El aplicar la mecánica cuántica incorporando la relatividad especial es de relevancia e.g. en física de altas energías y en física de partículas. Aunque la teoría tiene sus limitaciones, de ella surgen predicciones relevantes como la de la antimateria. Teorías más generales son e.g. la teoría cuántica de campos relativista, que surge precisamente del hecho de que partículas individuales pueden ser creadas o destruidas en unión con sus antipartículas; o aún más, la gravedad cuántica, que presuntamente incorporará la relatividad general, i.e. la gravedad o curvatura espaciotemporal.
Básicamente al modificar la ecuación de Schrödinger para hacerla consistente con la relatividad especial, se obtiene la llamada ecuación de Klein-Gordon, mientras que si además se incorpora la información del espín para partículas de espín 1/2, se obtiene la ecuación de Dirac. La ecuación más relevante es por supuesto la de Dirac, pues además pueden obtenerse ecuaciones para valores más altos de espín ([1]). Obtengo en seguida ambas ecuaciones y algunas propiedades de las mismas. Emplearé en adelante la signatura (-+++) para la métrica de Minkowski.
Recuérdese que la ecuación de Schrödinger puede obtenerse a partir de la expresión de la energía
\begin{equation}E=\B{p}^2/2m+V\end{equation} sustituyendo ${E\to\hat{E}\equiv{i}\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}}$ y ${p\to\hat{p}\equiv\frac{\hbar}{i}\nabla}$, i.e.
\begin{align}i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}&=-\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla\right)^2\psi+V\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\end{align} De la definición del 4-momento, $\hat{E}$ y $\hat{p}$ forman las componentes del cuadrivector ${\hat{p}^\mu\equiv{i}\hbar(\partial_0,-\partial_j)}$, por lo que el procedimiento análogo seguirá siendo válido en la descripción relativista. En este caso entonces, empleemos la relación de energía-momento, de modo que
\begin{align}\left(i\hbar\partial_0\right)^2\psi&=m^2\psi+\left(-i\hbar\partial_j\right)^2\psi\end{align} es decir
\begin{equation}-\partial_{00}\psi+\partial_{jj}\psi=\eta^{\mu\alpha}\partial_\alpha\partial_\mu\psi=\partial^\mu\partial_\mu\psi=\frac{m^2}{\hbar^2}\psi\end{equation} y ya que ${\hat{p}^\mu\hat{p}_\mu=-\hbar^2\partial^\mu\partial_\mu}$, esto puede escribirse también como
\begin{equation}\hat{p}^\mu\hat{p}_\mu\psi+m^2\psi=0\label{1.1}\end{equation} o bien, empleando el operador d'Alembertiano (que yo defino aquí como ${\square^2\equiv\p^\alpha\p_\alpha=\nabla^2-\p_t^2}$, acorde a la signatura elegida),
\begin{equation}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi=0\label{1.2}\end{equation} donde ${\mathcal{M}\equiv\frac{m}{\hbar}}$. Ésta es la ecuación de Klein-Gordon para la partícula libre.
Por su sencillez, y la sencillez para obtenerla, muchos autores la obtuvieron antes, siendo Schrödinger incluso el primero y obteniéndola antes que la versión clásica ([1]), aunque Oskar Klein and Walter Gordon dieran después la descripción cualitativa correcta de la ecuación que lleva sus apellidos.
