
En la sección del Hamiltoniano Total se consideran únicamente las restricciones primarias de primera clase al llegar al Hamiltoniano Total. Al considerar de manera análoga también las restricciones secundarias de primera clase, se obtiene el llamado Hamiltoniano Extendido ${\mc{H}_E}$, de modo que éste podrá contener tantas transformaciones de norma arbitrarias como restricciones de primera clase. De este modo entonces,
\begin{equation}\mc{H}_E\equiv\mc{H}^\prime+v^a\gamma_a\end{equation} es la forma del Hamiltoniano Extendido, que es una función de primera clase. La etiqueta de extendido se refiere al hecho de que ${\mc{H}_E}$ extiende --y no solo recupera, como ${\mc{H}_T}$-- el formalismo Lagrangiano al considerar todos los grados de libertad de norma posibles. Así entonces Hamiltoniano Extendido da la evolución temporal más general posible para cualquier sistema singular o con libertad de norma.
Paréntesis de Dirac
Considérense todas las restricciones de segunda clase $\chi_{\mc{C}_1}$ tales que no existe combinación lineal de ellas que sea de primer clase. Tomemos dos restricciones $\varphi_{_{1,2}}$ tales que
\begin{equation}\{\chi_{_1},\chi_{_2}\}=\mc{C}\end{equation} para alguna constante $\mc{C}$ y ahora supóngase que se emplea cuantización canónica de modo que
\begin{equation}[\hat{\chi}_{_1},\,\hat{\chi}_{_2}]=i\hbar\mc{C}\label{7}\end{equation} con el conmutador ${[\hat{A},\hat{B}]\equiv\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}}$. Clásicamente debe satisfacerse
\begin{equation}\chi_{_{1,2}}\approx0\end{equation} lo que no puede llevarse a ${\hat{\chi}_{_{1,2}}\psi=0}$, pues se tendría una contradicción con (\ref{7}).
El argumento de Dirac ([2]) es entonces simplemente ignorar estos grados de libertad y trabajar únicamente con los grados de libertad restantes con un paréntesis de Poisson modificado que respete las restricciones del sistema y lleve a una cuantización consistente.
Las restricciones de segunda clase no son generadores de transformaciones de norma; su existencia únicamente significa que que hay grados de libertad irrelevantes físicamente. Lo que se hace entonces es generalizar el paréntesis de Poisson al llamado paréntesis de Dirac, que contiene únicamente grados de libertad con relevancia física y con el que se puede llevar a cabo una cuantización consistente.
Considérense todas las constricciones de segunda clase $\chi$ (tales que no puede construirse una combinación lineal de éstas que sea de primer clase). Dirac demuestra ([2]) que la matriz de coeficientes
\begin{equation}C_{ab}\equiv\{\chi_a,\,\chi_b\}\end{equation} tiene determinante no nulo de modo que (en este caso) la inversa ${C^{ab}}$ existe ([2]), satisfaciendo
\begin{equation}C^{ab}C_{bc}={\delta^a}_b\end{equation} El paréntesis de Dirac entre dos funciones del espacio fase ${f,g}$ entonces se define como
\begin{equation}\{f,g\}^*\equiv\{f,g\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,g\}\end{equation} Este nuevo paréntesis por supuesto debe satisfacer bilinealidad, antisimetría, ley del producto y la identidad de Jacobi justo como lo hace el paréntesis de Poisson; además obviamente debe reducirse al paréntesis de Poisson para sistemas no singulares.
Dos consecuencias importantes de el paréntesis de Dirac son las siguientes. Primero, las ecuaciones de movimiento (\ref{10}) pueden escribirse en términos del paréntesis de Dirac de manera equivalente,
\begin{equation}\{f,\mc{H}_T\}^*\approx\{f,\mc{H}_T\}\end{equation} ya que se sabe que ${\mc{H}_T}$ es de primera clase. Además el paréntesis de Dirac de cualquier variable dinámica $f$ con cualquier variable $\chi_{_\zeta}$ se anulará,
\begin{align}\{f,\chi\}^*&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,\chi_\zeta\}\nonumber\\
&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}{\delta^a}_\zeta\nonumber\\
&=0\end{align} esto significa entonces que puede tomarse ${\chi=0}$ en sentido fuerte. De este modo uno puede deshacerse de las restricciones de segunda clase y entonces proceder a una cuantización canónica de forma consistente únicamente con restricciones de primera clase.
