Esta entrada se refiere a las notas String Theory on Calabi-Yau Manifolds de Brian Greene en la sección 2, Some Classical Geometry. Las notas son bastante digeribles para los estudiantes interesados, y en particular esta sección, para los que no han estudiado geometría diferencial o desconocen el lenguaje de las formas diferenciales. Acá muestro algunas acotaciones que me ha sido necesario hacer para leer esta parte de las notas y que en general pueden resultar útiles en otros contextos.
\begin{align}u_x&=v_y\\u_y&=-v_x\end{align} se sigue que
\begin{equation}u_x+iv_x=v_y-iu_y\end{equation} de modo que también,
\begin{equation}h_x+ih_y=0\end{equation} y ya que $\overline{z}=x-iy$, por regla de la cadena,
\begin{align}h_x&=\overline{z}_xh_\overline{z}=h_\overline{z}\\h_y&=\overline{z}_yh_\overline{z}=-ih_\overline{z}\end{align} y finalmente,
\begin{equation}h_\overline{z}=0\end{equation} como se esperaba.
\begin{equation}z=y_1+iy_2=x_1+ix_2=\frac{1}{2}(\omega+\overline{\omega})+(\omega-\overline{\omega})=\frac{3}{2}\omega-\frac{1}{2}\overline{\omega}\end{equation} de modo que $z$ no es una función holomorfa en $\omega$.
\begin{equation}d(d\alpha)\equiv{d}^2\alpha=\p_{jk}\alpha_{i_1\ldots{i}_p}\,dx^j\wedge{d}x^k\wedge{d}x^{i_1}\wedge\ldots\wedge{d}x^{i_p}\end{equation} ya que j,k pueden intercambiarse, pero también $dx^j\wedge{d}x^k=-dx^k\wedge{d}x^j$. Algo lindo de este resultado es que en $\mathbb{R}^3$ es equivalente a los resultados $\nabla\times(\nabla{f})=0$ y $\nabla\cdot(\nabla\times{v})=0$, i.e. en general el diagrama
$$\matrix{ \Omega^0 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3 \cr
\big\uparrow\small{r}& & \big\uparrow\small{s} & & \big\uparrow\small{t} & & \big\uparrow\small{u} \cr
\Omega^0 & \stackrel{\nabla}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\times}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\cdot}{\longrightarrow} & \Omega^0 \cr}$$ conmuta (empleo $\Omega^q$ como el espacio de $q$-formas en la variedad $X$; $V$ son campos vectoriales, $r,s,t,u$ son isomorfismos y que el diagrama conmute significa, por ejemplo, que $s\circ\nabla=d\circ{r}$ o que $d\circ{s}\circ\nabla=t\circ\nabla\times\circ\nabla$, etc...).
\begin{align}dJ=i\left(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right)=0\end{align} que tiene sumandos con partes (2-holomorfa,1-antiholomorfa) y viceversa, de modo que deben anularse independientemente. Descomponiendo los objetos $\p_\mu{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ y $\p_\overline{\mu}{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ en partes simétrica y antisimétrica en los pares de índices del mismo tipo, sólo la parte antisimétrica no se anula idénticamente junto con la (r,s)-forma correspondiente al expandir los índices, entonces,
\begin{align}dJ=\frac{i}{2}\left[(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}-\p_i{g}_{\ell\overline\jmath})\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+(\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}-\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}})\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right]=0\end{align} de modo que se sigue finalmente que
\begin{align}\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}&=\p_i{g}_{\ell\overline\jmath}\\
\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}&=\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}}\end{align} como se esperaba.
\begin{align}\langle\Delta\alpha,\alpha\rangle&=\langle{d^\dagger}d\alpha+dd^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\
&=\langle{d^\dagger}d\alpha,\alpha\rangle+\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\
&=\langle{d}\alpha,d\alpha\rangle+\langle{d^\dagger}\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{align} entonces si $\alpha$ es armónica, la igualdad se cumple y así también $d\alpha=d^\dagger\alpha=0$. De aquí se sigue que si
\begin{equation}\omega=d\beta+d^\dagger\gamma+\omega^\prime\end{equation} es cerrada y $\omega^\prime$ es armónica,
\begin{equation}d\omega=dd^\dagger\gamma=0\end{equation} y ya que también, en general para cualquier $\alpha$,
\begin{equation}\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle=\langle{d}^\dagger\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{equation} se tiene finalmente que $d^\dagger\gamma=0$, que es realmente lo que se necesita mostrar.