Ahora bien, considérese la ecuación de K-G para el conjugado de $\psi$,
\begin{equation}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi^*=0\end{equation} multiplicando ésta y (\ref{1.2}) por $\psi$ y por ${\psi^*}$, respectivamente,
\begin{align}\psi^*\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi&=0\\\psi\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi^*&=0\end{align} y así, restando término a término ambas ecuaciones,
\begin{align}\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*=\psi^*\partial^\mu\partial_\mu\psi-\psi\partial^\mu\partial_\mu\psi^*=0\label{1.3}\end{align} entonces sabiendo que en general para dos funciones de onda $\phi$ y $\varphi$,
\begin{align}\partial_\mu\left(\phi\partial^\mu\varphi\right)=\phi\partial_\mu\partial^\mu\varphi+\partial_\mu\phi\partial^\mu\varphi\end{align} se sigue que (por igualdad de parciales cruzadas)
\begin{align}\partial_\mu&\left[\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*\right]\nonumber\\&=\psi^*\partial^\mu\partial_\mu\psi-\psi\partial^\mu\partial_\mu\psi^*+\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi-\partial_\mu\psi\partial^\mu\psi^*\nonumber\\&=\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*+\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi-\partial_\mu\psi\partial^\mu\psi^*\nonumber\\&=\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*+\eta^{\mu\alpha}\left[\partial_\mu\psi^*\partial_\alpha\psi-\partial_\mu\psi\partial_\alpha\psi^*\right]\nonumber\\&=\underbrace{\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*}_{\text{por}\,(\ref{1.3})}=0\end{align} de modo que, si en analogía con la teoría clásica, definimos
\begin{equation}j^\mu\equiv\mathcal{C}\left(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*\right)\end{equation} como el cuadrivector de corriente con $\mathcal{C}$ una constante que puede determinarse tomando el límite del caso clásico, se sigue que
\begin{equation}\partial_\mu{j}^\mu=0\end{equation} que es la ecuación de continuidad, conocida en notación tridimensional como
\begin{equation}\frac{\p\rho}{\p{t}}+\nabla\cdot\B{j}=0\end{equation} que por supuesto debe satisfacer la ec. de K-G dada la interpretación de $\psi$ como amplitud de probabilidad; de aquí se identifica
\begin{align}\rho=\mathcal{C}\left(\psi^*\partial_0\psi-\psi\partial_0\psi^*\right)\end{align} y nótese que dependiendo de la función de onda, $\rho$ podrá ser positiva o negativa, contrario a lo que ocurre con la versión clásica; esto representa un problema serio dada la interpretación de la función de onda como amplitud de probabilidad, pues el que la densidad $\rho$, clásicamente interpretada como densidad de probabilidad, permita valores negativos, implica que se podrían tener probabilidades negativas; se dice que este problema incluso fue el principal motivo por el cual Schrödinger pasaría a tratar la versión no relativista ([1]). Por ello $\rho$ no se interpreta ya como una densidad de probabilidad, aunque suele interpretarse como densidad de carga, como se verá a continuación ([1]).
Propongamos el ansatz para la ecuación K-G para partícula libre,
\begin{equation}\psi=A\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\label{1.4}\end{equation} donde ${k^\mu=(\hbar\omega,\B{p})}$ de manera análoga a la ecuación conocida ${\B{P}=\hbar(\omega,\B{k})}$, entonces se tiene que
\begin{align}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi&=A\left(\partial_\mu\partial^\mu\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=A\left(i\frac{k_\mu}{\hbar}\partial_\mu\mathrm{e}^{-i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=A\left(i\frac{k_\mu}{\hbar}\eta_{\mu\alpha}\partial^\alpha\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu\eta_{\mu\alpha}{k}_\alpha+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu\eta_{\mu\alpha}\eta_{\alpha\mu}{k}^\mu+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu{k}^\mu+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}=0\end{align} y por tanto (\ref{1.4}) es solución de la ecuación de K-G si
\begin{align}k_\mu{k}^\mu=-m^2\,\Longrightarrow\,\pm\hbar\omega=\pm\sqrt{\B{p}^2+m^2}\end{align} Por supuesto ${k^\mu}$ está construida como 4-momento, donde ${\hbar\omega}$ es energía; de ello se sigue que las soluciones a la ecuación K-G permiten tanto estados positivos de energía como estados negativos. Esto significa entonces que para las soluciones
\begin{equation}\psi_\pm=A_\pm\mathrm{e}^{\mp{i}\omega{t}+i\B{p}\cdot\B{x}/\hbar}\end{equation} se tendrán densidades
\begin{equation}\rho_\pm=\mp2\mathcal{C}i\omega|A|^2\end{equation} y considerando que ${\mathcal{C}=i\hbar{q}/2m}$, de modo que la densidad de carga no relativista coincida con ${\rho=q|\psi|^2}$ para partículas de magnitud de carga $q$, se sigue que
\begin{equation}\rho_\pm=\pm\frac{\hbar\omega{q}}{m}|A|^2\end{equation} de modo entonces que en este caso las soluciones de energía positiva corresponden a partículas con carga positiva y las de energía negativa a partículas con carga negativa; i.e. la ecuación de Klein-Gordon contiene simultáneamente soluciones para partículas y sus antipartículas. A esta noción de antimateria se le da mayor sentido con la ecuación de Dirac; no se ha justificado aún el que se permitan estados con energías negativas.