Al emplear los paréntesis de Dirac e imponer fuertemente las constricciones de segunda clase sugiere emplear el proceso conocido como \emph{fijar la norma}, que consiste básicamente en escoger un punto representativo del sistema en cada órbita generada por las restricciones de primera clase ([6]).
Cuantización Estándar
En [6] se muestra de manera condensada el proceso de cuantización estándar, mismo que por completitud se presenta en este trabajo. Para cuantizar se considera el siguiente procedimiento:
i) Se introducen los paréntesis de Dirac, imponiendo fuertemente las constricciones de segunda clase.
ii) Se cuantiza con el principio de correspondencia
\begin{equation}[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar\{A,B\}^*\end{equation} iii) Las restricciones de primera clase se promueven a operadores, pidiendo que aniquilen el estado cuántico del sistema ${|\psi\rangle}$, i.e.
\begin{equation}\hat\gamma|\psi\rangle=0\end{equation} de modo que el estado cuántico del sistema sea invariante de norma.
iv) Se construye el Hamiltoniano Total y la evolución del sistema cuántico está dada por
\begin{equation}i\hbar\frac{d|\psi\rangle}{dt}=\hat{\mc{H}}_T|\psi\rangle\end{equation}
[1] Alejandro Corichi & David Sloan, Inflationary Attractors and their Measures, arXiv: 1310.6399 (2013).
[2] Paul A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Dover Publications, 2001.
[3] Marc Henneaux & Claudio Teitelbom, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, 1994.
[4] Heinz Rothe & Klaus Rothe, Classical and Quantum Dynamics of Constrained Hamiltonian Systems, World Scientific Publishing, 2010.
[5] Yong-Long Wang et al., The Dirac Conjecture and the Non-uniqueness of Lagrangian, arXiv: 1306.3580v5 (2013).
[6] Luis F. Urrutia, Introducción a la cuantización de sistemas singulares, Curso presentado en la VII Escuela de Verano en Física: La visión molecular de la materia.
Una teoría de norma puede pensarse como aquella en que las variables dinámicas están especificadas con respecto a un marco de referencia cuya elección es arbitraria para todo tiempo, y tienen como propiedad característica que la solución general de las ecuaciones de movimiento contienen funciones arbitrarias dependientes del tiempo, i.e. variables no observables o variables físicamente irrelevantes, llamadas variables (grados de libertad) gauge o de norma.
En [1] se muestra que aunque la medida de Liouville (localmente una medida ${6n}$-dimensional de Lebesgue) se conserva, el volumen en el espacio fase es puramente un término de norma, por lo que resulta de importancia dedicar una sección al estudio de los sistemas dinámicos singulares e introducir algunos conceptos de las teorías de norma.
Formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana
Comenzando por la formulación Lagrangiana, las condiciones para que la acción de un sistema clásico sea estacionaria son las ecuaciones de Euler-Lagrange
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}-\frac{\partial{L}}{\partial{q}^i}=0\label{1}\end{equation} para las coordenadas generalizadas ${q^i(i=1,\ldots,N)}$ y la Lagrangiana ${L=L(q,\dot{q})}$, de modo entonces que también se tiene ${\partial_{\dot{q}}L=\partial_{\dot{q}}L(q,\dot{q})}$, y así, por regla de la cadena, la ec. (\ref{1}) se escribe como
\begin{equation}\ddot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}\dot{q}^i}=\frac{\p{L}}{\partial{q}^i}-\dot{q}^{\tilde{\imath}}\frac{\partial^2L}{\partial{q}^{\tilde{\imath}}\partial\dot{q}^i}\end{equation} de donde se tiene que si la matriz Hessiana
\begin{equation}W\equiv\left(\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^{\tilde{\imath}}}\right)\end{equation} es invertible, entonces las aceleraciones ${\ddot{q}^{\tilde{\imath}}}$ están unívocamente determinadas por las posiciones y las velocidades en todo tiempo $t$, lo que se reduce a pedir que $\det(W)\neq0$.