Yo me limitaré a la misma salida: Kähler identities.
Finalmente las propiedades
\begin{align}h^{r,s}_X&=h^{m-r,m-s}_X\\[0.1in]
h^{r,s}_X&=h^{s,r}_X\\[0.1in]
H^p_d(X)&=\bigoplus_{r+s=p}H^{r,s}_{\overline\p}(X)\end{align} también se discuten en el libro de Nakahara (Greene no lo menciona, pero $m\equiv\text{dim}_\mathbb{C}{X}$). Al menos las dos últimas requieren $\Delta\propto\Delta_\overline{\p}=\Delta_\p$.
\begin{equation}\Omega_{\overline{k}\ell}\equiv{R}_{\overline{k}\ell{i}\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\end{equation} que en efecto satisface
\begin{align}\Omega_{\overline{k}\ell}&=\overline{{R}_{k\overline{\ell\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\
&=-\overline{{R}_{\overline{\ell}k\overline{\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\
&=-\overline{{R}_{\overline{\ell}kj\overline{\imath}}dz^j\wedge{d}\overline{z}^\overline{\imath}}\nonumber\\
&=-\overline{\Omega_{\bar{\ell}k}}\end{align} De aquí entonces, ya que $\mathfrak{u}(d)\simeq\mathfrak{su}(d)\oplus\mathfrak{u}(1)$, i.e. $\Omega_{\overline{k}\ell}$ puede descomponerse en una parte con traza nula en $\mathfrak{su}(d)$ más su traza en $\mathfrak{u}(1)$, de modo que el que la traza cumpla
\begin{equation}{\Omega^\ell}_\ell=R_{i\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=\p_i{\Gamma^\overline{k}}_{\overline{\jmath{k}}}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=0\end{equation} equivale a que tener una métrica Ricci-plana y a que el grupo de holonomía esté contenido en $SU(d)$.
Ésta es la idea sencilla, basada en Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary For Physicists. En The N=2 wonderland: From Calabi-Yau Manifolds To Topological Field Theories se puede encontrar otro tratamiento que justifica un tanto más la introducción de la forma de curvatura.
En general desde la discusión de los espacios $\mathbb{C}P^n$, para los no-iniciados (como yo) es necesario consultar otras fuentes en extenso.
(...) a function $h:\mathbb{C}^{n/2}\to\mathbb{C}^{n/2}$ is holomorphic if $h(z_1,\overline{z}_1,\ldots,z_{n/2},\overline{z}_{n/2})$ is actually independent of all the $\overline{z}_j$Se tiene $z\equiv{x+iy}$ y sean $\text{Re}[h]\equiv{u}(x,y),\,\text{Im}[h]\equiv{v}(x,y)$. De las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
(p. 15)
\begin{align}u_x&=v_y\\u_y&=-v_x\end{align} se sigue que
\begin{equation}u_x+iv_x=v_y-iu_y\end{equation} de modo que también,
\begin{equation}h_x+ih_y=0\end{equation} y ya que $\overline{z}=x-iy$, por regla de la cadena,
\begin{align}h_x&=\overline{z}_xh_\overline{z}=h_\overline{z}\\h_y&=\overline{z}_yh_\overline{z}=-ih_\overline{z}\end{align} y finalmente,
\begin{equation}h_\overline{z}=0\end{equation} como se esperaba.
