Hace poco me encontré esta imagen de una pelota de tennis mojada rotando sobre su propio eje (fuente):
La imagen me pareció interesante, más que por el sentido estético, porque como físico sé que las gotas deben salir por la tangente a cada punto de la superficie de la pelota y describir líneas rectas. Como sea, en la imagen los chorros de agua prácticamente parecen salen por la normal a cada punto y en realidad forman espirales.
¿Qué curva describen realmente las gotas de agua y cómo es compatible con la noción física usual?
Responderlo es relativamente sencillo utilizando únicamente mecánica clásica (matemáticamente no más que cálculo vectorial).
Para empezar podemos reducir la situación a una dos dimensional, y con la pelota siendo un disco (del cual sólo importa la superficie) y las gotas partículas puntuales. Por simplicidad, consideremos una pelota de radio unitario y que rota con una velocidad angular constante $\omega$, de modo que la posición $\vec{r}$ de una gota descrita en la superficie de la pelota, que idealizamos como circular, a cada tiempo $t\geq0$, está dada por
\begin{equation}\vec{r}(t)\equiv(\cos\omega{t},\sin\omega{t})\end{equation} y entonces, su velocidad tangencial es
\begin{equation}\vec{v}(t)\equiv\frac{d\vec{r}}{dt}=\omega(-\sin\omega{t},\cos\omega{t})\end{equation} Así entonces, una gota que a un momento $t_0\in[0,t]$ sale de la superficie de la pelota describe una recta dada por
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{t_0}(t)&=\vec{r}(t_0)+\vec{v}(t_0)(t-t_0)\nonumber\\
&=(\cos\omega{t_0}-\omega(t-t_0)\sin\omega{t_0},\sin\omega{t_0}+\omega(t-t_0)\cos\omega{t_0})\end{align}
Rotación sentido antihorario
Vale, el problema realmente está resuelto, sólo queda considerar una familia de gotas e intentar visualizar y comprobar si podemos reproducir el fenómeno que se observa en la imagen. Consideremos primero rotaciones en sentido antihorario, i.e. $\omega>0$. Por simplicidad hagamos $\omega=1$.
El caso más simple es el de $t_0=0$,
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_0(t)&=(1,t)\end{align}
que es bastante aburrido ;-) Consideremos entonces una colección de gotas, donde la $n$-ésima gota está dada por
\begin{equation}\vec{r}_n(t)=\left(\cos(t+\theta_n),\sin(t+\theta_n)\right)\end{equation} cuya velocidad tangencial es
\begin{equation}\vec{v}_n(t)\equiv\frac{d\vec{r}_n}{dt}=\left(-\sin(t+\theta_n),\cos(t+\theta_n)\right)\end{equation} y de manera análoga, ahora
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{t_0,\theta_n}(t)&=\vec{r}_n(t_0)+\vec{v}_n(t_0)(t-t_0)\end{align} y para $t_0=0$,
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{0,\theta_n}(t)&=(\cos\theta_n-t\sin\theta_n,\sin\theta_n+t\cos\theta_n)\end{align}
Aquí he tomado los $\theta_n$'s igualmente espaciados por facilidad en Mathematica, pero en general las gotas podrían desprenderse en cualquier punto.
Viene entonces el caso que nos interesa, que es que se desprendan gotas casi continuamente de la pelota, es decir, considerar diversos valores $t_0$ en el intervalo $[0,t]$ muy ligeramente espaciados. Las ecuaciones para la gota en $\theta_n$ que se desprende al tiempo $t_0$ es
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{t_0,\theta_n}(t)&=\left(\cos(t_0+\theta_n)-(t-t_0)\sin(t_0+\theta_n),\sin(t_0+\theta_n)+(t-t_0)\cos(t_0+\theta_n)\right)\label{dranticlock}\end{align} Graficando y visualizando en el tiempo varias de ellas se obtiene algo así
y prácticamente hemos reproducido el fenómeno de la fotografía. Vemos entonces que la pregunta que realmente queríamos responder es: ¿qué curva describen los 'chorros' de agua? Y eso es sencillo, ¡sólo hay que tomarle una foto a la ecuación (\ref{dranticlock})! Una forma de hacer esto es tomar un $t>0$ dado y graficar en $0\leq{t}_0\leq{t}$ para los diversos $\theta_n$, a modo de 'regresar la película' para cada $t_0$ ;-) El caso más sencillo es tomar $t=2\pi$; considera además por ahora $\theta_n=0$,