Ahora bien, uno puede generalizar la ecuación de K-G para partículas en un campo electromagnético externo vía acoplamiento minimal, ${\hat{p}^\mu\to\hat{p}^\mu-qA^\mu}$, de modo que la ec. de K-G (\ref{1.1)) se escribe como
\begin{equation}\left(i\hbar\partial^\mu+qA^\mu\right)\left(i\hbar\partial_\mu+qA_\mu\right)\psi+m^2\psi=0\end{equation} de aquí pueden considerarse distintas formas para el potencial como los pozos de potencial, de donde aparecen situaciones interesantes como la llamada paradoja de Klein. El lector puede complementar esta información con [1], en donde se muestra el caso atómico, que lleva a un resultado que difiere del experimental por un factor de ${1/3}$. En seguida se muestra entonces el caso en que se toma en cuenta el espín del electrón, generalizando un tanto más la ecuación de Klein-Gordon.
Al formular la ecuación de Klein Gordon nos topamos con algunas inconveniencias, como el signo indefinido de la densidad $\rho$, los estados que permiten energías negativas y el que se ignore (o que no aparezca) la propiedad intrínseca del espín. El trabajo de Paul Dirac atacó estas cuestiones introduciendo nuevas nociones como la antimateria, vista experimentalmente años más tarde, y el llamado mar de Dirac, que de hecho resulta ser innecesario en e.g. teoría cuántica de campos ([1]). La ecuación de Dirac suele considerarse como uno de los triunfos más grandes de la física teórica, y por supuesto el alcance de toda la teoría que surge de esta ecuación es mucho mayor al que cubre esta pequeña entrada de blog.
Lo primero que puede notarse es que la ecuación de K-G no es del mismo tipo que el de la ec. de Schrödinger al involucrar una segunda derivada temporal; el signo indefinido de la densidad $\rho$ surge precisamente de este hecho. Puede evitarse esta segunda derivada a su vez manteniendo invariancia de Lorentz, proponiendo que es posible linearizar la relación de energía-momento ([1]), de modo que ${\exists\,\vec{\alpha},\beta}$ tales que
\begin{equation}\hat{E}=\vec\alpha\cdot\hat{\B{p}}+\beta{m}\end{equation} es decir, que para una función de onda $\psi$, en notación clásica,
\begin{equation}i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}=-i\hbar\vec\alpha\cdot\nabla\psi+\beta{m}\psi\label{1.5}\end{equation} donde las cantidades $\vec\alpha$ y $\beta$ se determinan de modo que de mantenga la invariancia ante transformaciones de Lorentz. En [1] puede seguirse que la ec. de Dirac más simple es la que tiene asociadas matrices de rango 4 correspondientes a espín ${1/2}$ (fermiones; en la época de Dirac sólo se consideraban electrones y protones), i.e. la teoría genera por sí misma el espín. Finalmente respecto al problema de energías negativas, puede verse [1] que la ec. (\ref{1.5}) también posee soluciones de energía negativa, y es entonces cuando Dirac introduce la noción de antimateria. Para resolver el problema, Dirac propuso que todos los estados de energía negativa están ocupados por electrones, constituyendo el llamado mar de Dirac, de modo que los electrones no pueden ocupar esos estados por principio de exclusión. Los huecos en el mar de Dirac entonces se identifican como los antielectrones, o en general como las antipartículas. Ésta es la idea general del trabajo de Dirac, que además de abrir una enorme ventana hacia nueva física, de algún modo también lo hacía con las matemáticas al proveer un caso de álgebras de Clifford --ignorando Dirac el trabajo de William Clifford-- e iniciando el formalismo del cálculo espinorial, que va más allá del cálculo vector-tensorial. Se recomienda la referencia [2] para más información en general.
[1] Peña, Luis de la. Introducción a la Mecánica Cuántica, Fondo de Cultura Económica, UNAM, 3a edición, 2006.