Restricciones Primarias
El caso de interés en una teoría de norma es precisamente en el que $\det(W)=0$, y en ese caso se habla de un Lagrangiano $L$ singular. Esto es equivalente a que por definición del momento conjugado a ${q^i}$,
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}\label{2}\end{equation} no habrá invertibilidad en general de ${\dot{q}^i}$ en términos de ${q^i,\,p_i}$, de modo que existen ciertas restricciones o constricciones
\begin{equation}\phi_j(q,p)=0,\hspace{0.5in}j=1,\ldots,M\end{equation} para los momentos conjugados llamadas primarias (primary constraints en la terminología de Dirac) dado que no implican restricción en las coordenadas ni en las velocidades y que no se emplearon directamente las ecuaciones (\ref{1}) ni de Hamilton para obtenerlas, sino únicamente la definición del momento conjugado. Aquí ${M=N-R}$ con $R$ el rango de $W$.
Estas restricciones primarias definen una subvariedad ${\Gamma_P\subset\Gamma}$ suavemente encajada en el espacio fase $\Gamma$ naturalmente llamada la superficie de constricción primaria. Sobre las restricciones primarias deben establecerse ciertos criterios de regularidad; para el detalle sobre estas condiciones véase la §1.1.2 de [3].
Ecuaciones de Hamilton
Luego para pasar a la descripción Hamiltoniana a partir de la Lagrangiana, se introduce el Hamiltoniano canónico $\mathcal{H}$ como
\begin{equation}\mathcal{H}\equiv\dot{q}^ip_i-L\end{equation} que en los cursos básicos de mecánica suele hacerse énfasis en que éste es dependiente de coordenadas y momentos, no velocidades. Esto puede verse evaluando el cambio $\delta\mc{H}$ frente a variaciones arbitrarias e independientes de coordenadas y velocidades, i.e.
\begin{align}\delta\mc{H}&=\dot{q}^i\delta{p}_i+p_i\delta\dot{q}^i-\underbrace{\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}^i}}_{\equiv{p}_i}\delta\dot{q}^i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\nonumber\\
&=\dot{q}^i\delta{p}_i-\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\label{3}\end{align} donde $\delta{p}_i$ no es una variación independiente sino una combinación lineal de ${\delta{q}^i}$ y ${\delta\dot{q}^i}$ dado que $p=p(q,\dot{q})$. Esto significa entonces que ${\mc{H}=\mc{H}(p,q)}$, de modo que también se satisface
\begin{equation}\delta\mc{H}=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}\delta{p}_i+\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}\delta{q}^i\end{equation} entonces igualando con (\ref{3}),
\begin{equation}\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}-\dot{q}^i\right)\delta{p}_i+\left(\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+\frac{\p{L}}{\p{q}^i}\right)\delta{q}^i=0\end{equation} donde evidentemente a partir de la definición (\ref{2}), ${\dot{p}=\p_{q}L}$, sin embargo recuérdese que para el caso de interés, $\delta{p}$ debe mantener las restricciones primarias.
En [3] (Teorema 1.2) o en [4] (Proposición 2, §3.3), de distinta forma, puede verificarse que entonces existen ciertos parámetros ${u^j}$ tales que
\begin{align}\dot{q}^i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{p}_i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{p}_i}\\
\dot{p}_i&=\frac{\p\mc{H}}{\p{q}^i}+u^j\frac{\p\phi_j}{\p{q}^i}\\
\phi_j&(q,p)=0\label{4}\end{align} que generaliza las ecuaciones de Hamilton cuando $\mc{H}$ está bien definido sobre ${\Gamma_P}$. Es relevante incluir la última ecuación y hacer énfasis en que se satisface luego de realizar las derivadas parciales en las ecuaciones anteriores. Los $M$ parámetros ${u^j}$ pueden interpretarse en general como parámetros indeterminados de Lagrange ([3]) o bien en [4] se emplean directamente como velocidades ${\dot{q}^j}$ indeterminadas.