\begin{equation}\mathcal{C}_{\theta_n=0}(t_0)\equiv\vec{\mathcal{D}}_{t_0,0}(2\pi)=\left(\cos{t}_0-(2\pi-t_0)\sin{t}_0,\sin{t}_0+(2\pi-t_0)\cos{t}_0\right)\end{equation} que podemos escribir como
\begin{equation}\vec{\mathcal{C}}_{0}(t_0)=\left(\cos(2\pi-t_0)-(2\pi-t_0)\sin(t_0-2\pi),\sin(t_0-2\pi)+(2\pi-t_0)\cos(2\pi-t_0)\right)\end{equation} ya que $\cos(2\pi-x)=\cos{x}$ y $\sin(x-2\pi)=\sin{x}$, entonces haciendo $\tau\equiv{2\pi-t_0}$,
\begin{align}\vec{\mathcal{C}}_{0}(\tau)&=\left(\cos\tau-\tau\sin(-\tau),\sin(-\tau)+\tau\cos\tau\right)\nonumber\\
&=\left(\cos\tau+\tau\sin\tau,-\sin\tau+\tau\cos\tau\right)\end{align} que es la ecuación paramétrica de la curva llamada evolvente. Si consideramos el caso general para cualquier $\theta_n$, llegamos a
\begin{align}\vec{\mathcal{C}}_{\theta_n}(\tau)&=\left(\cos(\tau-\theta_n)+\tau\sin(\tau-\theta_n),-\sin(\tau-\theta_n)+\tau\cos(\tau-\theta_n)\right)\end{align}
y en efecto puede comprobarse que los chorros, i.e. la evolvente del círculo, es normal a cada punto de la superficie (e.g con $\vec{v}_n(0)\cdot\vec{\mathcal{C}}_{\theta_n}(0)=0$).
Rotación sentido horario
La única razón de haber tomado la rotación en sentido antihorario (además de la sospecha de que así se reproduciría la foto), es que no quería estar rastreando un signo negativo en las ecuaciones. Pero Mathematica no tiene ese problema, así que sólo hay que tomar $\omega<0$ y ya está.
Finalmente, cuando buscaba más imágenes e información sobre los chorros de agua, seguido me encontré con que se asume que los chorros describen o una espiral logarítmica o una espiral de Fibonacci, sobre todo -supongo- porque estas espirales son populares con otros fenómenos de la naturaleza. Como sea, acá estoy sobre-simplificando la cuestión y no descarto la posibilidad de que así sea (aunque no he encontrado ningún recurso que lo pruebe): el tratamiento de los chorros de agua de la pelota seguramente se puede complicar tanto como se quiera, permitiendo velocidades angulares grandes, incluyendo efectos como la interacción entre gotas, la fricción del aire, presencia de un campo gravitacional, etc...
Acá dejo el código que utilicé para hacer los GIF's en Mathematica:
La imagen me pareció interesante, más que por el sentido estético, porque como físico sé que las gotas deben salir por la tangente a cada punto de la superficie de la pelota y describir líneas rectas. Como sea, en la imagen los chorros de agua prácticamente parecen salen por la normal a cada punto y en realidad forman espirales.
¿Qué curva describen realmente las gotas de agua y cómo es compatible con la noción física usual?
Responderlo es relativamente sencillo utilizando únicamente mecánica clásica (matemáticamente no más que cálculo vectorial).
Para empezar podemos reducir la situación a una dos dimensional, y con la pelota siendo un disco (del cual sólo importa la superficie) y las gotas partículas puntuales. Por simplicidad, consideremos una pelota de radio unitario y que rota con una velocidad angular constante $\omega$, de modo que la posición $\vec{r}$ de una gota descrita en la superficie de la pelota, que idealizamos como circular, a cada tiempo $t\geq0$, está dada por
\begin{equation}\vec{r}(t)\equiv(\cos\omega{t},\sin\omega{t})\end{equation} y entonces, su velocidad tangencial es
\begin{equation}\vec{v}(t)\equiv\frac{d\vec{r}}{dt}=\omega(-\sin\omega{t},\cos\omega{t})\end{equation} Así entonces, una gota que a un momento $t_0\in[0,t]$ sale de la superficie de la pelota describe una recta dada por
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{t_0}(t)&=\vec{r}(t_0)+\vec{v}(t_0)(t-t_0)\nonumber\\
&=(\cos\omega{t_0}-\omega(t-t_0)\sin\omega{t_0},\sin\omega{t_0}+\omega(t-t_0)\cos\omega{t_0})\end{align}
Rotación sentido antihorario
Vale, el problema realmente está resuelto, sólo queda considerar una familia de gotas e intentar visualizar y comprobar si podemos reproducir el fenómeno que se observa en la imagen. Consideremos primero rotaciones en sentido antihorario, i.e. $\omega>0$. Por simplicidad hagamos $\omega=1$.