[2] Penrose, Roger. El camino a la realidad, Debate, 2007.
Básicamente al modificar la ecuación de Schrödinger para hacerla consistente con la relatividad especial, se obtiene la llamada ecuación de Klein-Gordon, mientras que si además se incorpora la información del espín para partículas de espín 1/2, se obtiene la ecuación de Dirac. La ecuación más relevante es por supuesto la de Dirac, pues además pueden obtenerse ecuaciones para valores más altos de espín ([1]). Obtengo en seguida ambas ecuaciones y algunas propiedades de las mismas. Emplearé en adelante la signatura (-+++) para la métrica de Minkowski.
Recuérdese que la ecuación de Schrödinger puede obtenerse a partir de la expresión de la energía
\begin{equation}E=\B{p}^2/2m+V\end{equation} sustituyendo ${E\to\hat{E}\equiv{i}\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}}$ y ${p\to\hat{p}\equiv\frac{\hbar}{i}\nabla}$, i.e.
\begin{align}i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}&=-\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla\right)^2\psi+V\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\end{align} De la definición del 4-momento, $\hat{E}$ y $\hat{p}$ forman las componentes del cuadrivector ${\hat{p}^\mu\equiv{i}\hbar(\partial_0,-\partial_j)}$, por lo que el procedimiento análogo seguirá siendo válido en la descripción relativista. En este caso entonces, empleemos la relación de energía-momento, de modo que
\begin{align}\left(i\hbar\partial_0\right)^2\psi&=m^2\psi+\left(-i\hbar\partial_j\right)^2\psi\end{align} es decir
\begin{equation}-\partial_{00}\psi+\partial_{jj}\psi=\eta^{\mu\alpha}\partial_\alpha\partial_\mu\psi=\partial^\mu\partial_\mu\psi=\frac{m^2}{\hbar^2}\psi\end{equation} y ya que ${\hat{p}^\mu\hat{p}_\mu=-\hbar^2\partial^\mu\partial_\mu}$, esto puede escribirse también como
\begin{equation}\hat{p}^\mu\hat{p}_\mu\psi+m^2\psi=0\label{1.1}\end{equation} o bien, empleando el operador d'Alembertiano (que yo defino aquí como ${\square^2\equiv\p^\alpha\p_\alpha=\nabla^2-\p_t^2}$, acorde a la signatura elegida),
\begin{equation}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi=0\label{1.2}\end{equation} donde ${\mathcal{M}\equiv\frac{m}{\hbar}}$. Ésta es la ecuación de Klein-Gordon para la partícula libre.
Por su sencillez, y la sencillez para obtenerla, muchos autores la obtuvieron antes, siendo Schrödinger incluso el primero y obteniéndola antes que la versión clásica ([1]), aunque Oskar Klein and Walter Gordon dieran después la descripción cualitativa correcta de la ecuación que lleva sus apellidos.
Ahora bien, considérese la ecuación de K-G para el conjugado de $\psi$,
\begin{equation}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi^*=0\end{equation} multiplicando ésta y (\ref{1.2}) por $\psi$ y por ${\psi^*}$, respectivamente,
\begin{align}\psi^*\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi&=0\\\psi\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi^*&=0\end{align} y así, restando término a término ambas ecuaciones,
\begin{align}\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*=\psi^*\partial^\mu\partial_\mu\psi-\psi\partial^\mu\partial_\mu\psi^*=0\label{1.3}\end{align} entonces sabiendo que en general para dos funciones de onda $\phi$ y $\varphi$,
\begin{align}\partial_\mu\left(\phi\partial^\mu\varphi\right)=\phi\partial_\mu\partial^\mu\varphi+\partial_\mu\phi\partial^\mu\varphi\end{align} se sigue que (por igualdad de parciales cruzadas)
\begin{align}\partial_\mu&\left[\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*\right]\nonumber\\&=\psi^*\partial^\mu\partial_\mu\psi-\psi\partial^\mu\partial_\mu\psi^*+\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi-\partial_\mu\psi\partial^\mu\psi^*\nonumber\\&=\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*+\partial_\mu\psi^*\partial^\mu\psi-\partial_\mu\psi\partial^\mu\psi^*\nonumber\\&=\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*+\eta^{\mu\alpha}\left[\partial_\mu\psi^*\partial_\alpha\psi-\partial_\mu\psi\partial_\alpha\psi^*\right]\nonumber\\&=\underbrace{\psi^*\square^2\psi-\psi\square^2\psi^*}_{\text{por}\,(\ref{1.3})}=0\end{align} de modo que, si en analogía con la teoría clásica, definimos