De manera análoga al caso no singular, en términos de sistemas singulares la derivada temporal de cualquier función arbitraria ${f=f(q,p)}$ puede escribirse en términos del conocido paréntesis de Poisson
\begin{equation}\{A,B\}\equiv\frac{\p{A}}{\p{q}^i}\frac{\p{B}}{\p{p}_i}-\frac{\p{A}}{\p{p}_i}\frac{\p{B}}{\p{q}^i}\end{equation} como
\begin{equation}\dot{f}=\{f,\mc{H}\}+u^j\{f,\phi_j\}\label{5}\end{equation}
Restricciones Secundarias
Una de las consecuencias de las ecuaciones (\ref{4}), en términos de Dirac, son las llamadas restricciones secundarias, llamadas así precisamente por obtenerse de las ecuaciones de Hamilton, opuesto a las restricciones primarias. Evidentemente las restricciones primarias deben conservarse, por lo que
\begin{equation}\dot{\phi}_j=\{\phi_j,\mc{H}\}+u^{\tilde{\jmath}}\{\phi_j,\phi_{\tilde{\jmath}}\}=0\label{6}\end{equation} que en caso de no imponer restricciones en las ${u^j}$ y de que la relación de coordenadas y momentos sea independiente de las restricciones primarias ([3]), las relaciones (\ref{6}) se llamarán restricciones secundarias. Análogamente las condiciones secundarias al conservarse pueden implicar nuevas condiciones secundarias y así nuevamente.
Ecuaciones Débiles: Restricciones de Primera y Segunda Clase
Luego de las ecuaciones (\ref{4}) deben asumirse las restricciones primarias a las que está sujeto el sistema singular. Como definición, Dirac introduce el concepto de ecuación débil como sigue: ${f\approx{g}}$ significa que $f$ es débilmente igual a $g$ siempre que $f$ es igual a $g$ en ${\Gamma_P\subset\Gamma}$. En contraste, la ecuación ${f=g}$ puede ser referida como fuerte en tanto es cierta en todo $\Gamma$. La ecuación débil ${f\approx{g}}$ entonces es una notación pŕactica equivalente a escribir ([3])
\begin{equation}f\approx{g}\,\Longleftrightarrow\,f-g=c^j\phi_j\end{equation} para algún ${c^j=c^j(q,p)}$, o bien, aún más explícitamente, como el conjunto de ecuaciones ([4])
\begin{align}f&=g\\
\phi_j&=0\end{align} Una vez que se han extraido todas las constricciones independientes del sistema $\varphi_\ell\,(\ell=1,\ldots,M,\ldots,\tilde{M})$, primarias y secundarias, éstas pueden clasificarse en constricciones de primera clase y de segunda clase.
Las constricciones $\gamma_{c_1}$ serán llamadas de primera clase, si su paréntesis de Poisson con todas las constricciones se anula débilmente,
\begin{equation}\{\gamma_{c_1},\varphi_\ell\}\approx0,\hspace{0.2in}\forall\ell,\,c_1=1,\ldots,N_1\end{equation} al resto de constricciones se les llama de segunda clase y les denotaré con ${\chi_{c_2}\,(c_2=1,\ldots,N_2)}$, con ${\tilde{M}=N_1+N_2}$, que se asume son tales que no existe combinación lineal que sea de primera clase.
En general cualquier función ${f=f(q,p)}$ que satisfaga
\begin{equation}\{f,\varphi_\ell\}\approx0,\,\forall\ell\end{equation} se dirá de primera clase y la que no lo satisfaga, se dirá de segunda clase.
