Acotaciones sobre geometría clásica en "Teoría de cuerdas en variedades Calabi-Yau"

Esta entrada se refiere a las notas String Theory on Calabi-Yau Manifolds de Brian Greene en la sección 2, Some Classical Geometry. Las notas son bastante digeribles para los estudiantes interesados, y en particular esta sección, para los que no han estudiado geometría diferencial o desconocen el lenguaje de las formas diferenciales. Acá muestro algunas acotaciones que me ha sido necesario hacer para leer esta parte de las notas y que en general pueden resultar útiles en otros contextos.

(...) a function $h:\mathbb{C}^{n/2}\to\mathbb{C}^{n/2}$ is holomorphic if $h(z_1,\overline{z}_1,\ldots,z_{n/2},\overline{z}_{n/2})$ is actually independent of all the $\overline{z}_j$
(p. 15)

Se tiene $z\equiv{x+iy}$ y sean $\text{Re}[h]\equiv{u}(x,y),\,\text{Im}[h]\equiv{v}(x,y)$. De las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
$$\begin{align}u_x&=v_y\\u_y&=-v_x\end{align}$$ se sigue que
$$\begin{equation}u_x+iv_x=v_y-iu_y\end{equation}$$ de modo que también,
$$\begin{equation}h_x+ih_y=0\end{equation}$$ y ya que $\overline{z}=x-iy$, por regla de la cadena,
$$\begin{align}h_x&=\overline{z}_xh_\overline{z}=h_\overline{z}\\h_y&=\overline{z}_yh_\overline{z}=-ih_\overline{z}\end{align}$$ y finalmente,
$$\begin{equation}h_\overline{z}=0\end{equation}$$ como se esperaba.

(...) $X$ and $Y$ are diffeomorphic but not biholomorphic
(p. 18)

La idea es clara pero la ecuación (2.5) debería leerse algo así como
$$\begin{equation}z=y_1+iy_2=x_1+ix_2=\frac{1}{2}(\omega+\overline{\omega})+(\omega-\overline{\omega})=\frac{3}{2}\omega-\frac{1}{2}\overline{\omega}\end{equation}$$ de modo que $z$ no es una función holomorfa en $\omega$.

The antisymmetry involved in exterior differentiation ensures that $d(d\alpha)=0$ for any form $\alpha$
(p. 22)

Esto es evidente de la definición de la derivada exterior aplicada dos veces,
$$\begin{equation}d(d\alpha)\equiv{d}^2\alpha=\p_{jk}\alpha_{i_1\ldots{i}_p}\,dx^j\wedge{d}x^k\wedge{d}x^{i_1}\wedge\ldots\wedge{d}x^{i_p}\end{equation}$$ ya que j,k pueden intercambiarse, pero también $dx^j\wedge{d}x^k=-dx^k\wedge{d}x^j$. Algo lindo de este resultado es que en $\mathbb{R}^3$ es equivalente a los resultados $\nabla\times(\nabla{f})=0$ y $\nabla\cdot(\nabla\times{v})=0$, i.e. en general el diagrama
$$\matrix{ \Omega^0 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3 \cr \big\uparrow\small{r}& & \big\uparrow\small{s} & & \big\uparrow\small{t} & & \big\uparrow\small{u} \cr \Omega^0 & \stackrel{\nabla}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\times}{\longrightarrow} & V & \stackrel{\nabla\cdot}{\longrightarrow} & \Omega^0 \cr}$$ conmuta (empleo $\Omega^q$ como el espacio de $q$-formas en la variedad $X$; $V$ son campos vectoriales, $r,s,t,u$ son isomorfismos y que el diagrama conmute significa, por ejemplo, que $s\circ\nabla=d\circ{r}$ o que $d\circ{s}\circ\nabla=t\circ\nabla\times\circ\nabla$, etc...).

In local coordinates, the fact that $dJ=0$ for a Kähler manifold implies
$$dJ=(\p+\overline\p)i{g}_{i\bar\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline{\jmath}$$ This implies that $$\frac{\p{g}_{i\overline{\jmath}}}{\p{z}^\ell}=\frac{\p{g}_{\ell\overline{\jmath}}}{\p{z}^i}$$ (p. 24)

Se tiene que
$$\begin{align}dJ=i\left(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right)=0\end{align}$$ que tiene sumandos con partes (2-holomorfa,1-antiholomorfa) y viceversa, de modo que deben anularse independientemente. Descomponiendo los objetos $\p_\mu{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ y $\p_\overline{\mu}{g}_{\nu\overline{\sigma}}$ en partes simétrica y antisimétrica en los pares de índices del mismo tipo, sólo la parte antisimétrica no se anula idénticamente junto con la (r,s)-forma correspondiente al expandir los índices, entonces,
$$\begin{align}dJ=\frac{i}{2}\left[(\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}-\p_i{g}_{\ell\overline\jmath})\,dz^\ell\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}+(\p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}-\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}})\,{d}\overline{z}^{\overline{\ell}}\wedge{d}z^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\right]=0\end{align}$$ de modo que se sigue finalmente que
$$\begin{align}\p_\ell{g}_{i\overline\jmath}&=\p_i{g}_{\ell\overline\jmath}\\ \p_\overline{\ell}g_{i\overline\jmath}&=\p_\overline{\jmath}g_{i\overline{\ell}}\end{align}$$ como se esperaba.

