Trabajar con índices puede resultar muy fructífero incluso para realizar cálculos que no necesariamente lo exigen, como muestro en este ejemplo, que he resuelto en un curso de electromagnetismo (acá muestro otro ejemplo para con mecánica clásica). Considera la Lagrangiana para una partícula de masa M y carga q dada por
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{\mathbf{r}}^2+q\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}\end{equation} donde $\mathbf{A}$ es el potencial vectorial; ${\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}}$ con $\mathbf{B}$ el campo magnético. Empleando la notación de suma en índices repetidos, la lagrangiana se escribe como
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{x}_i^2+q\,\dot{x}_iA_i\end{equation} se tiene entonces las ecuación de Lagrange para la j-ésima componente
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_j}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{x}_j}\end{equation} esto es, haciendo explícitas las derivadas sabiendo que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$,
\begin{equation}M\ddot{x}_j+q\dot{A}_j=q\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\dot{A}_j\right)\label{florentz1}\end{equation} ahora bien, considerando nuevamente que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$, por regla de la cadena (y notación de suma),
\begin{equation}\dot{A}_j\equiv\frac{dA_j}{dt}=\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\frac{\partial{x}_i}{\partial{t}}=\dot{x}_i\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\end{equation} entonces se reescribe la ec. (\ref{florentz1}) como
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\dot{x}_i\left(\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\right)\end{equation} y véase que (empleando por simplicidad la notación ${\partial_i\equiv\partial/\partial{x}_i}$),
\begin{align}\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j&=\epsilon_{jik}\dot{x}_iB_k\nonumber\\[0.1in]&=\epsilon_{jik}\dot{x}_i\left(\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\right)\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\epsilon_{kji}\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\delta_{j\ell}\delta_{im}-\delta_{jm}\delta_{i\ell}\right)\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\partial_jA_i-\partial_iA_j\right)\end{align} por tanto se concluye que
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{\mathbf{r}}=q\,\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\end{equation} que es precisamente la ecuación en la forma de la segunda ley de Newton para la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico externo. Esta es una muestra de lo sencillo que pueden tornarse cálculos en general utilizando notación de índices. He procurado antes obtener el mismo resultado con notación vectorial y no me parece que sea tan claro, pues en algún punto u otro es necesario recurrir o a coordenadas en particular o a la notación de índices.
Podemos obtener además el hamiltoniano mediante su definición como transformada de Legendre de la lagrangiana, i.e. (usando nuevamente convención de suma),
\begin{equation}\mathcal{H}=\dot{x}_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}-\mathcal{L}\end{equation} donde el i-ésimo momento generalizado está definido por
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}=M\dot{x}_i+qA_i\end{equation} entonces
\begin{equation}\dot{x}_i=\frac{1}{M}\left(p_i-qA_i\right)\end{equation} y así,
\begin{align}\mathcal{L}&=\frac{1}{M}(p_i-qA_i)\left[\frac{1}{2}(p_i-qA_i)+qA_i\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\end{align} por tanto
\begin{align}\mathcal{H}&=\frac{1}{M}\left(p_i^2-qp_iA_i\right)-\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-2qp_iA_i+q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2\end{align} procura comprobar ahora que esto es correcto obteniendo a partir de este hamiltoniano la ecuación de segunda ley para la fuerza de Lorentz.
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{\mathbf{r}}^2+q\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}\end{equation} donde $\mathbf{A}$ es el potencial vectorial; ${\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}}$ con $\mathbf{B}$ el campo magnético. Empleando la notación de suma en índices repetidos, la lagrangiana se escribe como
\begin{equation}\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{x}_i^2+q\,\dot{x}_iA_i\end{equation} se tiene entonces las ecuación de Lagrange para la j-ésima componente
\begin{equation}\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_j}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{x}_j}\end{equation} esto es, haciendo explícitas las derivadas sabiendo que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$,
\begin{equation}M\ddot{x}_j+q\dot{A}_j=q\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{x}_i\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\dot{A}_j\right)\label{florentz1}\end{equation} ahora bien, considerando nuevamente que ${\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))}$, por regla de la cadena (y notación de suma),
\begin{equation}\dot{A}_j\equiv\frac{dA_j}{dt}=\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\frac{\partial{x}_i}{\partial{t}}=\dot{x}_i\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\end{equation} entonces se reescribe la ec. (\ref{florentz1}) como
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\dot{x}_i\left(\frac{\partial{A}_i}{\partial{x}_j}-\frac{\partial{A}_j}{\partial{x}_i}\right)\end{equation} y véase que (empleando por simplicidad la notación ${\partial_i\equiv\partial/\partial{x}_i}$),
\begin{align}\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j&=\epsilon_{jik}\dot{x}_iB_k\nonumber\\[0.1in]&=\epsilon_{jik}\dot{x}_i\left(\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\right)\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\epsilon_{kji}\epsilon_{k\ell{m}}\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\delta_{j\ell}\delta_{im}-\delta_{jm}\delta_{i\ell}\right)\partial_\ell{A_m}\nonumber\\[0.1in]&=\dot{x}_i\left(\partial_jA_i-\partial_iA_j\right)\end{align} por tanto se concluye que
\begin{equation}M\ddot{x}_j=q\left(\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)_j\end{equation} es decir
\begin{equation}M\ddot{\mathbf{r}}=q\,\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\end{equation} que es precisamente la ecuación en la forma de la segunda ley de Newton para la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico externo. Esta es una muestra de lo sencillo que pueden tornarse cálculos en general utilizando notación de índices. He procurado antes obtener el mismo resultado con notación vectorial y no me parece que sea tan claro, pues en algún punto u otro es necesario recurrir o a coordenadas en particular o a la notación de índices.
Podemos obtener además el hamiltoniano mediante su definición como transformada de Legendre de la lagrangiana, i.e. (usando nuevamente convención de suma),
\begin{equation}\mathcal{H}=\dot{x}_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}-\mathcal{L}\end{equation} donde el i-ésimo momento generalizado está definido por
\begin{equation}p_i\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_i}=M\dot{x}_i+qA_i\end{equation} entonces
\begin{equation}\dot{x}_i=\frac{1}{M}\left(p_i-qA_i\right)\end{equation} y así,
\begin{align}\mathcal{L}&=\frac{1}{M}(p_i-qA_i)\left[\frac{1}{2}(p_i-qA_i)+qA_i\right]\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\end{align} por tanto
\begin{align}\mathcal{H}&=\frac{1}{M}\left(p_i^2-qp_iA_i\right)-\frac{1}{2M}\left(p_i^2-q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(p_i^2-2qp_iA_i+q^2A_i^2\right)\nonumber\\[0.1in]&=\frac{1}{2M}\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2\end{align} procura comprobar ahora que esto es correcto obteniendo a partir de este hamiltoniano la ecuación de segunda ley para la fuerza de Lorentz.
No comments:
Post a Comment