El Hamiltoniano Total
Ya que se han extraido todas las constricciones ${\varphi_\ell}$, entonces ya se pueden estudiar las restricciones sobre las ${u^j}$ que imponen las ecuaciones
\begin{equation}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}\approx0\label{8}\end{equation} En [3] se encuentra que la solución general es de la forma
\begin{equation}u^j\approx{U}^j+v^a{V_a}^j\end{equation} donde $U^j$ es una solución particular de la ecuación inhomogénea, i.e.
\begin{equation}U^j\approx-\{\phi_j,\,\varphi_\ell\}^{-1}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}\end{equation} y ${v^a{V_a}^j}$ es la solución más general (una combinación lineal con ${a=1,\ldots,A}$) de la ecuación homogénea asociada con coeficientes ${v^a}$ arbitrarios, i.e.
\begin{equation}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}\approx0\label{9}\end{equation} Así entonces, las ecuaciones (\ref{5}) pueden escribirse simplemente como
\begin{equation}\dot{f}\approx\{f,\mc{H}_T\}\label{10}\end{equation} donde se define el llamado Hamiltoniano Total ${\mc{H}_T}$ como
\begin{equation}\mc{H}_T\equiv\mc{H}+(U^j+v^a{V_a}^j)\phi_j\end{equation} es decir, definiendo
\begin{align}\mc{H}^\prime&\equiv\mc{H}+U^j\phi_j\\
\phi_a&\equiv{V_a}^j\phi_j\end{align} se tiene que
\begin{equation}\mc{H}_T=\mc{H}^\prime+v^a\phi_a\end{equation} que se sabe contiene $A$ funciones arbitrarias ${v^a}$ -que no son funciones a priori de las variables canónicas- y que hace (\ref{10}) equivalente a las ecuaciones de Euler-Lagrange (\ref{1}).
Transformaciones de Norma
Las constricciones de primera clase están íntimamente conectadas con los grados de libertad de norma. La presencia de las funciones arbitrarias ${v^a}$ en ${\mc{H}_T}$ es lo primero que señala que no todas las variables canónicas son observables; esto significa que aunque el estado físico de un sistema está dado una vez conocidas las variables canónicas, habrá más de un conjunto de funciones de las variables canónicas representando el mismo estado. Sin embargo, dado un conjunto inicial de variables canónicas, las ecuaciones de movimiento deben determinar completamente el estado físico del sistema en tiempos posteriores. Así entonces cualquier ambigüedad en el valor de las variables canónicas en un tiempo distinto a un tiempo con condiciones iniciales dadas debe ser una ambigüedad físicamente irrelevante. Una transformación que no altera el estado físico de un sistema se llama entonces transformación de norma.
Considérese una variable dinámica ${f=f(q,p)}$ con un valor inicial ${f_0}$ dado. El valor de $f$ en un tiempo $\delta{t}\ll1$ (conociendo las expresiones dadas por (\ref{10})) es
\begin{equation}f(\delta{t})=f_0+\left(\{f,\mc{H}^\prime\}+v^a\{f,\phi_a\}\right)\delta{t}\end{equation} Ahora bien, ya que los valores ${v^a}$ son arbitrarios, supóngase que para el mismo $f$ con valor inicial ${f_0}$, se elige un valor ${\tilde{v}^a}$; entonces la diferencia ${\Delta{f}}$ entre los valores de $f$ en un tiempo $\delta{t}$ será
\begin{equation}\Delta{f}(\delta{t})=\delta\varepsilon^a\{f,\phi_a\}\label{11}\end{equation} con $\delta\varepsilon^a\equiv(v^a-\tilde{v}^a)\delta{t}$, que precisamente dada la arbitrariedad de los ${v^a}$, debe ser físicamente irrelevante, i.e. $f$ describe el mismo estado al tiempo $\delta{t}$. Éstas son precisamente transformaciones de norma. La función generadora de esta transformación infinitesimal es ${\delta\varepsilon^a}$.