\begin{equation}j^\mu\equiv\mathcal{C}\left(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*\right)\end{equation} como el cuadrivector de corriente con $\mathcal{C}$ una constante que puede determinarse tomando el límite del caso clásico, se sigue que
\begin{equation}\partial_\mu{j}^\mu=0\end{equation} que es la ecuación de continuidad, conocida en notación tridimensional como
\begin{equation}\frac{\p\rho}{\p{t}}+\nabla\cdot\B{j}=0\end{equation} que por supuesto debe satisfacer la ec. de K-G dada la interpretación de $\psi$ como amplitud de probabilidad; de aquí se identifica
\begin{align}\rho=\mathcal{C}\left(\psi^*\partial_0\psi-\psi\partial_0\psi^*\right)\end{align} y nótese que dependiendo de la función de onda, $\rho$ podrá ser positiva o negativa, contrario a lo que ocurre con la versión clásica; esto representa un problema serio dada la interpretación de la función de onda como amplitud de probabilidad, pues el que la densidad $\rho$, clásicamente interpretada como densidad de probabilidad, permita valores negativos, implica que se podrían tener probabilidades negativas; se dice que este problema incluso fue el principal motivo por el cual Schrödinger pasaría a tratar la versión no relativista ([1]). Por ello $\rho$ no se interpreta ya como una densidad de probabilidad, aunque suele interpretarse como densidad de carga, como se verá a continuación ([1]).
Propongamos el ansatz para la ecuación K-G para partícula libre,
\begin{equation}\psi=A\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\label{1.4}\end{equation} donde ${k^\mu=(\hbar\omega,\B{p})}$ de manera análoga a la ecuación conocida ${\B{P}=\hbar(\omega,\B{k})}$, entonces se tiene que
\begin{align}\left(\square^2-\mathcal{M}^2\right)\psi&=A\left(\partial_\mu\partial^\mu\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=A\left(i\frac{k_\mu}{\hbar}\partial_\mu\mathrm{e}^{-i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=A\left(i\frac{k_\mu}{\hbar}\eta_{\mu\alpha}\partial^\alpha\mathrm{e}^{i{k}_\mu{x}^\mu/\hbar}-\mathcal{M}^2\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\right)\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu\eta_{\mu\alpha}{k}_\alpha+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu\eta_{\mu\alpha}\eta_{\alpha\mu}{k}^\mu+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}\nonumber\\&=-A\left(\hbar^{-2}k_\mu{k}^\mu+\mathcal{M}^2\right)\mathrm{e}^{ik_\mu{x}^\mu/\hbar}=0\end{align} y por tanto (\ref{1.4}) es solución de la ecuación de K-G si
\begin{align}k_\mu{k}^\mu=-m^2\,\Longrightarrow\,\pm\hbar\omega=\pm\sqrt{\B{p}^2+m^2}\end{align} Por supuesto ${k^\mu}$ está construida como 4-momento, donde ${\hbar\omega}$ es energía; de ello se sigue que las soluciones a la ecuación K-G permiten tanto estados positivos de energía como estados negativos. Esto significa entonces que para las soluciones
\begin{equation}\psi_\pm=A_\pm\mathrm{e}^{\mp{i}\omega{t}+i\B{p}\cdot\B{x}/\hbar}\end{equation} se tendrán densidades
\begin{equation}\rho_\pm=\mp2\mathcal{C}i\omega|A|^2\end{equation} y considerando que ${\mathcal{C}=i\hbar{q}/2m}$, de modo que la densidad de carga no relativista coincida con ${\rho=q|\psi|^2}$ para partículas de magnitud de carga $q$, se sigue que
\begin{equation}\rho_\pm=\pm\frac{\hbar\omega{q}}{m}|A|^2\end{equation} de modo entonces que en este caso las soluciones de energía positiva corresponden a partículas con carga positiva y las de energía negativa a partículas con carga negativa; i.e. la ecuación de Klein-Gordon contiene simultáneamente soluciones para partículas y sus antipartículas. A esta noción de antimateria se le da mayor sentido con la ecuación de Dirac; no se ha justificado aún el que se permitan estados con energías negativas.