(...) $X$ and $Y$ are diffeomorphic but not biholomorphicLa idea es clara pero la ecuación (2.5) debería leerse algo así como
(p. 18)
\begin{equation}z=y_1+iy_2=x_1+ix_2=\frac{1}{2}(\omega+\overline{\omega})+(\omega-\overline{\omega})=\frac{3}{2}\omega-\frac{1}{2}\overline{\omega}\end{equation} de modo que $z$ no es una función holomorfa en $\omega$.
The antisymmetry involved in exterior differentiation ensures that $d(d\alpha)=0$ for any form $\alpha$Esto es evidente de la definición de la derivada exterior aplicada dos veces,
(p. 22)
\begin{equation}d(d\alpha)\equiv{d}^2\alpha=\p_{jk}\alpha_{i_1\ldots{i}_p}\,dx^j\wedge{d}x^k\wedge{d}x^{i_1}\wedge\ldots\wedge{d}x^{i_p}\end{equation} ya que j,k pueden intercambiarse, pero también $dx^j\wedge{d}x^k=-dx^k\wedge{d}x^j$. Algo lindo de este resultado es que en $\mathbb{R}^3$ es equivalente a los resultados $\nabla\times(\nabla{f})=0$ y $\nabla\cdot(\nabla\times{v})=0$, i.e. en general el diagrama
$$\matrix{ \Omega^0 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3 \cr
\big\uparrow\small{r}& & \big\uparrow\small{s} & & \big\uparrow\small{t} & & \big\uparrow\small{u} \cr
\Omega^0 & \stackrel{\nabla}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\times}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\cdot}{\longrightarrow} & \Omega^0 \cr}$$ conmuta (empleo $\Omega^q$ como el espacio de $q$-formas en la variedad $X$; $V$ son campos vectoriales, $r,s,t,u$ son isomorfismos y que el diagrama conmute significa, por ejemplo, que $s\circ\nabla=d\circ{r}$ o que $d\circ{s}\circ\nabla=t\circ\nabla\times\circ\nabla$, etc...).
In local coordinates, the fact that $dJ=0$ for a Kähler manifold impliesSe tiene que
$$dJ=(\p+\overline\p)i{g}_{i\bar\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline{\jmath}$$ This implies that $$\frac{\p{g}_{i\overline{\jmath}}}{\p{z}^\ell}=\frac{\p{g}_{\ell\overline{\jmath}}}{\p{z}^i}$$(p. 24)
\begin{align}dJ=i\left(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right)=0\end{align} que tiene sumandos con partes (2-holomorfa,1-antiholomorfa) y viceversa, de modo que deben anularse independientemente. Descomponiendo los objetos $\p_\mu{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ y $\p_\overline{\mu}{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ en partes simétrica y antisimétrica en los pares de índices del mismo tipo, sólo la parte antisimétrica no se anula idénticamente junto con la (r,s)-forma correspondiente al expandir los índices, entonces,
\begin{align}dJ=\frac{i}{2}\left[(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}-\p_i{g}_{\ell\overline\jmath})\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+(\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}-\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}})\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right]=0\end{align} de modo que se sigue finalmente que
\begin{align}\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}&=\p_i{g}_{\ell\overline\jmath}\\
\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}&=\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}}\end{align} como se esperaba.
...it is not hard to show that $\gamma$ vanishes...Vale, ciertamente no es difícil, pero se requiere algo más que $\Delta\omega^\prime=0$. Sea $\alpha$ una $p$-forma cualquiera, entonces tomando en cuenta que el producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es positivo definido,
(p.27)
\begin{align}\langle\Delta\alpha,\alpha\rangle&=\langle{d^\dagger}d\alpha+dd^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\
&=\langle{d^\dagger}d\alpha,\alpha\rangle+\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\
&=\langle{d}\alpha,d\alpha\rangle+\langle{d^\dagger}\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{align} entonces si $\alpha$ es armónica, la igualdad se cumple y así también $d\alpha=d^\dagger\alpha=0$. De aquí se sigue que si
\begin{equation}\omega=d\beta+d^\dagger\gamma+\omega^\prime\end{equation} es cerrada y $\omega^\prime$ es armónica,
\begin{equation}d\omega=dd^\dagger\gamma=0\end{equation} y ya que también, en general para cualquier $\alpha$,
\begin{equation}\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle=\langle{d}^\dagger\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{equation} se tiene finalmente que $d^\dagger\gamma=0$, que es realmente lo que se necesita mostrar.