Nótese que de (\ref{8}),
\begin{align}\{\varphi_\ell,\mc{H}\}+u^j\{\varphi_\ell,\phi_j\}&=-\{\mc{H},\varphi_\ell\}-u^j\{\phi_j,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}+u^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime+v^a{V_a}^j\phi_j,\,\varphi_\ell\}\nonumber\\
&=-\{\mc{H}^\prime,\,\varphi_\ell\}-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} y por (\ref{9}),
\begin{align}v^a{V_a}^j\{\varphi_\ell,\,\phi_j\}=-v^a\{\phi_a,\,\varphi_\ell\}\approx0\end{align} por lo que ${\phi_a}$ y por tanto también ${\mc{H}^\prime}$ y por tanto también ${\mc{H}_T}$ son de primera clase.
Esto significa entonces junto con (\ref{11}), que las restricciones primarias de primera clase generan transformaciones de norma.
En general, en [3] puede verse que el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\phi_{\tilde{a}}\}}$ de cualesquiera dos restricciones primarias de primera clase y el paréntesis de Poisson ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ de cualquier restricción primaria de primera clase y el Hamiltoniano de primera clase, generan una transformación de norma. Estos paréntesis de Poisson serán a su vez de primera clase. Aunque parece bastante inofensivo, en [5] puede leerse que Dirac fue quien propuso que ${\{\phi_a,\mc{H}^\prime\}}$ sería también generador de transformaciones gauge y pasarían alrededor de cuarenta años antes de que esta propuesta se demostrara en [3].
Dirac postularía luego que toda restricción secundaria de primera clase también genera transformaciones gauge (conjetura de Dirac), sin embargo pueden generarse contraejemplos, y aunque nada impide que aparezcan restricciones secundarias de primera clase, típicamente únicamente se asume que todas las restricciones de primera clase generan transformaciones de norma ([3]).
El Hamiltoniano Extendido
En la sección del Hamiltoniano Total se consideran únicamente las restricciones primarias de primera clase al llegar al Hamiltoniano Total. Al considerar de manera análoga también las restricciones secundarias de primera clase, se obtiene el llamado Hamiltoniano Extendido ${\mc{H}_E}$, de modo que éste podrá contener tantas transformaciones de norma arbitrarias como restricciones de primera clase. De este modo entonces,
\begin{equation}\mc{H}_E\equiv\mc{H}^\prime+v^a\gamma_a\end{equation} es la forma del Hamiltoniano Extendido, que es una función de primera clase. La etiqueta de extendido se refiere al hecho de que ${\mc{H}_E}$ extiende --y no solo recupera, como ${\mc{H}_T}$-- el formalismo Lagrangiano al considerar todos los grados de libertad de norma posibles. Así entonces Hamiltoniano Extendido da la evolución temporal más general posible para cualquier sistema singular o con libertad de norma.
Paréntesis de Dirac
Considérense todas las restricciones de segunda clase $\chi_{\mc{C}_1}$ tales que no existe combinación lineal de ellas que sea de primer clase. Tomemos dos restricciones $\varphi_{_{1,2}}$ tales que
\begin{equation}\{\chi_{_1},\chi_{_2}\}=\mc{C}\end{equation} para alguna constante $\mc{C}$ y ahora supóngase que se emplea cuantización canónica de modo que
\begin{equation}[\hat{\chi}_{_1},\,\hat{\chi}_{_2}]=i\hbar\mc{C}\label{7}\end{equation} con el conmutador ${[\hat{A},\hat{B}]\equiv\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}}$. Clásicamente debe satisfacerse
\begin{equation}\chi_{_{1,2}}\approx0\end{equation} lo que no puede llevarse a ${\hat{\chi}_{_{1,2}}\psi=0}$, pues se tendría una contradicción con (\ref{7}).
El argumento de Dirac ([2]) es entonces simplemente ignorar estos grados de libertad y trabajar únicamente con los grados de libertad restantes con un paréntesis de Poisson modificado que respete las restricciones del sistema y lleve a una cuantización consistente.
Las restricciones de segunda clase no son generadores de transformaciones de norma; su existencia únicamente significa que que hay grados de libertad irrelevantes físicamente. Lo que se hace entonces es generalizar el paréntesis de Poisson al llamado paréntesis de Dirac, que contiene únicamente grados de libertad con relevancia física y con el que se puede llevar a cabo una cuantización consistente.