El caso más simple es el de $t_0=0$,
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_0(t)&=(1,t)\end{align}
\begin{equation}\vec{r}_n(t)=\left(\cos(t+\theta_n),\sin(t+\theta_n)\right)\end{equation} cuya velocidad tangencial es
\begin{equation}\vec{v}_n(t)\equiv\frac{d\vec{r}_n}{dt}=\left(-\sin(t+\theta_n),\cos(t+\theta_n)\right)\end{equation} y de manera análoga, ahora
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{t_0,\theta_n}(t)&=\vec{r}_n(t_0)+\vec{v}_n(t_0)(t-t_0)\end{align} y para $t_0=0$,
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{0,\theta_n}(t)&=(\cos\theta_n-t\sin\theta_n,\sin\theta_n+t\cos\theta_n)\end{align}
Viene entonces el caso que nos interesa, que es que se desprendan gotas casi continuamente de la pelota, es decir, considerar diversos valores $t_0$ en el intervalo $[0,t]$ muy ligeramente espaciados. Las ecuaciones para la gota en $\theta_n$ que se desprende al tiempo $t_0$ es
\begin{align}\vec{\mathcal{D}}_{t_0,\theta_n}(t)&=\left(\cos(t_0+\theta_n)-(t-t_0)\sin(t_0+\theta_n),\sin(t_0+\theta_n)+(t-t_0)\cos(t_0+\theta_n)\right)\label{dranticlock}\end{align} Graficando y visualizando en el tiempo varias de ellas se obtiene algo así
y prácticamente hemos reproducido el fenómeno de la fotografía. Vemos entonces que la pregunta que realmente queríamos responder es: ¿qué curva describen los 'chorros' de agua? Y eso es sencillo, ¡sólo hay que tomarle una foto a la ecuación (\ref{dranticlock})! Una forma de hacer esto es tomar un $t>0$ dado y graficar en $0\leq{t}_0\leq{t}$ para los diversos $\theta_n$, a modo de 'regresar la película' para cada $t_0$ ;-) El caso más sencillo es tomar $t=2\pi$; considera además por ahora $\theta_n=0$,
\begin{equation}\mathcal{C}_{\theta_n=0}(t_0)\equiv\vec{\mathcal{D}}_{t_0,0}(2\pi)=\left(\cos{t}_0-(2\pi-t_0)\sin{t}_0,\sin{t}_0+(2\pi-t_0)\cos{t}_0\right)\end{equation} que podemos escribir como
\begin{equation}\vec{\mathcal{C}}_{0}(t_0)=\left(\cos(2\pi-t_0)-(2\pi-t_0)\sin(t_0-2\pi),\sin(t_0-2\pi)+(2\pi-t_0)\cos(2\pi-t_0)\right)\end{equation} ya que $\cos(2\pi-x)=\cos{x}$ y $\sin(x-2\pi)=\sin{x}$, entonces haciendo $\tau\equiv{2\pi-t_0}$,
\begin{align}\vec{\mathcal{C}}_{0}(\tau)&=\left(\cos\tau-\tau\sin(-\tau),\sin(-\tau)+\tau\cos\tau\right)\nonumber\\
&=\left(\cos\tau+\tau\sin\tau,-\sin\tau+\tau\cos\tau\right)\end{align} que es la ecuación paramétrica de la curva llamada evolvente. Si consideramos el caso general para cualquier $\theta_n$, llegamos a
\begin{align}\vec{\mathcal{C}}_{\theta_n}(\tau)&=\left(\cos(\tau-\theta_n)+\tau\sin(\tau-\theta_n),-\sin(\tau-\theta_n)+\tau\cos(\tau-\theta_n)\right)\end{align}
Rotación sentido horario
La única razón de haber tomado la rotación en sentido antihorario (además de la sospecha de que así se reproduciría la foto), es que no quería estar rastreando un signo negativo en las ecuaciones. Pero Mathematica no tiene ese problema, así que sólo hay que tomar $\omega<0$ y ya está.
Finalmente, cuando buscaba más imágenes e información sobre los chorros de agua, seguido me encontré con que se asume que los chorros describen o una espiral logarítmica o una espiral de Fibonacci, sobre todo -supongo- porque estas espirales son populares con otros fenómenos de la naturaleza. Como sea, acá estoy sobre-simplificando la cuestión y no descarto la posibilidad de que así sea (aunque no he encontrado ningún recurso que lo pruebe): el tratamiento de los chorros de agua de la pelota seguramente se puede complicar tanto como se quiera, permitiendo velocidades angulares grandes, incluyendo efectos como la interacción entre gotas, la fricción del aire, presencia de un campo gravitacional, etc...
Acá dejo el código que utilicé para hacer los GIF's en Mathematica:
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