...it is straightforward to show that all of the Laplacians built from $d$, $\overline\p$ and $\p$, namely $\Delta$, $\Delta_\overline{\p}$ and $\Delta_\p$ are related by $$\Delta=2\Delta_\overline{\p}=2\Delta_\p$$ (p.27)En este caso, a diferencia del anterior, además de también requerir más, aparentemente no es realmente tan simple. El famoso Geometry, Topology and Physics de Mikio Nakahara se limita a decir "The proof requires some technicalities and we simply refer to Schwartz (1986) and Goldberg (1962)".
Yo me limitaré a la misma salida: Kähler identities.
Finalmente las propiedades
\begin{align}h^{r,s}_X&=h^{m-r,m-s}_X\\[0.1in]
h^{r,s}_X&=h^{s,r}_X\\[0.1in]
H^p_d(X)&=\bigoplus_{r+s=p}H^{r,s}_{\overline\p}(X)\end{align} también se discuten en el libro de Nakahara (Greene no lo menciona, pero $m\equiv\text{dim}_\mathbb{C}{X}$). Al menos las dos últimas requieren $\Delta\propto\Delta_\overline{\p}=\Delta_\p$.
It is not hard to show that the vanishing of the $U(1)$ part of the connection, effectively its trace, which ensures that the holonomy lies in $SU(d)$, is tantamount to having a Ricci-flat metric.El álgebra de Lie, $\mathfrak{u}(d)$, del grupo unitario, $U(d)$, consiste en las matrices antisimétricas complejas (o antihermitianas) $d\times{d}$, con el corchete de Lie dado por el conmutador. Así entonces se puede introducir una (1,1)-forma de curvatura
(p. 31)
\begin{equation}\Omega_{\overline{k}\ell}\equiv{R}_{\overline{k}\ell{i}\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\end{equation} que en efecto satisface
\begin{align}\Omega_{\overline{k}\ell}&=\overline{{R}_{k\overline{\ell\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\
&=-\overline{{R}_{\overline{\ell}k\overline{\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\
&=-\overline{{R}_{\overline{\ell}kj\overline{\imath}}dz^j\wedge{d}\overline{z}^\overline{\imath}}\nonumber\\
&=-\overline{\Omega_{\bar{\ell}k}}\end{align} De aquí entonces, ya que $\mathfrak{u}(d)\simeq\mathfrak{su}(d)\oplus\mathfrak{u}(1)$, i.e. $\Omega_{\overline{k}\ell}$ puede descomponerse en una parte con traza nula en $\mathfrak{su}(d)$ más su traza en $\mathfrak{u}(1)$, de modo que el que la traza cumpla
\begin{equation}{\Omega^\ell}_\ell=R_{i\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=\p_i{\Gamma^\overline{k}}_{\overline{\jmath{k}}}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=0\end{equation} equivale a que tener una métrica Ricci-plana y a que el grupo de holonomía esté contenido en $SU(d)$.
Ésta es la idea sencilla, basada en Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary For Physicists. En The N=2 wonderland: From Calabi-Yau Manifolds To Topological Field Theories se puede encontrar otro tratamiento que justifica un tanto más la introducción de la forma de curvatura.
Thus, a quintic hypersurface in $\mathbb{C}P^4$ es a Calabi-Yau manifold with complex dimension 3.Esta parte de las notas es a la que refiero aquí.
(p. 33)
En general desde la discusión de los espacios $\mathbb{C}P^n$, para los no-iniciados (como yo) es necesario consultar otras fuentes en extenso.
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