Considérense todas las constricciones de segunda clase $\chi$ (tales que no puede construirse una combinación lineal de éstas que sea de primer clase). Dirac demuestra ([2]) que la matriz de coeficientes
\begin{equation}C_{ab}\equiv\{\chi_a,\,\chi_b\}\end{equation} tiene determinante no nulo de modo que (en este caso) la inversa ${C^{ab}}$ existe ([2]), satisfaciendo
\begin{equation}C^{ab}C_{bc}={\delta^a}_b\end{equation} El paréntesis de Dirac entre dos funciones del espacio fase ${f,g}$ entonces se define como
\begin{equation}\{f,g\}^*\equiv\{f,g\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,g\}\end{equation} Este nuevo paréntesis por supuesto debe satisfacer bilinealidad, antisimetría, ley del producto y la identidad de Jacobi justo como lo hace el paréntesis de Poisson; además obviamente debe reducirse al paréntesis de Poisson para sistemas no singulares.
Dos consecuencias importantes de el paréntesis de Dirac son las siguientes. Primero, las ecuaciones de movimiento (\ref{10}) pueden escribirse en términos del paréntesis de Dirac de manera equivalente,
\begin{equation}\{f,\mc{H}_T\}^*\approx\{f,\mc{H}_T\}\end{equation} ya que se sabe que ${\mc{H}_T}$ es de primera clase. Además el paréntesis de Dirac de cualquier variable dinámica $f$ con cualquier variable $\chi_{_\zeta}$ se anulará,
\begin{align}\{f,\chi\}^*&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}C^{ab}\{\chi_b,\chi_\zeta\}\nonumber\\
&=\{f,\chi_\zeta\}-\{f,\chi_a\}{\delta^a}_\zeta\nonumber\\
&=0\end{align} esto significa entonces que puede tomarse ${\chi=0}$ en sentido fuerte. De este modo uno puede deshacerse de las restricciones de segunda clase y entonces proceder a una cuantización canónica de forma consistente únicamente con restricciones de primera clase.
Al emplear los paréntesis de Dirac e imponer fuertemente las constricciones de segunda clase sugiere emplear el proceso conocido como \emph{fijar la norma}, que consiste básicamente en escoger un punto representativo del sistema en cada órbita generada por las restricciones de primera clase ([6]).
Cuantización Estándar
En [6] se muestra de manera condensada el proceso de cuantización estándar, mismo que por completitud se presenta en este trabajo. Para cuantizar se considera el siguiente procedimiento:
i) Se introducen los paréntesis de Dirac, imponiendo fuertemente las constricciones de segunda clase.
ii) Se cuantiza con el principio de correspondencia
\begin{equation}[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar\{A,B\}^*\end{equation} iii) Las restricciones de primera clase se promueven a operadores, pidiendo que aniquilen el estado cuántico del sistema ${|\psi\rangle}$, i.e.
\begin{equation}\hat\gamma|\psi\rangle=0\end{equation} de modo que el estado cuántico del sistema sea invariante de norma.
iv) Se construye el Hamiltoniano Total y la evolución del sistema cuántico está dada por
\begin{equation}i\hbar\frac{d|\psi\rangle}{dt}=\hat{\mc{H}}_T|\psi\rangle\end{equation}
[1] Alejandro Corichi & David Sloan, Inflationary Attractors and their Measures, arXiv: 1310.6399 (2013).
[2] Paul A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Dover Publications, 2001.
[3] Marc Henneaux & Claudio Teitelbom, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, 1994.
[4] Heinz Rothe & Klaus Rothe, Classical and Quantum Dynamics of Constrained Hamiltonian Systems, World Scientific Publishing, 2010.
[5] Yong-Long Wang et al., The Dirac Conjecture and the Non-uniqueness of Lagrangian, arXiv: 1306.3580v5 (2013).
[6] Luis F. Urrutia, Introducción a la cuantización de sistemas singulares, Curso presentado en la VII Escuela de Verano en Física: La visión molecular de la materia.
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