...it is not hard to show that $\gamma$ vanishes...
(p.27)

Vale, ciertamente no es difícil, pero se requiere algo más que $\Delta\omega^\prime=0$. Sea $\alpha$ una $p$-forma cualquiera, entonces tomando en cuenta que el producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es positivo definido,
$$\begin{align}\langle\Delta\alpha,\alpha\rangle&=\langle{d^\dagger}d\alpha+dd^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\ &=\langle{d^\dagger}d\alpha,\alpha\rangle+\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle\nonumber\\ &=\langle{d}\alpha,d\alpha\rangle+\langle{d^\dagger}\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{align}$$ entonces si $\alpha$ es armónica, la igualdad se cumple y así también $d\alpha=d^\dagger\alpha=0$. De aquí se sigue que si
$$\begin{equation}\omega=d\beta+d^\dagger\gamma+\omega^\prime\end{equation}$$ es cerrada y $\omega^\prime$ es armónica,
$$\begin{equation}d\omega=dd^\dagger\gamma=0\end{equation}$$ y ya que también, en general para cualquier $\alpha$,
$$\begin{equation}\langle{d}d^\dagger\alpha,\alpha\rangle=\langle{d}^\dagger\alpha,d^\dagger\alpha\rangle\geq0\end{equation}$$ se tiene finalmente que $d^\dagger\gamma=0$, que es realmente lo que se necesita mostrar.

...it is straightforward to show that all of the Laplacians built from $d$, $\overline\p$ and $\p$, namely $\Delta$, $\Delta_\overline{\p}$ and $\Delta_\p$ are related by $$\Delta=2\Delta_\overline{\p}=2\Delta_\p$$ (p.27)

En este caso, a diferencia del anterior, además de también requerir más, aparentemente no es realmente tan simple. El famoso Geometry, Topology and Physics de Mikio Nakahara se limita a decir "The proof requires some technicalities and we simply refer to Schwartz (1986) and Goldberg (1962)".

Yo me limitaré a la misma salida: Kähler identities.

Finalmente las propiedades
$$\begin{align}h^{r,s}_X&=h^{m-r,m-s}_X\\[0.1in] h^{r,s}_X&=h^{s,r}_X\\[0.1in] H^p_d(X)&=\bigoplus_{r+s=p}H^{r,s}_{\overline\p}(X)\end{align}$$ también se discuten en el libro de Nakahara (Greene no lo menciona, pero $m\equiv\text{dim}_\mathbb{C}{X}$). Al menos las dos últimas requieren $\Delta\propto\Delta_\overline{\p}=\Delta_\p$.

It is not hard to show that the vanishing of the $U(1)$ part of the connection, effectively its trace, which ensures that the holonomy lies in $SU(d)$, is tantamount to having a Ricci-flat metric.
(p. 31)

El álgebra de Lie, $\mathfrak{u}(d)$, del grupo unitario, $U(d)$, consiste en las matrices antisimétricas complejas (o antihermitianas) $d\times{d}$, con el corchete de Lie dado por el conmutador. Así entonces se puede introducir una (1,1)-forma de curvatura
$$\begin{equation}\Omega_{\overline{k}\ell}\equiv{R}_{\overline{k}\ell{i}\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^{\overline\jmath}\end{equation}$$ que en efecto satisface
$$\begin{align}\Omega_{\overline{k}\ell}&=\overline{{R}_{k\overline{\ell\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\ &=-\overline{{R}_{\overline{\ell}k\overline{\imath}j}d\overline{z}^\overline{\imath}\wedge{dz}^j}\nonumber\\ &=-\overline{{R}_{\overline{\ell}kj\overline{\imath}}dz^j\wedge{d}\overline{z}^\overline{\imath}}\nonumber\\ &=-\overline{\Omega_{\bar{\ell}k}}\end{align}$$ De aquí entonces, ya que $\mathfrak{u}(d)\simeq\mathfrak{su}(d)\oplus\mathfrak{u}(1)$, i.e. $\Omega_{\overline{k}\ell}$ puede descomponerse en una parte con traza nula en $\mathfrak{su}(d)$ más su traza en $\mathfrak{u}(1)$, de modo que el que la traza cumpla
$$\begin{equation}{\Omega^\ell}_\ell=R_{i\overline\jmath}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=\p_i{\Gamma^\overline{k}}_{\overline{\jmath{k}}}dz^i\wedge{d}\overline{z}^\overline\jmath=0\end{equation}$$ equivale a que tener una métrica Ricci-plana y a que el grupo de holonomía esté contenido en $SU(d)$.

Ésta es la idea sencilla, basada en Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary For Physicists. En The N=2 wonderland: From Calabi-Yau Manifolds To Topological Field Theories se puede encontrar otro tratamiento que justifica un tanto más la introducción de la forma de curvatura.

Thus, a quintic hypersurface in $\mathbb{C}P^4$ es a Calabi-Yau manifold with complex dimension 3.
(p. 33)

Esta parte de las notas es a la que refiero aquí.
En general desde la discusión de los espacios $\mathbb{C}P^n$, para los no-iniciados (como yo) es necesario consultar otras fuentes en extenso.