Ahora bien, uno puede generalizar la ecuación de K-G para partículas en un campo electromagnético externo vía acoplamiento minimal, ${\hat{p}^\mu\to\hat{p}^\mu-qA^\mu}$, de modo que la ec. de K-G (\ref{1.1)) se escribe como
\begin{equation}\left(i\hbar\partial^\mu+qA^\mu\right)\left(i\hbar\partial_\mu+qA_\mu\right)\psi+m^2\psi=0\end{equation} de aquí pueden considerarse distintas formas para el potencial como los pozos de potencial, de donde aparecen situaciones interesantes como la llamada paradoja de Klein. El lector puede complementar esta información con [1], en donde se muestra el caso atómico, que lleva a un resultado que difiere del experimental por un factor de ${1/3}$. En seguida se muestra entonces el caso en que se toma en cuenta el espín del electrón, generalizando un tanto más la ecuación de Klein-Gordon.
Al formular la ecuación de Klein Gordon nos topamos con algunas inconveniencias, como el signo indefinido de la densidad $\rho$, los estados que permiten energías negativas y el que se ignore (o que no aparezca) la propiedad intrínseca del espín. El trabajo de Paul Dirac atacó estas cuestiones introduciendo nuevas nociones como la antimateria, vista experimentalmente años más tarde, y el llamado mar de Dirac, que de hecho resulta ser innecesario en e.g. teoría cuántica de campos ([1]). La ecuación de Dirac suele considerarse como uno de los triunfos más grandes de la física teórica, y por supuesto el alcance de toda la teoría que surge de esta ecuación es mucho mayor al que cubre esta pequeña entrada de blog.
Lo primero que puede notarse es que la ecuación de K-G no es del mismo tipo que el de la ec. de Schrödinger al involucrar una segunda derivada temporal; el signo indefinido de la densidad $\rho$ surge precisamente de este hecho. Puede evitarse esta segunda derivada a su vez manteniendo invariancia de Lorentz, proponiendo que es posible linearizar la relación de energía-momento ([1]), de modo que ${\exists\,\vec{\alpha},\beta}$ tales que
\begin{equation}\hat{E}=\vec\alpha\cdot\hat{\B{p}}+\beta{m}\end{equation} es decir, que para una función de onda $\psi$, en notación clásica,
\begin{equation}i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}=-i\hbar\vec\alpha\cdot\nabla\psi+\beta{m}\psi\label{1.5}\end{equation} donde las cantidades $\vec\alpha$ y $\beta$ se determinan de modo que de mantenga la invariancia ante transformaciones de Lorentz. En [1] puede seguirse que la ec. de Dirac más simple es la que tiene asociadas matrices de rango 4 correspondientes a espín ${1/2}$ (fermiones; en la época de Dirac sólo se consideraban electrones y protones), i.e. la teoría genera por sí misma el espín. Finalmente respecto al problema de energías negativas, puede verse [1] que la ec. (\ref{1.5}) también posee soluciones de energía negativa, y es entonces cuando Dirac introduce la noción de antimateria. Para resolver el problema, Dirac propuso que todos los estados de energía negativa están ocupados por electrones, constituyendo el llamado mar de Dirac, de modo que los electrones no pueden ocupar esos estados por principio de exclusión. Los huecos en el mar de Dirac entonces se identifican como los antielectrones, o en general como las antipartículas. Ésta es la idea general del trabajo de Dirac, que además de abrir una enorme ventana hacia nueva física, de algún modo también lo hacía con las matemáticas al proveer un caso de álgebras de Clifford --ignorando Dirac el trabajo de William Clifford-- e iniciando el formalismo del cálculo espinorial, que va más allá del cálculo vector-tensorial. Se recomienda la referencia [2] para más información en general.
[1] Peña, Luis de la. Introducción a la Mecánica Cuántica, Fondo de Cultura Económica, UNAM, 3a edición, 2006.
[2] Penrose, Roger. El camino a la realidad, Debate, 2007.
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